2024年天津大學(xué)附中高二數(shù)學(xué)下學(xué)期3月考試卷附答案解析

年天津大學(xué)附中高二數(shù)學(xué)下學(xué)期3月考試卷2024.03一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分.1．已知，則（

）A．2 B．5 C．2或5 D．2或62．已知函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C． D．3．曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．2 D．34．用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（

）A．40個 B．42個 C．48個 D．52個5．有6個座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有（）A．36種 B．48種 C．72種 D．96種6．已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則的解集是（

）A． B． C． D．7．在的展開式中，含的系數(shù)是（

）A．83 B．84 C．55 D．888．2010年廣州亞運(yùn)會結(jié)束了，某運(yùn)動隊(duì)的7名隊(duì)員合影留念，計(jì)劃站成一橫排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中間.則理論上他們的排法有(

)A．3864種 B．3216種 C．3144種 D．2952種9．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4）二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分.11．已知函數(shù)，則曲線在處的切線方程為.12．已知函數(shù)在時有極值0，則．13．在的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則常數(shù)項(xiàng)等于．14．在的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為15．在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎．將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有種(用數(shù)字作答)．16．漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，“趙爽弦圖”如圖所示，由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成，現(xiàn)有五種不同的顏色可供涂色，要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方案有種（用數(shù)字作答）.17．的展開式中的系數(shù)為．18．若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．三、解答題：本題共3小題，共36分.19．求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)；(2)．(3)；(4)．20．已知二項(xiàng)式的展開式中，第7項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，(1)求的值；(2)求展開式中所有有理項(xiàng)21．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1．C【解析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可得或，解方程即可.【詳解】由，可得或，解得或5.故選：C2．D【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的概念，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念，可得.故選：D.3．C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列式求解，即可求得答案.【詳解】由，得，由于曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，故，故選：C4．D【分析】分最后一位分別為0，2，4三種情況求解即可.【詳解】當(dāng)最后一位是時，共有種情況；當(dāng)最后一位是時，共有種情況；當(dāng)最后一位時，共有種情況，所以共有個.故選：D5．C【詳解】恰有2個空座位相鄰，相當(dāng)于2個空位與第3個空位不相鄰，先排3個人，將2個空位看作一個整體，然后插空，從而不同的坐法共有.6．A【分析】根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，將化為，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得答案.【詳解】令，，則，故在上單調(diào)遞減，結(jié)合，得，由，得，即，則，即的解集是，故選：A7．A【分析】先求出各項(xiàng)二項(xiàng)式中含的系數(shù)，利用組合數(shù)的計(jì)算即可求解.【詳解】展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：A8．B【分析】根據(jù)題意，分3種情況討論：①、甲在右端，分乙在中間與乙不在中間，再安排丙的位置，最后再將剩余的4個人全排列；②、若甲在中間，分丙在右端與丙不在右端兩種，情況同①.③、若甲不在中間也不在右端，先排甲，有4種方法，再排乙，分乙在中間與乙不在中間，再安排丙的位置，最后再將剩余的4個人全排列；最后由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分3種情況討論：①、甲在右端，若乙在中間，則丙有5個位置可選，再將剩余的4個人全排列，安排在其余的4個位置，有種情況；甲在右端，若乙不在中間，則乙還有5個位置可選，此時丙還有4個位置可選，再將剩余的4個人全排列，安排在其余的4個位置，有種情況；兩種情況合并，共有種情況；②、若甲在中間，分丙在右端與丙不在右端兩種，情況同①.共有種情況；③、若甲不在中間也不在右端，先排甲，有4種方法，再排乙，乙若在中間，則丙有5種排法；乙若不在中間，則乙有4種排法，此時丙有4種排法；最后，將剩余的4個人全排列，安排在其余的4個位置，共有種情況；綜上，則共有種不同的站法．故選：B.9．C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過在上單調(diào)遞減，列出不等式然后通過函數(shù)的最值求解實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知在上恒成立，所以在上恒成立.令，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞琙，所以，所以，解得，即的取值范圍是.故選：C.10．B【詳解】試題分析：,易知，所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理在間有零點(diǎn).考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)及函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理，若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上聯(lián)系且單調(diào)，且f（a）?f（b）＜0，則函數(shù)在區(qū)間（a，b）上有唯一零點(diǎn)，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想的應(yīng)用.11．【分析】求導(dǎo)，求出，，根據(jù)斜率和切點(diǎn)即可寫出切線方程.【詳解】由已知，則，又，即切點(diǎn)為，所以曲線在處的切線方程為.故答案為：.12．11【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意列出方程組，求得的值，經(jīng)驗(yàn)證后，即可確定的值，即可求得答案.【詳解】由函數(shù)，得，由題意得，解得或，當(dāng)時，，僅當(dāng)時等號成立，此時在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；當(dāng)時，，令，則或，令，則，即在上均單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極小值，且，則，即符合題意，故，故答案為：1113．252【解析】根據(jù)展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，求得．在展開式的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于0，求得的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)．【詳解】∵在的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，∴，解得，∴中，，∴當(dāng)，即時，常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：252．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．14．【分析】先由二項(xiàng)式系數(shù)最大確定,再由通項(xiàng)公式求含項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】由只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大可得：.∴通項(xiàng)公式，令，解得.∴展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.15．60【詳解】試題分析：當(dāng)一，二，三等獎被三個不同的人獲得，共有種不同的方法，當(dāng)一，二，三等獎被兩個不同的人獲得，即有一個人獲得其中的兩個獎，共有,所以獲獎的不同情況有種方法,故填：60.考點(diǎn)：排列組合【方法點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合和分類計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題型，重點(diǎn)是分析不同的獲獎情況包含哪些情況，其中一，二，三等獎看成三個不同的元素，剩下的5張無獎獎券看成相同元素，那8張獎券平均分給4人，每人2張，就可分為三張獎券被3人獲得，或是被2人獲得的兩種情況，如果是被3人獲得，那這4組獎券就可看成4個不同的元素的全排列，如何2人獲得，3張獎券分為2組，從4人挑2人排列，最后方法相加.16．420【分析】根據(jù)題意設(shè)五個區(qū)域分別為①②③④⑤，再分兩步討論①②③和④⑤的情況，最后由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】由題意，假設(shè)五個區(qū)域分別為①②③④⑤，對于區(qū)域①②③，三個區(qū)域兩兩相鄰，共有種情況；對于區(qū)域④⑤，若④與②顏色相同，則⑤有3種情況，若④與②顏色不同，則④有2種情況，⑤有2種情況，共有種情況，所以④⑤共有種情況，則一共有種情況.故答案為：420【點(diǎn)睛】本題主要考查排列組合的應(yīng)用和分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.17．【分析】利用展開式求出所有含的項(xiàng)即可得出系數(shù)為.【詳解】由二項(xiàng)式定理可知展開式中含有的項(xiàng)為，所以可得展開式中的系數(shù)為.故答案為：18．【分析】設(shè)，將方程有解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點(diǎn)問題，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，找到使函數(shù)有零點(diǎn)的的范圍【詳解】設(shè)，則.①若，則，為上的增函數(shù).∵時，∴有且只有一個零點(diǎn)，即此時方程有解.②若，令，得，即在上為增函數(shù)；令，得，即在上為減函數(shù).要使函數(shù)有零點(diǎn)，需，即，解得.∴時，有零點(diǎn)，即此時方程有解.綜上所述，.故答案為【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．19．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及求導(dǎo)法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，即可求得答案.【詳解】（1）由，得；（2）由，得；（3）由，得；（4）由，得.20．(1)(2)有理項(xiàng)為，，，，【分析】（1）寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)第7項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，令的指數(shù)為0，求得答案；（2）根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)取整數(shù)，可求得答案.【詳解】（1），，∴，∵第7項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，∴，∴．（2）由（1）知,，要使為有理項(xiàng)，只需為整數(shù)，且,∴當(dāng)時，為有理項(xiàng),，，，,∴有理項(xiàng)為，，，，.21．（1）答案不唯一，具體見解析（2）【分析】（1