根軌跡的基本規(guī)律及繪制

第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第二節(jié)根軌跡的基本規(guī)律及繪制4/13/2024.項(xiàng)目?jī)?nèi)容教學(xué)目的掌握根軌跡的八個(gè)規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上繪制根軌跡（手工和MATLAB）教學(xué)重點(diǎn)根軌跡八個(gè)規(guī)律的內(nèi)容。教學(xué)難點(diǎn)八個(gè)規(guī)律的證明，根軌跡的手工繪制。講授技巧及注意事項(xiàng)運(yùn)用數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)、圖形的輔助說(shuō)明進(jìn)行分析。4-2根軌跡的基本規(guī)律及繪制4/13/2024.一、根軌跡的基本規(guī)律根軌跡的基本規(guī)律從以下8個(gè)方面進(jìn)行討論：1、根軌跡的起始點(diǎn)與終止點(diǎn)；4、根軌跡的漸近線；2、根軌跡的連續(xù)性、對(duì)稱性和分支數(shù)；3、實(shí)軸上的根軌跡；5、根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和分離角；6、根軌跡的起始角和終止角(復(fù)數(shù)零極點(diǎn))；7、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；8、根之和。4/13/2024.特征方程可寫為：規(guī)律一

根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。根軌跡終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。4/13/2024.1．當(dāng)m=n時(shí)，即開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)均為有限的值。討論：2．當(dāng)m<n時(shí)，即開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)小于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有m條根軌跡終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)(稱為有限零點(diǎn))外，還有n-m條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無(wú)限零點(diǎn))。3．當(dāng)m>n時(shí)，即開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有n條根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)(稱為有限極點(diǎn))外，還有m-n條根軌跡起始于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無(wú)限極點(diǎn))。參數(shù)根軌跡4/13/2024.根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)(K*→0)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)(K*→∞)；如果開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m，則有n-m條根軌跡終止于s平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處，如果開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m大于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則有m-n條根軌跡起始于s平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處。結(jié)論：4/13/2024.規(guī)律二

根軌跡的連續(xù)性、對(duì)稱性和分支數(shù)

根軌跡的分支數(shù)(條數(shù))等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)n。(根軌跡描述特征根的變化規(guī)律)

根軌跡是連續(xù)的曲線。(K*是連續(xù)變化的)

根軌跡總是對(duì)稱于實(shí)軸。(實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù)→數(shù)學(xué)模型的系數(shù)是實(shí)數(shù)→特征根不是實(shí)數(shù)就是共軛復(fù)數(shù))

結(jié)論：根軌跡是連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的曲線，其分支數(shù)等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)。4/13/2024.規(guī)律三

實(shí)軸上的根軌跡設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)其中p1、p2、p3、z1、z2為實(shí)極點(diǎn)和實(shí)零點(diǎn)，p3、p4、z3、z4為共軛復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)。若實(shí)軸上某點(diǎn)右側(cè)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該點(diǎn)在實(shí)軸的根軌跡上。4/13/2024.只有s0點(diǎn)右側(cè)實(shí)軸上的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)時(shí)，才滿足相角條件。

p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j

0θ1φ5φ1φ4φ2θ4θ3θ2φ3σS0點(diǎn)符合相角條件：每一對(duì)共軛復(fù)數(shù)形式的零極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量的相角之和為2π；實(shí)軸上的零極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量的相角只有0和π兩種情況。4/13/2024.規(guī)律四

漸近線

當(dāng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m時(shí)，系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于S平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處，反應(yīng)n-m條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線，因此，漸近線也有n-m條，且它們交于實(shí)軸上的一點(diǎn)(對(duì)稱性)。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：漸近線與實(shí)軸正方向的夾角：

4/13/2024.證明：思路：研究s值很大時(shí)根軌跡（近似直線）的表達(dá)方式（通過(guò)列寫直線的方程）。4/13/2024.多項(xiàng)式除法4/13/2024.證明：研究s值很大時(shí)根軌跡（近似直線）的表達(dá)方式（通過(guò)列寫直線的方程）。4/13/2024.當(dāng)s值非常大時(shí)，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可以近似為：由特征方程G(s)H(s)=-1得漸進(jìn)線方程為：4/13/2024.由二項(xiàng)式定理當(dāng)s值非常大時(shí)，近似有4/13/2024.4/13/2024.令實(shí)部和虛部分別相等②÷①得：點(diǎn)斜式方程4/13/2024.漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：漸近線與實(shí)軸正方向的夾角：

4/13/2024.

例已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。解該系統(tǒng)n=4，m=1，n-m=3；三條漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)為它們與實(shí)軸正方向的夾角分別是4/13/2024.

根軌跡的漸近線swj-4-3-2-10BCAas°60°-60°300as°1804/13/2024.四種情況下的漸近線4/13/2024.規(guī)律五

根軌跡的分離點(diǎn)和分離角

兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開(kāi)的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)。常見(jiàn)的根軌跡分離點(diǎn)位于實(shí)軸上。實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間或兩個(gè)相鄰的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)之間，至少有一個(gè)分離點(diǎn)。分離點(diǎn)也可能以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)在復(fù)平面上。4/13/2024.實(shí)軸上的分離點(diǎn)

復(fù)平面上的分離點(diǎn)

swj-4-3-2-10分離點(diǎn)swj4p3p1p2pAB0[s]d1d2C[s]分離點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上就是系統(tǒng)特征方程的重實(shí)根（實(shí)軸上的分離點(diǎn)）或重共軛復(fù)根（復(fù)平面上的分離點(diǎn)）。4/13/2024.分離點(diǎn)的坐標(biāo)d是下列方程的解：證明：閉環(huán)特征方程有重根的條件為：變換形式②÷①4/13/2024.4/13/2024.1、當(dāng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)無(wú)有限零點(diǎn)時(shí)，應(yīng)取分離點(diǎn)方程為。2、只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的分離點(diǎn)。分離點(diǎn)的確定需代入特征方程中驗(yàn)算。3、只有當(dāng)開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)分布非常對(duì)稱時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)復(fù)平面上的分離點(diǎn)。說(shuō)明4/13/2024.例已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函如下，試求出系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)。

解本系統(tǒng)無(wú)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，所以d2=-2.58不在根軌跡上上，舍去。d1=-1.42是實(shí)軸根軌跡上的點(diǎn)，所以是根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。對(duì)比較復(fù)雜的方程(次數(shù)大于2)，也可用試探法求解。4/13/2024.分離角：根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的切線方向和離開(kāi)分離點(diǎn)的切線方向之間的夾角。設(shè)l為進(jìn)入分離點(diǎn)的根軌跡的條數(shù)，則分離角當(dāng)l=2時(shí)，分離角為4/13/2024.⑴起始角θpi根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。規(guī)律六

起始角與終止角

wjs3P2P1P0[s]1pq2pq⑵終止角θzi根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。1z2z4/13/2024.所以證明：設(shè)A為根軌跡上離極點(diǎn)pi很近的一點(diǎn)。A離pi很近A點(diǎn)滿足相角條件同理得：②代入①：4/13/2024.進(jìn)一步具體分析起始角與終止角的表示。例已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

其中p1和p2為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，各零級(jí)點(diǎn)在s平面上的分布如圖所示。試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)p1的起始角θp1。[s]swj1z1p2p04/13/2024.解對(duì)于根軌跡上無(wú)限靠近p1的點(diǎn)A，由相角條件可得

由于A點(diǎn)無(wú)限靠近p1點(diǎn)

[s]swj1z1p2p3p)(31pp-D)(21pp-D)(11zp-D01pqA角度替換后得：4/13/2024.規(guī)律七

根軌跡與虛軸的交點(diǎn)由此可得虛部方程和實(shí)部方程為

根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實(shí)部為零）。用s=jω代入特征方程可得4/13/2024.解虛部方程可得角頻率ωc，即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)值；用ωc代入實(shí)部方程，可求出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值。對(duì)如何選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)、使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義。4/13/2024.例已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函如下，試求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及相應(yīng)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值。令s=jω并代入特征方程得其虛部和實(shí)部方程分別為解系統(tǒng)特征方程是解方程組得：4/13/2024.當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時(shí)，解特征方程將會(huì)遇到困難，此時(shí)可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值和根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。4/13/2024.規(guī)律八

根之和

當(dāng)n-m≥2時(shí)，閉環(huán)傳函特征根之和等于開(kāi)環(huán)傳函所有極點(diǎn)之和(常數(shù))。證明：n-m≥2時(shí)，將開(kāi)環(huán)傳函表示的特征式展開(kāi)后得：將閉環(huán)極點(diǎn)表示的特征式展開(kāi)后得：兩式相等4/13/2024.當(dāng)一些根隨K*的增加而增加時(shí)，必有另一些根隨K*的增加而減小。當(dāng)K*變化時(shí)，隨K*變化的n個(gè)閉環(huán)特征根的和具有常數(shù)性。在根軌跡圖上表現(xiàn)為一些根軌跡分支向左延伸，另外一些分支必向右延伸。(根軌跡的自平衡性)結(jié)論4/13/2024.二、手工繪制根軌跡圖示例根軌跡的七條規(guī)律：1起點(diǎn)與終點(diǎn)：起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)；2連續(xù)性、對(duì)稱性和分支數(shù)：根軌跡連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸，分支數(shù)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。3實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上某點(diǎn)右側(cè)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該點(diǎn)在實(shí)軸的根軌跡上；4/13/2024.4漸近線5分離點(diǎn)4/13/2024.6起始角和終止角7與虛軸的交點(diǎn)將代入閉環(huán)特征方程，令方程兩邊實(shí)部和虛部分別相等，求出。4/13/2024.⑵根軌跡由起點(diǎn)到終點(diǎn)是隨系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益值K*的增加而運(yùn)動(dòng)的，要用箭頭標(biāo)示根軌跡運(yùn)動(dòng)的方向。⑶要標(biāo)出一些特殊點(diǎn)的K*值，如起點(diǎn)(K*→0)，終點(diǎn)(K*→∞)；根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)d(K*=Kd*)；與虛軸的交點(diǎn)(K*=Kr*)。還有一些要求標(biāo)出的閉環(huán)極點(diǎn)s及其對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益K*，也應(yīng)在根軌跡圖上標(biāo)出，以便于進(jìn)行系統(tǒng)的分析與綜合。⑴根軌跡的起點(diǎn)（開(kāi)環(huán)極點(diǎn)pi)用符號(hào)“×”標(biāo)示；根軌跡的終點(diǎn)(開(kāi)環(huán)零點(diǎn)zj)用符號(hào)“o”標(biāo)示。手工繪圖時(shí)還需注意：4/13/2024.解:(1)根軌跡起始于P1=0,P2=-1,P3=-2三個(gè)極點(diǎn),終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。例已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。

4/13/2024.系統(tǒng)根軌跡圖swj()01=*KP()03=P()02=P-1-20[s]*K*K4/13/2024.解:(1)根軌跡起始于P1=0,P2=-1,P3=-2三個(gè)極點(diǎn),終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。例已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。

(2)該系統(tǒng)有三條根軌跡在s平面上。三條根軌跡連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸。(3)實(shí)軸上的根軌跡為實(shí)軸上0到-1的線段和由-2至實(shí)軸上負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)線段。4/13/2024.系統(tǒng)根軌跡圖swj()01=*KP()03=P()02=P-1-20[s]*K*K4/13/2024.當(dāng)k=0時(shí)⑷漸近線：求出根軌跡三條漸近線的交點(diǎn)位置和它們與實(shí)軸正方向的交角。當(dāng)k=1時(shí)當(dāng)k=2時(shí)4/13/2024.系統(tǒng)根軌跡圖swj()01=*KP()03=P()02=P-1-20[s]°+60°-60*K*K4/13/2024.d2=-1.58不在實(shí)軸的根軌跡上，舍去；實(shí)際的分離點(diǎn)應(yīng)為d1=-0.42。(5)分離點(diǎn)：解方程：(6)無(wú)復(fù)數(shù)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，不存在起始角和終止角。4/13/2024.系統(tǒng)根軌跡圖swj()01=*KP()03=P()02=P-1-201d[s]°+60°-60*K*K4/13/2024.其中是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值，它是根軌跡的起點(diǎn)之一。合理的交點(diǎn)應(yīng)為。解虛部方程得

(7)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：用s=jω代入特征方程并令方程兩邊實(shí)部和虛部分別相等：4/13/2024.系統(tǒng)根軌跡圖swj()01=*KP()03=P()02=P?￥-1-201d￥?￥?[s]°+60°-60)6(2=cKj)6(2=-cKj*K**K*K*K*K*4/13/2024.系統(tǒng)根軌跡圖swj()01=*KP()03=P()02=P?￥-1-201d￥?￥?[s]°+60°-60)6(2=cKj)6(2=-cKj*K**K*K*K*K*4/13/2024.例已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。

解

⑴根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)p1=0、p2=-4、p3=-2+4j、p4=-2-4j；終止于4個(gè)無(wú)限零點(diǎn)（沒(méi)有有限零點(diǎn))。

4/13/2024.0-44/13/2024.例已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。

⑵共有4個(gè)根軌跡分支，連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸。

⑶實(shí)軸上的根軌跡是實(shí)軸上由0到-4的線段。解

⑴根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)p1=0、p2=-4、p3=-2+4j、p4=-2-4j；終止于4個(gè)無(wú)限零點(diǎn)（沒(méi)有有限零點(diǎn))。

4/13/2024.0-44/13/2024.漸近線在橫軸上的公共交點(diǎn)為漸近線與橫軸的夾角為k取0、l、2、3時(shí)，分別為450、1350、2250、3150。(4)漸近線:4/13/2024.0-2-44/13/2024.(5)分離點(diǎn)和分離角經(jīng)整理可得求解上式可得三個(gè)分離點(diǎn)為

分離角l=2時(shí)，4/13/2024.0-2-44/13/2024.(6)起始角復(fù)數(shù)極點(diǎn)p3和p4的起始角0-44/13/2024.0-2-44/13/2024.(7)與虛軸的交點(diǎn)用s=jω代入特征方程并令方程兩邊實(shí)部和虛部分別相等：4/13/2024.0-2-44/13/2024.0-2-44/13/2024.1、函數(shù)命令調(diào)用格式：>>rlocus(num,den)三、MATLAB繪制根軌跡例繪制如下開(kāi)環(huán)傳函的閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡4/13/2024.解：MATLAB命令如下：>>num=conv([11.5],conv([1,2+j],[12-j]))>>den=conv([10],conv([12.5],conv([10.5+1.5*j],[10.5-1.5*j])))>>rlocus(num,den)4/13/2024.ωn是閉環(huán)極點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)之間的距離；ωn與負(fù)實(shí)軸夾角的余弦等于阻尼比ζ。等ωn線是以原點(diǎn)為圓心的一系列圓；等ζ線是從原點(diǎn)出發(fā)的一系列射線。4/13/2024.使用grid命令后的效果4/13/2024.作業(yè)：4-34-104/13/2024.傳函的MATLAB定義傳遞函數(shù)以多項(xiàng)式和的形式給出>>num=[b0,b1,b2,…bm]>>den=[a0,a1,a2,…an]>>g=tf(num,den)或>>g=tf([b0,b1,b2,…bm],[a0,a1,a2,…an])4/13/2024.例用MATLAB指令定義函數(shù)>>num=[12]>>den=[1543]>>g=tf(num,den)或>>g=tf([12],[1543])4/13/2024.傳遞函數(shù)以典型環(huán)節(jié)形式給出>>num=conv(conv(K,[t11]),[t2t31])>>den=