高中數(shù)學：7.2復數(shù)的四則運算同步訓練

7.2復數(shù)的四則運算同步訓練

一、單選題

1.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)Z滿足z（3+i）=2-i,則下列說法正確的是（）

A.復數(shù)z的模為"B.復數(shù)z的共輾復數(shù)為-g+gi

2

C.復數(shù)Z的虛部為:i

D.復數(shù)z在復平面內對應的點在第二象限

2.已知復數(shù)2=-'+立i,i為虛數(shù)單位，

則|z「+5等于（）

22

「16.1技

A.-1B.C.—H1D.------1

2222

3.已知命題。：復數(shù)z=——在復平面內所對應的點位于第四象限；命題q：3x>0,x=cosx,則下列命題中為

1

真命題的是

A.(^p)A(-><?)B.(f)A〃C.p?q)D.PM

4.若復數(shù)z=("if，則|z|=()

3+4i

Ac

-?|-iD-T

5（4+i2）

5.復數(shù)z=一~的虛部為（）

i（2+i）

A.-3iB.-6iC.-3D.-6

6.已知復數(shù)2=。+砥°,北1i）滿足2z=r（l+6i）,S.a<h,則復數(shù)z在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

二、多選題

7.（多選）已知復數(shù)z=a+6i（?eR）在復平面內對應的點位于第二象限，且團=2則下列結論正確的是（）

A.zJ=8B.z的虛部為總

C.z的共施復數(shù)為1+6D.z2=4

8.已知復數(shù)Zj=a+i,Z2=2+6i,“,6eR,且馬+名?為純虛數(shù)，z,z2<0,則()

A.a=-2B.b=2

C.|2Z,-Z2|=37D.4+2Z2的共扼復數(shù)為2-3i

三、填空題

9.若復數(shù)z=9/,貝氏=__________.

3+41

10.設/(z)=z,4=3+4i,z2=-2-i,則〃z「Z2)=.

11.i是虛數(shù)單位，則/L的值為.

12.若3+2i是方程/+云+c=0S,ceR)的一個根，貝物=.

四、解答題

13.在復平面內，復數(shù)z=(〃-2a-3)+(a+l)i,?eR.

(1)當Z為純虛數(shù)時，求復數(shù)z2^；

(2)當。=0時，復數(shù)Z對應的點記為點A,將點A繞著原點順時針旋轉90。到達點8,求AB所對應的共軌復數(shù).

14.設aeR,和受分別是關于x的方程/+2、+。=()的兩個復數(shù)根.

(1)當飛,三是方程的兩個虛數(shù)根時，求㈤+|七|的取值范圍；

(2)當歸-々|=4時，求實數(shù)。的值.

15.已知復數(shù)4=l+2i,Z2=-2+i,Z3=-1-2,在復平面上對應的點是一個正方形的3個頂點，求這個正方形的第4

個頂點對應的復數(shù).

16.(1)[(5-4i)+(l+3i)](5+2i).

(2)ifMi+2i2+3i3+...+2020i2020+2021i202'.

參考答案:

1.A

【分析】由復數(shù)除法法則求得z,根據(jù)模的定義，共貌復數(shù)的定義，復數(shù)的定義和復數(shù)的幾

何意義判斷各選項得出答案.

【詳解】解：z（3+i）=2-i,則1=舒=（2-；.）

??.|z|=\H=坐，選項A正確；

V442

復數(shù)Z的共規(guī)復數(shù)為<+2i,選項B錯；

22

復數(shù)z的虛部為選項C錯誤；

復數(shù)z在復平面內對應的點為在第四象限，選項D錯誤.

故選：A.

2.D

【分析】先求出］「工,即可求出W+出

【詳解】因為z=—g+所以|zf=\g）+~~=1,5=—；—日,

所以+z=-^—-^-i.

故選：D

3.D

【詳解】試題分析：因為Z=￥=l-i,所以復數(shù)2=母在復平面內所對應的點位于第四

象限，命題?為真命題，

TT

因為y=x與y=cosx在（0,萬）上有交點，所以3x>0,x=cosx,命題［為真命題，PM為

真命題.

考點：復合命題真假

4.A

【解析】首先化簡復數(shù)z,再計算求模.

【詳解】_（1+04,［（|+,,）2］_4

3+4/3+4/3+4Z3+4/

4（3-4i）4（3-4i）1216.

（3+4z）（3-4z）—25~—一天+天/

5.D

【分析】依據(jù)復數(shù)的運算律化簡復數(shù)，寫出代數(shù)形式，得虛部.

5（4+F）上=152）

【詳解】z=

i（2+i）-l+2i（-l+2i）（-l-2i）5

虛部為-6.

故選：D.

6.C

【分析】根據(jù)題意結合復數(shù)的乘法運算以及復數(shù)的相等可得°=傷，利用條件a＜匕確定a力

的正負，根據(jù)復數(shù)的幾何意義可求得答案.

【詳解】由題意可知，2“+2歷=（〃-歷）（l+6i）=a+屏+（島

2a=a+y/ib

所以解得a=Gb,

2h=s!?>a-b

因為a＜6,則a=?＜6,所以》＜0,所以。＜0,

即復數(shù)z在復平面內對應的點位于第三象限，

故選：C

7.AB

【解析】由已知求解小進一步求出z2與/的值，然后逐一核對四個選項得答案.

【詳解】解：???復數(shù)z=a+6i在復平面內對應的點位于第二象限，

又憶|={a1+3=2,得a=-l（a〈0）,

z=-1+Gi,

貝”=（-1+網(wǎng)2=-2-2打，

32

z=z.z=-2（l+"）（-1+黨=8.

正確，8正確,

故選：AB.

8.AD

【分析】先由Z+Z2為純虛數(shù)，z,z2<0,求出。)的值，然后逐個分析判斷即可

【詳解】由Z1+Z2=(〃+2)+S+l)i為純虛數(shù),得。=一2,且底一1,

由ZjZ2=(a+i)(2+hi)=2a-b+(ab+2)i<0,

得而=—2,且24z—bv0,得b=1,

所以|241/=|-6+“=歷，4+222=2+予的共期復數(shù)為2-3"

所以AD正確，BC錯誤,

故選：AD

9.凡上

2525

【分析】利用復數(shù)乘法、除法運算求得z,從而求得］

(1+i)22i2i(3-4i)8+6i86.

【詳解】z=----=1---1,

3+4i3+4i(3+4i)(3-4i)25--2525

所以

故答案為：導參

10.5+5i##5i+5

【分析】根據(jù)給定條件，利用復數(shù)的加減法求解作答.

【詳解】因為/(Z)=z,z,=3+4i,z2=-2-i,

所以/(4—Z2)=Z|_Z2=(3+4i)_(_2_i)=5+5i.

故答案為：5+5i

11.顯

2

【解析】利用復數(shù)的除法運算將復數(shù)幣化為一般形式，然后利用復數(shù)的模長公式可求出

島|的值?

/(I-/)1+;=g+gi,因止匕,

【詳解】

1+；(1+z)(l-z)21+z

故答案為：—.

2

【點睛】本題考查復數(shù)模的計算，同時也考查了復數(shù)的除法運算，考查計算能力，屬于基礎

題.

12.13

【分析】由實系數(shù)的一元二次方程根成對原理,得到方程的另一個根，結合復數(shù)的乘法運算，

即可求解.

【詳解】由題意，復數(shù)3+2i是方程f+法+。=0("cwR)的一個根，

可得復數(shù)3-2i是方程f+fer+c=O(aceR)的另一個根，

則c=(3+2i)(3-2i)=32+(-2)2=13.

故答案為：13.

13.⑴孑儂

(2)4-2i

【分析】(1)根據(jù)純虛數(shù)的概念列出方程組，求得。=3,即得z=4i,計算z2^可得答案；

(2)由題意求得A(-3,l),3(1,3),繼而求得AB=(4,2),根據(jù)復數(shù)的幾何意義以及共朝復

數(shù)的概念可得答案.

(1)

由題意得,"二"I、,解得a=3,

〃+100

所以z=4i,則zM2=(4i嚴22=一42姨.

(2)

當a=0時，z=—3+i,則A(-3,1),則8(1,3),

所以AB=(4,2),所對應的復數(shù)4=4+2i,

所以其共癰復數(shù)1=4-2i.

14.(1)(2,+ao)；(2)a=—3或5.

【分析】(1)先根據(jù)方程有虛數(shù)根，得到/<0,解出。，再根據(jù)兩根之積得到|力=k|,進

而可以求出結果；

(2)根據(jù)方程有實數(shù)根和虛數(shù)根分類討論，結合韋達定理即可求出結果.

【詳解】(1)當方程有虛數(shù)根時，△=4一4。<0,得

而=X］=4，因此宙|=闖=G，|xj+國=26>2,

因此㈤+同的取值范圍是(2,+8).

(2)當4=4一4〃20,即〃41時，原方程有實數(shù)根，［一口=6=5/4-44=4,解得4=一3,

當△=4-4”<0,即時，原方程有虛數(shù)根，|jq-x,|-^/=A-\l4a-4=4,解得a=5,

綜上所述，。=-3或5.

15