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文檔簡介
第16講第六章平面向量及其應(yīng)用章末題型大總結(jié)題型01平面向量的線性運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算【典例1】(2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考一模)在中,點(diǎn)滿足為重心,設(shè),則可表示為(
)A. B.C. D.【典例2】(2023上·安徽·高三固鎮(zhèn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中)如圖,已知兩個(gè)單位向量和向量與的夾角為,且與的夾角為,若,則(
)
A. B. C.1 D.【典例3】(2023下·甘肅臨夏·高一統(tǒng)考期末)已知點(diǎn)及平面向量,,.(1)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí),求實(shí)數(shù)m的值;(2)當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)k的值.【變式1】(2023上·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校??茧A段練習(xí))如圖,在中,,,P為上一點(diǎn),且滿足,若,,則的值為(
)
A. B.3 C. D.【變式2】2023上·新疆克孜勒蘇·高三統(tǒng)考期中)已知向量,,,若,則等于【變式3】(2023下·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟(jì)源第一中學(xué)??茧A段練習(xí))如圖,四邊形是邊長為1的正方形,延長CD至E,使得.動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動一周回到A點(diǎn),.則的取值范圍為.
題型02平面向量的共線及其推論【典例1】(2023上·湖北恩施·高二利川市第一中學(xué)校聯(lián)考期中)已知點(diǎn)G是的重心,過點(diǎn)G作直線分別與兩邊交于兩點(diǎn)(點(diǎn)與點(diǎn)不重合),設(shè),,則的最小值為()A.1 B. C.2 D.【典例2】(2023上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高三統(tǒng)考階段練習(xí))的三內(nèi)角所對邊的長分別是,設(shè)向量,若向量與向量共線,則角.【典例3】(2023·全國·模擬預(yù)測)已知向量,,若,方向相反,則.【變式1】(2023上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知向量,,若,則(
)A.-6 B.0 C. D.【變式2】(2023下·廣東東莞·高一??茧A段練習(xí))已知向量,,若,則的值為.【變式3】(2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測)在中,是邊上一點(diǎn),且,是的中點(diǎn),過點(diǎn)的直線與兩邊分別交于兩點(diǎn)(點(diǎn)與點(diǎn)不重合),設(shè),,則的最小值為.題型03平面向量的數(shù)量積(定值,最值,范圍)方法一:定義法【典例1】(2023下·北京西城·高一統(tǒng)考期末)已知點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn)都在單位圓上,且,則的取值范圍是(
)A. B.C. D.
【典例2】(2023下·四川巴中·高一統(tǒng)考期末)折扇又名“紙扇”是一種用竹木或象牙做扇骨、韌紙或者綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子.某折扇如圖1所示,其平面圖為如圖2所示的扇形AOB,其半徑為3,,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在,上,且,則的取值范圍是(
)
A. B.C. D.【變式1】(2023下·湖北武漢·高一校聯(lián)考階段練習(xí))在邊長為2的菱形中,為的中點(diǎn),,點(diǎn)在線段上運(yùn)動,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.
方法二:坐標(biāo)法【典例1】(2023上·江蘇連云港·高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知向量,,則.【典例2】(2023上·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校考開學(xué)考試)已知平面向量,,均為單位向量,且,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【變式1】(2023上·上海松江·高三統(tǒng)考期末)已知向量,,則【變式2】(2023上·北京·高三中關(guān)村中學(xué)??茧A段練習(xí))已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則(
)A.-2 B.-1 C.1 D.2方法三:極化恒等式法【典例1】(2023下·江蘇徐州·高一徐州高級中學(xué)??计谥校┮阎叫蔚倪呴L為,為正方形內(nèi)部(不含邊界)的動點(diǎn),且滿足,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【典例2】(2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)??寄M預(yù)測)如圖,在四邊形ABCD中,M為AB的中點(diǎn),且,.若點(diǎn)N在線段CD(端點(diǎn)除外)上運(yùn)動,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.
【變式1】(2023下·河南商丘·高一商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知正三角形的邊長為2,動點(diǎn)滿足,則的最小值為(
)A. B.C. D.
方法四:幾何意義法【典例1】(2023上·北京海淀·高二??茧A段練習(xí))如圖,在圓中,已知弦,弦,那么的值為(
)
A. B. C. D.【典例2】(2023下·上海虹口·高一上外附中??计谥校┰谶呴L為的正六邊形中,點(diǎn)為其內(nèi)部或邊界上一點(diǎn),則的取值范圍是.
【變式1】(2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖,這是古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯用來構(gòu)造無理數(shù)的圖形,已知是平面四邊形內(nèi)一點(diǎn),則的取值范圍是(
)A. B. C. D.方法五:自主建系法【典例1】(2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中學(xué)校??计谥校┮阎沁呴L為1的正的邊上的動點(diǎn),為的中點(diǎn),則的取值范圍是(
)A. B.C. D.【典例2】(2023上·天津和平·高三天津一中??茧A段練習(xí))已知菱形的邊長為2,,點(diǎn)是邊上的一點(diǎn),設(shè)在上的投影向量為,且滿足,則等于;延長線段至點(diǎn),使得,若點(diǎn)在線段上,則的最小值為.【變式1】(2023下·江蘇南通·高二海門中學(xué)??茧A段練習(xí))點(diǎn)P是正八邊形ABCDEFGH內(nèi)一點(diǎn)(包括邊界),且=1,則的最大值為(
)
A.1 B. C. D.題型04平面向量的夾角(銳角,鈍角,直角)【典例1】(2023上·江蘇·高三江蘇省白蒲高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知平面向量,,則“”是“向量與的夾角為銳角”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【典例2】(2020下·甘肅張掖·高一山丹縣第一中學(xué)??计谥校┮阎蛄浚?,2),(1,1),若與的夾角為直角,則實(shí)數(shù)λ=,若與的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.【典例3】(2023下·高一單元測試)已知,分別確定實(shí)數(shù)的值或取值范圍,使得:(1)與的夾角為直角;(2)與的夾角為鈍角;(3)與的夾角為銳角.【典例4】(2023上·山東·高二濟(jì)南市歷城第二中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)已知且與的夾角為銳角,則的取值范圍是.【變式1】(2023上·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知向量,則“”是“與的夾角為鈍角”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【變式2】(2023上·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)??茧A段練習(xí))因?yàn)椋?,若與的夾角為鈍角,則的取值范圍是.【變式3】(2023下·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一內(nèi)蒙古師大附中??茧A段練習(xí))已知向量,,則與的夾角為鈍角時(shí),的取值范圍為.【變式4】(2023下·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校??茧A段練習(xí))已知向量,.(1)若,求的值;(2)若,與的夾角為銳角,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.題型05求向量的夾角(定值,最值,范圍)【典例1】(2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模)設(shè),向量,,且,則(
)A. B. C. D.【典例2】(2023·全國·模擬預(yù)測)在直角梯形ABCD中,,,,,M是CD的中點(diǎn),N在BC上,且,則(
)A. B. C. D.【典例3】(2023下·重慶酉陽·高一重慶市酉陽第二中學(xué)校??茧A段練習(xí))已知單位向量,的夾角為60°,向量,且,,設(shè)向量與的夾角為,則的最大值為(
).A. B. C. D.【典例4】(2023下·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中)設(shè),為單位向量,滿足,,,設(shè),的夾角為,則的最小值為.【變式1】(2023下·廣西河池·高一統(tǒng)考期末)已知單位向量,,若對任意實(shí)數(shù),恒成立,則向量,的夾角的取值范圍為(
)A. B. C. D.【變式2】(2022·高一課時(shí)練習(xí))設(shè)均是非零向量,且,若關(guān)于的方程有實(shí)根,則與的夾角的取值范圍為()A. B. C. D.【變式3】(2023下·黑龍江雙鴨山·高一雙鴨山一中??计谀┤?,是兩個(gè)單位向量,且在上的投影向量為,則與的夾角的余弦值為.【變式4】(2023下·河北保定·高一統(tǒng)考期末)已知為的外心,且.若向量在向量上的投影向量為,則的最小值為(
)A. B. C. D.0題型06向量的模與距離(定值,最值,范圍)【典例1】(2023上·云南昆明·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)??茧A段練習(xí))已知,為單位向量,且與的夾角為,則=(
)A.49 B.19 C.7 D.【典例2】(多選)(2023·全國·模擬預(yù)測)已知三個(gè)平面向量兩兩的夾角相等,且,則(
)A.2 B.4 C. D.【典例3】(2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中校考階段練習(xí))已知向量,,,,與的夾角為,則的值最小時(shí),實(shí)數(shù)x的值為.【典例4】(2023·上海崇明·統(tǒng)考一模)已知不平行的兩個(gè)向量滿足,.若對任意的,都有成立,則的最小值等于.【變式1】(2023·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知向量,,滿足,,,則的最大值是.【變式2】(2020上·浙江紹興·高二統(tǒng)考競賽)已知向量滿足,則的取值范圍是.【變式3】(2023上·重慶·高三西南大學(xué)附中??计谥校┮阎蛄?,,,,與的夾角為,則的值最小時(shí),實(shí)數(shù)的值為.【變式4】(2023上·上海松江·高三??计谥校┮阎獑挝幌蛄康膴A角為.若,則的取值范圍是.題型07平面向量與其它知識的交匯題【典例1】(2023上·湖南長沙·高三長郡中學(xué)校考階段練習(xí))在等腰中,的外接圓圓心為,點(diǎn)在優(yōu)弧上運(yùn)動,則的最小值為(
)A.4 B.2 C. D.【典例2】(2023上·上海閔行·高三??计谥校┢矫嫔嫌幸唤M互不相等的單位向量,,…,,若存在單位向量滿足,則稱是向量組,,…,的平衡向量.已知,向量是向量組,,的平衡向量,當(dāng)取得最大值時(shí),的值為.【典例3】(2022上·山西忻州·高三??计谀┮阎J角中,三個(gè)內(nèi)角為A、B、C,兩向量,.若與是共線向量.(1)求的大??;(2)若恒成立,求的最小值.【變式1】(2023上·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校??计谥校┮阎强臻g單位向量,,若空間向量滿足,,且對于任意x,,(,),則(
)A. B. C. D.3【變式2】(2023上·上海虹口·高三統(tǒng)考期末)設(shè),,,,,是平面上兩兩不相等的向量,若,且對任意的i,,均有,則.【變式3】(2023上·安徽合肥·高三合肥一中??茧A段練習(xí))已知向量,函數(shù).(1)求的解析式與單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.題型08利用正(余)弦定理解三角形【典例1】(2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模)在中,、、分別為角、、的對邊,若,則的形狀為(
)A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形【典例2】(多選)(2023下·遼寧鐵嶺·高一西豐縣高級中學(xué)??计谥校┰谥校瑑?nèi)角所對的邊分別為,則下列說法正確的是(
)A.B.若,且,則為等邊三角形C.若,則是等腰三角形D.在中,,則使有兩解的的范圍是【典例3】(2023·河北衡水·河北棗強(qiáng)中學(xué)校考模擬預(yù)測)如圖,在中,點(diǎn)D在BC邊上,BD的垂直平分線過點(diǎn)A,且滿足,,則的大小為.
【典例4】(多選)(2021下·湖北·高一校聯(lián)考期中)在中,角所對的邊分別為,那么在下列給出的各組條件中,能確定三角形有唯一解的是(
)A.,, B.,,C.,, D.,,【變式1】(多選)(2019下·福建廈門·高一廈門市湖濱中學(xué)??计谥校τ?,有如下判斷,其中正確的判斷是(
)A.若,則為等腰三角形B.若,則C.若,則符合條件的有兩個(gè)D.若,則是鈍角三角形【變式2】(多選)(2023下·山西大同·高一??茧A段練習(xí))中,角,,所對的邊分別為,,,則如下命題中,正確的是(
)A.若,則B.若,則是等腰三角形C.若為銳角三角形,則D.若是直角三角形,則【變式3】(2022下·福建福州·高一校聯(lián)考期末)如圖,在平面四邊形ABCD中,,,,CD=4,AB=2,則AC=.題型09三角形中周長(邊)的定值,最值,范圍問題【典例1】(2023上·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)??计谥校┰阡J角三角形中,、、的對邊分別為、、,且滿足,則的取值范圍為(
)A. B.C. D.【典例2】(2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí))在中,內(nèi)角的對邊分別為,且.(1)求角的大??;(2)若,點(diǎn)是線段上的一點(diǎn),,求的周長.【典例3】(2023上·山西呂梁·高三校聯(lián)考階段練習(xí))從①;②這兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問題中,并解答.在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足:______.(1)求角C的大小;(2)若,的內(nèi)心為I,求周長的取值范圍.注:如果選擇多個(gè)條件分別作答,按第一個(gè)解答計(jì)分.【典例4】(2023·全國·高三專題練習(xí))已知銳角內(nèi)角的對邊分別為.若.(1)求;(2)若,求的范圍.【典例5】(2023上·廣東廣州·高二廣東廣雅中學(xué)??计谥校┤鐖D,在平面四邊形中,點(diǎn)與點(diǎn)分別在的兩側(cè),對角線與交于點(diǎn),.
(1)若中三個(gè)內(nèi)角、、分別對應(yīng)的邊長為、、,的面積,,求和;(2)若,且,設(shè),求對角線的最大值和此時(shí)的值.【變式1】(2023上·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第二中學(xué)校考階段練習(xí))在中,角的對邊分別為,且,的面積為,則的值為.【變式2】(2023上·江蘇·高三江蘇省白蒲高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.(1)證明:.(2)求的取值范圍.【變式3】(2023·全國·高三專題練習(xí))在①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充到下面的問題中并作答.問題:在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且____.(1)求角C;(2)若,求的取值范圍.【變式4】(2023上·湖北·高二湖北省羅田縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知的內(nèi)角的對邊分別為,且.(1)求外接圓半徑.(2)求周長的最大值.題型10三角形(四邊形)中面積的定值,最值,范圍問題【典例1】(2023上·江蘇·高三海安高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))記的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知,.(1)求;(2)若D是邊上一點(diǎn),,且,求的面積,【典例2】(2023上·全國·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知中,在線段上,.(1)若,求的長;(2)求面積的最大值.【典例3】(2023·河北邢臺·寧晉中學(xué)??寄M預(yù)測)在中,內(nèi)角的對邊分別為,且.
(1)求B;(2)如圖,在AC的兩側(cè),且,求四邊形面積的最大值.【典例4】(2023下·江蘇南京·高一南京市江寧高級中學(xué)校聯(lián)考期末)的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.(1)求A;(2)若為銳角三角形,且,求面積的取值范圍.【變式1】(2023上·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí))在中,內(nèi)角所對的邊分別為,設(shè),(1)求角;(2)若,且,求面積的最大值.【變式2】(2023上·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試)已知函數(shù),的內(nèi)角所對的邊分別為,,且的外接圓的半徑為.(1)求角的大?。?2)求面積的最大值.【變式3】(2023下·內(nèi)蒙古·高二校聯(lián)考期末)如圖,在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中,,,的面積為.
(1)求的周長;(2)求面積的最大值.【變式4】(2023下·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中學(xué)??计谀┰阡J角三角形ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足.(1)求角A;(2)若,求△ABC的面積的最大值.題型11三角形中的中線問題方法一:中線向量化【典例1】(2023·河南·統(tǒng)考三模)在中,角的對邊分別為,,,且.(1)求角的大?。唬?)若邊上的中線,求三角形面積的最大值.【典例2】(2023上·江蘇南京·高三期末)銳角三角形中,角所對的邊分別為,且.(1)求角的大小;(2)若,為的中點(diǎn),求中線長的最大值.【變式1】(2023上·湖南岳陽·高二湖南省平江縣第一中學(xué)校考階
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