高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第16講 第六章 平面向量及其應(yīng)用 章末重點(diǎn)題型大總結(jié)（學(xué)生版）

第16講第六章平面向量及其應(yīng)用章末題型大總結(jié)題型01平面向量的線性運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算【典例1】（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考一模）在中，點(diǎn)滿足為重心，設(shè)，則可表示為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023上·安徽·高三固鎮(zhèn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，已知兩個(gè)單位向量和向量與的夾角為，且與的夾角為，若，則（

）

A． B． C．1 D．【典例3】（2023下·甘肅臨夏·高一統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)及平面向量，，．(1)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值．【變式1】（2023上·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，P為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為（

）

A． B．3 C． D．【變式2】2023上·新疆克孜勒蘇·高三統(tǒng)考期中）已知向量，，，若，則等于【變式3】（2023下·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟(jì)源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，延長CD至E，使得．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動一周回到A點(diǎn)，．則的取值范圍為．

題型02平面向量的共線及其推論【典例1】（2023上·湖北恩施·高二利川市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)G是的重心，過點(diǎn)G作直線分別與兩邊交于兩點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），設(shè)，，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．【典例2】（2023上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）的三內(nèi)角所對邊的長分別是，設(shè)向量，若向量與向量共線，則角.【典例3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，若，方向相反，則．【變式1】（2023上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，，若，則（

）A．-6 B．0 C． D．【變式2】（2023下·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，，若，則的值為.【變式3】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，是邊上一點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與兩邊分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），設(shè)，，則的最小值為.題型03平面向量的數(shù)量積（定值，最值，范圍）方法一：定義法【典例1】（2023下·北京西城·高一統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)都在單位圓上，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．

【典例2】（2023下·四川巴中·高一統(tǒng)考期末）折扇又名“紙扇”是一種用竹木或象牙做扇骨、韌紙或者綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子.某折扇如圖1所示，其平面圖為如圖2所示的扇形AOB，其半徑為3，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且，則的取值范圍是（

）

A． B．C． D．【變式1】（2023下·湖北武漢·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在邊長為2的菱形中，為的中點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．

方法二：坐標(biāo)法【典例1】（2023上·江蘇連云港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知向量，，則.【典例2】（2023上·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校考開學(xué)考試）已知平面向量，，均為單位向量，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】（2023上·上海松江·高三統(tǒng)考期末）已知向量，，則【變式2】（2023上·北京·高三中關(guān)村中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2方法三：極化恒等式法【典例1】（2023下·江蘇徐州·高一徐州高級中學(xué)?？计谥校┮阎叫蔚倪呴L為，為正方形內(nèi)部（不含邊界）的動點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，且，．若點(diǎn)N在線段CD（端點(diǎn)除外）上運(yùn)動，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．

【變式1】（2023下·河南商丘·高一商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正三角形的邊長為2，動點(diǎn)滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．

方法四：幾何意義法【典例1】（2023上·北京海淀·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在圓中，已知弦，弦，那么的值為（

）

A． B． C． D．【典例2】（2023下·上海虹口·高一上外附中?？计谥校┰谶呴L為的正六邊形中，點(diǎn)為其內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，則的取值范圍是．

【變式1】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，這是古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯用來構(gòu)造無理數(shù)的圖形，已知是平面四邊形內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．方法五：自主建系法【典例1】（2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中學(xué)校?？计谥校┮阎沁呴L為1的正的邊上的動點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023上·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習(xí)）已知菱形的邊長為2，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，設(shè)在上的投影向量為，且滿足，則等于；延長線段至點(diǎn)，使得，若點(diǎn)在線段上，則的最小值為．【變式1】（2023下·江蘇南通·高二海門中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)P是正八邊形ABCDEFGH內(nèi)一點(diǎn)(包括邊界)，且＝1，則的最大值為（

）

A．1 B． C． D．題型04平面向量的夾角（銳角，鈍角，直角）【典例1】（2023上·江蘇·高三江蘇省白蒲高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量，，則“”是“向量與的夾角為銳角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2】（2020下·甘肅張掖·高一山丹縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎蛄浚?，2），（1，1），若與的夾角為直角，則實(shí)數(shù)λ＝，若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.【典例3】（2023下·高一單元測試）已知，分別確定實(shí)數(shù)的值或取值范圍，使得：(1)與的夾角為直角；(2)與的夾角為鈍角；(3)與的夾角為銳角.【典例4】（2023上·山東·高二濟(jì)南市歷城第二中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知且與的夾角為銳角，則的取值范圍是.【變式1】（2023上·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2】（2023上·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）因?yàn)椋?，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是．【變式3】（2023下·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一內(nèi)蒙古師大附中?？茧A段練習(xí)）已知向量，，則與的夾角為鈍角時(shí)，的取值范圍為.【變式4】（2023下·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知向量，.(1)若，求的值；(2)若，與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.題型05求向量的夾角（定值，最值，范圍）【典例1】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）設(shè)，向量，，且，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·模擬預(yù)測）在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中點(diǎn)，N在BC上，且，則（

）A． B． C． D．【典例3】（2023下·重慶酉陽·高一重慶市酉陽第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知單位向量，的夾角為60°，向量，且，，設(shè)向量與的夾角為，則的最大值為（

）.A． B． C． D．【典例4】（2023下·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）設(shè)，為單位向量，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則的最小值為．【變式1】（2023下·廣西河池·高一統(tǒng)考期末）已知單位向量，，若對任意實(shí)數(shù)，恒成立，則向量，的夾角的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)均是非零向量，且，若關(guān)于的方程有實(shí)根，則與的夾角的取值范圍為（）A． B． C． D．【變式3】（2023下·黑龍江雙鴨山·高一雙鴨山一中?？计谀┤?，是兩個(gè)單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角的余弦值為．【變式4】（2023下·河北保定·高一統(tǒng)考期末）已知為的外心，且．若向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（

）A． B． C． D．0題型06向量的模與距離（定值，最值，范圍）【典例1】（2023上·云南昆明·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，為單位向量，且與的夾角為，則＝（

）A．49 B．19 C．7 D．【典例2】（多選）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知三個(gè)平面向量兩兩的夾角相等，且，則（

）A．2 B．4 C． D．【典例3】（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中校考階段練習(xí)）已知向量，，，，與的夾角為，則的值最小時(shí)，實(shí)數(shù)x的值為．【典例4】（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知不平行的兩個(gè)向量滿足，．若對任意的，都有成立，則的最小值等于．【變式1】（2023·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量，，滿足，，，則的最大值是.【變式2】（2020上·浙江紹興·高二統(tǒng)考競賽）已知向量滿足，則的取值范圍是．【變式3】（2023上·重慶·高三西南大學(xué)附中?？计谥校┮阎蛄?，，，，與的夾角為，則的值最小時(shí)，實(shí)數(shù)的值為.【變式4】（2023上·上海松江·高三?？计谥校┮阎獑挝幌蛄康膴A角為.若，則的取值范圍是.題型07平面向量與其它知識的交匯題【典例1】（2023上·湖南長沙·高三長郡中學(xué)校考階段練習(xí)）在等腰中，的外接圓圓心為，點(diǎn)在優(yōu)弧上運(yùn)動，則的最小值為（

）A．4 B．2 C． D．【典例2】（2023上·上海閔行·高三?？计谥校┢矫嫔嫌幸唤M互不相等的單位向量，，…，，若存在單位向量滿足，則稱是向量組，，…，的平衡向量．已知，向量是向量組，，的平衡向量，當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為．【典例3】（2022上·山西忻州·高三?？计谀┮阎J角中，三個(gè)內(nèi)角為A、B、C，兩向量，．若與是共線向量．(1)求的大??；(2)若恒成立，求的最小值．【變式1】（2023上·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？计谥校┮阎强臻g單位向量，，若空間向量滿足，，且對于任意x，，（，），則（

）A． B． C． D．3【變式2】（2023上·上海虹口·高三統(tǒng)考期末）設(shè)，，，，，是平面上兩兩不相等的向量，若，且對任意的i，，均有，則．【變式3】（2023上·安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習(xí)）已知向量，函數(shù)．(1)求的解析式與單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．題型08利用正（余）弦定理解三角形【典例1】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）在中，、、分別為角、、的對邊，若，則的形狀為（

）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【典例2】（多選）（2023下·遼寧鐵嶺·高一西豐縣高級中學(xué)?？计谥校┰谥校瑑?nèi)角所對的邊分別為，則下列說法正確的是（

）A．B．若，且，則為等邊三角形C．若，則是等腰三角形D．在中，，則使有兩解的的范圍是【典例3】（2023·河北衡水·河北棗強(qiáng)中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在中，點(diǎn)D在BC邊上，BD的垂直平分線過點(diǎn)A，且滿足，，則的大小為．

【典例4】（多選）（2021下·湖北·高一校聯(lián)考期中）在中，角所對的邊分別為，那么在下列給出的各組條件中，能確定三角形有唯一解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【變式1】（多選）（2019下·福建廈門·高一廈門市湖濱中學(xué)?？计谥校τ?，有如下判斷，其中正確的判斷是（

）A．若，則為等腰三角形B．若，則C．若，則符合條件的有兩個(gè)D．若，則是鈍角三角形【變式2】（多選）（2023下·山西大同·高一?？茧A段練習(xí)）中，角，，所對的邊分別為，，，則如下命題中，正確的是（

）A．若，則B．若，則是等腰三角形C．若為銳角三角形，則D．若是直角三角形，則【變式3】（2022下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，CD=4，AB=2，則AC=.題型09三角形中周長（邊）的定值，最值，范圍問題【典例1】（2023上·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰阡J角三角形中，、、的對邊分別為、、，且滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，，求的周長．【典例3】（2023上·山西呂梁·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）從①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足：______．(1)求角C的大小；(2)若，的內(nèi)心為I，求周長的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【典例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知銳角內(nèi)角的對邊分別為.若.(1)求；(2)若，求的范圍.【典例5】（2023上·廣東廣州·高二廣東廣雅中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面四邊形中，點(diǎn)與點(diǎn)分別在的兩側(cè)，對角線與交于點(diǎn)，.

(1)若中三個(gè)內(nèi)角、、分別對應(yīng)的邊長為、、，的面積，，求和；(2)若，且，設(shè)，求對角線的最大值和此時(shí)的值.【變式1】（2023上·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，且，的面積為，則的值為.【變式2】（2023上·江蘇·高三江蘇省白蒲高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.(1)證明：.(2)求的取值范圍.【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中并作答．問題：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且____．(1)求角C；(2)若，求的取值范圍．【變式4】（2023上·湖北·高二湖北省羅田縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．(1)求外接圓半徑.(2)求周長的最大值．題型10三角形(四邊形）中面積的定值，最值，范圍問題【典例1】（2023上·江蘇·高三海安高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，．(1)求；(2)若D是邊上一點(diǎn)，，且，求的面積，【典例2】（2023上·全國·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知中，在線段上，．(1)若，求的長；(2)求面積的最大值．【典例3】（2023·河北邢臺·寧晉中學(xué)?？寄M預(yù)測）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.

(1)求B；(2)如圖，在AC的兩側(cè)，且，求四邊形面積的最大值．【典例4】（2023下·江蘇南京·高一南京市江寧高級中學(xué)校聯(lián)考期末）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【變式1】（2023上·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，設(shè)，(1)求角；(2)若，且，求面積的最大值.【變式2】（2023上·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，的內(nèi)角所對的邊分別為，，且的外接圓的半徑為.(1)求角的大?。?2)求面積的最大值.【變式3】（2023下·內(nèi)蒙古·高二校聯(lián)考期末）如圖，在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，，，的面積為．

(1)求的周長；(2)求面積的最大值．【變式4】（2023下·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中學(xué)?？计谀┰阡J角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足.(1)求角A；(2)若，求△ABC的面積的最大值.題型11三角形中的中線問題方法一：中線向量化【典例1】（2023·河南·統(tǒng)考三模）在中，角的對邊分別為，，，且．（1）求角的大?。唬?）若邊上的中線，求三角形面積的最大值．【典例2】（2023上·江蘇南京·高三期末）銳角三角形中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若，為的中點(diǎn)，求中線長的最大值.【變式1】（2023上·湖南岳陽·高二湖南省平江縣第一中學(xué)校考階