均值不等式中的換元法及“1”的代換課件高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

山東東營

徐新華

均值不等式中的換元法

及“1”的代換

均值不等式中的換元法及“1”的代換

均值不等式作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，相關(guān)問題自然是高考的熱點之一，與此綜合的知識主要有二次函數(shù)、二次方程、不等式、邏輯用語、圓錐曲線的最值等方面。處理此類問題時，作出適當(dāng)?shù)膿Q元進行轉(zhuǎn)化尤為重要，即將多元轉(zhuǎn)化為少元；將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題；將分散的變量進行集中。換元法作為一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，時常與“1”的代換相伴相隨、合力轉(zhuǎn)化，勾畫出數(shù)學(xué)上一道亮麗的風(fēng)景，可以肯定地說換元法是解決均值不等式問題的一大法寶。均值不等式中的換元包括：多項式換元、無理式換元、三角函數(shù)換元、分式換元等，相關(guān)題型較多，覆蓋面較廣。這里，主要探究均值不等式、換元法與“1”的代換呈現(xiàn)的問題及結(jié)論，其他問題在后面的跟蹤練習(xí)中有一定體現(xiàn)。a>0,b>0,且a+2b=5,求

的最小值。

如：對于這種類型題，令a+1=m,b+2=n進行換元轉(zhuǎn)化為“m>0,n>0,且m+2n=10,求

的最小值”。

求

的最小值。再如：a>0,b>0,且對于這種類型題，若令a+1=m,b+2=n直接進行換元，雖然求解式中的分母得到簡化，但是已知式中的分母將同時變得復(fù)雜，故這種操作不可取。最好的方法是，先將求解式變?yōu)?/p>

后，再令

進行換元，

轉(zhuǎn)化為“m>0,n>0,且m+n=3,求

的最小值”。

例1.已知實數(shù)x,y滿足：x>y>0,3x-y=2，求

的最小值。解析：(將分母換元）令x+y=m,x-y=n;則：

由3x-y=2，得m+2n=2（m>0,n>0).當(dāng)且僅當(dāng)

時，取“=”；又m>0,n>0,∴m=2n且m+2n=2.

即當(dāng)m=1,也就是

時

取得最小值4.解析：由x+y<4,得：

由x>0,y>0，得當(dāng)且僅當(dāng)

時，取“=”；又x>0,y>0,∴x=y=2；也就是x=y=2時，

取得最小值1.

例2.已知實數(shù)x>0,y>0,滿足：x+y4,求

的最小值?！?/p>

解析：(將分母變形后換元）令：

則2(m-1)+3（n-1）=1，即2m+3n=6；又m>0,n>0,m=n,2m+3n=6,得

即當(dāng)a=5,b=5時，

取得最小值3.已知

。（1）若

求

的最小值。

（2）若

求

的最小值。

解析（將分母變形后換元）：

由

得

令：

則2(1-m)+3（1-n）=1，即2m+3n=4(m>0,n>0)；當(dāng)且僅當(dāng)

時，取“=”；又m>0,n>0,m=n,2m+3n=4,得

即當(dāng)a=5,b=5時，

取得最小值當(dāng)且僅當(dāng)

時，取“=”；當(dāng)且僅當(dāng)

時，取“=”；又m>0,n>0,m=n,2m+3n=6,得

即當(dāng)a=5,b=5時，

取得最大值（3）若

求

的最大值。

令：

則2(m-1)+3（n-1）=1即2m+3n=6由

得m>0,n>0；解析：(將分母變形后換元）（4）若

求

的最小值。

解析：（將分母變形后換元）由

得

令：

則2(1-m)+3（1-n）=1，即2m+3n=4，m>0,n>0；當(dāng)且僅當(dāng)

時，取“=”；又m>0,n>0,m=n,2m+3n=4,得

即當(dāng)a=5,b=5時，

取得最小值即當(dāng)a=12,b=4時，

取得最小值

解析：令：

得

當(dāng)且僅當(dāng)

時，取“=”；又m>0,n>0,3m=2n,得

小結(jié)：解答此題時，首先對已知式中的分母作出變形后進行換元，然后在求解式中實施分離常數(shù)。跟蹤練習(xí)：1.已知a>0,b>0,且

則a2+b2-12ab的最小值為

。

2.已知a>b>0,且a+b=1,則

的最小值為

。

3.已知x>0,y>0,則

的最小值為

。

4.已知實數(shù)x,y滿足：x>0，y>0,滿足

，

則x+y的最小值為

。5.已知x>0,y>0,滿足x2+4y2+x+2y=1,則xy的最大值為

。6.已知x>0,y>0,滿足x+y=4,若不等式

恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為

。7.已知a>0,b>0,且

求2a+b的最小值為

。

8.已知不等式

對任意正整數(shù)x,y恒成立，求正實數(shù)a的取值范圍為

。9.已知x>0,y>0,且xy=1,則

的最小值為

。10.已知a≥0,b≥0,且

則

的最大值為

。

11.已知x>0,y>0,滿足x+2y=2xy,則x+2y的最小值為

。12.已知x>0,y>0,滿足x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值為

。13.已知a>0,b>0,且2a+3b=5,求

的最小值。

14.已知a>0,b>0,x>0,y>0,且a+b=10,