2024年3月全國乙卷高三數(shù)學(xué)（理）模擬聯(lián)考試題附答案解析

2024年3月全國乙卷高三數(shù)學(xué)（理）模擬聯(lián)考試題（考試時間120分鐘滿分150分）2024.03一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，若的子集有4個，則的值為（

）A． B． C．2 D．32．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標為（

）A． B． C． D．3．已知點A，B，C，D為平面內(nèi)不同的四點，若，且，則（

）A． B． C． D．4．近幾年隨著AI技術(shù)的發(fā)展，虛擬人的智能化水平得到極大的提升，虛擬主播逐步走向商用，如圖為2014～2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)（較上一年增加的數(shù)量）條形圖，根據(jù)該圖，下列說法正確的是（

）

A．2014～2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊數(shù)量逐年增加B．2014～2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的中位數(shù)為410C．2014～2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的極差為915D．從圖中9年企業(yè)注冊增加數(shù)字中任取2個數(shù)字，這兩個數(shù)字的平均數(shù)大于110的概率5．如圖，網(wǎng)格紙中小正方形的邊長為，粗線畫出的是某體育比賽領(lǐng)獎臺三視圖，則該領(lǐng)獎臺除去下底面的所有面的面積之和為（

）A． B． C． D．6．已知實數(shù)滿足約束條件，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．中，則的面積為（

）A． B． C． D．8．若存在過原點的直線與函數(shù)的圖象切于軸右側(cè)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．9．知名數(shù)學(xué)教育家單墫曾為中學(xué)生寫了一個小冊子《十個有趣的數(shù)學(xué)問題》，其中提到了開普勒的將球裝箱的方法：考慮一個棱長為2的正方體，分別以該正方體的8個頂點及6個面的中心為球心作半徑為的球，這此球在正方體內(nèi)的體積之和與正方體的體積之比為（

）A． B． C． D．10．已知點O為坐標原點，點A為直線（）與橢圓C：（）的一個交點，點B在C上，OA⊥OB，若，則C的長軸長為（

）A． B．3 C． D．611．已知，，，則（

）A． B． C． D．12．已知第一象限內(nèi)的點P在雙曲線（，）上，點P關(guān)于原點的對稱點為Q，，，是C的左、右焦點，點M是的內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心），M在x軸上的射影為，記直線的斜率分別為，，且，則C的離心率為（

）A．2 B．8 C． D．二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．的展開式中x的系數(shù)為.14．函數(shù)是偶函數(shù)，則.15．平面幾何中有一個著名的塞爾瓦定理：三角形任意一個頂點到其垂心（三角形三條高的交點）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂點對邊距離的2倍．若點A，B，C都在圓E上，直線BC方程為，且，△ABC的垂心在△ABC內(nèi)，點E在線段AG上，則圓E的標準方程.16．已知，給出下列命題：①的圖象關(guān)于點對稱；②的值域為；③在區(qū)間上有33個零點；④若方程在區(qū)間有4個不同的解，其中，則的取值范圍是.其中所有正確命題的序號為.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且成等比數(shù)列.(1)求；(2)若，數(shù)列的前項和為，求.18．如圖，在三棱錐中，，其余各棱的長均為6，點在棱上，，過點的平面與直線垂直，且與，分別交于點，．(1)確定，的位置，并證明你的結(jié)論；(2)求直線與平面所成角的正弦值．19．某高中數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習(xí)了統(tǒng)計案例后，準備利用所學(xué)知識研究成年男性的臂長y（cm）與身高x（cm）之間的關(guān)系，為此他們隨機統(tǒng)計了5名成年男性的身高與臂長，得到如下數(shù)據(jù)：x159165170176180y6771737678(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；(3)從5名樣本成年男性中任取2人，記這2人臂長差的絕對值為X，求．參考數(shù)據(jù)：，，參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．20．已知傾斜角為（）的直線l與拋物線C：（）只有1個公共點A，C的焦點為F，直線AF的傾斜角為．(1)求證：；(2)若，直線l與直線交于點P，直線AF與C的另一個交點為B，求證：．21．已知函數(shù)（），．(1)若，的導(dǎo)數(shù)分別為，，且，求a的取值范圍；(2)用表示a，b中的最小值，設(shè)，若，判斷的零點個數(shù)．（二）選考題：共10分.請考生在第22?23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22．在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.(1)求直線的極坐標方程；(2)若直線與交于點，求的周長.選修4-5：不等式選講23．已知.(1)若，求的最小值；(2)若，證明：.1．C【分析】根據(jù)題意，得到中有2個元素，且這兩個元素為和，即可求解.【詳解】由集合，因為，且的子集有4個，可得中有2個元素，則這兩個元素為和，所以.故選：C.2．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，化簡得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的運算法則，可得，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為.故選：A.3．D【分析】由已知整理可得，然后由坐標運算可得.【詳解】由得，即，即，又，所以.故選：D．4．ACD【分析】根據(jù)已知條件及圖表，利用中位數(shù)和極差的定義，結(jié)合古典概型的概率公式及對立事件的概率公式即可求解.【詳解】對A，由每年增加數(shù)均為正數(shù)，可得A正確；對B，2014～2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的中位數(shù)為121，B錯誤；對C，2014～2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的極差為，C正確；對D，當且僅當從33，48，76，84，121中任取兩個數(shù)字，其平均數(shù)均不大于110，所以所求概率為，D正確.故選：ACD．5．B【分析】根據(jù)三視圖可得組合體，根據(jù)面積公式可求所有面的面積之和.【詳解】解法一：該領(lǐng)獎臺可看作由3個長方體構(gòu)成的組合體，每個長方體的底面都是邊長為的正方形，冠軍臺高，亞軍臺高，季軍臺高，該領(lǐng)獎臺除去下底面的所有面的面積之和為3個長方體的表面積之和減去3個邊長為的正方形面積，減去2個底邊長為高為的矩形面積，減去2個底邊長為高為的矩形面積，即，解法二：該領(lǐng)獎臺可看作由3個長方體構(gòu)成的組合體，每個長方體的底面都是邊長為的正方形，冠軍臺高，亞軍臺高，季軍臺高，前后兩個面的面積之和為，上面3個面的面積之和為，余下側(cè)面的面積之和為，所以該組合體除去下底面的所有面的面積之和為，故選：B.6．C【分析】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形，得出目標函數(shù)的最優(yōu)解，求得目標函數(shù)的最值，即可求解.【詳解】如圖所示，畫出不等式組表示的可行域是以為頂點的三角形區(qū)域，設(shè)，則，作直線，把該直線平移到點處取得最大值，，平移到點處取得最小值，，所以的取值范圍是.故選：C.

7．B【分析】根據(jù)題意，利用余弦定理求得，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.【詳解】因為，由余弦定理得，所以，所以的面積為.故選：B.8．D【分析】先求得，設(shè)切點為，根據(jù)，列出方程，得到，結(jié)合方程的根，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，設(shè)切點為，可得，即，整理得，解得或（舍去），因為存在過原點的直線與函數(shù)的圖象切于軸右側(cè)，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.9．D【分析】首先確定條件中的球落在正方體的部分，再求體積，即可求解.【詳解】以8個頂點為球心的球各有在正方體內(nèi)，以6個面的中心為球心的球各有在正方體內(nèi)，所以這些球在正方體的體積之和為4個半徑為的球的體積之和，所以這些球在正方體內(nèi)的體積之和與正方體的體積之比為.故選：D10．C【分析】將直線與橢圓聯(lián)立，求出，利用兩直線垂直的條件，進而求出，再利用兩點的距離公式及橢圓長軸長定義即可求解.【詳解】設(shè)，，由，得，由OA⊥OB可得，所以，，所以，所以，，C的長軸長為，故選：C．11．A【分析】根據(jù)已知條件及構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)的正負與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，再利用作差法、對數(shù)的運算及基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)（），則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，，，所以，故選：A．【點睛】關(guān)鍵點睛：利用構(gòu)造法和作差法，再利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及基本不等式即可.12．A【分析】根據(jù)切線性質(zhì)和雙曲線定義求得，然后由斜率公式和點P在雙曲線上整理化簡，結(jié)合已知求解可得.【詳解】設(shè)圓M與，分別切于點A，B，則，，且，所以，點，

設(shè)，，則，所以，，，所以，.故選：A．【點睛】方法點睛：本題主要考查雙曲線的離心率求解問題.解決圓錐曲線的離心率問題，一般離不開圓錐曲線的定義，如果有角的條件，則常常要用到正余弦定理，如果有三角形的內(nèi)切圓條件，一般與切線性質(zhì)或三角形的等面積轉(zhuǎn)化有關(guān)，遇到線段的比值時，經(jīng)常需要利用相似形轉(zhuǎn)化.13．【分析】利用二項式定理的展開式從而可求解.【詳解】，的展開式為，所以可得x的系數(shù)為.故答案為：.14．【分析】根據(jù)題意，利用列出方程，結(jié)合對數(shù)的運算，即可求解.【詳解】因為是偶函數(shù)，可得，所以.故答案為：.15．【分析】首先根據(jù)塞爾瓦定理以及圓的幾何性質(zhì)，求解和，并求直線的方程，求解點的坐標，即可求解圓的方程.【詳解】由△ABC的垂心到直線BC距離，設(shè)圓E半徑為r，由塞爾瓦定理可得，由圓的幾何性質(zhì)可得，聯(lián)立解得，，因為直線BC方程為，,且，所以直線EG方程為，設(shè)，則E到直線BC距離，解得（舍去）或，所以圓E的標準方程為．故答案為：16．①②④【分析】對于①，計算得到，得到①正確；對于②，求出是以為周期的周期函數(shù)，分和兩種情況，求出函數(shù)的值域；對于③，，故或，求出零點個數(shù)；對于④，結(jié)合是以為周期，得到的根的分布特點，從而得到，并得到的取值范圍，得到答案.【詳解】對于①，，故，可得①正確；對于②，，故是以為周期的周期函數(shù)，當時，，，則，當時，，，則，綜上，的值域為，②正確；對于③，，令得或，，所以在上有31個零點，③錯誤；對于④，是以為周期的周期函數(shù)，當時，在上有2個實根，且，當時在上沒有實根，在上有2個實根，且，，在區(qū)間有4個不同的解，所以，所以的取值范圍是，④正確，故答案為：①②④.【點睛】函數(shù)零點問題：將函數(shù)零點問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點之和問題，通常考慮圖象的對稱性進行解決.17．(1)；(2)【分析】（1）利用題目條件得到方程組，求出首項和公差，排除不合要求的解，得到通項公式；（2）當為偶數(shù)時，，當時，，當，，從而得到，結(jié)合等差數(shù)列求和公式求出答案.【詳解】（1）由題意得，由得，所以，因為成等比數(shù)列，所以，即，把代入上式得，解得或，當時，，不符合題意，當時，，所以；（2）因為，當為偶數(shù)時，，當時，，當，，所以.18．(1)答案見解析，證明見解析(2)【分析】（1）首先根據(jù)幾何體的特征作輔助線，取中點，連接，，并證明平面，再結(jié)合垂直和平行的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即可確定，的位置；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，建立空間直角坐標系，并求平面的法向量，根據(jù)線面角的向量法，即可求解.【詳解】（1）取中點，連接，，由已知可得，所以，，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，過作的平行線與的交點即為，過作的平行線與的交點即為，因為，所以，，所以當，時，平面與直線垂直．（2）由題意可得，因為，所以，以為原點，直線，分別為軸，軸，過點與平面垂直的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，所以，，．設(shè)平面的一個法向量為，則有，得，取，得，設(shè)直線DA與平面DEF所成角為，則，所以直線DA與平面DEF所成角的正弦值為．19．(1)說明見解析(2)(3)【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)的計算公式即可得解；（2）利用已知數(shù)據(jù)和公式得到關(guān)于的線性回歸方程;（3）根據(jù)已知條件求出隨機變量X的取值，利用古典概型的概率公式計算隨機變量取值相應(yīng)的概率，再利用離散型隨機變量的期望公式即可求解.【詳解】（1）由表中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得，，，，，，，∴．因為y與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.997，說明y與x的線性相關(guān)程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．（2）由及（1）得，，所以y關(guān)于x的回歸方程為．（3）X的取值依次為2，3，4，5，6，7，9，11，，，，，，，，,X的分布列X所以.20．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)出，得直線的方程為再與拋物線方程聯(lián)立并結(jié)合只有一個切點可得，從而可求解.（2）設(shè)，則直線的方程設(shè)為，與拋物線聯(lián)立后，分別求出其兩根關(guān)系，從而可求解.【詳解】（1）設(shè)，則l的方程為，與聯(lián)立得，因為直線l與拋物線C只有1個公共點，所以，整理得，所以，又，所以，因為，，所以，，所以．（2）時，C的方程為，把，代入得l的方程為，把代入得，所以，由（1）知，，設(shè)，設(shè)直線AB方程為，與聯(lián)立得，t，是該方程的兩個根，所以，所以，所以，所以.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.21．(1)(2)答案見解析【分析】（1）求時的范圍，由題意可知，在的范圍下恒成立，進行參變分離可求出的取值范圍；（2）由題意可知，，當時，通過求的范圍可判斷，當時，通過比較和的正負，可判斷的零點個數(shù).【詳解】（1）因為（），所以，由得，因為，所以，所以問題轉(zhuǎn)化為