2023年高考數(shù)學一輪復習 第8章幾何法求空間角

幾何法求空間角

【考試要求】以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點.理解異面直線所成角、直線

和平面所成角和二面角的定義，并會求值.

【知識梳理】

1.異面直線所成的角

(1)定義：已知兩條異面直線mb,經過空間任一點。分別作直線///a,b'//b,把直線

a1與/所成的銳魚(或直角)叫做異面直線。與b所成的角(或夾角).

(2)范圍：(0,.

2.直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的

角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是902；一條直線和平面平行或在平面內，則它

們所成的角是0°.

(2)范圍：2.

3.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①0G/；

②。AUa,OBU￡；

③。OBYI,則二面角a—/一B的平面角是NAO很

(3)二面角的平面角a的范圍：［0,兀］.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“義”)

⑴若直線/1,/2與同一個平面所成的角相等，則Zl〃/2.(X)

(2)異面直線所成角的范圍為［o,］］.(X)

(3)如果平面a〃平面ai,平面/〃平面/1,那么平面a與平面/所成的二面角和平面ai與平

面夕1所成的二面角相等或互補.(V)

兀

(4)線面角的范圍為0,2,二面角的范圍為［0,7t］,(V)

【教材改編題】

1.如圖所示，在正方體ABC。-AiBiCQi中，E,E分別是AB,的中點，則異面直線SC

與所成角的大小為()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案C

解析連接BrDi,AC（圖略），則BD〃EF,故/D/C即為所求的角或其補角.又BiA

=BiC=DiC,.?.△BiDiC為等邊三角形，：.ZDiBiC=60°.

2.如圖所示，48是。。的直徑，加，。。所在的平面，C是圓上一點，且/A8C=30。，PA

=A8,則直線PC和平面ABC所成角的正切值為.

答案2

解析因為以，平面A8C,所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影，所以/PC4即為尸C

11PA

和平面ABC所成的角.在RtZ^E4c中，因為4。=丞13=5丹1,所以tanNPCAuTT;nZ.

3.如圖，在正方體ABCD-A'B'CD'中：

①二面角。'一42一。的大小為.

②二面角A，—AB—D的大小為.

答案①45。②90。

解析①在正方體ABCD-A'B'CD'中，AB_L平面ADD'A',所以ABLAD',

ABYAD,因此/O'AD為二面角D'一AS—。的平面角.在RtZ\。'DA中，/D'AD=

45°,所以二面角。'一A8一。的大小為45。.

②因為平面ADD'A',所以AB_L4D,AB±AA',因此/A'為二面角4—AB-D的平

面角，又NA，AD=90°,所以二面角A，—AB—。的大小為90。.

題型一異面直線所成的角

例1（1）在長方體ABCD-AiSCQi中，AB=2C=1,441=小，則異面直線與Z）修所成

角的余弦值為（）

答案C

解析如圖，連接BOi,交于。，取的中點連接。M,0M.易知。為2。的中

點，所以ADx/ZOM,則為異面直線ADi與DB,所成角或其補角.因為在長方體

A8CD-4B1CQ1中，AB=BC^1,AAi=小,

ADi=yAD2+D/=2,

DM=yJA￡）2+@時2=坐,

DBi=成4序+AD?+8母=巾.

所以0M=1。1=1,OZ)=；Z)Bi=坐,

于是在中，由余弦定理,

12+

得cos/MO￡)=-----r-

2X1X竽5，

即異面直線ADi與。站所成角的余弦值為坐.

延伸探究若將本例⑴中題干條件“AA尸小”變?yōu)椤爱惷嬷本€42與所成角的余弦值

9,

為15”,試求A41的值?

解設A4i=r,'：AB=BC=1,

.*.AiCi=V2,AIB=BG=M產+1.

AiB2+Bd-A,C?

.*.cosZAiBCi=

2XA1BXBC1

產+1+產+1—29

—2X、產+1X、產+1-1。'

解得t=3,則A4i=3.

⑵（2022?衡水檢測）如圖，在圓錐SO中，AB,CD為底面圓的兩條直徑，ABHCD=O,且

ABLCD,SO=OB=3,SE=^SB,則異面直線SC與?！晁山堑恼兄禐椋ǎ?/p>

A寫B(tài)坐C.j|D野

答案D

解析如圖，過點S作跖〃。區(qū)交A8于點凡連接CR則NCSF（或其補角）為異面直線SC

與OE所成的角.

"：SE=jsB,:.SE=；BE.

又05=3,/.OF=^OB=1.

VSOXOC,S0=0C=3,

:.SC=3限.

,：S010F,；.SF=yjSO?+。尸=①.

'：OC±OF,CF=VTO.

在等腰△SCF中，

VTi

tanZCSF=

3^/23-

2

【教師備選】

(2022.鄭州模擬)如圖,在直三棱柱ABC—AIiG中，AC=BC=4,AC±BC,CCi=5,D,E

分別是AB,81cl的中點，則異面直線BE與CO所成的角的余弦值為()

答案C

解析如圖，取4G的中點孔連接。凡EF,CF.

易知EF是△ASG的中位線，

所以EF/ZAxBi且￡F=|AiBi.

又且。為AB的中點，

所以BD/ZArBi且BD=^AiBi,

所以EF//BD且EF=BD.

所以四邊形8OFE是平行四邊形，

所以DF//BE,

所以/cnb就是異面直線BE與cn所成的角或其補角.

因為AC=BC=4,AC1.BC,CCi=5,D,E,尸分別是AB,BiCi,4cl的中點,

所以CiF=^AiCi=2,

Bi￡=1BiCi=2且CD±AB.

由勾股定理得阡不=4g,

AC-BC_4X4

所以CD==2A/2.

AB~4y[2

由勾股定理得CF=M為，DF=BE=p.

在△CDF中，由余弦定理得

（恒）2+（2地尸的）2—病

cosZCDF—

2X@X2^―29-

思維升華求異面直線所成的角的三個步驟

(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角.

(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角或其補角.

(3)三求：解三角形，求出所作的角.

跟蹤訓練1(1)(2021?全國乙卷)在正方體ABC。一A1B1C1D1中，尸為Bid的中點，則直線尸2

與A0所成的角為()

A71c兀一兀c兀

A，2B.2C4D.g

答案D

解析方法一如圖，連接CiP,因為ABC。一A/iGG是正方體，且尸為修。的中點，所

以QPIBiDi,又CiPlBBi,所以GPJ_平面818P.又BPu平面BXBP,所以CiPJ_8P.連接

BCi,則AD1//BC1,所以/PBCi為直線PB與AA所成的角.設正方體ABCD-A^BiCiDi

的棱長為2,則在RtZ\GPB中，CiP=3BiDi=?BCi=2p,sinZPBCi=^=1,

IT

所以/尸3。1=至

方法二

如圖所示，連接BG,AiB,AiP,PCi,則易知ADi〃BCi,所以直線網與Ad所成的角等

于直線與所成的角.根據(jù)尸為正方形AiSCYDi的對角線81。的中點，易知4,P,

G三點共線，且尸為4G的中點.易知42=8。1=小。1,所以為等邊三角形，所

JT1JT

以NAbBCi=W，又尸為4G的中點，所以可得

(2)如圖，已知圓柱的軸截面AB81A1是正方形，C是圓柱下底面弧的中點，G是圓柱上底

面弧AS的中點，那么異面直線AG與BC所成角的正切值為.

答案小

解析如圖，取圓柱下底面弧的另一中點。，連接Ci。，AD,

因為C是圓柱下底面弧A8的中點，

所以AD〃BC,

所以直線AG與所成的角等于異面直線AG與2C所成的角.

因為G是圓柱上底面弧小囪的中點，

所以圓柱下底面，所以CQLAD

因為圓柱的軸截面AB314是正方形，

所以CiD=@AD,

所以直線4cl與AD所成角的正切值為黃，

所以異面直線ACt與BC所成角的正切值為也.

題型二直線與平面所成的角

例2如圖，在四棱錐P—ABC。中，.平面4BCD,AB//CD,CD=4,PA=AB=BC=

AO=2,。為棱PC上的一點，且尸0=gpC.

(1)證明：平面。2。_L平面ABC。；

(2)求直線QD與平面PBC所成角的正弦值.

⑴證明連接AC,交8。于點。，因為4B〃C￡),

所以△A8OsZ\cz)O,

又AB—^CD,

所以AO—^AC.

連接QO,由PQ=\PC,

得QO//PA,

由E4_L平面A8CD,

得QO_L平面ABCD,

又QOU平面QBD,所以平面QB￡)_L平面ABCD.

(2)解過。作平面P8C的垂線，垂足為H,連接H。,

設。。與平面PBC所成的角為。，則/。?！?0.

設DH=h,

V三棱錐Q—5CQ=V三棱錐D—BCQ,

在四邊形ABCZ)中，AB=BC=AD=2,CD=4,可得8〃=2小，NCBD=安

所以SABCD=1X2X2^3=2-73.

由(1)得0Q=|E4=T，則。。70斤十西二^^^十電號.

在△P8C中，PB=2y[2,PC=4,由余弦定理得cos/PC2=*則sin/PCB=、?，所以SAPCB

=92義4義坐=市，所以SABCQ="^'.所以gx2小義向巾Xh,

解傳。一7.

濟”..DH3^21

所以sin8—QD一]4,

即直線Q。與平面P8C所成角的正弦值為唔

【教師備選】

如圖，在四棱錐產一ABC。中，底面A8CD為正方形，PD=BC=\,二面角P—C￡)—A為直

二面角.

(1)若E為線段PC的中點，求證：DE1PB；

(2)若PC=事,求PC與平面E4B所成角的正弦值.

⑴證明：尸。=OC=1,且E為PC的中點，

：.DE±PC,

又：二面角P-CD-A為直二面角，

平面PCZ)_L平面ABCD,

VBCXCD,平面peon平面ABa>=a>,

.?.8C_L平面PCD,

J.BCLDE.

；BCu平面PBC,PCu平面PBC,BCCPC=C,

.,.OE_L平面PBC,

又平面PBC,

：.DE±PB.

⑵解若PC=小,

由余弦定理可求得/PDC=120。，

過點P作尸”，C。的延長線于H,如圖，

可得PH_L平面ABCD,

在RtAPHD中，

西

PH=PDsm60°=看，

過X點作HG〃/M,且7/G與BA的延長線交于G點.

可得HGLAB,從而PG1AB.

._________

在RtZVWG中，PG^\]PH2+HG1=^,

.v_lcPW_ixix^3_^i

??vp-ABC——3A2A2-12,

設點C到平面RW的距離為h,

則三棱錐C-PAB的體積

V=gsAABp4=gxgx*h=興,

解得〃=常，設尸C與平面所成的角為仇

.a__h__亞

sin0pc7，

即PC與平面PAB所成角的正弦值為拳.

思維升華求線面南的三個步驟

一作(找)角，二證明，三計算，其中作(找)角是關鍵，先找出斜線在平面上的射影，關鍵是作

垂線，找垂尺，然后把線面角轉化到三角形中求解.

跟蹤訓練2(1)如圖,在直三棱柱ABC-AiBxCi中，。為AC的中點.若AB=BC=BB1,ZABC

=會則CG與平面BCiD所成角的正弦值為

姣安^1.

口木3

解析過點C作于點H,如圖，

*?'三棱柱ABC-A\B\C\為直三棱柱，

；.CG_L平面ABC.

「BDU平面ABC,

CCilBD.

'：AB=BC,。為AC的中點，

J.BDLAC,

XCC1AAC=C,CC1,ACU平面ACG,

.?.8。_1平面4(73,

：CHU平面ACG,

：.BD±CH.

又O/_LG。，GDCBD=D,C\D,BOU平面BQ。，

；.CH_L平面BCiD,

ZCCiD為CG與平面BCiD所成的角,

設AB=2a,

則CD=pa,GD=W，

CDy12a

sinXCCiD—

CiD,a3

(2)(2022?貴溪市實驗中學模擬)如圖，在長方體ABC。一AiBiCQi中，AB=AD=1,AAt=2,

點P為。。的中點.

①求證：直線平面B4C；

②求直線BDi與平面ABCD所成角的正切值.

①證明如圖，設AC和交于點。，則。為的中點,

連接P。，又：尸是。5的中點，故PO〃B?,

又；P0u平面B4C,8。代平面R1C,

直線3d〃平面PAC.

②解在長方體ABC￡)-AiBiCiDi中,

平面ABC。，

ZDiBD是直線Bd與平面ABCD所成的角，

=BD^ylAB2+AD2=yf2,

**?tan/DiBD=^^,

直線BDi與平面ABCD所成角的正切值為也.

題型三二面角

例3(2022?鄭州模擬)如圖，已知矩形ABCO所在的平面垂直于直角梯形ABPE所在的平面,

且EP=小，BP=2,AO=AE=1,AE±EP,AE//BP,F,G分別是8C,BP的中點.

⑴求證：平面AFG〃平面PEC；

(2)求二面角D-BE-A的余弦值.

⑴證明VF,G分別是BC,8P的中點，

J.FG//CP,且BGC平面尸EC,CPu平面PEC,

則FG〃平面PEC,

BG=PG=AE=1,3.AE//BP,AE1EP,

：.四邊形AEPG是矩形，則EP//AG,且AGC平面PEC,EPu平面PEC,

則AG〃平面PEC,

又GACGF=G,GA,GFc^ffiAFG,

故平面AFG〃平面PEC.

(2)解：平面48CD_L平面ABPE,

；.AQ_L平面ABPE,則AO_LBE,過A作于M,連接。M,如圖.

XAMClAD=A,AM,AOu平面AMD,

則BE_L平面AMD,

又DMu平面AMD,

則BE±DM,

則ZAMD即為二面角D-BE-A的平面角，

由(1)知

則AB=\I4)2+12=2,

ZABP=60°,ZBAE=120°,

BE=y]EP2+BP2=^/(^3)2+22=幣,

在△ABE中，由面積公式知

1xox近

AE-ABsinZBAE1z2A/21

AA/r--------------------=---——

在RtAAMD中,

叵

因此cos/AMD=盥=^=曙

7

即二面角D-BE-A的余弦值為曙.

【教師備選】

如圖，在正方體ABC。一A/1C1A中，點E在線段CA上，CE=2EA，點/為線段上的

動點，AF=IFB,且〃平面ADAAi.

⑴求力的值；

(2)求二面角E-DF-C的余弦值.

解(1)過E作EG，。］。于G,連接GA,如圖.

則EG〃C。，而CO〃物，所以EG〃曲.

因為EF〃平面ADDiAr,￡7七平面EFAG,

平面EGAPC平面A￡)Z)iAi=GA,所以EF〃GA,

所以四邊形EGAF是平行四邊形，所以GE=AF.

因為CE=2EDi,

GE_DrE__L

^^DC~DiC~y

AJ714/711

所以而=T即麗=子所以幾=了

^,過萬作即,⑺于//,過X作于M,連接EM,如圖.

因為平面CZ)OiCi_L平面ABC。，EHLCD,

所以E”_L平面A8CD

因為OFu平面ABCD,所以EHLDF.

XHMLDF,HMCEH=H,

HM,EHu平面EMH,

所以_L平面EMH.

因為EMu平面EMH,所以DF1EM.

所以NEA汨是二面角￡一。尸一。的平面角.

設正方體的棱長為3a,則EH=2a.

在RtZXDHF中，DH=a,HF=3a,DF=?a,

DHHFgX3a__3

所以HM=DF=VTba=Vwa-

在Rt^EHM中，求得EM=

所以cos/EM”器號,

3

所以二面角E—DF—C的余弦值為

思維升華作二面角的平面角的方法

作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個半平面內找一點作另一個半平

面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可

得二面角的平面角.

跟蹤訓練3如圖，在四棱錐P—ABCZ)中，四邊形A2CO是邊長為2的正方形，4PBe為

正三角形，M,N分別為PD,BC的中點，PN±AB.

(1)求三棱錐P—AMN的體積；

(2)求二面角M-AN-D的正切值.

解(1)：PB=PC,

：.PN±BC,

又,：PNLAB,ABdBC=B,

AB,BCc^WABCD,

PALL平面ABC。，

?：AB=BC=PB=PC=2,

：.PN=e

M為PD的中點，Vp-AMN—VD-AMN—VM-ADN,

Vp-AMN=gVp—ADN=9Vp—ABCD=±xgX4X小=坐.

(2)如圖，取ON的中點E,連接ME,

,：M,E分別為PD,0V的中點，

：.ME//PN,

：PALL平面ABC。，

平面A8CD,

過E作EQ_LAN,連接M。，

又MELAN,EQCME=E,EQ,MEu平面

；.AN_L平面MEQ,

：.AN±MQ,

/MQE即為二面角M—AN—。的平面角，

ME

tanXMQE=~Q^,

?：PN=?

?：AN=DN=gA￡>=2,

V15

/.tanXMQE=4.

即該二面角的正切值為爭.

課時精練

1.（2020?新高考全國I）日辱是中國古代用來測定時間的儀器，利用與唇面垂直的辱針投射到

唇面的影子來測定時間.把地球看成一個球（球心記為。），地球上一點A的緯度是指04與

地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與垂直的平面.在點A處放置

一個日辱，若辱面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40。，則號針與點A處的水平

面所成角為（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

答案B

解析如圖所示，。。為赤道平面，。。1為A點處的日感面所在的平面，

由點A處的緯度為北緯40?？芍?OAOi=40。，

又點A處的水平面與。4垂直，唇針AC與。。1所在的面垂直，

則看針AC與水平面所成角為40°.

2.如圖，圓。所在平面，是圓。的直徑，C是圓周上一點，其中AC=3,B4=4,BC

=5,則PB與平面B4C所成角的正弦值為（）

答案A

解析根據(jù)題意，AB是圓。的直徑，C是圓周上一點，則BCLAC,

又由圓。所在平面，則B4L8C,

因為E4CAC=A,PA,ACU平面RIC,

則BCJ_平面B4C,故NBPC是尸8與平面81c所成的角，在△AC8中，AC=3,BC=5,AC_LBC,

則AB=y]AC2+BC2=^34,

在△P42中，42=肉，E4=4,PALAB,

貝ij尸8=乖否而=5陋，

在Rt/XPCB中，BC=5,PB=5^2,

則sin/BPC=1|=坐

3.（2022?哈爾濱模擬）已知在直三棱柱ABC—4B1G中，ZABC=120°,AB=2,BC=CCi=

1,則異面直線AB與BG所成角的余弦值為（）

V10

-5

答案C

解析如圖所示，補成直四棱柱ABC。一AbBiCQi,

則所求角為/BCQ,

,；BG=?BZ）=^/22+1-2X2X1Xcos60°=^3,CrD=ABi=y[5,易得CQ2=8￡）2+8C1

即BCi±BD,

因此cos/BGD=舞=來=粵

y/55

4.在正四面體P-ABC中，點M是棱BC上的動點（包含端點），記異面直線與所成

的角為a,直線PM與平面ABC所成的角為夕，則（）

A.a>/3B.a<p

C.D.aW0

答案c

解析根據(jù)題意，如圖，作P。，底面ABC,連接。M,

則/PMO是直線PM■與平面A8C所成的角，

即/PMO=￡,

過點M作/平行于A8,過點P作PNJJ,與/交于點N,/PMN是直線PM與所成的角，

即/PMN=a,在Rt△尸OM和RtZXPMN中，有PN'PO,貝Isina》sin￡,則a2￡.

5.在正方體ABC。一AiBiGA中，下列說法不正確的是（）

A.AiCi±BD

B.AiC±BD

C.BiC與3。所成的角為60。

D.AG與平面ABC。所成的角為45°

答案D

解析對于A,如圖，

由正方體性質可知

Bi￡)i_LAiCi,

又因為BBj/DDi,

且BBi=DDi,

所以四邊形BBiDiD為平行四邊形，

所以BiDJ/BD,

所以故選項A正確；

對于B,如圖，

由正方體ABCD—AiBiGDi可得CG_L平面A2C￡),

BDU平面ABCD,

所以CC」B￡>,

由選項A可知4G_LBD,又ACmCG=G,

A1C1,CQU平面4GC,

所以8C平面ACC,因為4CU平面ACC,

所以8OL4C,故選項B正確；

對于C,如圖，

由選項A可知2?！ㄐ?。1,

所以/CBid為直線81c與直線2。所成的角，

由正方體性質可知為正三角形，

所以NCBi￡)i=60。，故選項C正確；

對于D,如圖，

由CC」平面ABCD,

所以/GAC為直線AG與平面ABC。所成的角，

在正方體A8CD—A181GQ1中，AC=pCG,

,CCiV2

tanCAC14。?，

所以NCAGW45。，

故選項D錯誤.

6.如圖，已知圓錐的頂點為S,底面圓。的兩條直徑分別為A2和C￡>,且A8LC。，若平面

SAOC平面S2C=/,以下四個結論中正確的是()

①〃平面SBC；

②/〃Q

③若E是底面圓周上的動點，則的最大面積等于ASAB的面積；

@l與平面SCD所成的角為45°.

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

答案B

解析已知圓錐的頂點為S,底面圓。的兩條直徑分別為AB和C。，且

所以四邊形ACBD是正方形.

所以AD〃BC,

又BCU平面SBC,AIM平面SBC,

所以A?！ㄆ矫鍿BC,①正確；

因為AD〃平面SBC,平面S4OC平面SBC=/,AOU平面SAD,

所以/〃A。，②正確；

若￡是底面圓周上的動點，當/AS8W90。時，

△SAE的最大面積等于ASAB的面積，

當/ASB>90。時，

△S4E的最大面積等于兩條母線的夾角為90。的截面三角形的面積，③不正確；

因為1//AD,/與平面SCD所成的角就是與平面SCO所成的角，

即/A￡>0=45。，④正確.

4

7.在正四棱錐尸一ABC。中，底面邊長為2,四棱錐的體積為則二面角尸一AB—C的大小

為.

答案45°

解析如圖，連接AC,8。交于點E,

依題意，PE_L平面ABCD,

取的中點凡連接尸E,FP,易知AB±PF,

則/PEE為二面角P—AB—C的平面角，

14

又VP-ABCD^X2X2XPE^,

故PE=1,:.PE=EF=1,

...△PEF為等腰直角三角形，

；.NPFE=45。.

8.在三棱錐S—48C中，△ABC是邊長為2的正三角形，S4_L平面ABC,且&4=2,則AB

與平面SBC所成角的正弦值為.

姣案

解析如圖，取8c的中點。，連接A。，SD,過A作AOJ_S。，交SO于點。，連接08,

?.?在三棱錐S—ABC中，ZkABC是邊長為2的正三角形，

SA_L平面ABC,且SA=2,

：.AD±BC,SDLBC,SALAD,

'：ADHSD=D,AD,SDu平面SA。，

.?.8C_L平面SAD,

：.BC±AO,

AA=,4—1=3,SD=y/4+4—l=巾,

\'jxSAXAD=^XSDXAO,

.,A0=耳1=率，

y/7/

'：AO±SD,SDCBC=D,SD,8Cu平面SBC,

平面SBC,

：.2480是AB與平面SBC所成的角，

：.AB與平面SBC所成角的正弦值為

.八吁也—-Z__恒

sinAB27,

9.如圖，己知在三棱錐A中，平面AB￡)_L平面ABC,AB±AD,BC±AC,BD=3,AD

=1,AC=BC,M為線段A8的中點.

(1)求證：8CJ_平面AC。；

(2)求異面直線MD與BC所成角的余弦值；

(3)求直線MD與平面ACD所成角的余弦值.

⑴證明：平面A3。_L平面ABC,平面AB。。平面ABC=A8,ADLAB,AOu平面ABD,

.?.AO_L平面ABC,：.AD1BC,

XACXBC,ADHAC^A,AD,ACu平面AC。，

；.8C_L平面ACD

(2)解如圖，取AC的中點N,連接MN,DN,

是AB的中點，

J.MN//BC,

.../NMD(或其補角)為異面直線MO與8c所成的角，

由⑴知BC_L平面AC。，

平面AC。，MN±ND,

；BD=3,A￡)=1,ABLAD,

：.AB=2y[2,

又：AC=BC,ACLBC,；.AC=BC=2,

在RtAMND中，MN=^BC=1,

MD=7AD?+AM2=事,

MN小

：.cosZNMD=礪=拳

即異面直線MD與BC所成角的余弦值為竽.

(3)解由⑵知/MDN為直線與平面AC。所成的角，

在RtAMND中,ND=y)MD2-MN2,

.八八―膽—亞—亞

..cos/MDN-MD-小-3,

即直線MD與平面ACD所成角的余弦值為坐.

10.如圖，在三棱錐4一BCD中，△A3。為等邊三角形，BC=BD,平面A2￡)_L平面BCD且

BA±BC.

⑴求證：BC±AD；

(2)求二面角A-CD-B的正切值.

⑴證明如圖，取2。的中點E,連接AE,

則AE_L8D,因為平面A3。_L平面BCD,平面4BOC平面8CO=8。，AEU平面ABD,

則AEJ_平面BCD,

所以AE_LBC,

又因為AB_LBC,ABPfAE^A,

AB,A￡U平面A3。，

則2C_L平面AB。，因為ADU平面AB。，

貝ijBCLAD.

(2)解如圖，過點E作EFLCO交CD于點E連接AF,

由(1)知AE_LC￡),AECEF=E,AE,AEF,

所以CD,平面AEF,

因為Aft平面AEP,

則CD1.AF,

所以NAPE為二面角A-CD-B的平面角.

因為△A3。為等邊三角形，設BD=2,

則AE=6,EF=^,

則tan/AFE=^=]=加.

2

所以二面角A—CD—B的正切值為加.

11.在長方體ABC。一AiBiCQi中，底面ABC。是正方形，異面直線AB與AC所成角的大

小為全則該長方體的側面積與表面積的比值是（）

1^2B4Z^2

2AX.7B-4

c8-產4一巾

D~T~

答案C

解析如圖，連接AC,

因為AB//AxBx,

所以/BMC是異面直線A8與4c所成的角,

即NBiAiC=t

設48=尤，AA\—y,

222

在△AiSC中，&1(^=記+丫2,A1C=2x+y,

■?+2/+>(V+y2)1

則cos/即4/=

2x-yj2x1+yzT

整理得

從而該長方體的側面積Si=4xy=4A/2x2,

該長方體的表面積

S=4xy+2X2=（46+Z）%2,

,,5i4V2%28—2-^2

故￡=（4娘+2）/=7.

12.已知正四面體A—8C。的棱長為2,點E是A。的中點，點F在線段8c上，則下面四

個命題中：

@BF^BC,EF//AC-,

②'VFGBC,EFW小;

@BF^BC,EF與40不垂直；

④PFGBC,直線EF與平面夾角正弦的最大值為葉.

所有不正確的命題序號為.

答案①③

解析如圖，

對X/BGBC,EF與AC異面或相交，故①錯誤；

當點尸為3C的中點時，EF為異面直線A。和8C的公垂線段，此時EF取得最小值，當F

與B,C重合時，EF取得最大值小，故②正確；

因為AO_LBE,AD±CE,BECCE=E,所以A￡)_L平面3EC,故4O_LEP,故③錯誤；

因為E到平面88的距離為定值d,設直線EF與平面BCD的夾角為0,則sin。=條,當F

為BC的中點時，易知EF為異面直線A。和BC的公垂線段，此時EF取得最小值，sin。=條

有最大值，此時。尸=小，DE=1,故EF=N3—l=小,在RtZ\EFD中，EFDE=DFd,解

得1=幸，所以sin6=4=噂，故④正確.

3￡Lr3

13.在三棱錐S—ABC中，底面AABC是邊長為3的等邊三角形，SA=y[3,SB=2小,二面

角S-AB-C的大小為60°,則此三棱錐的外接球的表面積為.

答案13兀

解析根據(jù)題意，SA2+A序=S82,

所以SAJ_A8,取A8的中點為。，S3的中點為M,連接M。，則MO〃SA,

AfD=；SA=雪,MDLAB,

△ABC是正三角形，CD±AB,

/MOC是二面角S—AB—C的平面角，

ZMDC=60°,

ZSAB=90°,M是△SAB的外心，

設N在CD上，CN=2ND,N是△ABC的外心，

設過M與平面SA8垂直的直線與過N垂直于平面ABC的直線交于點O,

則。是三棱錐S-A2C外接球的球心.

連接。2,BN,

CN=BN=^X3=$,〃N=坐，

又DM=^,

在四邊形MONO中，ON=W，外接球半徑為

r=OB=NBN?+NO2=-\J3+:=呼,

表面積為S=4兀*卜單)2=13兀

14.如圖，在矩形A3CD中，AB=2,BC=1,石是CD的中點，將△ADE沿AE折起，使折

起后平面ADE，平面ABCE,則異面直線AE和CD所成角的余弦值為.

答案坐

解析由題意，取A8的中點E連接CEDF,

則CF//AE,可得直線4E和C。所成的角為乙DCF（或其補角），

如圖，

取AE的中點

連接DM,MF,MC,

"：AD^DE,

J.DMLAE,

又平面AZ）E_L,平面4BCE,平面