2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個熱點問題第39煉 傳統(tǒng)不等式的解法含答案

2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個熱點問題第39煉傳統(tǒng)不等式的解法第39煉傳統(tǒng)不等式的解法一、基礎(chǔ)知識1、一元二次不等式：可考慮將左邊視為一個二次函數(shù)，作出圖像，再找出軸上方的部分即可——關(guān)鍵點：圖像與軸的交點2、高次不等式（1）可考慮采用“數(shù)軸穿根法”，分為以下步驟：（令關(guān)于的表達(dá)式為，不等式為）①求出的根②在數(shù)軸上依次標(biāo)出根③從數(shù)軸的右上方開始，從右向左畫。如同穿針引線穿過每一個根④觀察圖像，尋找軸上方的部分尋找軸下方的部分（2）高次不等式中的偶次項，由于其非負(fù)性在解不等式過程中可以忽略，但是要驗證偶次項為零時是否符合不等式3、分式不等式（1）將分母含有的表達(dá)式稱為分式，即為的形式（2）分式若成立，則必須滿足分母不為零，即（3）對形如的不等式，可根據(jù)符號特征得到只需同號即可，所以將分式不等式轉(zhuǎn)化為（化商為積），進(jìn)而轉(zhuǎn)化為整式不等式求解4、含有絕對值的不等式（1）絕對值的屬性：非負(fù)性（2）式子中含有絕對值，通常的處理方法有兩種：一是通過對絕對值內(nèi)部符號進(jìn)行分類討論（常用）；二是通過平方（3）若不等式滿足以下特點，可直接利用公式進(jìn)行變形求解：①的解集與或的解集相同②的解集與的解集相同（4）對于其它含絕對值的問題，則要具體問題具體分析，通?？捎玫氖侄尉褪窍壤梅诸愑懻撊サ艚^對值，將其轉(zhuǎn)化為整式不等式，再做處理5、指對數(shù)不等式的解法：（1）先講一個不等式性質(zhì)與函數(shù)的故事在不等式的基本性質(zhì)中，有一些性質(zhì)可從函數(shù)的角度分析，例如：，可發(fā)現(xiàn)不等式的兩邊做了相同的變換（均加上），將相同的變換視為一個函數(shù)，即設(shè)，則，因為為增函數(shù)，所以可得：，即成立，再例如：，可設(shè)函數(shù)，可知時，為增函數(shù)，時，為減函數(shù)，即由以上兩個例子我們可以得出：對于不等式兩邊作相同變換的性質(zhì)，可將變換視為一個函數(shù)，則在變換時不等號是否發(fā)生改變，取決于函數(shù)的增減性。增函數(shù)→不變號，減函數(shù)→變號在這種想法的支持下，我們可以對不等式的變形加以擴展，例如：，則的關(guān)系如何？設(shè)，可知的單調(diào)減區(qū)間為，由此可判斷出：當(dāng)同號時，（2）指對數(shù)不等式：解指對數(shù)不等式，我們也考慮將其轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，那么在指對數(shù)變換的過程中，不等號的方向是否變號呢？先來回顧指對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：無論是還是，其單調(diào)性只與底數(shù)有關(guān)：當(dāng)時，函數(shù)均為增函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)均為減函數(shù)，由此便可知，不等號是否發(fā)生改變?nèi)Q于底數(shù)與1的大小，規(guī)律如下：時，時，進(jìn)而依據(jù)這兩條便可將指對不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解了（3）對于對數(shù)的兩個補充①對數(shù)能夠成立，要求真數(shù)大于0，所以在解對數(shù)不等式時首先要考慮真數(shù)大于0這個條件，如當(dāng)時，②如何將常數(shù)轉(zhuǎn)化為某個底的對數(shù)?？苫钣谩?”：因為，可作為轉(zhuǎn)換的橋梁例如：？某些不等式雖然表面形式復(fù)雜，但如果把其中一部分視為一個整體，則可對表達(dá)式進(jìn)行簡化，進(jìn)而解決問題，例如：，可將為視為一個整體，令，則，則不等式變?yōu)?，，兩邊可同取?為底對數(shù)6、利用換元法解不等式（1）換元：屬于化歸時常用的一種方法，本質(zhì)是研究對象的選取，不受題目所給字母的限制，而是選擇合適的對象能把陌生問題進(jìn)行化歸，轉(zhuǎn)化為能夠解決的問題。如上一個例子中，通過將視為整體，從而將不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式進(jìn)行求解（2）在換元的過程中，用新字母代替原來的字母和式子，將問題轉(zhuǎn)化為新字母的問題，從而要先了解新字母的取值范圍。即若換元，則先考慮新元的初始范圍（3）利用換元法解不等式的步驟通常為：①選擇合適的對象進(jìn)行換元：觀察不等式中是否有相同的結(jié)構(gòu)，則可將相同的結(jié)構(gòu)視為一個整體②求出新元的初始范圍，并將原不等式轉(zhuǎn)化為新變量的不等式③解出新元的范圍④在根據(jù)新元的范圍解的范圍二、典型例題：例1：解下列一元二次不等式：（1）（2）（3）（4）4-1解（1）4-1即與軸的交點為由圖像可得滿足的的范圍為不等式的解集為（2）令，則可解得：作圖觀察可得：或不等式的解集為（3）令，則中，則與軸無公共點，即恒在軸上方，注：由（1）（2）我們發(fā)現(xiàn)，只要是，開口向上的拋物線與軸相交，其圖像都是類似的，在小大根之間的部分，在小大根之外的部分，發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律，在解一元二次不等式時便有了更為簡便的口訣①讓最高次項系數(shù)為正②解的方程，若方程有解，則的解集為小大根之外，的解集為小大根之間，若方程無解，則作出圖像觀察即可（4）解：先將最高次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)：方程的根為不等式的解集為例2：解下列高次不等式：（1）（2）123（1）解：123則的根作圖可得：或不等式的解集為（2）思路：可知，所以只要，則恒正，所以考慮先將恒正恒負(fù)的因式去掉，只需解，可得且不等式的解集為小煉有話說：在解高次不等式時，穿根前可考慮先將恒正恒負(fù)的項去掉，在進(jìn)行穿根即可。穿根法的原理：它的實質(zhì)是利用圖像幫助判斷每個因式符號，進(jìn)而決定整個式子的符號，圖像中的數(shù)軸分為上下兩個部分，上面為的部分，下方為的部分。以例2（1）為例，當(dāng)時，每一個因式均大于0，從而整個的符號為正，即在數(shù)軸的上方（這也是為什么不管不等號方向如何，穿根時一定要從數(shù)軸右上方開始的原因，因為此時的符號一定為正），當(dāng)經(jīng)過時，由正變負(fù)，而其余的式子符號未變，所以的符號發(fā)生一次改變，在圖像上的體現(xiàn)就是穿根下來，而后經(jīng)過下一個根時，的符號再次發(fā)生改變，曲線也就跑到軸上方來了。所以圖像的“穿根引線”的實質(zhì)是在經(jīng)歷每一個根時，式子符號的交替變化。例3：解下列分式不等式：（1）（2）解：（1）不等式等價于不等式的解集為（2）不等式等價于解得：不等式的解集為例4：（1）（2）（3）分式不等式在分母符號不定的情況下，千萬不要用去分母的方式變形不等式（涉及到不等號方向是否改變），通常是通過移項，通分，將其轉(zhuǎn)化為再進(jìn)行求解解：（1）或不等式的解集為（2）不等式的解集為（3）思路：觀察發(fā)現(xiàn)分母很成立，所以考慮直接去分母，不等號的方向也不會改變，這樣直接就化為整式不等式求解了解：不等式的解集為例5：解不等式：（1）（2）解：（1）方法一：所解不等式可轉(zhuǎn)化為方法二：觀察到若要使得不等式成立，則，進(jìn)而內(nèi)部恒為正數(shù)，絕對值直接去掉，即只需解即可。解得不等式的解集為（2）思路：觀察可發(fā)現(xiàn)不等號左右兩端式子相同，一個數(shù)的絕對值大于它本身，則這個數(shù)一定是負(fù)數(shù)，所以直接可得：不等式的解集為小煉有話說：含絕對值的不等式要注意觀察式子特點，選擇更簡便的方法例6：解不等式：（1）（2）解：（1）含多個絕對值的問題，可通過“零點分段法”來進(jìn)行分類討論令兩個絕對值分別為零，解得：，作出數(shù)軸，將數(shù)軸分為三部分，分類討論①不等式變?yōu)棰跁r，不等式變?yōu)闀r不等式均成立③不等式變?yōu)榫C上所述：不等式的解集為小煉有話說：零點分段法的好處在于，一段范圍可將所有的絕對值一次性去掉，缺點在于需要進(jìn)行分類討論，對學(xué)生書寫的規(guī)范和分類討論習(xí)慣提出了要求，以及如何整理結(jié)果，這些細(xì)節(jié)部分均要做好，才能保證答案的正確性（2）思路：本題依然可以仿照（1）的方式進(jìn)行零點分段，再解不等式，但從另一個角度觀察，所解不等式為，兩邊均是絕對值（非負(fù)數(shù)），所以還可以考慮兩邊平方（所用不等式性質(zhì)：）一次將兩個絕對值去掉，再進(jìn)行求解。解：不等式的解集為例7：解下列不等式：（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）或不等式的解集為不等式的解集為（3）或不等式的解集為（4）或可解得：不等式的解集為例8：解下列不等式：（1）（2）（3）（4）（1）思路：，從而可將視為一個整體，則所解不等式可看做關(guān)于的二次不等式，解出的范圍，再反求的范圍即可解：令即不等式的解集為（2）思路：觀察到不等式左側(cè)的兩項存在真數(shù)底數(shù)互換位置的特點，聯(lián)想到對數(shù)公式：，從而選擇一項進(jìn)行變形（比如選擇)，再將視為一個整體解不等式，解出的范圍后進(jìn)而求出的范圍解：令不等式轉(zhuǎn)化為：或，即或可解得：或（3）令不等式轉(zhuǎn)化為：即不等式的解集為（4）思路：所解不等式等價于，本題可以考慮對的符號進(jìn)行討論，從而去掉絕對值解出不等式。但從另一方面，可發(fā)現(xiàn)，從而所解不等式轉(zhuǎn)化為：，將視為一個整體，先解出范圍，進(jìn)而解出的范圍解：令，所解不等式轉(zhuǎn)化為即即或不等式的解集為例9：已知不等式的解集為，則___，____思路：所解不等式，即，觀察可得只要讓第二個不等式成立，則第一個一定成立。所以只需解。由已知可得此不等式的解集為，則為的兩根，代入解得，再解得答案：小煉有話說：解多個同時成立的不等式時，不妨觀察它們之間是否存在“替代”關(guān)系，從而簡化所解不等式的個數(shù)例10：已知不等式的解集為，則的取值范圍是________思路：所給條件等價于的解集為，即的解集為，由此可得：解得：答案：第40煉利用函數(shù)性質(zhì)與圖像解不等式高中階段解不等式大體上分為兩類，一類是利用不等式性質(zhì)直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指對數(shù)不等式等）；一類是利用函數(shù)的性質(zhì)，尤其是函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行運算。相比而言后者往往需要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求解，考驗學(xué)生的觀察能力和運用條件能力，難度較大。本章節(jié)以一些典型例題來說明處理這類問題的常規(guī)思路。一、基礎(chǔ)知識：（一）構(gòu)造函數(shù)解不等式1、函數(shù)單調(diào)性的作用：在單調(diào)遞增，則(在單調(diào)區(qū)間內(nèi)，單調(diào)性是自變量大小關(guān)系與函數(shù)值大小關(guān)系的橋梁）2、假設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)遞增，，則時，;時，(單調(diào)性與零點配合可確定零點左右點的函數(shù)值的符號）3、導(dǎo)數(shù)運算法則：（1）（2）4、構(gòu)造函數(shù)解不等式的技巧：（1）此類問題往往條件比較零散，不易尋找入手點。所以處理這類問題要將條件與結(jié)論結(jié)合著分析。在草稿紙上列出條件能夠提供什么，也列出要得出結(jié)論需要什么。兩者對接通?？梢源_定入手點（2）在構(gòu)造函數(shù)時要根據(jù)條件的特點進(jìn)行猜想，例如出現(xiàn)輪流求導(dǎo)便猜有可能是具備乘除關(guān)系的函數(shù)。在構(gòu)造時多進(jìn)行試驗與項的調(diào)整（3）此類問題處理的核心要素是單調(diào)性與零點，對稱性與圖像只是輔助手段。所以如果能夠確定構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，猜出函數(shù)的零點。那么問題便易于解決了。（二）利用函數(shù)性質(zhì)與圖像解不等式：1、軸對稱與單調(diào)性：此類問題的實質(zhì)就是自變量與軸距離大小與其函數(shù)值大小的等價關(guān)系。通?？勺鞑輬D幫助觀察。例如：的對稱軸為，且在但增。則可以作出草圖（不比關(guān)心單調(diào)增的情況是否符合，不會影響結(jié)論），得到：距離越近，點的函數(shù)值越小。從而得到函數(shù)值與自變量的等價關(guān)系2、圖像與不等式：如果所解不等式不便于用傳統(tǒng)方法解決，通常的處理手段有兩種，一類是如前文所說可構(gòu)造一個函數(shù)，利用單調(diào)性與零點解不等式；另一類就是將不等式變形為兩個函數(shù)的大小關(guān)系如，其中的圖像均可作出。再由可知的圖像在圖像的下方。按圖像找到符合條件的范圍即可。二、典型例題：例1：定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足：，，則的解集為（）A.B.C.D.思路：本題并沒有的解析式，所以只能考慮利用函數(shù)的單調(diào)性來解不等式。由條件可得，進(jìn)而聯(lián)想到有可能是通過導(dǎo)數(shù)的乘除運算法則所得，再結(jié)合所解不等式，發(fā)現(xiàn)，剛好與條件聯(lián)系起來，故設(shè)，則在上單調(diào)遞減。，所以的解集為答案：C小煉有話說：（1）在解題過程中目標(biāo)要明確：既然不能用傳統(tǒng)方法解不等式，則要靠函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而目標(biāo)為構(gòu)造函數(shù)并求單調(diào)性，要確定單調(diào)性則要分析所構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號（2）此題構(gòu)造的關(guān)鍵點有二：一是輪流求導(dǎo)的特點，進(jìn)而聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)乘除法運算，二是所求不等式所給予的“暗示”。所以解此類題目一定要讓條件與結(jié)論“對上話”（3）體會條件的作用：提供零點以便配合單調(diào)性求解例2：函數(shù)的定義域為，，對任意的，有，則的解集是；思路：所解不等式化為，令，則由可得（這也是為何構(gòu)造的原因），在上單調(diào)遞增?？紤]，答案：例3：設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集為_________思路：由可得原函數(shù)（注意由導(dǎo)函數(shù)反求原函數(shù)時要帶個常數(shù)），再由可得，（看到函數(shù)解析式的反應(yīng)：定義域？奇偶性？）顯然是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增。進(jìn)而不等式可利用單調(diào)性解出的范圍。，所以答案：小煉有話說：（1）本題盡管求出的的解析式，但由于靠解析式所解得不等式過于復(fù)雜，所以依然選擇利用單調(diào)性（2）要掌握一些能直接判斷單調(diào)性與奇偶性的方法，常見的判斷方法如下：奇偶性：①奇+奇→奇②偶+偶→偶③奇×奇→偶④奇×偶→奇⑤偶×偶→偶單調(diào)性：①增+增→增②減+減→減③增×（-1）→減④1/增→減（僅在函數(shù)值恒正或恒負(fù)時成立）（3）本題求解有一個重要細(xì)節(jié)：由于定義在上，所以要保證均在上（4）要培養(yǎng)一個習(xí)慣：拿到函數(shù)，首先看定義域，其次看函數(shù)的三個性質(zhì)是否有能直接判斷的（尤其奇偶性），再根據(jù)條件分析。例4：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時，有成立，則不等式的解集是（）A．B．C．D．思路：，令，則在單調(diào)遞增，因為是奇函數(shù)，所以可判斷為偶函數(shù)。另一方面，的解集與的解集相同，進(jìn)而只需求出的解集。，由增函數(shù)可得時，，由對稱性可知時，答案：D例5：若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù).如果實數(shù)滿足時，那么的取值范圍是.思路：根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，而與互為相反數(shù)的特點可化簡所求不等式：，由偶函數(shù)與單調(diào)性作草圖可得：距離軸約近，函數(shù)值越小，所以可得，解出的范圍即可解：所解不等式等價于：為偶函數(shù)為偶函數(shù)，且上單增答案：小煉有話說：遇到單調(diào)性與對稱軸已知的函數(shù)，可以作草圖并得到距離對稱軸遠(yuǎn)近與函數(shù)值的大小的等價關(guān)系。例6：已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且為偶函數(shù)，，則不等式的解集為____________思路：考慮條件能夠提供什么，為偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱的圖像關(guān)于軸對稱；，由輪流求導(dǎo)的特點聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)的乘除運算法則（極有可能是除法，則要猜想分母），觀察所求不等式與條件的聯(lián)系，而，進(jìn)而找到聯(lián)系。構(gòu)造函數(shù)，則，得到在單調(diào)遞增，所解不等式也變?yōu)榍蟮慕?。考慮時的值，再利用單調(diào)性求解。，而，考慮，圖像關(guān)于軸對稱，故,由在單調(diào)遞增可得的解集為答案：小煉有話說：（1）本題所給條件比較零散。而解題思路則是像一根線把各個條件與求解聯(lián)系起來。此類題目在不知如何入手時不妨先將條件進(jìn)行簡單轉(zhuǎn)化，看條件能提供什么，再與所求部分（或者是選擇題中的選項）進(jìn)行對照。從對照中往往就能夠得知如何構(gòu)造函數(shù)。（2）本題對條件的利用，以及猜想的解是一個難點。對于指對數(shù)運算，結(jié)果比較整齊時（尤其是），要想到一些特殊結(jié)果，比如等。例7：設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集為（）A.B.C.D.思路：此題一入手便發(fā)現(xiàn)需用函數(shù)單調(diào)性解不等式，觀察條件：出現(xiàn)輪流求導(dǎo)，所解不等式中，均具備“”的形式，進(jìn)而找到連結(jié)條件與所求的橋梁。下面對條件進(jìn)行變形：(注意，不等式變號），令，則，故在上單調(diào)遞減。所解不等式變?yōu)榇鸢福篊小煉有話說：此題在處理條件時也有另一個選擇，即，但是這與所求不等式之間沒有聯(lián)系（不等式中沒有出現(xiàn)的形式），所以此套方案舍棄，將僅僅用于判斷符號。在數(shù)學(xué)題目中，條件就像樹狀圖一樣，一個條件可以引出很多種思路與想法。但是如何進(jìn)行選取要借助其他條件與所求帶來的暗示例8：（2015紅橋一模）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：本題如果按照傳統(tǒng)不等式解法，則要通過零點分段法去掉絕對值，再解不等式，過程較為復(fù)雜。分析，，每一段均可作出圖像，而所解不等式在圖像上是位于下方的部分。所以作出圖像找到邊界值：，解得，，解得：，所以滿足的的范圍是答案：B例9：已知，若同時滿足條件：①或；②，則的取值范圍是__________思路：本題如果用代數(shù)方法求解，則由于本身含參，在解含參不等式時涉及分類討論較為復(fù)雜，同時對于條件①②，均可翻譯為圖像上的特點，①表示的圖像在每一點處至少有一個在軸下方，②表示在中至少存在一個位置，分居軸兩側(cè)；再考慮到圖像便于作出，所以可用數(shù)形結(jié)合求出的范圍解：因為為常系數(shù)函數(shù)，先做出圖像由圖像可得：時，，故圖像必為開口向下的拋物線（否則不滿足條件①），可得，與軸有兩個交點，結(jié)合條件①②可得，較小的根應(yīng)小于，較大的根應(yīng)小于1。故對進(jìn)行分類討論：或解得：答案：例10：定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足：，當(dāng)時，，則不等式的解集為__________思路：不易入手時可先梳理條件與結(jié)論能提供什么：①所解不等式，令，可猜出，進(jìn)而目標(biāo)轉(zhuǎn)向求的單調(diào)性。②（注：是復(fù)合函數(shù)，求導(dǎo)時要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：），想辦法確定其符號③：兩邊求導(dǎo)可得④當(dāng)時：此為用表示的一個條件，進(jìn)而有可能將中抽象的表示出來由此發(fā)現(xiàn)，只要能確定當(dāng)時與的關(guān)系，即可處理的符號，聯(lián)系條件③當(dāng)時，，，進(jìn)而單調(diào)遞減時，答案：小煉有話說：（1）在解決此類條件零碎的問題時，除了將所給條件和結(jié)論進(jìn)行進(jìn)一步的分析外，還要在做得過程中明確下一步需要做什么，需要得到什么。（2）在考試中本題也可利用特殊函數(shù)得到答案。由可構(gòu)造一個符合條件的函數(shù)如“+奇函數(shù)”的形式。在根據(jù)進(jìn)行調(diào)整。例如，然后求解不等式即可。（因為從題目上看可發(fā)現(xiàn)只要滿足條件的函數(shù)均可使不等式的解集相同）三、歷年好題精選1、已知定義域為的函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（）A.B.C.D.2、若關(guān)于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是_______3、（2014，慶安高三期中）設(shè)，則不等式的解集為（）A．B．C．D．4、（2016，北京西城高三期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若不等式的解集為，則實數(shù)的值為____.5、設(shè)不等式的解集為，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.6、設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）A.B.C.D.7、（2015新課標(biāo)II）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的的范圍是（）A.B.C.D.8、（2014，新課標(biāo)全國卷II）已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，，若，則的取值范圍是_______9、（2014，浙江）設(shè)函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是________10、（2016，重慶萬州二中）已知定義在實數(shù)集的函數(shù)滿足，且導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（）A.B.C.D.11、設(shè)偶函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A.B.C.D.12、已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集是_______.13、設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.14、設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，在上有且，則不等式的解集為__________15、設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對任意的，有，且時，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.16、定義在上的函數(shù)滿足：則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A.B.C.D.17、已知函數(shù)則不等式的解集是（） A． B． C． D．18、定義在上的函數(shù)滿足：，且對于任意的,都有，則不等式的解集為__________________.習(xí)題答案：1、答案：C解析：由為偶函數(shù)可知關(guān)于軸對稱，因為在上單調(diào)遞減，所以結(jié)合對稱性與單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合可知距離越近的點，函數(shù)值越大。則，即，可解得：2、答案：解析：不等式變形為：，設(shè)結(jié)合圖像可知：若不等式有解，則的圖像有位于下方的部分，所以，解得3、答案：C解析：若，則，所以有若時，可得：解得：，所以綜上所述：不等式的解集為4、答案：1解析：由圖像可知：當(dāng)?shù)姆秶鷳?yīng)該在，即不等式的解集為：，依題意可得：5、答案：A解析：分兩種情況，若，則解得，當(dāng)設(shè)方程的兩根為，則問題轉(zhuǎn)化為，從而用根分布進(jìn)行求解，設(shè)，則：，解得：，綜上所述，可得：6、答案：A解析：由可知為偶函數(shù)，當(dāng)時，可判斷出單調(diào)遞增，由對稱性和單調(diào)性通過作圖可知：距離軸越近，則函數(shù)值越小。所以，解得7、答案：A解析：設(shè)，所以為偶函數(shù)，且，由已知可得：時，，所以在單調(diào)遞減。由為奇函數(shù)可知，所以，所以可得時，，從而，同理時，，再由奇函數(shù)的特點可得時，。綜上所述：時，8、答案：解析：令，則先解，在單調(diào)遞減，時，是偶函數(shù)的解集為9、答案：解析：通過數(shù)形結(jié)合處理，的圖像如圖所示，令，則先解，由圖可得：即，再由圖可知10、答案：D解析：由可得：，設(shè)，可得為減函數(shù)，。所解不等式中令，則，即解，由為減函數(shù)及可知。蘇喲喲11、答案：B思路：是偶函數(shù)，在中可得時，，由對稱性可得：時，，所以對于不等式，只需，解得：12、答案：思路：雖然有具體解析式，但若代入解析式，則形式過于復(fù)雜，所以考慮利用函數(shù)性質(zhì)求解。分析可得以下性質(zhì)：①定義域；②可判定單調(diào)遞增；③可判定為奇函數(shù)，從而進(jìn)而可得：，解得：注：本題解題時要注意應(yīng)在定義域之中，也是本題的易錯點13、答案：A解析：方法一：當(dāng)時，，解得：，當(dāng)時，，解得：，綜上可得：方法二：本題分段函數(shù)易于作圖，可以考慮作圖，所解不等式為位于水平線上方的部分，計算出臨界值再利用圖像直接寫出解集14、答案：解析：為奇函數(shù)為奇函數(shù)設(shè)為偶函數(shù)，故只需考慮的情況即可，即在單調(diào)遞減時有偶函數(shù)性質(zhì)可得：的解集為15、答案：B解析：所解不等式?jīng)]有具體表達(dá)式，考慮利用函數(shù)性質(zhì)求解。由可得：，構(gòu)造函數(shù)，可猜得：，進(jìn)而考慮的單調(diào)性。，若要判斷的符號，首要解決。條件提供了將放縮為表達(dá)式的方式，但僅局限于，而所求并不知其符號，所以考慮解決的情況。由，當(dāng)時，，，可得或時，均有，從而，可得單調(diào)遞減。再由可得：的解集為16、答案：A思路：這道題條件零散，尋找其中的聯(lián)系。所求不等式中有，而在所給不等式中存在輪流求導(dǎo)，想到導(dǎo)數(shù)的乘除法則。兩邊同乘（只有的導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)相同），單調(diào)遞增，由此再觀察所求不等式便會發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，，由單調(diào)性可得當(dāng)時，，即17、答案：B通過作圖可得：只需，即或18、答案：解析：設(shè)，即解不等式，因為，所以，設(shè)，則為減函數(shù)，且時，，所以第41煉指對數(shù)比較大小在填空選擇題中我們會遇到一類比較大小的問題，通常是三個指數(shù)和對數(shù)混在一起，進(jìn)行排序。這類問題如果兩兩進(jìn)行比較，則花費的時間較多，所以本講介紹處理此類問題的方法與技巧一、一些技巧和方法1、如何快速判斷對數(shù)的符號？八字真言“同區(qū)間正，異區(qū)間負(fù)”，容我慢慢道來：判斷對數(shù)的符號，關(guān)鍵看底數(shù)和真數(shù)，區(qū)間分為和（1）如果底數(shù)和真數(shù)均在中，或者均在中，那么對數(shù)的值為正數(shù)（2）如果底數(shù)和真數(shù)一個在中，一個在中，那么對數(shù)的值為負(fù)數(shù)例如：等2、要善于利用指對數(shù)圖像觀察指對數(shù)與特殊常數(shù)（如0,1）的大小關(guān)系，一作圖，自明了3、比較大小的兩個理念：（1）求同存異：如果兩個指數(shù)（或?qū)?shù)）的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷出指數(shù)（或?qū)?shù)）的關(guān)系，所以要熟練運用公式，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況例如：，比較時可進(jìn)行轉(zhuǎn)化，盡管底數(shù)難以轉(zhuǎn)化為同底，但指數(shù)可以變?yōu)橄嗤瑥亩恍璞容^底數(shù)的大小即可（2）利用特殊值作“中間量”：在指對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“0,1”對所比較的數(shù)進(jìn)行劃分，然后再進(jìn)行比較，有時可以簡化比較的步驟（在兵法上可稱為“分割包圍，各個擊破”，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計，例如，可知，進(jìn)而可估計是一個1點幾的數(shù)，從而便于比較4、常用的指對數(shù)變換公式：（1）（2）（3）（4）換底公式：進(jìn)而有兩個推論：（令）二、典型例題：例1：設(shè)，則的大小關(guān)系是______________思路：可先進(jìn)行分堆，可判斷出，從而肯定最大，只需比較即可，觀察到有相同的結(jié)構(gòu)：真數(shù)均帶有根號，抓住這個特點，利用對數(shù)公式進(jìn)行變換：，從而可比較出，所以答案：例2：設(shè)，則的大小關(guān)系是___________思路：觀察發(fā)現(xiàn)均在內(nèi)，的真數(shù)相同，進(jìn)而可通過比較底數(shù)得到大小關(guān)系：，在比較和的大小，由于是指數(shù)，很難直接與對數(shù)找到聯(lián)系，考慮估計值得大?。?，可考慮以為中間量，則，進(jìn)而，所以大小順序為答案：例3：設(shè)則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.思路：觀察到都是以為底的對數(shù)，所以將其系數(shù)“放”進(jìn)對數(shù)之中，再進(jìn)行真數(shù)的比較。發(fā)現(xiàn)真數(shù)的底與指數(shù)也不相同，所以依然考慮“求同存異”，讓三個真數(shù)的指數(shù)一致：，通過比較底數(shù)的大小可得：答案：