2023-2024學(xué)年安徽省皖江名校聯(lián)考高二（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年安徽省皖江名校聯(lián)考高二(上)開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知集合時(shí)={%|%2一2%—8<0},%={—3,—2,0,2,3},則時(shí)07=()

A.{x|-2<x<4}B.{-2,0,2)

C.[-3,-2,0}D.[0,2,3)

2.已知復(fù)數(shù)z=(m+1)+(m-l)i(7nG/?)+(m-l)i(meR)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z(3-i)在

復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知向量五=(尢2),1=(2,4)，且0-初/方，則4=()

A.-2B.-1C.1D.2

3o

4.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(2,4)在角a終邊上，則sin(qaO+cos(-a)=()

B.CM1AB

C.CM1CD

D.CM1MN

6.2013年7月18IEI,第31屆全國(guó)青少年愛(ài)國(guó)主義讀書(shū)教育活動(dòng)啟動(dòng)，某校為了迎接此次活動(dòng),

對(duì)本校高一高二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了前期閱讀時(shí)間抽查，得到日閱讀時(shí)間(單位：分鐘)的統(tǒng)計(jì)表

如下:

年級(jí)抽查人數(shù)平均時(shí)間方差

高一40504

【用二60406

則估計(jì)兩個(gè)年級(jí)學(xué)生日閱讀時(shí)間的方差為()

A.52B.29.2C.10D.6.4

7.己知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a=log43,b=log75,1+logsc=則（）

A.a<c<ba<b<cC.c<a<bD.b<c<a

8.已知在△力BC中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,4=*點(diǎn)Q在邊BC上，且滿足而=

“微者+科號(hào)）（'>°）'"Q=則b+16c的最小值是，）

A.32B.64C.100D.120

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.CP/是居民消費(fèi)價(jià)格即消費(fèi)價(jià)格指數(shù)，是反映居民家庭一般所購(gòu)買的消費(fèi)品和服務(wù)項(xiàng)目?jī)r(jià)

格水平變動(dòng)的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo).如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2022年5月至2023年5月全國(guó)居民消費(fèi)

價(jià)格漲跌幅統(tǒng)計(jì)圖，其中同比是與上年同期對(duì)比（如今年5月與上年5月），側(cè)重?cái)?shù)據(jù)長(zhǎng)期趨勢(shì)，

環(huán)比是與上月對(duì)比（如今年5月與4月），側(cè)重?cái)?shù)據(jù)短期變化，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.2022年5月至2023年5月同比漲幅極差為2.7%

B.2023年1月至5月同比漲幅的75%分位數(shù)為1.0%

C.從環(huán)比看，CP/由2023年2月至4月開(kāi)始持續(xù)上漲

D.隨機(jī)從2023年1月至5月的同比數(shù)據(jù)選擇兩個(gè)研究，則選取4月和5月的概率為|

10.已知函數(shù)/（%）=5皿3+9）（3>0,0<0<今的部分圖象如圖所示，其中B,C兩點(diǎn)縱

坐標(biāo)相等，則（）

A./(x)=sin(2x+1)

B./(x)=sin(2x+今)

C.f(x)的圖象向右平移看個(gè)單位長(zhǎng)度可得一個(gè)奇函數(shù)的圖象

D.f(x)的圖象向左平移居個(gè)單位長(zhǎng)度可得一個(gè)偶函數(shù)的圖象

11.四棱錐S-ABC。中，SA1底面4BCD,AD=4BC,AD//BC,AC,BD的交點(diǎn)為P,點(diǎn)Q在

SD上且DQ=4QS,三棱錐S-ABC和三棱錐Q-AC。的體積分別為匕，/，則()

A.PQ//SBB.CQ〃平面S4BC.匕>V2D.匕=盤(pán)彩

16

12.已知x=既寓胃普,y=(1+tan26°)(l+tan27°),則()

A.%=(1+tanl8°)(l+tanl9°)B.%>y

C.xy=4D.%+y>4

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

3

13.復(fù)數(shù)z=」-,則|z|=____.

4+3i

14.已知正四棱臺(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2和8,側(cè)面梯形的高為5,則該四棱臺(tái)的體積為

15.隨著國(guó)家“雙碳”(碳達(dá)峰與碳中和的簡(jiǎn)稱)目標(biāo)的提出，我國(guó)風(fēng)電發(fā)展駛?cè)肟燔嚨溃?/p>

地、海上的風(fēng)機(jī)(如下左圖，頂端外形是大風(fēng)車，又稱風(fēng)力發(fā)電大風(fēng)車)紛紛“拔地而起”，

成為保護(hù)環(huán)境、輸送綠色能源的“風(fēng)中使者”.如圖，一學(xué)習(xí)興趣小組為了測(cè)量某風(fēng)力發(fā)電大

風(fēng)車4B的高度，在點(diǎn)4正東方點(diǎn)C處測(cè)得風(fēng)車頂端點(diǎn)B的仰角為30。，在點(diǎn)4南偏西30。方向的

點(diǎn)。處測(cè)得點(diǎn)B的仰角為60。，且C,。相距竺守米，其中4B工平面4。。，貝IJ4B的高度為

米.

16.若f(x)的定義域?yàn)椋?,1］,對(duì)于0<X1<x2<l,都有/(/)</(x2),且滿足居)=1/(x),

/(I-x)=1-f(x),則稱f(x)為康托爾函數(shù).當(dāng)x6［另］時(shí)，康托爾函數(shù)f(x)=；

，(2023)=---------'

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

設(shè)平面向量?jī)?yōu)方滿足|||=1,K=(7-3,1)-(2a+b)-(a-b)=-3,

⑴求|日-1|;

(2)求向量方在向量石上的投影向量(用坐標(biāo)表示).

18.(本小題12.0分)

已知在△A8C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足—g=

(I)求角c；

(2)若sim4=c=5V-2<b,求44BC的面積.

19.(本小題12.0分)

2023年7月11日第64屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽結(jié)果公布，中國(guó)隊(duì)6名參賽選手全員金牌，再奪

第一.某班級(jí)為了選拔數(shù)學(xué)競(jìng)賽選手，舉行初次選拔考試，共有排好順序的兩道解答題.規(guī)定全

部答對(duì)者，通過(guò)選拔考試,設(shè)甲答對(duì)第一道和第二道題的概率分別為:，|,乙答對(duì)第一道和第

二道題的概率分別為今|,甲，乙相互獨(dú)立解題，答對(duì)與否互不影響.

(1)求甲，乙都通過(guò)考試的概率；

(2)記事件E="甲、乙共答對(duì)兩道題”，求P(E).

20.(本小題12.0分)

如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，0是圓錐底面的圓心，P為。。的中點(diǎn)，△ABC是底面的內(nèi)接正三角形.

(1)若底面圓的半徑為2,直線PB與底面的夾角為45。，求圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積;

(2)若P4J.PB,證明：平面PBC1平面R4B.

21.(本小題12.0分)

如圖所示，ZkABC中，4Q為邊BC的中線，~AP=tAQ>~MP=xWV,AM=XAB,AN=fiAC，

其中t>0,x>0.A>0>〃>0.

(1)當(dāng)t=g時(shí)，用向量而，而表示存；

(2)證明：:"為定值.

22.(本小題12.0分)

已知/(%)=2y/~3cosa)xsina)x—cos2o)x+sin4tox+cos2a)xsin2a)x(a)>0).

⑴若3=1,且5照+各=6,ae^,Tt),求cos(2aY)的值；

(2)若函數(shù)y=在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，求3的取值范圍.

1ZZ

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：由/—2x—8<0,得一2<x<4,

則M=(x\x2-2x—8<0}={x|-2<%<4},

又N={-3,-2,0,2,3},

得MCN={0,2,3}.

故選：D.

先化簡(jiǎn)集合M,再由集合的交集運(yùn)算得解.

本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：z=(m+1)+(m-l)i(7nGR)為純虛數(shù)，

fm+1=0

???m=—1,

Im—1H0

???z=-2i,

z(3—i)———2i(3一i)———2—6i,

???z(3-i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-2,-6),在第三象限.

故選：C.

根據(jù)z是純虛數(shù)求出山的值，求出z,從而化簡(jiǎn)z(3-i),求出其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出其所在的

象限.

本題考查了純虛數(shù)的定義，考查復(fù)數(shù)的幾何意義以及轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解:2=(九2),方=(2,4)，

則五一方=(4一2,—2)，

(a-b)//b，

則4(2-2)=-4,解得2=1.

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量共線的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查平面向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解:因?yàn)辄c(diǎn)M(2,4)在角a終邊上，

所以可得tana=2,

所以sin3(；r-a)+cos3(—a)_sin3a+cos3a_tan3a+l_8+1_3

sin3?！?cos3asin%—2cos3atan3a-28-22

故選:B.

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義可求得tana的值，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)

系式即可求解.

本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中

的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：由題意得正方體卡片紙盒如圖所示，H-----

由正方體的結(jié)構(gòu)特征知，CM1EF,選項(xiàng)4正確；i

CM//AB,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；'

CM與C。的夾角為60。，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

CM與MN的夾角也為60。，選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：A.

把幾何圖形折成正方體，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征判斷即可.

本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征應(yīng)用問(wèn)題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：高一高二日閱讀時(shí)間的平均數(shù)為1=50x器+40x黑=44,

所以估計(jì)兩個(gè)年級(jí)學(xué)生日閱讀時(shí)間的方差為s2=[4+(50-44)2]x器+[6+(40—44)2]x

6°-292

100一

故選:B.

利用方差的計(jì)算公式求解.

本題主要考查了方差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】4

【解析】解：由1+/0。5。=提，得log5(5c)=logs%即5c=4,即c=2.

而a=log43=log4V3^=4V243<log&256=log4V4^=土

b-log75=log7V5^=/o57V3125>/o^V2401=log7V7^=，，

綜上所述，a<W<b,c=g,可知a<c<b.

故選：A.

根據(jù)題意，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則算出c的值，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較出三個(gè)數(shù)的大小.

本題主要考查了不等式的性質(zhì)、利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則比較大小等知識(shí)，屬于

基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：由題意，而=2(雋+篇)。>0),由向量數(shù)乘運(yùn)算可知：

依陽(yáng)|北|

魯，條分別是向量而，下方向上的單位向量，

網(wǎng)依。1

所以4。是44BC中角4的角平分線，

由SMBC=S&ABQ+S^BCQ，4Q=4，"^可得,

_Q

1z7csm60°=gx4A/3csin300+1x4yJ_3bsin309

化簡(jiǎn)得bc=4(b+c),映+冷,

故b+16c=4(/?+16c)xg+》=4(17+g+牛)2100,

當(dāng)且僅當(dāng)b=20,c=5時(shí)等號(hào)成立.

故選：C.

由題設(shè)，得出4Q為角4的角平分線，根據(jù)三角形的面積公式，得出b,c之間的關(guān)系式：

0c4

再利用基本不等式求最小值即可.

本題考查平面向量數(shù)乘運(yùn)算的性質(zhì)，考查三角形面積公式及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題.

9.【答案】AB

【解析】解：對(duì)于4極差為2.8—0.1=2.7(%),故4正確；

對(duì)于8,數(shù)據(jù)由小到大排列為0.1%,0.2%,0.7%,1.0%,2.1%,而i=5x75%=3.7大

所以75%分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)1.0%,故B正確：

對(duì)于C,2月至4月均為負(fù)數(shù)，說(shuō)明下降，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,等價(jià)于從5個(gè)數(shù)字中隨機(jī)選取2個(gè)，樣本空間包含的樣本點(diǎn)總數(shù)為10,其中隨機(jī)事件“選

到4月和5月”包含的樣本點(diǎn)數(shù)為1,

古典概型概率計(jì)算公式可得所求概率為P=4,故。錯(cuò)誤.

故選：AB.

根據(jù)極差和百分位數(shù)的定義判斷48,由2月至4月均為負(fù)數(shù)，說(shuō)明下降可判斷C,由古典概型的概

率公式可判斷D.

本題主要考查了極差和百分位數(shù)的計(jì)算，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ACD

【解析】解：由題意知BC〃x,所以/(x)的圖像的一條對(duì)稱軸方程為久=迨=刃，段冶=3

1

X

27了T

4-

解得3=2,

由五點(diǎn)作圖法可得2x界w=7T,解得3=*所以/0)=5也(2%+》故選項(xiàng)4正確，選項(xiàng)B

錯(cuò)誤；

/(X)的圖象向右平移汐單位長(zhǎng)度得到g(x)=sin(2x-Z+1)=sin2x,是奇函數(shù),故選項(xiàng)C正確；

f(x)的圖象向左平移相個(gè)單位長(zhǎng)度得到九(x)=sin(2x+1+1)=cos2x,是偶函數(shù)，故選項(xiàng)D正

確.

故選:ACD.

利用對(duì)稱性和周期性求得3=2,再代入零點(diǎn)即可求出0=會(huì)即可判斷4B,利用平移原則和函數(shù)奇

偶性的判斷即可判斷CD.

本題主要考查由y=As譏⑷x+3)的部分圖象確定其解析式，函數(shù)y=Asin(a)x+<p)的圖象變換,

考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】AD

【解析】解：四棱錐S-ABCD中，SA1底面ABC。，AD=4BC,AD//BC,

AC,BD的交點(diǎn)為P,點(diǎn)Q在SC上且DQ=4QS,

連接PQ,AD=4BC,AD“BC,所以DP=4BP,

又因?yàn)镈Q=4QS,所以PQ〃SB,故A正確；

過(guò)Q作QM〃/ID,交$4于點(diǎn)“，由。Q=4QS,可得QM=,4D=

4

jBC,

BC

所以四邊形BCQM是梯形，CQ與的延長(zhǎng)線必定相交,

故CQ與平面SAB必定相交，故8錯(cuò)誤；

設(shè)四棱錐S-4BCD的高為“，底面梯形力BCD的高為人,

則由題意得三棱錐S-ABC和三棱錐Q-4CD的高分別為H,1/7,

三棱錐S-ABC和三棱錐Q-ACD的體積分別為匕，彩,

所以導(dǎo)覆懸一'=皋，所以C錯(cuò)誤，D正確.

4x216

故選：AD.

連接PQ,由平行線性質(zhì)判斷4過(guò)Q作QM〃40,交S4于點(diǎn)M,推導(dǎo)出四邊形BCQM是梯形，判斷

B；設(shè)四棱錐S-4BCD的高為H,底面梯形4BCD的高為兒則由題意得三棱錐S-ABC和三棱錐

(2-4。。的高分別為“，5”,根據(jù)錐體體積公式判斷C,D.

本題考查平行線性質(zhì)、梯形、錐體體積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：選項(xiàng)A,2si九63°si7i64。_/7sin(450+18°>/^sin(450+19。)_s譏180+cosl8。

cosl8°cosl9°cosl80cosl9°cosl8°

sinl9°4-cosl9°=(1+tanl8°)(l+tanl90),即A正確:

csol9Q

選項(xiàng)B,因?yàn)楹瘮?shù)y=tanx在(0,方上恒為正且單調(diào)遞增，

所以x=(1+tanl80)(l+tan19°)<(1+tan26°)(l+tan27°)=y,即B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,因?yàn)?=tan(18°+27°)=魯氏貧叱；,

''l-tanl8tan27

所以他幾18°+tan2704-tanl80tan270=1,

同理可得tcml9°+tan260+tanl9°tan26°=1,

所以孫=(1+tanl8°)(l+tan27°)?(1+tanl9°)(l4-tan26°)=(1+tanl80+tan270+

Canl8°tan27°)(l+tan190+tan260+tanl9°tan260)=2x2=4,即C正確；

選項(xiàng)。，由基本不等式得％+y32/^=4,當(dāng)且僅當(dāng)％=y=2時(shí)，等號(hào)成立，

因?yàn)閤vy,所以等號(hào)取不到，即％+y>4,故。正確.

故選：ACD.

選項(xiàng)A,由X=2si噂s嗎:=、2皿45。+18r%(45。+19。),利用兩角和的正弦公式，展開(kāi)化簡(jiǎn)運(yùn)

cos18C0S19C0S18cosl9

算，即可判斷；

選項(xiàng)8,結(jié)合選項(xiàng)A中所得，以及正切函數(shù)的單調(diào)性，可判斷；

選項(xiàng)C,=tan(18°+27°)=tan(19°+26°),結(jié)合兩角和的正切公式，求久y的值，即可；

選項(xiàng)。，利用基本不等式，即可判斷.

本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握兩角和的三角函數(shù)公式，基本不等式是解題的關(guān)鍵，考

查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

13.【答案】|

【解析】解：z=卷4+3i=(；4+3i喘)(4-之3i)=受25,

故|Z|=J(Q+(_Q.

故答案為：g.

先對(duì)Z化簡(jiǎn)，再結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】112

【解析】解：正四棱臺(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2和8,側(cè)面梯形的高為5,

由題意可知正四棱臺(tái)的高為人52—32=4>

所以該四棱臺(tái)的體積為；x(22+82+V22x82)X4=112.

故答案為：112.

先求出正四棱臺(tái)的高，由此能求出該四棱臺(tái)的體積.

本題考查正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征、體積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

15.【答案】40

【解析】解：由題意知，^ADB=60°,^BCA=30°,^DAC=120°,

設(shè)ZM=x,則4B=y/~3x>AC=3x,

在4ABC,由余弦定理可得(竺2?%=/+(3%)2-2-X-3X-(-1).

解得％=竽，所以AB=qx=40(米).

故答案為：40.

設(shè)然后用x表示出2C,在△AC。中使用余弦定理可解.

本題考查了余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】

/IZo

【解析】解：在fG)=g/(x)中，令x=0,得/(0)=0,在/(I一x)=l-/(x)中，分別令x=l,

x=5<得/1)=1，6)+〃1)=1，

又令x=l,得⑴=2,令*得/（》=1所以f?=/'?）=,

結(jié)合對(duì)于0W勺WgW1，都有/（xJW/（刀2），可得當(dāng)x6［另］時(shí)，康托爾函數(shù)/'（x）=

反復(fù)利用居）="曲可得〃表）="（藕）=抓備）=］（備）="（矗）=

I35136

豆，（2023）=豆/（2023>

6666111

,,^-,,133_36,32x32-X-

江忠到5=委=729x3<2023<29x|=3^3=2-

764T28

故/島）=卷

故答案為：,；

ZIZo

利用賦值法和結(jié)合條件求f（x）,然后反復(fù)利用/（》=：f（x）即可求解.

本題考查新定義函數(shù)及其性質(zhì)，屬于中檔題.

17.【答案】解：（1）由題意，|五|=1,\b\=2,

X（2a+h）?（a—b）——3>^2a2—a-b—b=-3,

所以五?b=1,

因?yàn)镮五一=a2-2ab+b2=12-2X1+22=3^

所以I五一至I=V-3；

（2）由（1）可得4?b=1，故cos<a,b>=；%=

5

所以z

--(

一xV2-3

—

網(wǎng)

所以向量五在向量方上的投影向量為：

同COS0*=：.（?［）=（?,；）?

【解析】（1）由已知，解出為i=1，再根據(jù)數(shù)量積性質(zhì)，將模轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積運(yùn)算求解;

（2）根據(jù)投影向量的概念進(jìn)行求解即可..

本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及性質(zhì)，考查投影向量的概念，屬基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：（1）由￡+2一￡1=q,得。2+廬-2=v

baabab

由余弦定理可知cosC=吆2士=C，而0<C<7T,所以c=%

2ab2勺

aSU

（2）由正弦定理可得百丁=解得a=4，弓，

丁—

又由余弦定理可得50=b2+80-2x4cbx浮，即/+30=0，

解得b=解10,或匕='10,

而c=5Cvb,所以b=3/IU，

所以△4BC的面積S=^absinC=|x4/3x3/IUx好=30.

【解析】(1)將已知等式變形，結(jié)合余弦定理即可求解；

(2)由正弦定理可求得a,再由余弦定理可求得b,從而可得△ABC的面積.

本題主要考查解三角形，正余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：設(shè)甲答對(duì)第一道和第二道題的概率分別為:，I，

乙答對(duì)第一道和第二道題的概率分別為今|,甲，乙相互獨(dú)立解題，答對(duì)與否互不影響,

設(shè)事件4="甲答對(duì)了i道題"，事件以="乙答對(duì)了i道題"，i=0,1,2,

由題意P(&)=9xg=:,P(&)=3Xg+gX|=：,P(42)=gX|=%

(1)由題意得，甲，乙都通過(guò)考試的概率：P(A2B2)=P(A2')P(<B2)=1xi=i

(2)由題意得，E

=A1B1+A2BO+AOB2,

所以P(E)=P(4)P(Bi)+P(4)P(%)+P(4°)P(B2)=|x1+5x|+1xi=H-

【解析】(1)設(shè)事件4="甲答對(duì)了i道題”，事件用="乙答對(duì)了i道題"，i=0,1,2,由相互

獨(dú)立事件概率乘法公式能求出甲，乙都通過(guò)考試的概率.

(2)由題意得，E=AiB1+A2B0+A0B2,由此能求出P(E).

本題考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)連接OB,久

因?yàn)?。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，AaBC是底面的內(nèi)接正三角形/!\

所以。。1平面力BC,/，*、\

故QO1BO,/二我

則直線PB與底面的夾角為NPBO=45。，

因?yàn)榈酌鎴A的半徑為2,

所以PO=BO=2,底面圓的周長(zhǎng)為4兀，

而P為D。的中點(diǎn)，

所以D。=4,

所以圓錐的母線長(zhǎng)為V42+22=2，弓，

所以圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積為3x4兀x2，"^=4V"3TT；

（2）證明：連接040C,

vP在。。上，0A=0B=0C,

???PA=PB=PC,

???△ABC是圓內(nèi)接正三角形，

???AB=BC=CA,

PAB=hPBC,△PAB=t^PAC,

：.Z.BPC=Z.APC=90°,即P81PC,PA1PC,PACPB=P,

???PCJ_平面P4B,PCu平面PAC,

平面PBC，平面P4B.

【解析】（1）連接。8,利用線面垂直的性質(zhì)可求0。180,可求NP80=45。，可求。。=4,圓錐

的母線長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式可求圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積；

（2）連接。4,0C,可求△ABC是圓內(nèi)接正三角形,利用全等三角形的性質(zhì)可求/BPC=乙4PC=90°,

利用面面垂直的判定即可證明平面P8CJL平面P4B.

本題考查了線面垂直的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式以及面面垂直的判定，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

21.【答案】解：（1）因?yàn)?Q為邊BC的中線，

11

夠

當(dāng)

￡=-吮=-

3AP3

11

而

荏

=+福

6-6-

證明：（2）由（1）可知而=；四+：才乙

所