第七章立體幾何與空間向量專(zhuān)題5異面直線間的距離 講義（含解析） 2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（新高考新教材）

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異面直線間的距離【山東省濰坊市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題】右圖為幾何體的一個(gè)表面展開(kāi)圖，其中的各面都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，將放入一個(gè)球體中，則該球表面積的最小值為_(kāi)_____；在中，異面直線AB與DE的距離為_(kāi)_____．還原幾何體，求出半徑，進(jìn)而求出球的表面積，由面ABC面EFD，將異面直線AB與DE的距離d轉(zhuǎn)化為O到面DEF距離的兩倍，利用等體積法得出所求距離.如圖：該幾何體為正八面體球表面最小即八面體的八個(gè)頂點(diǎn)在球面上，即球心O在ABCD中心O半徑，∴，∵面ABC面EFD，∴異面直線AB與DE的距離d轉(zhuǎn)化為面ABC與面EFD的距離又O到面ABC距離等于O到面DEF距離相等記作，則∵，∴，∴，∴，∴1．已知長(zhǎng)方體的棱、AB、AD的長(zhǎng)分別為4cm、5cm、6cm，則異面直線和的距離是cm.2．正方體中，邊長(zhǎng)為4，則異面直線與的距離為．法一：建系，利用向量法得出，再由距離公式求出異面直線的距離；法二：建系，設(shè)，，根據(jù)向量的運(yùn)算，得出的坐標(biāo)，由模長(zhǎng)公式以及不等式的性質(zhì)得出異面直線的距離.法一：建立坐標(biāo)系，用公式算OF、OC、OB分別為x、y、z軸，則∴設(shè)AB與DE距離為d，設(shè)且，則令得，∴法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)分別為AB，DE上兩點(diǎn)，設(shè)則，所以，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值．3．四面體中，，，，則異面直線與的距離為．4．已知正方體的棱長(zhǎng)為，異面直線與的距離為.

通過(guò)空間想象還原幾何體，并將其補(bǔ)成正方體，再由正方體的棱長(zhǎng)得出正八面體外接圓直徑，進(jìn)而求出表面積，由BA平面將異面直線BA與ED之間距離為點(diǎn)B到平面距離，連結(jié)，由平面，結(jié)合中位線定理得出所求距離.還原理由：正八面體相鄰兩個(gè)三角形僅有一條公共邊，所以原圖中AB還原必與重合，如圖1，此時(shí)圖中1，2，3，4四個(gè)三角形可還原為以B為頂點(diǎn)無(wú)底面的四棱錐，如圖2．同理，DE還原后與重合，可得以E為頂點(diǎn)的四棱錐，最后形成正八面體，如圖3．構(gòu)造正方體，及各面中心形成正八面體（圖4）取M為正方體棱中點(diǎn)，則∴正方體棱長(zhǎng)為，即為正八面體外接圓直徑，即，∴，如圖（5）正方體，其中B、A、D、E分別為正方體中心，連接，可得，且平面易證：BA平面，∴異面直線BA與ED之間距離為點(diǎn)B到平面距離，連結(jié)，則平面，且點(diǎn)Q到平面距離為（如圖6），則點(diǎn)B到平面距離.5．在三棱錐中，，，，，，則異面直線和的距離為.6．若RtΔABC的斜邊AB=5，BC=3，BC在平面內(nèi)，A在平面內(nèi)的射影為O，AO=2，則異面直線AO與BC之間的距離為．7．定義：與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，公垂線被這兩條異面直線截取的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段，兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做這兩條異面直線的距離，公垂線段的長(zhǎng)度可以看作是：分別連接兩異面直線上兩點(diǎn)，所得連線的向量在公垂線的方向向量上的投影向量的長(zhǎng)度.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為是異面直線與的公垂線段，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．8．正方體表面正方形的對(duì)角線中存在異面直線.如果其中兩條異面直線的距離是1，那么，正方體的體積為（

）A．1 B．C．1或 D．或9．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則直線到直線BD的距離為．10．長(zhǎng)方體中，和的公垂線段是，和的公垂線段是．11．邊長(zhǎng)為1的兩個(gè)正方形和構(gòu)成大小為的二面角，則異面直線和之間的距離為．12．空間四邊形中，，，延長(zhǎng)到，使得，為中點(diǎn)，則異面直線和的距離為．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．4【分析】畫(huà)出正方體的圖形，直接找出異面直線和之間的距離即可．【詳解】由題意畫(huà)出長(zhǎng)方體，如圖：由圖形可知：異面直線與之間的距離是：，故答案為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體中異面直線的距離的求法，考查空間想象能力，作圖能力，屬于基礎(chǔ)題.2．##【分析】異面直線與分別在平行平面和平面內(nèi)，因此求出平行平面和平面的距離即可得，再證明是平行平面和平面的公垂線，然后求得公垂線段的長(zhǎng)即可得．【詳解】如圖，正方體中，，，是平行四邊形，∴，同理，分別是上下底面對(duì)角線的交點(diǎn)，，分別與交于點(diǎn)，連接相應(yīng)的線段，平面，平面，∴平面，同理平面，又，平面，∴平面平面，由于與平行且相等，因此是平行四邊形，∴，而分別是中點(diǎn)，因此，正方體棱長(zhǎng)為4，則對(duì)角線，，平面，是在平面內(nèi)的射影，，平面，∴，同理，，平面，所以平面，∴平面，∴平面與平面的距離為，而平面，平面，且與是異面直線，所以異面直線與的距離等于平面與平面的距離為，故答案為：．3．【分析】將四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出，，并計(jì)算出的長(zhǎng)，即可得解.【詳解】將四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則、分別為、的中點(diǎn)，由已知可得，可得，因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，則且，又因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，故四邊形為平行四邊形，故且，平面，平面，，即，同理可得，故異面直線與的距離為.故答案為：.4．【分析】根據(jù)線面垂直性質(zhì)可得，又，可知所求距離為，從而得到結(jié)果.【詳解】

平面，平面

又

異面直線與之間距離為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查異面直線間距離的求解，屬于基礎(chǔ)題.5．.【分析】畫(huà)出草圖，先證明BD是異面直線和的公垂線，再求出BD的長(zhǎng)即可?！驹斀狻慨?huà)出草圖，，

又，所以BD是異面直線和的公垂線所以異面直線和的距離為BD是直角三角形。故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查異面直線間的距離，關(guān)鍵點(diǎn)找到兩條異面直線的公垂線，屬于較易題目。6．2【分析】連接，通過(guò)證明和可知即為異面直線與之間的距離，利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】連接

，，

，又

平面，又平面

即為異面直線與之間的距離又

本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線間距離的求解，關(guān)鍵是能夠通過(guò)垂直關(guān)系找到異面直線之間的公垂線段.7．C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求得異面直線與的公垂線的方向向量，根據(jù)即可求解.【詳解】

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.由題意得，則.設(shè)異面直線與的公垂線的方向向量，則，即，令，得，，所以異面直線與之間的距離.故選：C.8．C【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，若異面直線與的距離為1，則，從而體積.若異面直線與的距離為1，則，，.即正方體的體積為1或.選C.9．【分析】作圖，找到與BD的公垂線，計(jì)算出公垂線的長(zhǎng)度即可.【詳解】連接BD，取BD的中點(diǎn)O，連接OC，根據(jù)正方形的性質(zhì)，顯然，又因?yàn)榈酌鍭BCD，所以，，，即OC是BD與的公垂線，.故答案為：.10．####【分析】利用公垂線的定義可得出結(jié)果.【詳解】如下圖所示：在長(zhǎng)方體中，，，故和的公垂線段是，平面，平面，，又因?yàn)椋瑒t和的公垂線段是.故答案為：；.11．##0.5【分析】說(shuō)明是二面角的平面角，過(guò)作于，證明是異面直線和的公垂線，求出線段的長(zhǎng)即可．【詳解】如圖，由，知是二面角的平面角，因此，且因?yàn)?/p>