2023-2024學(xué)年廣東省大灣區(qū)高一年級上冊期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年廣東省大灣區(qū)高一上冊期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.集合A={O,1,2,4,8},3={0,1,2,3},將集合4B分別用如下圖中的兩個圓表示，則圓中陰

影部分表示的集合中元素個數(shù)恰好為2的是（）

【正確答案】B

【分析】利用圖象求得正確答案.

【詳解】A8={0,1,2},

A選項，陰影部分表示{0,1,2},不符合題意.

B選項，陰影部分表示{4,8},符合題意.

C選項，陰影部分表示{3},不符合題意.

D選項，陰影部分表示{3,4,8},不符合題意.

故選：B

2.如果函數(shù)y=f（x）在3,切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，那么“F（辦fS）＜0”是"函數(shù)

y=/（x）在（。㈤內(nèi)有零點”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】由零點存在性定理得出“若/（。＞/（力＜0,則函數(shù)y=f&）在（。向內(nèi)有零點”舉反

例即可得出正確答案.

【詳解】由零點存在性定理可知，若f（a＞FS）＜0,則函數(shù)y=f（x）在（“向內(nèi)有零點

而若函數(shù)y=f（x）在3。內(nèi)有零點,則若辦了（力＜0不一定成立,比如/在區(qū)間

（-2,2）內(nèi)有零點，但/（一內(nèi)有零）＞0

所以“/⑷?/（〃）＜0”是“函數(shù)y="X）在（“向內(nèi)有零點”的充分而不必要條件

故選：A

本題主要考查了充分不必要條件的判斷，屬于中檔題.

3.下列選項中與角c=-30°終邊相同的角是（）

A.30B.240C.390D.330

【正確答案】D

【分析】寫出與角〃=-30終邊相同的角的集合，取%值得答案.

【詳解】解：與角a=-30終邊相同的角的集合為{斗=-30+-360,&ez},

取k=l時，2=-30+1x360=330.

故選：D

4.三星堆遺址被稱為20世紀(jì)人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一.考古學(xué)家在測定遺址年代的過程

中，利用“生物死亡后體內(nèi)碳14含量按確定的比率衰減”這一規(guī)律，建立了樣本中碳14含量

隨時間X（單位：年）變化的數(shù)學(xué)模型：y=奇（%表示碳14的初始量）.2020年

考古學(xué)家對三星堆古遺址某文物樣本進行碳14年代學(xué)檢測，檢測出碳14的含量約為初始量

的68%,據(jù)此推測三星堆古遺址存在的時期距今大約是（）（參考數(shù)據(jù)：

log25?2.32,logJ7a4.09）

A.2796年B.3152年C.3952年D.4480年

【正確答案】B

X

【分析】設(shè)三星堆古遺址存在的時期距今大約是X年，由兒（丄］而=68%%求解.

【詳解】設(shè)三星堆古遺址存在的時期距今大約是X年，

則為=68%%，即30=868，

X

所以$=l°gI°68=log,100-log?68=2(l+lg5)-(2+log217)=21g5-lgl7?0.55,解得

573()5

x?5730x0.55=3151.5,

所以推測三星堆古遺址存在的時期距今大約是3152年.

故選：B

5.若幕函數(shù)〃x)=x"的圖象經(jīng)過點(3,6),則a的值為()

A.2B.—2C.yD.——

【正確答案】C

【分析】由已知可得f(3)=G,即可求得a的值.

【詳解】由已知可得/<3)=3[=6=3；，解得a=(

故選：C.

6.若關(guān)于x的方程(；『+〃-2=0有解，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.[0,1)B.[1,2)C.[1,+oo)D.(2,+oo)

【正確答案】B

【分析】等價于『有解，求出2-(；『的取值范圍即得解.

【詳解】解：(；J+a-2=0有解等價于0=2一(；’有解,

由于吋20,所以所以—14一(；,<0

所以<2,

則實數(shù)a的取值范圍是U，2).

故選：B.

7.已知sin[-y+aj=g,則cosa=()

A-4B-?c--ID-i

【正確答案】C

【分析】運用誘導(dǎo)公式即可化簡求值得解.

【詳解】Vsinfy+a3

=-cosa=—,

5

5

故選：C.

8.小雨利用幾何畫板探究函數(shù)y=（圖象，在他輸入一組。力,c的值之后，得到了

如圖所示的函數(shù)圖象，根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，可以判斷，小雨輸入的參數(shù)值滿足（）

B.a<O,b>O,c=O

C.?>0,b=0,c=0D.a<0,h=0,c>0

【正確答案】B

【分析】從函數(shù)整體圖象，發(fā)現(xiàn)部分圖象有類似反比例函數(shù)，再從）'軸右側(cè)圖象，判斷圖象

虛線代表的意義，即可求解.

【詳解】設(shè)虛線為x=（顯然，加>0）,

由圖中可知，當(dāng)時，y>0,|x-c|>0,所以（:/0>0；

當(dāng)x>加時，y<0,|x—c|>0,所以/。厶、<0,

可得（x-3在m的左右兩側(cè)時，符號是不同的,

即/?=機>0當(dāng)x</?時，x-h<0,而y>0,

所以a<0顯然另外一條分割線為x=0=c；

故選:B

二、多選題

9.對于實數(shù)4力,%下列命題中正確的有()

A.若。>分,則accbc

B.若"6<0,則/>ab

C.若c>a>/?>0,貝ij，—>—^―

c-ac-b

D.若丄》丄，則a>0力<0

ab

【正確答案】BCD

［分析】A利用c=0判斷;B根據(jù)不等式性質(zhì)判斷;C利用作差法判斷;D根據(jù)丄〉上得到用<0

ab

判斷即可.

【詳解】對于A,當(dāng)c=0時,accAc不成立，所以A錯誤；

對于B,由。<〃<(),根據(jù)不等式的性質(zhì)，則a?>a6,所以B正確;

對于C,因為c>a>6>0,貝所以一^——二二,?>。，即

c-ac-b(c-a)(c-b)

，一>丄7,所以C正確；

c-ac-b

對于D,因為“>九丄-，=號>0,所以必<(),故。>0力<0,所以D正確.

abab

故選:BCD.

10.對于函數(shù)〃x)=sin2x,下列選項中正確的有()

A.“X)在(：,9上單調(diào)遞減

B.“X)的圖象關(guān)于原點對稱

C.“X)的最小正周期為2兀

D./⑺的最大值為2

【正確答案】AB

【分析】A.令f=2x,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷；B.利用奇函數(shù)的定義判斷；C.利用正弦函

數(shù)的周期性判斷；D；利用正弦函數(shù)的最值判斷；

【詳解】A.當(dāng)時，因為y=sinr在fe仁單調(diào)遞減，

所以/(x)=sin2x在(抬)單調(diào)遞減，故選項A正確；

B.因為/(—x)=sin(—2x)=—sin2x=—/(x),所以/(尤)為奇函數(shù)，

所以/(x)的圖象關(guān)于原點對稱.故選項B正確；

2冗

C.代入周期公式得7=3=兀，故選項C錯誤；

D.xGR,/(x)=sin2x的最大值為1,故選項D錯誤.

故選：AB.

11.設(shè)a,。為兩個正數(shù)，定義小b的算術(shù)平均數(shù)為A(a,b)=等，幾何平均數(shù)為

G(afb)^4ab.上個世紀(jì)五十年代，美國數(shù)學(xué)家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即

a+b，

L(a,b)='\'p}，其中p為有理數(shù)-下列結(jié)論正確的是()

“ap+bp

A.I^5{a,b)<L\a,b)B.4(a,〃)4G(a,〃)

C.￡2(?,/?)<A(6T,Z?)D.L,l+l(a,b)<Ln(a,b)

【正確答案】AB

【分析】根據(jù)基本不等式比較大小可判斷四個選項.

\[a+4b,

【詳解】對于A,、5(a，")=-j1=瓢4kg力)=等,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時，等號成

忑*赤2

立，故A正確;

對于B,4(a,b)=匸、=力&詈^=寂=Gg,b),當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B

ah

正確;

對于一"=等a2+b2+a2+b2a2+b2+lab("+?2

>-=A(a,h),當(dāng)且

2(〃+Z?)2(〃+Z?)2(〃+b)

僅當(dāng)a=A時，等號成立，故C不正確;

對于D,當(dāng)〃=1時，由C可知，厶(“,力2等=￡,3,6),故D不正確.

故選：AB

12.已知函數(shù)/(x)=f+ar+b,集合A={x"(x)WO},集合B=卜|/(〃x)),若

A=8H0,則實數(shù)”的值可以是()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】CD

【分析】根據(jù)兩集合相等可以確定人=3,則B集合中不等式可轉(zhuǎn)化為

(x2+ax+h)(x2+ax+a+^<0,然后利用判別式法解不等式組即可求得答案.

4

【詳解】由題意知：A={x\x2+ax+b<0],

由8=卜卜(/(初4皆知：

/(/(X))<^BP(x2+6/X4-Z7)2+a(x24-0X4-/?)+/?-^<0,(*)

由A=8w0可知：b=-且(*)為(Y+?+力(X2+t/x+6Z4--)<0

44

A.=/-4x—>0

14a2>5

此時須滿足Z,解得?

2-l<a<5

A2=a-4la+-<0

故實數(shù)a的取值范圍是1遍,5],因此a的取值可以是3,4.

故選：CD.

三、填空題

13.函數(shù)/(x)=Jl—x+lnx的定義域是.

【正確答案】(0』

【分析】由被開方數(shù)大于等于0與對數(shù)真數(shù)大于0即可得到結(jié)果.

【詳解】要使函數(shù)有意義，則滿足：{八，解得：0<x41

[x>0

所以函數(shù)"x)="^+lnx的定義域為(0』

故(0,1]

14.已知角口為第一象限角，其終邊上一點P(x,y)滿足21n(2x-y)=ln(d+y2),則

2cosa-sina=.

【正確答案】1

【分析】根據(jù)對數(shù)的運算及性質(zhì)化簡可得3x=4y,再由三角函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】由題意知，ln(2x-y>=ln*2+y2),

即(2x-y)~=x2+y2,x,y>0,

化簡得3x=4y,

故1

15.函數(shù)y=(g『一8?(gJ+17的單調(diào)遞增區(qū)間為.

【正確答案】［-2,+8)

【分析】利用換元法，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】設(shè)f=，則y=*-8f+17=(r-4)2+l,

對稱軸為r=4,當(dāng).24,即24,

即-xN2,即x<-2時，f=為減函數(shù),

函數(shù)y=(f-4y+l為增函數(shù)，

則丫=仁1-8］￡|'+17為減函數(shù)，

即函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為(3,-2］：

當(dāng)￡44,即(g)<4,

即一x42,即xN-2時,

函數(shù)y=(，-4y+1為減函數(shù),

則y=(；+17為增函數(shù)，

即函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為［-2,+8).

故［-2,田)

16.已知函數(shù)〃x)的定義域為(O,+8),〃l)=l+e,當(dāng)天>外>0時，有

天/(%)一%/(々)>々e'1-王小，則不等式〃lnx)>x+Inr的解集為.

【正確答案】(l,e)

【分析】根據(jù)題意將不等式進行等價轉(zhuǎn)化得到函數(shù)F(x)='上在(0,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞減，

X

利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】當(dāng)弓>±>o時，由馬〃百)一毛/(毛)>々爐一工/變形可得：&H>公),￡,

玉x2

令尸

X

則F(x,)>F(X2),所以函數(shù)尸(x)在(0,*o)上單調(diào)遞減，

因為,ZW=e+l,所以尸(1)=1,

當(dāng)x>l時，不等式〃lnx)>x+lnr可以變形為,

Inx

即戶(lnx)>F(l),所以Inxvl,Ml<x<e；

當(dāng)0<x<l時，不等式/(Inr)>x+Inx可以變形為'11x)-二'<1,

Inx

即尸(Inx)〈尸(1),所以］nx>l,則%>e(舍去);

綜上，不等式的解集為(l,e),

故答案為.(l,e)

四、解答題

17.己知集合A={x|04x42},B=［x\a<x<3-2a］.

(1)若僅A)uB=R,求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若AIBxB,求實數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(1)(F,0]；(2)卜

【分析】(1)由集合A可得4A,利用(4厶)。8=11列出不等式組，求出實數(shù)”的取值范圍:

(2)若AB=B,則BgA,分8=0和3x0兩種情況，分別列不等式可得實數(shù)。的取

值范圍.

【詳解】(1)因為A={x|0MxM2},所以4A={x|x<0或x>2}.

又8={山工工43-2”}且他A)uB=R,

3-2a>a

所以,解得〃WO

3-2a>2

所以實數(shù)。的取值范圍是(3,0].

(2)若AB=B(補集思想)，貝IJB=A.

當(dāng)8=0時，3-2a<a,解得〃>1；

當(dāng)8x0時，3-2a>a,即“Ml,

要使貝"：/°,得!WaWl.

[3—2a<22

綜上，知A3=5時，，a>—f

所以AI8H3時，實數(shù)。的取值范圍是{ao<g}.

2,

18.已知函數(shù)+a

⑴若/(x)是奇函數(shù)，求”的值；

(2)若/(x)NO在上恒成立，求。的取值范圍.

【正確答案】(1)。=-；

-1、

【分析】(1)由奇函數(shù)的性質(zhì)得到/(0)=0,即可求得。的值，再檢驗即可;

（2）設(shè)r=2，，則re,由函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)〃x）的最小值，即可求出參數(shù)的取

值范圍.

【詳解】（1）解：???〃”=二+〃的定義域為R且是奇函數(shù)，

1+2

.,./（0）=0,即吾+4=0,解得0=-；,

此時外耳=三—丄=丄一_二，則〃一月=丄_一1=_!_-l=-/（x）,符合題意.

八71+2*221+2'v'l+2'x21+2"2八,

（2）解：?.?”x）20在上恒成立，

“(2①

令，=2",因為xw[-1/，所以fw1,2,

t-1「1

所以y=-----h。=----bl+a,tG—,2,

1+r1+r[2_

因為y=U+l+a在2,2]單調(diào)遞增，

1+r\_2_

-111

所以為"不+1+〃="3,

2

即〃x)n-a+g,

故”+彳20,解得“2—

33

所以。的取值范圍是-g，+8).

19.已知函數(shù)f(x)=2sin(2x-(),xeR.

(1)用“五點法''畫出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖像:

（2）求函數(shù)〃x）的單調(diào)遞增區(qū)間.

【正確答案】（1）見解析

（2）（一卷+，"'蕩+，"）伙，Z）

【分析】（1）由題意，由“五點作圖法”，列表描點作圖，可得答案；

（2）由題意，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.

【詳解】（1）由“五點法”，列表如下：

ABCDE

c兀乃3萬

2x---0冗2萬

37~2

乃5不2萬

X

~aT~12~6

/（X）020-20

描點，作圖如下:

（2）由二sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為1-尹2值尹2叼，（荘Z）,

且f（x）=2sin（2/一1}則一1+24乃<2x-三<%+2k九人kGZ）,

解得一■^■+4乃<x<^+k7r,^kGZ）,

函數(shù)〃X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-程+丘凈冋QeZ）.

20.如圖，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形

ABCD和EFG”構(gòu)成的面積為200m2的十字形地域.計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，

造價為4200元/n?；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為21（）元/n?；

再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為80元/mt受地域影響，AD的長度最

多能達到4m,其余邊長沒有限制.

(1)設(shè)總價為S(單位：元)，AZ)長為X(單位：m),試建立S關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當(dāng)x為何值時，S最小？并求岀這個最小值.

【正確答案】(1)5=38000+4000必+^—,0<x<4

x

(2)當(dāng)工=丿16m時，S最小，最小值為元

【分析】(I)先設(shè)。。=丫，又AO=X,建立等式找出x，y得關(guān)系計算S即可；(2)利用均

值不等式計算即可，注意等號成立的條件.

［詳解】(1)設(shè)DQ=y,又A￡)=x,0cx44,

貝IJV+4孫=200,y=2()()~Y,

4x

S=4200/+21oX4xy+80X2/=38000+4000x2+400000(0<x<4)

(2)由(1)得5=38000+4000/+裂黑，利用均值不等式得

X

S=38000+4000/+400000>38000+2癡0X^^^^=118000，當(dāng)4000%2=州)°°°時,

xVxx-

即》=歷時等號成立，所以當(dāng)x=Mm時，S最小，最小值為元.

21.歐拉對函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻，除特殊符號，概念名稱的界定外，歐拉還基于初等

函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì).例如，歐拉引入倒函數(shù)的定義：對于函數(shù)y=/(x),如果對于

其定義域力中任意給定的實數(shù)x,都有-xe￡>,并且f(x)-/(-x)=l,就稱函數(shù)y=/(x)為

倒函數(shù).

⑴已知f(x)=2',g(x)=p,判斷y=f(x)和y=g(x)是否為倒函數(shù);

⑵若y=/(x)是R上的倒函數(shù)，當(dāng)X40時，"力=尸一，方程.f(x)=2023是否有正整

數(shù)解？并說明理由;

（3）若y=/（x）是R上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于0,且在R上是增函數(shù).記

尸（尤）=/（力-満，證明：±+々＞0是F（丙）+尸仇）＞0的充要條件.

14Y

【正確答案】（1）/。）=2、是倒函數(shù)，g（x）=等不是倒函數(shù);

1-X

（2）沒有正整數(shù)解，理由見解析;

（3）證明見解析.

【分析】（1）利用給定的定義進行判斷;

（2）先求出x＞0時的解析式，利用驗證法進行判定;

（3）利用單調(diào)性的定義，性質(zhì)及倒函數(shù)進行證明.

【詳解】（1）對于八幻=2'定義域為R,顯然定義域中任意實數(shù)x,都有-xeR成立，又

/(%)/(-%)=22T=1,所以/(x)=2'是倒函數(shù).

14-Y

對于g(x)=/一定義域為當(dāng)x=-l時，-x=le{x|xwl},不符合倒函數(shù)的定義,

[-X

所以g（x）不是倒函數(shù).

⑵令x＞。，則r＜0,由倒函數(shù)的定義，可得〃戲—）=梟

=1,

r＜0

所以/(x)=2'+f,所以/(力=2-*+/'一，要使/（力=2023有正整數(shù)解,

2X+X2,X>0

貝l]2'+f=2023,當(dāng)x=10時，2,l)+102=1124<2023:

當(dāng)X=ll時，2"+ll2=2169＞2023;所以〃力=2023沒有正整數(shù)解.

（3）充分性：當(dāng)王+々＞0時，內(nèi)＞-乙且超＞-*，因為/（力是增函數(shù)，所以

fix,)-f(-x)>0,f(x)-/(一芭)>0,即/(占)->0,/U)->0,

22J\^2丿2J)

所以尸(xj+F)=F(X|)-+/*2)->°?

必要性:當(dāng)尸（與）+尸伍）＞0時,

有"*）一卷+""2）一満=[/a）+f（%）]/(x,)/(x)-l

2>0

〃西)/(々)

因為，（x）恒大于o,所以恒大）-i>所即入不），（七）>1=〃%以（-%）,

所以，（*2）>，（-5），因為/（X）是增函數(shù)，所以々>-占，即X|+X2>0；

綜上可得±+%>0是尸（苫）+尸（々）>0的充要條件.

關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵是理解所給倒函數(shù)的定義，使用/（x）〃-x）=l進行轉(zhuǎn)化.

1,x>0,

22.定義函數(shù)屈x）=/(x)=x2-2x(x2—a)(p(x2一a).

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