2023版高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)易錯(cuò)知識(shí)清單

一、集合與常用邏輯用語(yǔ)

易錯(cuò)知識(shí)清單

1.集合的概念與運(yùn)算

（1）解題時(shí)要明確集合中元素的特征，關(guān)注集合的代表元素（集合是點(diǎn)集、數(shù)集還是圖形

集）.

（2）集合中的元素具有確定性、無(wú)序性和互異性，在求解有關(guān)集合的問(wèn)題時(shí)，尤其要注意

元素的互異性.

（3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，要時(shí)刻注意對(duì)空集的討論，防止

漏解.

（4）解題時(shí)注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系，二是集合與集合的包含關(guān)系.

（5）Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進(jìn)行集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的常用方法，其中運(yùn)用數(shù)軸圖

示法時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心.

（6）處理集合問(wèn)題時(shí)，一定要注意檢驗(yàn)結(jié)果是否與題設(shè)相矛盾.

2.命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

（1）當(dāng)一個(gè)命題有大前提而要寫出其他三種命題時(shí)，必須保留大前提.

（2）判斷命題的真假及寫四種命題時(shí)，一定要明確命題的結(jié)構(gòu)，可以先把命題改寫成“若

P則q”的形式.

（3）判斷條件之間的關(guān)系時(shí)要注意條件之間關(guān)系的方向，正確理解“p的一個(gè)充分而不必

要條件是q”等語(yǔ)言.

3.簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、命題的否定與否命題

（1）pVq為真命題，只需p、q有一個(gè)為真即可;pAq為真命題，必須p、q同時(shí)為真.

（2）p或q的否定：非p且非q;p且q的否定:非p或非q.

（3）命題的否定與否命題：

“否命題”是對(duì)原命題“若P，則q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得到的命題，它既否定

其條件，又否定其結(jié)論；“命題的否定”即“非P”，只是否定命題p的結(jié)論.

二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

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1.分段函數(shù)

在求分段函數(shù)的值/（X。）時(shí)，要先判斷xO屬于定義域的哪個(gè)子集，然后代入相應(yīng)的關(guān)系式;

分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集.

2.函數(shù)的單調(diào)性與最值

（1）區(qū)分兩個(gè)概念：”函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)”，前者是指函數(shù)具備

單調(diào)性的“最大”的區(qū)間，后者是前者“最大”區(qū)間的子集.

（2）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不一定是整個(gè)定義域，可能是定義域的子集，但一定是連續(xù)的.

（3）函數(shù)的額單調(diào)性是針對(duì)定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間而言的，函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，

但在整個(gè)定義域上不一定是單調(diào)函數(shù)，如函數(shù)y=L在（-8,0）和（0,+8）上都是減函

x

數(shù)，但在定義域上不具有單調(diào)性.

（4）若函數(shù)在兩個(gè)不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，則這兩個(gè)區(qū)間要分開(kāi)寫，不能寫成并集.例如,

函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1,0）上是減函數(shù)，在（0,1）上也是減函數(shù)，但在（-1,0）U（0,1）上卻不

一定是減函數(shù)，如函數(shù)/(x)=’.

X

3.函數(shù)的奇偶性與周期性

(1)f(0)=0既不是函數(shù)f(x)是奇函數(shù)的充分條件，也不是必要條件.

(2)判斷分段函數(shù)的奇偶性要有整體的觀點(diǎn)，可以分類討論，也可以利用圖象進(jìn)行判斷.

4.二次函數(shù)與幕函數(shù)

(1)對(duì)于函數(shù)y=ax2+Zu+c,要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足aHO,當(dāng)題目條件未

說(shuō)明aWO時(shí)，就要討論a=0和aWO兩種情況.

(2)幕函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第

二、三象限，要看函數(shù)的奇偶性;暴函數(shù)的圖象最多能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi);如果累函數(shù)圖

象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).

5.指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

(1)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時(shí)，單調(diào)性不明確，從而無(wú)法確定其最值，故應(yīng)分a>l和0<a<l

兩種情況討論.

(2)解決和指數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域或最值問(wèn)題時(shí)，要熟練掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，弄清復(fù)合

函數(shù)的結(jié)構(gòu)，利用換元法求解時(shí)要注意“新元”的取值范圍.

(3)對(duì)可化為/<+a'+。=0或形式的方程或不等式，常借助換

元法解決，但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍.

6.對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

(1)在運(yùn)用性質(zhì)=alog”M(a>0,且aWl)時(shí)，要特別注意條件M>0,在無(wú)M>0

的條件下應(yīng)為log”AT=alog」M||(a為偶數(shù)).

(2)指數(shù)函數(shù)y=a*(a>0,且a#l)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log“x(a>0,且a#l)互為反函數(shù)，應(yīng)

從概念、圖象和性質(zhì)三個(gè)方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.

(3)解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)需注意兩點(diǎn)：①務(wù)必先研究函數(shù)的定義域;②注意對(duì)數(shù)底

數(shù)的取值范圍.

7.函數(shù)的圖象

(1)函數(shù)圖象的每次變換都是針對(duì)自變量“X”而言,如從f(-2x)的圖象到f(-2x+l)的圖象是

向右平移1個(gè)單位，即把x變成x-L

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(2)當(dāng)圖形不能準(zhǔn)確地說(shuō)明問(wèn)題時(shí)，可借助“數(shù)”的精確性進(jìn)行求解，解題過(guò)程中要注重

數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

8.函數(shù)與方程

(1)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，是方程f(x)=O的根，也是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的

橫坐標(biāo).

(2)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件，而不是必要條件;判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)還要

依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性或結(jié)合函數(shù)圖象.

9.函數(shù)模型及其應(yīng)用

(1)函數(shù)模型應(yīng)用不當(dāng)，是常見(jiàn)的解題錯(cuò)誤.所以要正確理解題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.

(2)要特別關(guān)注實(shí)際問(wèn)題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域.

（3）注意問(wèn)題反饋.在解決函數(shù)模型后，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性.

10.導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

（1）利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子中的符號(hào)，防止與乘法公式混淆.復(fù)合函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)要正確分解函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).

（2）求曲線切線時(shí)，要分清在點(diǎn)P處的切線與過(guò)點(diǎn)P的切線的區(qū)別，前者只有一條，而后

者包括了前者.

（3）曲線的切線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè).

11.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值

（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時(shí)要養(yǎng)成列表的習(xí)慣，可使問(wèn)題直觀且有條理，減小失分

的可能性.

（2）求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過(guò)認(rèn)真比較才能下結(jié)論.

（3）解題時(shí)要注意區(qū)別求單調(diào)性和已知單調(diào)性的問(wèn)題，處理好f'（x）=0時(shí)的情況;區(qū)分極

值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn).

12.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

（1）若函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,則f'（x）20,而不是f'（x）＞0（f'（x）=0在有限

個(gè)點(diǎn)處取到）.

（2）利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，要注意問(wèn)題的實(shí)際意義.

13.定積分

（1）被積函數(shù)若含有絕對(duì)值符號(hào)，應(yīng)先去絕對(duì)值符號(hào)，再分段積分.

（2）若定積分式子中有幾個(gè)不同的參數(shù)，則必須先分清誰(shuí)是積分變量.

（3）定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限.

（4）定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意面積非負(fù)，而定積分的結(jié)果可以為負(fù).

（5）將要求面積的圖形進(jìn)行科學(xué)而準(zhǔn)確地劃分，可使面積的求解變得簡(jiǎn)捷.

三、數(shù)列

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1.數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

（1）數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在利用函數(shù)觀點(diǎn)研究數(shù)列時(shí)，一定要注意自變量的取值，如

數(shù)列凡=/（〃））和函數(shù)y=/（x）的單調(diào)性是不同的.

（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式不一定唯一.

2.等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

（1）當(dāng)公差d#0時(shí)，?！笆莕的一次函數(shù)，當(dāng)公差d=0時(shí)，。“為常數(shù).

（2）公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.若某數(shù)列的前n

項(xiàng)和Sn是常數(shù)項(xiàng)不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列.

3.等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

（1）注意等比數(shù)列中的分類討論.

（2）由=q?a,,（qW0）,并不能判斷數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，還要驗(yàn)證卬是否為0.

4.數(shù)列求和

（1）直接應(yīng)用公式求和時(shí)，要注意公式的應(yīng)用范圍，如當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)公

比是否為1進(jìn)行分類討論.

（2）在應(yīng)用錯(cuò)位相減法時(shí)，注意觀察未合并項(xiàng)的正負(fù)號(hào)；結(jié)論中形如ala。*】的式子要合

并.

（3）在應(yīng)用裂項(xiàng)相消法時(shí)，要注意消項(xiàng)的規(guī)律具有對(duì)稱性，即前剩多少項(xiàng)后剩多少項(xiàng).

四、三角函數(shù)

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1.任意角的三角函數(shù)

（1）注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角.第一類是象

限角，第二類、第三類是區(qū)間角.

（2）角度制與弧度制可利用180°=:nrad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度

必須一致，不可混用.

（3）已知三角函數(shù)值的符號(hào)確定角的終邊位置時(shí)不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況.

2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

（1）利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其

步驟為：去負(fù)一脫周一化銳.要特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定.

（2）在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開(kāi)方，要特別注意判斷符號(hào).

（3）注意求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果要盡可能有理化、整式化.

3.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

（1）閉區(qū)間上最值或值域問(wèn)題，要先在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問(wèn)題，要

討論參數(shù)對(duì)最值的影響.

（2）要注意求函數(shù)y=Asin（ox+0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)。的符號(hào)，盡量化成。>0時(shí)的情況.

（3）三角函數(shù)的最值不一定在自變量區(qū)間的端點(diǎn)處取得，直接將兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值作為

最值是錯(cuò)誤的.

4.函數(shù)y=Asin（sx+。）的圖象及應(yīng)用

（1）由函數(shù)*sinx的圖象經(jīng)過(guò)變換得到y(tǒng)=Asin（3x+。）的圖象，如先伸縮，再平移時(shí)，要

把x前面的系數(shù)提取出來(lái).

（2）復(fù)合形式的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法涵數(shù)y=Asin（ox+0XA>O,3>0）的單調(diào)區(qū)間的

確定，基本思想是把3x+0看作一個(gè)整體.若3<0,要先根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

（3）求函數(shù)y=Asin（3X+<b）在xe[m,n]上的最值，可先求t=3x+6的范圍，再結(jié)合圖象得

出y=Asint的值域，即得原函數(shù)的最值.

5.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

（1）運(yùn)用公式時(shí)注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對(duì)性，要注意升次、

降次的靈活運(yùn)用，要注意“1”的各種變通.

（2）在（0,n）范圍內(nèi)，sin（a+B）=——所對(duì)應(yīng)的角a+B不是唯一的.

2

（3）在三角求值時(shí)，往往要估計(jì)角的范圍后再求值.

6.簡(jiǎn)單的三角恒等變換

（1）利用輔助角公式asinx+bcosx進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，一定要嚴(yán)格對(duì)照和、差公式，防止弄錯(cuò)輔

助角.

(2)計(jì)算形如y=sin(3x+<l>),xG[a,b]的函數(shù)最值時(shí)，不要將3x+6的范圍和x的范圍混

淆.

7.正弦定理、余弦定理

(1)在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其

他的邊和角時(shí);可能出現(xiàn)一解、兩解、無(wú)解的情況，所以要進(jìn)行分類討論.

(2)利用正、余弦定理解三角形時(shí)，要注意三角形內(nèi)角和定理對(duì)角的范圍的限制.

8.三角形的實(shí)際應(yīng)用

在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一

個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易弄錯(cuò).

五、不等式

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1.不等關(guān)系與不等式

(1)a>b=>ac>bc或a<b=ac<bc,當(dāng)cWO時(shí)不成立.

(2)a>bn_L<，或a<b=>!_>]_,當(dāng)abWO時(shí)不成立.

abab

(3)a>b=>an>bn,對(duì)于正數(shù)a、b才成立.

￡>l<=>a>b,對(duì)于正數(shù)a、b才成立.

(4)b

(5)注意不等式性質(zhì)中“=”與“0”的區(qū)別，如a>b,b>ca>c,反過(guò)來(lái)a>c,不

能推出a>b,b>c.

(6)作商法比較大小時(shí)，要注意兩式的符號(hào).

(7)求范圍問(wèn)題時(shí)，如果多次利用不等式，則可能擴(kuò)大變量的取值范圍.

2.不等式的解法及應(yīng)用

(1)對(duì)于不等式ax2+bx+c>0,求解時(shí)不要忘記討論a=0時(shí)的情況.

(2)當(dāng)△?)時(shí)，要注意區(qū)分ax2+bx+c>0(aW0)的解集為R還是空集.

(3)對(duì)于含參數(shù)的不等式要注意選好分類標(biāo)準(zhǔn)，避免盲目討論.

(4)注意用“根軸法”解整式不等式的注意事項(xiàng)及解分式不等式△包〉a(aWO)的一般思路

g(x)

----移項(xiàng)通分.

(5)求解含參數(shù)不等式的通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵”.

注意：求解完之后要寫上“綜上，原不等式的解集是……”；若按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)

取值分別說(shuō)明其解集;若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.

提醒：①解不等式就是求不等式的解集，最后務(wù)必用集合的形式表示；

②不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值.

(6)解決恒成立問(wèn)題一定要弄清誰(shuí)是主元，誰(shuí)是參數(shù).一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是主元,

求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù).

3.二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題

(1)畫二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域時(shí)，避免錯(cuò)誤的重要方法就是使二元一次不

等式(組)標(biāo)準(zhǔn)化.

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(2)通過(guò)求直線的截距一的最值間接的求z的最值時(shí)，要注意：當(dāng)b>0時(shí)，若截距b取最

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大值，則z也取最大值，若截距一取最小值，則z也取最小值；當(dāng)b<0時(shí)，若截距一取最

bh

大值，則z取最小值，若截距三取最小值，則z取最大值.

b

4.基本不等式及其應(yīng)用

（1）利用基本不等式求最值時(shí)應(yīng)注意“一正”“二定”“三相等”三個(gè)條件缺一不可.

（2）連續(xù)使用基本不等式求最值時(shí)要求每次等號(hào)成立的條件一致.

（3）對(duì)實(shí)際問(wèn)題，在審題和建模時(shí)一定不可忽略對(duì)目標(biāo)函數(shù)定義域的準(zhǔn)確挖掘.一般地，每

個(gè)表示實(shí)際意義的代數(shù)式必須為正，由此可得自變量的取值范圍，然后利用基本不等式求最

值.

六、平面向量

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1.平面向量的概念及線性運(yùn)算

（1）求解向量的概念問(wèn)題時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方

向；二是要考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性.

（2）在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得的向量是所求向量的相反向量，

導(dǎo)致錯(cuò)誤.

（3）兩個(gè)向量共線有方向相同、相反兩種情況，要考慮全面.

2.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

（1）要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)中包含向量大小和方向兩種信息.

（2）若a=（xi,y0,b=（X2,y2）,則a〃b的充要條件不能表示成且=衛(wèi),因?yàn)閄2,y2有可能等于0,

x2y2

所以應(yīng)該表示為xiy2-x2yi=0.

（3）使用平面向量基本定理時(shí)一定要注意兩個(gè)基底向量不共線.

3.平面向量的數(shù)量積

（1）對(duì)數(shù)量積的運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用.例如,a?b=a?c（a/0）不能得出b=c,因?yàn)閮蛇?/p>

不能同時(shí)約去向量a.

（2）若兩個(gè)向量的夾角為銳角，則有a?b>0,反之不成立;若兩個(gè)向量的夾角為鈍角，則有

a,b<0,反之不成立.

4.平面向量應(yīng)用舉例

（1）注意向量夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系，兩者并不等價(jià).

（2）注意向量共線和兩直線平行的關(guān)系.

（3）利用向量求解解析幾何中的平行與垂直問(wèn)題，可有效避免因斜率不存在使問(wèn)題漏解的

情況.

七、立體幾何

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1.三視圖與直觀圖

（1）三視圖中，正視圖和側(cè)視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長(zhǎng)，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬，

即“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊”.

（2）解決有關(guān)“斜二測(cè)畫法”問(wèn)題時(shí)，一般在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系，盡量運(yùn)用圖形

中原有的垂直直線或圖形的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，圖形的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，注意兩個(gè)圖形中關(guān)鍵

線段長(zhǎng)度的關(guān)系.

（3）若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實(shí)、虛

線的畫法.

（4）確定正視、側(cè)視、俯視的方向，觀察同一物體方向不同，所畫的三視圖也不同.

2.空間幾何體的表面積

（1）求組合體的表面積時(shí)，要注意各幾何體重疊部分的處理.

（2）底面是梯形的四棱柱側(cè)放時(shí)，容易和四棱臺(tái)混淆，在識(shí)別時(shí)要緊扣定義，以防出錯(cuò).

3.空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系

（1）正確理解異面直線“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在一個(gè)平面內(nèi)

（2）不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，一定不能丟掉“不共線”的條件.

（3）兩條異面直線所成角的范圍是（0°,90°].

4.直線、平面平行的判定與性質(zhì)

（1）在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

（2）在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線

線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序則恰好相反，

但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過(guò)于“模式化”.

（3）解題中注意符號(hào)語(yǔ)言的規(guī)范應(yīng)用.

5.直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

（1）在解決直線與平面垂直的問(wèn)題過(guò)程中，要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性

質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化.

（2）面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù).我們要作一個(gè)平面的一條垂線，通

常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面，在這個(gè)垂面中，作交線的垂線即可.

6.空間向量及其應(yīng)用

（1）求異面直線所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，

最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

（2）用向量方法證明直線a〃b,只需證明向量a=入b（入GR）即可.若用直線的方向向量與

平面的法向量垂直來(lái)證明線面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.

（3）利用向量求角，一定要注意將向量夾角轉(zhuǎn)化為各空間角.因?yàn)橄蛄繆A角與各空間角的

定義、范圍不同.

（4）求點(diǎn)到平面的距離，有時(shí)利用等體積法求解可能更方便.

（5）求二面角要根據(jù)圖形確定所求角是銳角還是鈍角.

八、解析幾何

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1.直線方程

（1）明確直線方程各種形式的適用條件:點(diǎn)斜式、斜截式方程適用于與x軸不垂直的直線；

兩點(diǎn)式方程不能表示垂直于x軸、y軸的直線；截距式方程不能表示垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)

的直線.

（2）截距不是距離，距離是非負(fù)值，而截距可正可負(fù)可為零，在求解與截距有關(guān)的問(wèn)題時(shí),

要注意討論截距是否為零.

（3）求直線方程時(shí)，若不能判斷直線是否存在斜率，則應(yīng)分類討論，即應(yīng)對(duì)斜率是否存在

加以討論.

（4）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的傾斜角為王，而不是不存在；當(dāng)直線與y軸垂直時(shí)，

2

直線的傾斜角為0,而不是n.

2.兩直線位置關(guān)系

（1）在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，首先分析直線的斜率是否存在.若兩條直線的斜率都存

在，則可根據(jù)判定定理判斷兩條直線的位置關(guān)系，若任一條直線的斜率不存在，則要單獨(dú)考

慮.

（2）在運(yùn)用兩平行直線間的距離公式01=忙幺時(shí)，一定要注意將兩方程中x,y的系數(shù)化

為相同的形式.

3.圓的方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程都含有三個(gè)獨(dú)立的參數(shù)，因此，確定一個(gè)圓的方程需要

三個(gè)獨(dú)立的條件.

（2）過(guò)圓外一定點(diǎn)求圓的切線，必有兩條.若只求出一條，除了考慮運(yùn)算過(guò)程是否正確外，

還應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況.

4.圓錐曲線的方程和性質(zhì)

（1）區(qū)分橢圓兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是比較標(biāo)準(zhǔn)方程中X2與丫2的分母大小.

（2）注意橢圓的范圍，若設(shè)橢圓￡+￡=]（a>b>0）點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x,y）,則IxIWa,這往

a2h2

往在求與點(diǎn)P有關(guān)的最值問(wèn)題中用到，也是容易被忽略而導(dǎo)致求最值錯(cuò)誤的原因.

（3）區(qū)分雙曲線中的a,b,c大小關(guān)系與橢圓中的a,b,c大小關(guān)系，在橢圓中a2=b?+

c2,而在雙曲線中c2=a?+b2.

（4）雙曲線的離心率ew（l,+8）,而橢圓的離心率ew（0,l）.

（5）雙曲線工（a>0,b>0）的漸近線方程是丫=±2乂，li_￡=l（a>0,b>0）的漸

a2h2aa2h2

近線方程是y=y=±^x.

b

（6）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)一般用待定系數(shù)法求出p值，但要先判斷拋物線是否為標(biāo)準(zhǔn)方

程，以及是哪一種標(biāo)準(zhǔn)方程.

（7）注意應(yīng)用拋物線的定義解決問(wèn)題.

（8）求軌跡方程時(shí)，要注意曲線上的點(diǎn)與方程的解是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.檢驗(yàn)可從以下兩個(gè)方

面進(jìn)行：一是方程的變形是否是同解變形；二是是否符合題目的實(shí)際意義.

（9）求點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程是不同的要求.求點(diǎn)的軌跡時(shí)，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方

程說(shuō)明點(diǎn)的軌跡的形狀、位置、大小等.

5.直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系

（1）直線與雙曲線交于一點(diǎn)時(shí)，其位置關(guān)系不一定相切，例如：當(dāng)直線與雙曲線的漸近線

平行時(shí)，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)，但不是相切；反之，當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí)，直線與雙

曲線僅有一個(gè)交點(diǎn).

（2）在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí)，要特別注意直線與拋物線的對(duì)稱軸平行的特殊情.

（3）若利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算問(wèn)題，在設(shè)直線斜率時(shí)要注意說(shuō)明斜率不存在的情況.

（4）對(duì)于中點(diǎn)弦問(wèn)題，可以利用“點(diǎn)差法”求解，但不要忘記驗(yàn)證△>0或說(shuō)明中點(diǎn)在曲線

內(nèi)部.

九、計(jì)數(shù)原理

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1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

(1)切實(shí)理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行.

(2)分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計(jì)分步的程序，即合

理分類，準(zhǔn)確分步.

(3)確定題目中是否有特殊條件限制.

2.排列與組合

(1)解排列與組合綜合題一般是先選后排，或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步，然后

利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理做最后處理.

(2)解受條件限制的組合題時(shí)，通常用直接法(合理分類)和間接法(排除法)來(lái)解決.分類標(biāo)準(zhǔn)

應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏現(xiàn)象.

(3)對(duì)于選擇題要謹(jǐn)慎處理，注意答案的不同等價(jià)形式.處理選擇題可采用排除法，錯(cuò)誤的

答案會(huì)有重復(fù)或遺漏現(xiàn)象.

3.二項(xiàng)式定理

(1)項(xiàng)的系數(shù)與n和a,b的值有關(guān)，二項(xiàng)式系數(shù)只與n有關(guān)，且大于0(n為項(xiàng)數(shù)).

(2)求二項(xiàng)式系數(shù)的和，可采用“賦值法”.

(3)關(guān)于組合式的證明，常采用“構(gòu)造法”一一構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問(wèn)題的兩種不同算法.

(4)展開(kāi)式中第k+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第k+1項(xiàng)的系數(shù)一般是不相同的.在具體求各項(xiàng)的

系數(shù)時(shí)，一般先確定符號(hào)，再確定數(shù)值；確定符號(hào)時(shí)對(duì)根式和指數(shù)的運(yùn)算要細(xì)心，以防出錯(cuò).

十、概率與統(tǒng)計(jì)

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1.隨機(jī)事件的概率

(1)正確認(rèn)識(shí)互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系：對(duì)立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，

但互斥事件不一定是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件.

(2)需準(zhǔn)確理解題意，特別留心“至多……”“至少……”"不少于……”等語(yǔ)句的含義.

2.古典概型

(1)古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性，一定要注意在計(jì)算基本事件總數(shù)和事件

包括的基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，它們是不是等可能的.

(2)概率的一般加法公式:P(AUB)=P(A)+P(B)—P(AAB).

提示：①公式的作用是求AUB的概率，當(dāng)AC1B=時(shí)，A、B互斥，此時(shí)P(ADB)=O,所

以P(AUB)=P(A)+P(B);②要計(jì)算P(AUB),需要求P(A)、P(B),更重要的是確定事件AH

B,并求其概率；③該公式可以看作一個(gè)方程，知三可求一.

3.幾何概型

(1)準(zhǔn)確把握幾何概型的“測(cè)度”是解題關(guān)鍵.

(2)幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果.

4.二項(xiàng)分布

(1)運(yùn)用公式P(AB)=P(A)P(B)時(shí)一定要注意公式成立的條件，只有當(dāng)事件A、B相互獨(dú)立時(shí)，

公式才成立.

（2）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且

任何一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率相等.注意恰好與至多（少）的關(guān)系，靈活運(yùn)用對(duì)立事件.

5.離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布

（1）會(huì)根據(jù)分布列的兩個(gè)性質(zhì)來(lái)檢驗(yàn)求得的分布列的正誤.

（2）對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，必須對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行具體分析，一般要將問(wèn)題中的隨機(jī)變量設(shè)出

來(lái)，再進(jìn)行分析，求出隨機(jī)變量的分布列，然后按定義計(jì)算出隨機(jī)變量的均值、方差.

（3）解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):①對(duì)稱軸x=口:②標(biāo)準(zhǔn)差。;③分布區(qū)間.利用對(duì)稱性可

求指定范圍內(nèi)的概率值；由U,。,分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3。特殊區(qū)

間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x=0.

6.隨機(jī)抽樣

（1）系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)：適用于元素個(gè)數(shù)很多且均衡的總體；各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等；

總體分組后，在起始部分抽樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

（2）進(jìn)行分層抽樣時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

①分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是層內(nèi)樣本的差異要小，兩

層之間的樣本差異要大，且互不重疊.

②為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，所有層中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同.

7.用樣本估計(jì)總體

（1）頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為處，每一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積表示樣本個(gè)體落在該區(qū)間內(nèi)

組距

的頻率.

（2）條形圖的縱坐標(biāo)為頻數(shù)或頻率，把直方圖視為條形圖是常見(jiàn)的錯(cuò)誤.

8.變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例

（1）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同.函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系.例如正方形

面積S與邊長(zhǎng)x之間的關(guān)系S=x2就是函數(shù)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)

系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系.例如商品的銷售額與廣告費(fèi)是相關(guān)關(guān)系.兩個(gè)變量

具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提.

（2）回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線

性時(shí)，求出的線性回歸方程才有實(shí)際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無(wú)意義，根據(jù)回歸

方程進(jìn)行預(yù)報(bào)，得出的僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，而不是真實(shí)發(fā)生的值.

十一、算法、復(fù)數(shù)、推理與證明

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1.算法

（1）注意起止框與處理框、判斷框與循環(huán)框的不同.

（2）注意條件結(jié)構(gòu)與循環(huán)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系：循環(huán)結(jié)構(gòu)具有重復(fù)性，條件結(jié)構(gòu)具有選擇性沒(méi)有重

復(fù)性，并且循環(huán)結(jié)構(gòu)中必定包含一個(gè)條件結(jié)構(gòu)，用于確定何時(shí)終止循環(huán)體.

（3）對(duì)條件結(jié)構(gòu)，無(wú)論判斷框中的條件是否成立，都只能執(zhí)行兩個(gè)分支中的一個(gè)，不能同

時(shí)時(shí)執(zhí)行兩個(gè)分支.

（4）循環(huán)語(yǔ)句有“直到型”與“當(dāng)型”兩種，要區(qū)別兩者的異同，循環(huán)語(yǔ)句主要解決需要

反復(fù)執(zhí)行的任務(wù)，要理解循環(huán)結(jié)構(gòu)中各變量的具體含義及變化規(guī)律.

（5）關(guān)于賦值語(yǔ)句，有以下幾點(diǎn)需要注意：

①賦值號(hào)左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，例如3=m是錯(cuò)誤的.

②賦值號(hào)左右不能對(duì)換，賦值語(yǔ)句是將賦值號(hào)右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號(hào)左邊的變量，例

如丫=乂，表示用x的值替代變量Y的原先的取值，不能改寫為x=Y.因?yàn)楹笳弑硎居肶的值替

代變量x的值.

③在一個(gè)賦值語(yǔ)句中只能給一個(gè)變量賦值，不能出現(xiàn)多個(gè).

（6）應(yīng)用循環(huán)結(jié)構(gòu)解決問(wèn)題時(shí).，一定耍注意兩個(gè)變量i和S的初始值及運(yùn)算變量到底是什

么，它遞增的值是多少，即“步長(zhǎng)”為多少，由輸出的結(jié)果來(lái)判斷對(duì)應(yīng)的判斷條件到底是什

么，明確哪兒是計(jì)數(shù)器，哪兒是賦值器，注意循環(huán)體內(nèi)各語(yǔ)句不能隨意顛倒，準(zhǔn)確判斷結(jié)束

循環(huán)的條件，必要時(shí)，要對(duì)“邊界”單獨(dú)檢驗(yàn).

2.復(fù)數(shù)

（1）判定復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實(shí)部是否有意義.

（2）對(duì)于復(fù)系數(shù)（系數(shù)不全為實(shí)數(shù)）的一元二次方程的求解，判別式不再成立.因此解此類

方程的解，一般都是將實(shí)根代入方程，用復(fù)數(shù)相等的條件進(jìn)行求解.

（3）兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小.

（4）利用復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di列方程時(shí)，注意a,b,c,dGR的前提條件.

（5）在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對(duì)應(yīng)向量的三角形法則的方向是應(yīng)注意的問(wèn)題，平

移往往和加法、減法相結(jié)合.

（6）注意不能把實(shí)數(shù)集中的所有運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來(lái).例如，若Z1，z2G

22

C,Z1+Z2=0,就不能推出Z1=Z2=O；z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立.

3.推理與證明

（1）解決類比問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先弄清所給問(wèn)題的實(shí)質(zhì)及已知結(jié)論成立的條件，再去類比另一類

問(wèn)題.

（2）解決歸納推理問(wèn)題，常因條件不足，了解不全面而致誤.應(yīng)由條件多列舉一些特殊情況

再進(jìn)行歸納.

（3）用分析法證明問(wèn)題時(shí)，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用"要證（欲證）……”“即

證……”"只需證……”等，逐步分析，直至一個(gè)明顯成立的結(jié)論.

（4）利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤，并用假設(shè)的命題進(jìn)行推理，如果沒(méi)有

用假設(shè)的命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的.

（5）用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)初始值no不一定是1.

（6）推證n=k+l時(shí)一定要用上n=k時(shí)的假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法.

十二、選考部分

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1.坐標(biāo)系與參數(shù)方程

（1）化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減

消去法、恒等式（三角或代數(shù)）消去法.在消參的過(guò)程中注意變量x,y取值范圍的一致性，必

須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定f（t）和g（t）（t為參數(shù)）的值域，從而確定x,y的取值范圍.

（2）當(dāng)一個(gè)參數(shù)方程中除已知變量x,y外，還有兩個(gè)或兩個(gè)以上的字母時(shí)，一定要認(rèn)清哪

個(gè)是參變量（參數(shù)），哪個(gè)是常數(shù)，弄清參數(shù)所代表的幾何意義及取值范圍是什么，認(rèn)真觀

察方程的表現(xiàn)形式以及題目本身隱含的一些限制條件，以便于尋找最佳化簡(jiǎn)途徑.

（3）化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)t,先確定一個(gè)關(guān)

系x=f(t)(y=g(t)),再代入普通方程F(x,y)=O,求得另一關(guān)系y=g(t)(x=f(t)),