根軌跡的基本規(guī)律及繪制

第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第二節(jié)根軌跡的基本規(guī)律及繪制4/13/2024.項目內(nèi)容教學(xué)目的掌握根軌跡的八個規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上繪制根軌跡（手工和MATLAB）教學(xué)重點根軌跡八個規(guī)律的內(nèi)容。教學(xué)難點八個規(guī)律的證明，根軌跡的手工繪制。講授技巧及注意事項運用數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)、圖形的輔助說明進行分析。4-2根軌跡的基本規(guī)律及繪制4/13/2024.一、根軌跡的基本規(guī)律根軌跡的基本規(guī)律從以下8個方面進行討論：1、根軌跡的起始點與終止點；4、根軌跡的漸近線；2、根軌跡的連續(xù)性、對稱性和分支數(shù)；3、實軸上的根軌跡；5、根軌跡在實軸上的分離點和分離角；6、根軌跡的起始角和終止角(復(fù)數(shù)零極點)；7、根軌跡與虛軸的交點；8、根之和。4/13/2024.特征方程可寫為：規(guī)律一

根軌跡的起點和終點根軌跡起始于開環(huán)極點。根軌跡終止于開環(huán)零點。根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。4/13/2024.1．當m=n時，即開環(huán)零點數(shù)與極點數(shù)相同時，根軌跡的起點與終點均為有限的值。討論：2．當m<n時，即開環(huán)零點數(shù)小于開環(huán)極點數(shù)時，除有m條根軌跡終止于開環(huán)零點(稱為有限零點)外，還有n-m條根軌跡終止于無窮遠點(稱為無限零點)。3．當m>n時，即開環(huán)零點數(shù)大于開環(huán)極點數(shù)時，除有n條根軌跡起始于開環(huán)極點(稱為有限極點)外，還有m-n條根軌跡起始于無窮遠點(稱為無限極點)。參數(shù)根軌跡4/13/2024.根軌跡起始于開環(huán)極點(K*→0)，終止于開環(huán)零點(K*→∞)；如果開環(huán)極點數(shù)n大于開環(huán)零點數(shù)m，則有n-m條根軌跡終止于s平面的無窮遠處，如果開環(huán)零點數(shù)m大于開環(huán)極點數(shù)n，則有m-n條根軌跡起始于s平面的無窮遠處。結(jié)論：4/13/2024.規(guī)律二

根軌跡的連續(xù)性、對稱性和分支數(shù)

根軌跡的分支數(shù)(條數(shù))等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)n。(根軌跡描述特征根的變化規(guī)律)

根軌跡是連續(xù)的曲線。(K*是連續(xù)變化的)

根軌跡總是對稱于實軸。(實際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實數(shù)→數(shù)學(xué)模型的系數(shù)是實數(shù)→特征根不是實數(shù)就是共軛復(fù)數(shù))

結(jié)論：根軌跡是連續(xù)且對稱于實軸的曲線，其分支數(shù)等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)。4/13/2024.規(guī)律三

實軸上的根軌跡設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)其中p1、p2、p3、z1、z2為實極點和實零點，p3、p4、z3、z4為共軛復(fù)數(shù)零、極點。若實軸上某點右側(cè)的開環(huán)零、極點的個數(shù)之和為奇數(shù)，則該點在實軸的根軌跡上。4/13/2024.只有s0點右側(cè)實軸上的開環(huán)極點和開環(huán)零點的個數(shù)之和為奇數(shù)時，才滿足相角條件。

p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j

0θ1φ5φ1φ4φ2θ4θ3θ2φ3σS0點符合相角條件：每一對共軛復(fù)數(shù)形式的零極點對應(yīng)的向量的相角之和為2π；實軸上的零極點對應(yīng)的向量的相角只有0和π兩種情況。4/13/2024.規(guī)律四

漸近線

當開環(huán)極點數(shù)n大于開環(huán)零點數(shù)m時，系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于S平面的無窮遠處，反應(yīng)n-m條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線，因此，漸近線也有n-m條，且它們交于實軸上的一點(對稱性)。漸近線與實軸的交點：漸近線與實軸正方向的夾角：

4/13/2024.證明：思路：研究s值很大時根軌跡（近似直線）的表達方式（通過列寫直線的方程）。4/13/2024.多項式除法4/13/2024.證明：研究s值很大時根軌跡（近似直線）的表達方式（通過列寫直線的方程）。4/13/2024.當s值非常大時，開環(huán)傳遞函數(shù)可以近似為：由特征方程G(s)H(s)=-1得漸進線方程為：4/13/2024.由二項式定理當s值非常大時，近似有4/13/2024.4/13/2024.令實部和虛部分別相等②÷①得：點斜式方程4/13/2024.漸近線與實軸的交點：漸近線與實軸正方向的夾角：

4/13/2024.

例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。解該系統(tǒng)n=4，m=1，n-m=3；三條漸近線與實軸交點為它們與實軸正方向的夾角分別是4/13/2024.

根軌跡的漸近線swj-4-3-2-10BCAas°60°-60°300as°1804/13/2024.四種情況下的漸近線4/13/2024.規(guī)律五

根軌跡的分離點和分離角

兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點，稱為根軌跡的分離點。常見的根軌跡分離點位于實軸上。實軸上兩個相鄰的開環(huán)極點之間或兩個相鄰的開環(huán)零點之間，至少有一個分離點。分離點也可能以共軛形式成對出現(xiàn)在復(fù)平面上。4/13/2024.實軸上的分離點

復(fù)平面上的分離點

swj-4-3-2-10分離點swj4p3p1p2pAB0[s]d1d2C[s]分離點，實質(zhì)上就是系統(tǒng)特征方程的重實根（實軸上的分離點）或重共軛復(fù)根（復(fù)平面上的分離點）。4/13/2024.分離點的坐標d是下列方程的解：證明：閉環(huán)特征方程有重根的條件為：變換形式②÷①4/13/2024.4/13/2024.1、當開環(huán)系統(tǒng)無有限零點時，應(yīng)取分離點方程為。2、只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的分離點。分離點的確定需代入特征方程中驗算。3、只有當開環(huán)零、極點分布非常對稱時，才會出現(xiàn)復(fù)平面上的分離點。說明4/13/2024.例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳函如下，試求出系統(tǒng)根軌跡的分離點。

解本系統(tǒng)無有限開環(huán)零點，所以d2=-2.58不在根軌跡上上，舍去。d1=-1.42是實軸根軌跡上的點，所以是根軌跡在實軸上的分離點。對比較復(fù)雜的方程(次數(shù)大于2)，也可用試探法求解。4/13/2024.分離角：根軌跡進入分離點的切線方向和離開分離點的切線方向之間的夾角。設(shè)l為進入分離點的根軌跡的條數(shù)，則分離角當l=2時，分離角為4/13/2024.⑴起始角θpi根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線方向與實軸正方向的夾角。規(guī)律六

起始角與終止角

wjs3P2P1P0[s]1pq2pq⑵終止角θzi根軌跡進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線方向與實軸正方向的夾角。1z2z4/13/2024.所以證明：設(shè)A為根軌跡上離極點pi很近的一點。A離pi很近A點滿足相角條件同理得：②代入①：4/13/2024.進一步具體分析起始角與終止角的表示。例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其中p1和p2為一對共軛復(fù)數(shù)極點，各零級點在s平面上的分布如圖所示。試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點p1的起始角θp1。[s]swj1z1p2p04/13/2024.解對于根軌跡上無限靠近p1的點A，由相角條件可得

由于A點無限靠近p1點

[s]swj1z1p2p3p)(31pp-D)(21pp-D)(11zp-D01pqA角度替換后得：4/13/2024.規(guī)律七

根軌跡與虛軸的交點由此可得虛部方程和實部方程為

根軌跡與虛軸的交點就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實部為零）。用s=jω代入特征方程可得4/13/2024.解虛部方程可得角頻率ωc，即根軌跡與虛軸的交點的坐標值；用ωc代入實部方程，可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值。對如何選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)、使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義。4/13/2024.例已知系統(tǒng)開環(huán)傳函如下，試求出根軌跡與虛軸的交點及相應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值。令s=jω并代入特征方程得其虛部和實部方程分別為解系統(tǒng)特征方程是解方程組得：4/13/2024.當系統(tǒng)的階次較高時，解特征方程將會遇到困難，此時可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值和根軌跡與虛軸的交點。4/13/2024.規(guī)律八

根之和

當n-m≥2時，閉環(huán)傳函特征根之和等于開環(huán)傳函所有極點之和(常數(shù))。證明：n-m≥2時，將開環(huán)傳函表示的特征式展開后得：將閉環(huán)極點表示的特征式展開后得：兩式相等4/13/2024.當一些根隨K*的增加而增加時，必有另一些根隨K*的增加而減小。當K*變化時，隨K*變化的n個閉環(huán)特征根的和具有常數(shù)性。在根軌跡圖上表現(xiàn)為一些根軌跡分支向左延伸，另外一些分支必向右延伸。(根軌跡的自平衡性)結(jié)論4/13/2024.二、手工繪制根軌跡圖示例根軌跡的七條規(guī)律：1起點與終點：起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點；2連續(xù)性、對稱性和分支數(shù)：根軌跡連續(xù)且對稱于實軸，分支數(shù)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。3實軸上的根軌跡：實軸上某點右側(cè)的開環(huán)零、極點的個數(shù)之和為奇數(shù)，則該點在實軸的根軌跡上；4/13/2024.4漸近線5分離點4/13/2024.6起始角和終止角7與虛軸的交點將代入閉環(huán)特征方程，令方程兩邊實部和虛部分別相等，求出。4/13/2024.⑵根軌跡由起點到終點是隨系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值K*的增加而運動的，要用箭頭標示根軌跡運動的方向。⑶要標出一些特殊點的K*值，如起點(K*→0)，終點(K*→∞)；根軌跡在實軸上的分離點d(K*=Kd*)；與虛軸的交點(K*=Kr*)。還有一些要求標出的閉環(huán)極點s及其對應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益K*，也應(yīng)在根軌跡圖上標出，以便于進行系統(tǒng)的分析與綜合。⑴根軌跡的起點（開環(huán)極點pi)用符號“×”標示；根軌跡的終點(開環(huán)零點zj)用符號“o”標示。手工繪圖時還需注意：4/13/2024.解:(1)根軌跡起始于P1=0,P2=-1,P3=-2三個極點,終止于無窮遠處。例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。

4/13/2024.系統(tǒng)根軌跡圖swj()01=*KP()03=P()02=P-1-20[s]*K*K4/13/2024.解:(1)根軌跡起始于P1=0,P2=-1,P3=-2三個極點,終止于無窮遠處。例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。

(2)該系統(tǒng)有三條根軌跡在s平面上。三條根軌跡連續(xù)且對稱于實軸。(3)實軸上的根軌跡為實軸上0到-1的線段和由-2至實軸上負無窮遠線段。4/13/2024.系統(tǒng)根軌跡圖swj()01=*KP()03=P()02=P-1-20[s]*K*K4/13/2024.當k=0時⑷漸近線：求出根軌跡三條漸近線的交點位置和它們與實軸正方向的交角。當k=1時當k=2時4/13/2024.系統(tǒng)根軌跡圖swj()01=*KP()03=P()02=P-1-20[s]°+60°-60*K*K4/13/2024.d2=-1.58不在實軸的根軌跡上，舍去；實際的分離點應(yīng)為d1=-0.42。(5)分離點：解方程：(6)無復(fù)數(shù)開環(huán)極點和零點，不存在起始角和終止角。4/13/2024.系統(tǒng)根軌跡圖swj()01=*KP()03=P()02=P-1-201d[s]°+60°-60*K*K4/13/2024.其中是開環(huán)極點對應(yīng)的坐標值，它是根軌跡的起點之一。合理的交點應(yīng)為。解虛部方程得

(7)根軌跡與虛軸的交點：用s=jω代入特征方程并令方程兩邊實部和虛部分別相等：4/13/2024.系統(tǒng)根軌跡圖swj()01=*KP()03=P()02=P?￥-1-201d￥?￥?[s]°+60°-60)6(2=cKj)6(2=-cKj*K**K*K*K*K*4/13/2024.系統(tǒng)根軌跡圖swj()01=*KP()03=P()02=P?￥-1-201d￥?￥?[s]°+60°-60)6(2=cKj)6(2=-cKj*K**K*K*K*K*4/13/2024.例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下試繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖。

解

⑴根軌跡起始于開環(huán)極點p1=0、p2=-4、p3=-2+4j、p4=-2-4j；終止于4個無限零點（沒有有限零點)。

4/13/2024.0-44/13/2024.例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下試繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖。

⑵共有4個根軌跡分支，連續(xù)且對稱于實軸。

⑶實軸上的根軌跡是實軸上由0到-4的線段。解

⑴根軌跡起始于開環(huán)極點p1=0、p2=-4、p3=-2+4j、p4=-2-4j；終止于4個無限零點（沒有有限零點)。

4/13/2024.0-44/13/2024.漸近線在橫軸上的公共交點為漸近線與橫軸的夾角為k取0、l、2、3時，分別為450、1350、2250、3150。(4)漸近線:4/13/2024.0-2-44/13/2024.(5)分離點和分離角經(jīng)整理可得求解上式可得三個分離點為

分離角l=2時，4/13/2024.0-2-44/13/2024.(6)起始角復(fù)數(shù)極點p3和p4的起始角0-44/13/2024.0-2-44/13/2024.(7)與虛軸的交點用s=jω代入特征方程并令方程兩邊實部和虛部分別相等：4/13/2024.0-2-44/13/2024.0-2-44/13/2024.1、函數(shù)命令調(diào)用格式：>>rlocus(num,den)三、MATLAB繪制根軌跡例繪制如下開環(huán)傳函的閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡4/13/2024.解：MATLAB命令如下：>>num=conv([11.5],conv([1,2+j],[12-j]))>>den=conv([10],conv([12.5],conv([10.5+1.5*j],[10.5-1.5*j])))>>rlocus(num,den)4/13/2024.ωn是閉環(huán)極點到坐標原點之間的距離；ωn與負實軸夾角的余弦等于阻尼比ζ。等ωn線是以原點為圓心的一系列圓；等ζ線是從原點出發(fā)的一系列射線。4/13/2024.使用grid命令后的效果4/13/2024.作業(yè)：4-34-104/13/2024.傳函的MATLAB定義傳遞函數(shù)以多項式和的形式給出>>num=[b0,b1,b2,…bm]>>den=[a0,a1,a2,…an]>>g=tf(num,den)或>>g=tf([b0,b1,b2,…bm],[a0,a1,a2,…an])4/13/2024.例用MATLAB指令定義函數(shù)>>num=[12]>>den=[1543]>>g=tf(num,den)或>>g=tf([12],[1543])4/13/2024.傳遞函數(shù)以典型環(huán)節(jié)形式給出>>num=conv(conv(K,[t11]),[t2t31])>>den=