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2023-2024學(xué)年安徽省皖江名校聯(lián)考高二(上)開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷
一、單選題(本大題共8小題,共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中,選出符合題目的一項(xiàng))
1.已知集合時(shí)={%|%2一2%—8<0},%={—3,—2,0,2,3},則時(shí)07=()
A.{x|-2<x<4}B.{-2,0,2)
C.[-3,-2,0}D.[0,2,3)
2.已知復(fù)數(shù)z=(m+1)+(m-l)i(7nG/?)+(m-l)i(meR)為純虛數(shù),則復(fù)數(shù)z(3-i)在
復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3.已知向量五=(尢2),1=(2,4),且0-初/方,則4=()
A.-2B.-1C.1D.2
3o
4.已知在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(2,4)在角a終邊上,則sin(qaO+cos(-a)=()
B.CM1AB
C.CM1CD
D.CM1MN
6.2013年7月18IEI,第31屆全國(guó)青少年愛(ài)國(guó)主義讀書(shū)教育活動(dòng)啟動(dòng),某校為了迎接此次活動(dòng),
對(duì)本校高一高二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了前期閱讀時(shí)間抽查,得到日閱讀時(shí)間(單位:分鐘)的統(tǒng)計(jì)表
如下:
年級(jí)抽查人數(shù)平均時(shí)間方差
高一40504
【用二60406
則估計(jì)兩個(gè)年級(jí)學(xué)生日閱讀時(shí)間的方差為()
A.52B.29.2C.10D.6.4
7.己知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a=log43,b=log75,1+logsc=則()
A.a<c<ba<b<cC.c<a<bD.b<c<a
8.已知在△力BC中,角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,4=*點(diǎn)Q在邊BC上,且滿足而=
“微者+科號(hào))('>°)'"Q=則b+16c的最小值是,)
A.32B.64C.100D.120
二、多選題(本大題共4小題,共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)
9.CP/是居民消費(fèi)價(jià)格即消費(fèi)價(jià)格指數(shù),是反映居民家庭一般所購(gòu)買的消費(fèi)品和服務(wù)項(xiàng)目?jī)r(jià)
格水平變動(dòng)的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo).如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2022年5月至2023年5月全國(guó)居民消費(fèi)
價(jià)格漲跌幅統(tǒng)計(jì)圖,其中同比是與上年同期對(duì)比(如今年5月與上年5月),側(cè)重?cái)?shù)據(jù)長(zhǎng)期趨勢(shì),
環(huán)比是與上月對(duì)比(如今年5月與4月),側(cè)重?cái)?shù)據(jù)短期變化,則下列說(shuō)法正確的是()
A.2022年5月至2023年5月同比漲幅極差為2.7%
B.2023年1月至5月同比漲幅的75%分位數(shù)為1.0%
C.從環(huán)比看,CP/由2023年2月至4月開(kāi)始持續(xù)上漲
D.隨機(jī)從2023年1月至5月的同比數(shù)據(jù)選擇兩個(gè)研究,則選取4月和5月的概率為|
10.已知函數(shù)/(%)=5皿3+9)(3>0,0<0<今的部分圖象如圖所示,其中B,C兩點(diǎn)縱
坐標(biāo)相等,則()
A./(x)=sin(2x+1)
B./(x)=sin(2x+今)
C.f(x)的圖象向右平移看個(gè)單位長(zhǎng)度可得一個(gè)奇函數(shù)的圖象
D.f(x)的圖象向左平移居個(gè)單位長(zhǎng)度可得一個(gè)偶函數(shù)的圖象
11.四棱錐S-ABC。中,SA1底面4BCD,AD=4BC,AD//BC,AC,BD的交點(diǎn)為P,點(diǎn)Q在
SD上且DQ=4QS,三棱錐S-ABC和三棱錐Q-AC。的體積分別為匕,/,則()
A.PQ//SBB.CQ〃平面S4BC.匕>V2D.匕=盤(pán)彩
16
12.已知x=既寓胃普,y=(1+tan26°)(l+tan27°),則()
A.%=(1+tanl8°)(l+tanl9°)B.%>y
C.xy=4D.%+y>4
三、填空題(本大題共4小題,共20.0分)
3
13.復(fù)數(shù)z=」-,則|z|=____.
4+3i
14.已知正四棱臺(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2和8,側(cè)面梯形的高為5,則該四棱臺(tái)的體積為
15.隨著國(guó)家“雙碳”(碳達(dá)峰與碳中和的簡(jiǎn)稱)目標(biāo)的提出,我國(guó)風(fēng)電發(fā)展駛?cè)肟燔嚨溃?/p>
地、海上的風(fēng)機(jī)(如下左圖,頂端外形是大風(fēng)車,又稱風(fēng)力發(fā)電大風(fēng)車)紛紛“拔地而起”,
成為保護(hù)環(huán)境、輸送綠色能源的“風(fēng)中使者”.如圖,一學(xué)習(xí)興趣小組為了測(cè)量某風(fēng)力發(fā)電大
風(fēng)車4B的高度,在點(diǎn)4正東方點(diǎn)C處測(cè)得風(fēng)車頂端點(diǎn)B的仰角為30。,在點(diǎn)4南偏西30。方向的
點(diǎn)。處測(cè)得點(diǎn)B的仰角為60。,且C,。相距竺守米,其中4B工平面4。。,貝IJ4B的高度為
米.
16.若f(x)的定義域?yàn)椋?,1],對(duì)于0<X1<x2<l,都有/(/)</(x2),且滿足居)=1/(x),
/(I-x)=1-f(x),則稱f(x)為康托爾函數(shù).當(dāng)x6[另]時(shí),康托爾函數(shù)f(x)=;
,(2023)=---------'
四、解答題(本大題共6小題,共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)
17.(本小題10.0分)
設(shè)平面向量?jī)?yōu)方滿足|||=1,K=(7-3,1)-(2a+b)-(a-b)=-3,
⑴求|日-1|;
(2)求向量方在向量石上的投影向量(用坐標(biāo)表示).
18.(本小題12.0分)
已知在△A8C中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足—g=
(I)求角c;
(2)若sim4=c=5V-2<b,求44BC的面積.
19.(本小題12.0分)
2023年7月11日第64屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽結(jié)果公布,中國(guó)隊(duì)6名參賽選手全員金牌,再奪
第一.某班級(jí)為了選拔數(shù)學(xué)競(jìng)賽選手,舉行初次選拔考試,共有排好順序的兩道解答題.規(guī)定全
部答對(duì)者,通過(guò)選拔考試,設(shè)甲答對(duì)第一道和第二道題的概率分別為:,|,乙答對(duì)第一道和第
二道題的概率分別為今|,甲,乙相互獨(dú)立解題,答對(duì)與否互不影響.
(1)求甲,乙都通過(guò)考試的概率;
(2)記事件E="甲、乙共答對(duì)兩道題”,求P(E).
20.(本小題12.0分)
如圖,。為圓錐的頂點(diǎn),0是圓錐底面的圓心,P為。。的中點(diǎn),△ABC是底面的內(nèi)接正三角形.
(1)若底面圓的半徑為2,直線PB與底面的夾角為45。,求圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積;
(2)若P4J.PB,證明:平面PBC1平面R4B.
21.(本小題12.0分)
如圖所示,ZkABC中,4Q為邊BC的中線,~AP=tAQ>~MP=xWV,AM=XAB,AN=fiAC,
其中t>0,x>0.A>0>〃>0.
(1)當(dāng)t=g時(shí),用向量而,而表示存;
(2)證明::"為定值.
22.(本小題12.0分)
已知/(%)=2y/~3cosa)xsina)x—cos2o)x+sin4tox+cos2a)xsin2a)x(a)>0).
⑴若3=1,且5照+各=6,ae^,Tt),求cos(2aY)的值;
(2)若函數(shù)y=在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn),求3的取值范圍.
1ZZ
答案和解析
I.【答案】。
【解析】解:由/—2x—8<0,得一2<x<4,
則M=(x\x2-2x—8<0}={x|-2<%<4},
又N={-3,-2,0,2,3},
得MCN={0,2,3}.
故選:D.
先化簡(jiǎn)集合M,再由集合的交集運(yùn)算得解.
本題考查集合的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
2.【答案】C
【解析】解:z=(m+1)+(m-l)i(7nGR)為純虛數(shù),
fm+1=0
???m=—1,
Im—1H0
???z=-2i,
z(3—i)———2i(3一i)———2—6i,
???z(3-i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-2,-6),在第三象限.
故選:C.
根據(jù)z是純虛數(shù)求出山的值,求出z,從而化簡(jiǎn)z(3-i),求出其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出其所在的
象限.
本題考查了純虛數(shù)的定義,考查復(fù)數(shù)的幾何意義以及轉(zhuǎn)化思想,是基礎(chǔ)題.
3.【答案】C
【解析】解:2=(九2),方=(2,4),
則五一方=(4一2,—2),
(a-b)//b,
則4(2-2)=-4,解得2=1.
故選:C.
根據(jù)已知條件,結(jié)合平面向量共線的性質(zhì),即可求解.
本題主要考查平面向量共線的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.
4.【答案】B
【解析】解:因?yàn)辄c(diǎn)M(2,4)在角a終邊上,
所以可得tana=2,
所以sin3(;r-a)+cos3(—a)_sin3a+cos3a_tan3a+l_8+1_3
sin3?!?cos3asin%—2cos3atan3a-28-22
故選:B.
由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義可求得tana的值,進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)
系式即可求解.
本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義,誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中
的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.
5.【答案】A
【解析】解:由題意得正方體卡片紙盒如圖所示,H-----
由正方體的結(jié)構(gòu)特征知,CM1EF,選項(xiàng)4正確;i
CM//AB,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;'
CM與C。的夾角為60。,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
CM與MN的夾角也為60。,選項(xiàng)。錯(cuò)誤.
故選:A.
把幾何圖形折成正方體,根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征判斷即可.
本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征應(yīng)用問(wèn)題,也考查了推理與判斷能力,是基礎(chǔ)題.
6.【答案】B
【解析】解:高一高二日閱讀時(shí)間的平均數(shù)為1=50x器+40x黑=44,
所以估計(jì)兩個(gè)年級(jí)學(xué)生日閱讀時(shí)間的方差為s2=[4+(50-44)2]x器+[6+(40—44)2]x
6°-292
100一
故選:B.
利用方差的計(jì)算公式求解.
本題主要考查了方差的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.
7.【答案】4
【解析】解:由1+/0。5。=提,得log5(5c)=logs%即5c=4,即c=2.
而a=log43=log4V3^=4V243<log&256=log4V4^=土
b-log75=log7V5^=/o57V3125>/o^V2401=log7V7^=,,
綜上所述,a<W<b,c=g,可知a<c<b.
故選:A.
根據(jù)題意,利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則算出c的值,再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較出三個(gè)數(shù)的大小.
本題主要考查了不等式的性質(zhì)、利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則比較大小等知識(shí),屬于
基礎(chǔ)題.
8.【答案】C
【解析】解:由題意,而=2(雋+篇)。>0),由向量數(shù)乘運(yùn)算可知:
依陽(yáng)|北|
魯,條分別是向量而,下方向上的單位向量,
網(wǎng)依。1
所以4。是44BC中角4的角平分線,
由SMBC=S&ABQ+S^BCQ,4Q=4,"^可得,
_Q
1z7csm60°=gx4A/3csin300+1x4yJ_3bsin309
化簡(jiǎn)得bc=4(b+c),映+冷,
故b+16c=4(/?+16c)xg+》=4(17+g+牛)2100,
當(dāng)且僅當(dāng)b=20,c=5時(shí)等號(hào)成立.
故選:C.
由題設(shè),得出4Q為角4的角平分線,根據(jù)三角形的面積公式,得出b,c之間的關(guān)系式:
0c4
再利用基本不等式求最小值即可.
本題考查平面向量數(shù)乘運(yùn)算的性質(zhì),考查三角形面積公式及基本不等式的應(yīng)用,屬中檔題.
9.【答案】AB
【解析】解:對(duì)于4極差為2.8—0.1=2.7(%),故4正確;
對(duì)于8,數(shù)據(jù)由小到大排列為0.1%,0.2%,0.7%,1.0%,2.1%,而i=5x75%=3.7大
所以75%分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)1.0%,故B正確:
對(duì)于C,2月至4月均為負(fù)數(shù),說(shuō)明下降,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,等價(jià)于從5個(gè)數(shù)字中隨機(jī)選取2個(gè),樣本空間包含的樣本點(diǎn)總數(shù)為10,其中隨機(jī)事件“選
到4月和5月”包含的樣本點(diǎn)數(shù)為1,
古典概型概率計(jì)算公式可得所求概率為P=4,故。錯(cuò)誤.
故選:AB.
根據(jù)極差和百分位數(shù)的定義判斷48,由2月至4月均為負(fù)數(shù),說(shuō)明下降可判斷C,由古典概型的概
率公式可判斷D.
本題主要考查了極差和百分位數(shù)的計(jì)算,考查了古典概型的概率公式,屬于基礎(chǔ)題.
10.【答案】ACD
【解析】解:由題意知BC〃x,所以/(x)的圖像的一條對(duì)稱軸方程為久=迨=刃,段冶=3
1
X
27了T
4-
解得3=2,
由五點(diǎn)作圖法可得2x界w=7T,解得3=*所以/0)=5也(2%+》故選項(xiàng)4正確,選項(xiàng)B
錯(cuò)誤;
/(X)的圖象向右平移汐單位長(zhǎng)度得到g(x)=sin(2x-Z+1)=sin2x,是奇函數(shù),故選項(xiàng)C正確;
f(x)的圖象向左平移相個(gè)單位長(zhǎng)度得到九(x)=sin(2x+1+1)=cos2x,是偶函數(shù),故選項(xiàng)D正
確.
故選:ACD.
利用對(duì)稱性和周期性求得3=2,再代入零點(diǎn)即可求出0=會(huì)即可判斷4B,利用平移原則和函數(shù)奇
偶性的判斷即可判斷CD.
本題主要考查由y=As譏⑷x+3)的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin(a)x+<p)的圖象變換,
考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.
11.【答案】AD
【解析】解:四棱錐S-ABCD中,SA1底面ABC。,AD=4BC,AD//BC,
AC,BD的交點(diǎn)為P,點(diǎn)Q在SC上且DQ=4QS,
連接PQ,AD=4BC,AD“BC,所以DP=4BP,
又因?yàn)镈Q=4QS,所以PQ〃SB,故A正確;
過(guò)Q作QM〃/ID,交$4于點(diǎn)“,由。Q=4QS,可得QM=,4D=
4
jBC,
BC
所以四邊形BCQM是梯形,CQ與的延長(zhǎng)線必定相交,
故CQ與平面SAB必定相交,故8錯(cuò)誤;
設(shè)四棱錐S-4BCD的高為“,底面梯形力BCD的高為人,
則由題意得三棱錐S-ABC和三棱錐Q-4CD的高分別為H,1/7,
三棱錐S-ABC和三棱錐Q-ACD的體積分別為匕,彩,
所以導(dǎo)覆懸一'=皋,所以C錯(cuò)誤,D正確.
4x216
故選:AD.
連接PQ,由平行線性質(zhì)判斷4過(guò)Q作QM〃40,交S4于點(diǎn)M,推導(dǎo)出四邊形BCQM是梯形,判斷
B;設(shè)四棱錐S-4BCD的高為H,底面梯形4BCD的高為兒則由題意得三棱錐S-ABC和三棱錐
(2-4。。的高分別為“,5”,根據(jù)錐體體積公式判斷C,D.
本題考查平行線性質(zhì)、梯形、錐體體積公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.
12.【答案】ACD
【解析】解:選項(xiàng)A,2si九63°si7i64。_/7sin(450+18°>/^sin(450+19。)_s譏180+cosl8。
cosl8°cosl9°cosl80cosl9°cosl8°
sinl9°4-cosl9°=(1+tanl8°)(l+tanl90),即A正確:
csol9Q
選項(xiàng)B,因?yàn)楹瘮?shù)y=tanx在(0,方上恒為正且單調(diào)遞增,
所以x=(1+tanl80)(l+tan19°)<(1+tan26°)(l+tan27°)=y,即B錯(cuò)誤;
選項(xiàng)C,因?yàn)?=tan(18°+27°)=魯氏貧叱;,
''l-tanl8tan27
所以他幾18°+tan2704-tanl80tan270=1,
同理可得tcml9°+tan260+tanl9°tan26°=1,
所以孫=(1+tanl8°)(l+tan27°)?(1+tanl9°)(l4-tan26°)=(1+tanl80+tan270+
Canl8°tan27°)(l+tan190+tan260+tanl9°tan260)=2x2=4,即C正確;
選項(xiàng)。,由基本不等式得%+y32/^=4,當(dāng)且僅當(dāng)%=y=2時(shí),等號(hào)成立,
因?yàn)閤vy,所以等號(hào)取不到,即%+y>4,故。正確.
故選:ACD.
選項(xiàng)A,由X=2si噂s嗎:=、2皿45。+18r%(45。+19。),利用兩角和的正弦公式,展開(kāi)化簡(jiǎn)運(yùn)
cos18C0S19C0S18cosl9
算,即可判斷;
選項(xiàng)8,結(jié)合選項(xiàng)A中所得,以及正切函數(shù)的單調(diào)性,可判斷;
選項(xiàng)C,=tan(18°+27°)=tan(19°+26°),結(jié)合兩角和的正切公式,求久y的值,即可;
選項(xiàng)。,利用基本不等式,即可判斷.
本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,熟練掌握兩角和的三角函數(shù)公式,基本不等式是解題的關(guān)鍵,考
查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.
13.【答案】|
【解析】解:z=卷4+3i=(;4+3i喘)(4-之3i)=受25,
故|Z|=J(Q+(_Q.
故答案為:g.
先對(duì)Z化簡(jiǎn),再結(jié)合復(fù)數(shù)模公式,即可求解.
本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,以及復(fù)數(shù)模公式,屬于基礎(chǔ)題.
14.【答案】112
【解析】解:正四棱臺(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2和8,側(cè)面梯形的高為5,
由題意可知正四棱臺(tái)的高為人52—32=4>
所以該四棱臺(tái)的體積為;x(22+82+V22x82)X4=112.
故答案為:112.
先求出正四棱臺(tái)的高,由此能求出該四棱臺(tái)的體積.
本題考查正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征、體積公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.
15.【答案】40
【解析】解:由題意知,^ADB=60°,^BCA=30°,^DAC=120°,
設(shè)ZM=x,則4B=y/~3x>AC=3x,
在4ABC,由余弦定理可得(竺2?%=/+(3%)2-2-X-3X-(-1).
解得%=竽,所以AB=qx=40(米).
故答案為:40.
設(shè)然后用x表示出2C,在△AC。中使用余弦定理可解.
本題考查了余弦定理的實(shí)際應(yīng)用,屬于中檔題.
16.【答案】
/IZo
【解析】解:在fG)=g/(x)中,令x=0,得/(0)=0,在/(I一x)=l-/(x)中,分別令x=l,
x=5<得/1)=1,6)+〃1)=1,
又令x=l,得⑴=2,令*得/(》=1所以f?=/'?)=,
結(jié)合對(duì)于0W勺WgW1,都有/(xJW/(刀2),可得當(dāng)x6[另]時(shí),康托爾函數(shù)/'(x)=
反復(fù)利用居)="曲可得〃表)="(藕)=抓備)=](備)="(矗)=
I35136
豆,(2023)=豆/(2023>
6666111
,,^-,,133_36,32x32-X-
江忠到5=委=729x3<2023<29x|=3^3=2-
764T28
故/島)=卷
故答案為:,;
ZIZo
利用賦值法和結(jié)合條件求f(x),然后反復(fù)利用/(》=:f(x)即可求解.
本題考查新定義函數(shù)及其性質(zhì),屬于中檔題.
17.【答案】解:(1)由題意,|五|=1,\b\=2,
X(2a+h)?(a—b)——3>^2a2—a-b—b=-3,
所以五?b=1,
因?yàn)镮五一=a2-2ab+b2=12-2X1+22=3^
所以I五一至I=V-3;
(2)由(1)可得4?b=1,故cos<a,b>=;%=
5
所以z
--(
一xV2-3
—
網(wǎng)
所以向量五在向量方上的投影向量為:
同COS0*=:.(?[)=(?,;)?
【解析】(1)由已知,解出為i=1,再根據(jù)數(shù)量積性質(zhì),將模轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積運(yùn)算求解;
(2)根據(jù)投影向量的概念進(jìn)行求解即可..
本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及性質(zhì),考查投影向量的概念,屬基礎(chǔ)題.
18.【答案】解:(1)由£+2一£1=q,得。2+廬-2=v
baabab
由余弦定理可知cosC=吆2士=C,而0<C<7T,所以c=%
2ab2勺
aSU
(2)由正弦定理可得百丁=解得a=4,弓,
丁—
又由余弦定理可得50=b2+80-2x4cbx浮,即/+30=0,
解得b=解10,或匕='10,
而c=5Cvb,所以b=3/IU,
所以△4BC的面積S=^absinC=|x4/3x3/IUx好=30.
【解析】(1)將已知等式變形,結(jié)合余弦定理即可求解;
(2)由正弦定理可求得a,再由余弦定理可求得b,從而可得△ABC的面積.
本題主要考查解三角形,正余弦定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.
19.【答案】解:設(shè)甲答對(duì)第一道和第二道題的概率分別為:,I,
乙答對(duì)第一道和第二道題的概率分別為今|,甲,乙相互獨(dú)立解題,答對(duì)與否互不影響,
設(shè)事件4="甲答對(duì)了i道題",事件以="乙答對(duì)了i道題",i=0,1,2,
由題意P(&)=9xg=:,P(&)=3Xg+gX|=:,P(42)=gX|=%
(1)由題意得,甲,乙都通過(guò)考試的概率:P(A2B2)=P(A2')P(<B2)=1xi=i
(2)由題意得,E
=A1B1+A2BO+AOB2,
所以P(E)=P(4)P(Bi)+P(4)P(%)+P(4°)P(B2)=|x1+5x|+1xi=H-
【解析】(1)設(shè)事件4="甲答對(duì)了i道題”,事件用="乙答對(duì)了i道題",i=0,1,2,由相互
獨(dú)立事件概率乘法公式能求出甲,乙都通過(guò)考試的概率.
(2)由題意得,E=AiB1+A2B0+A0B2,由此能求出P(E).
本題考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.
20.【答案】解:(1)連接OB,久
因?yàn)?。為圓錐的頂點(diǎn),。是圓錐底面的圓心,AaBC是底面的內(nèi)接正三角形/!\
所以。。1平面力BC,/,*、\
故QO1BO,/二我
則直線PB與底面的夾角為NPBO=45。,
因?yàn)榈酌鎴A的半徑為2,
所以PO=BO=2,底面圓的周長(zhǎng)為4兀,
而P為D。的中點(diǎn),
所以D。=4,
所以圓錐的母線長(zhǎng)為V42+22=2,弓,
所以圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積為3x4兀x2,"^=4V"3TT;
(2)證明:連接040C,
vP在。。上,0A=0B=0C,
???PA=PB=PC,
???△ABC是圓內(nèi)接正三角形,
???AB=BC=CA,
PAB=hPBC,△PAB=t^PAC,
:.Z.BPC=Z.APC=90°,即P81PC,PA1PC,PACPB=P,
???PCJ_平面P4B,PCu平面PAC,
平面PBC,平面P4B.
【解析】(1)連接。8,利用線面垂直的性質(zhì)可求0。180,可求NP80=45。,可求。。=4,圓錐
的母線長(zhǎng),利用弧長(zhǎng)公式可求圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積;
(2)連接。4,0C,可求△ABC是圓內(nèi)接正三角形,利用全等三角形的性質(zhì)可求/BPC=乙4PC=90°,
利用面面垂直的判定即可證明平面P8CJL平面P4B.
本題考查了線面垂直的性質(zhì),弧長(zhǎng)公式以及面面垂直的判定,考查了數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.
21.【答案】解:(1)因?yàn)?Q為邊BC的中線,
11
夠
當(dāng)
£=-吮=-
3AP3
11
而
荏
=+福
6-6-
證明:(2)由(1)可知而=;四+:才乙
所
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