2019-2023年全國(guó)各高考數(shù)學(xué)真題按分項(xiàng)匯編 立體幾何（解答題）含詳解

五年(2019-2023)年高考真題分項(xiàng)匯編

冷題05皮體幾何(解各段J

哥存?存瓶力折

立體幾何在理科數(shù)解答題中一般出現(xiàn)在20題左右的位置。主要考查空間幾何體對(duì)應(yīng)的空間角問(wèn)題，考查二面角的

頻率比較大。

奇存真魅精折

1.(2023?全國(guó)?新課標(biāo)0卷)如圖，在正四棱柱A8CD-ABGA中，AB=2,AA,=4.點(diǎn)4,凡,。2,。2分別在棱

,BBX,CC]tDDX上,AA^—1,BB2=DD2=2,CC2—3.

(1)證明：B2C2#AD2;

(2)點(diǎn)P在棱上，當(dāng)二面角尸-4c2為150。時(shí)，求22P.

2.(20203全國(guó),統(tǒng)考新課標(biāo)團(tuán)卷)如圖，三棱錐A—BCD中，DA=DB=DC,BD±CD,ZADB=ZADC=60,E

為BC的中點(diǎn)、.

AF

(1)證明：BC±DA；

(2)點(diǎn)尸滿足Ef=D4，求二面角。-AB-尸的正弦值.

3.(2023?全國(guó),統(tǒng)考高考乙卷)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB1BC,AB=2,BC=2?，PB=PC=瓜,BP,

AP,BC的中點(diǎn)分別為。，E,O,4。=石。0,點(diǎn)F在AC上，BFA.AO.

(1)證明：EF〃平面ADO；

(2)證明：平面ADO_L平面BEE

⑶求二面角D-AO-C的正弦值.

4.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考甲卷)如圖，在三棱柱ABC-A4G中，AC，底面ABC,ZACB=90°,AA,=2,4到平面

BCCe的距離為1.

GBi

4,

'B

A

(1)證明：AlC=AC;

(2)己知AA與B用的距離為2,求A與與平面BCQBi所成角的正弦值.

5.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考乙卷)如圖，四面體ABC。中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面3ED_L平面ACD；

(2)設(shè)AB=3D=2,NACB=60。，點(diǎn)尸在上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面加所成的角的正弦值.

6.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考甲卷)在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD,C￡>〃A及AZ>=￡>C=CB=1,48=2,￡>尸=g.

⑴證明：BD±PA；

(2)求PD與平面E4B所成的角的正弦值.

7.(2022?全國(guó)?新課標(biāo)團(tuán)卷)如圖，直三棱柱ABC-A4G的體積為4,ABC的面積為2&.

(1)求A到平面ABC的距離；

⑵設(shè)。為AC的中點(diǎn)，AAl=AB,平面ABC,平面AB用A，求二面角A-BD-C的正弦值.

8.(2022全國(guó)?統(tǒng)考新課標(biāo)回卷)如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA=PB,ABJ.AC,E是PB的中點(diǎn).

⑴證明：OE〃平面PAC；

(2)若NABO=NC8O=30。，PO=3,PA=5,求二面角C—AE—8的正弦值.

9.(2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考乙卷)如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是矩形，尸￡＞，底面ABCD,PD=DC=1,M為BC

的中點(diǎn)，且尸

(1)求BC；

(2)求二面角A-尸的正弦值.

10.(2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考甲卷)已知直三棱柱4BC-4及￡中，側(cè)面4418H為正方形，AB=BC=2,E,B分別為

AC和CG的中點(diǎn)，。為棱4耳上的點(diǎn).BF±A.B,

(1)證明：BF工DE；

(2)當(dāng)與D為何值時(shí)，面BBCC與面DRE所成的二面角的正弦值最小?

11.（2021?全國(guó)?新課標(biāo)El卷）如圖，在三棱錐A-BCD中，平面平面BCD,AB=AD,。為的中點(diǎn).

（1）證明：041CD；

（2）若一OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E-3C-。的大小為45。，求三

棱錐A-BCD的體積.

12.（2021全國(guó)?統(tǒng)考新課標(biāo)回卷）在四棱錐Q-ABCZ）中，底面A8CD是正方形，若AO=2,。。=QA=7^,QC=3.

（1）證明：平面J■平面A3C。；

（2）求二面角A的平面角的余弦值.

13.（2020?全國(guó)?回卷）如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.45c是底面的

內(nèi)接正三角形，尸為。。上一點(diǎn)，PO=—DO.

6

D

(1)證明：尸A_L平面PBC；

(2)求二面角3—PC-E的余弦值.

14.(2020?全國(guó)?新課標(biāo)回卷)如圖，四棱錐P4BC。的底面為正方形，PQ團(tuán)底面4BCD設(shè)平面與平面P8C的

交線為I.

P

(1)證明：胭平面PDC；

(2)己知尸。為/上的點(diǎn)，求PB與平面所成角的正弦值的最大值.

15.(2020全國(guó)?統(tǒng)考新課標(biāo)團(tuán)卷)如圖，四棱錐P/BC。的底面為正方形，PO1底面48CD.設(shè)平面力。與平面PBC

的交線為/.

p

--------------%

(1)證明：/_L平面PDC；

(2)已知PD=AD=1,Q為/上的點(diǎn)，QB=V2，求P8與平面QCO所成角的正弦值.

16.(2020全國(guó)?統(tǒng)考新課標(biāo)回卷)如圖，已知三棱柱ABC-4&G的底面是正三角形，側(cè)面B&GC是矩形，M,N分

別為BC,BQ的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn),過(guò)84和P的平面交AB于E,交AC于F.

(1)證明：AAiEiMN,且平面AiA/WNEIEBiGF；

(2)設(shè)。為附的中心，若40回平面E&QF,且AO=AB,求直線&E與平面44WN所成角的正弦值.

17.(2019?全國(guó)?統(tǒng)考回卷)如圖，直四棱柱ABCD-A向的底面是菱形，A4/=4,AB=2,0BAD=6O°,E,M,N

分別是BC,BBi,4。的中點(diǎn).

(1)證明：MNB平面C/OE；

(2)求二面角A-M4W的正弦值.

18.(2019全國(guó)?統(tǒng)考團(tuán)卷)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-4SGD的底面A8CD是正方形，點(diǎn)E在棱44/上，BESiECi.

(1)證明：2EH平面E8/C/；

(2)若求二面角B-EC-G的正弦值.

五年（2019-2023）年高考真題分項(xiàng)匯編

冷題05皮體幾何（解各段J

哥存?存瓶力折

立體幾何在理科數(shù)解答題中一般出現(xiàn)在20題左右的位置。主要考查空間幾何體對(duì)應(yīng)的空間角問(wèn)題，考查二面角的

頻率比較大。

奇存真魅精折

1.（2023?全國(guó)?新課標(biāo)0卷）如圖，在正四棱柱A8CD-ABGA中，AB=2,AA,=4.點(diǎn)4,凡,。2,。2分別在棱

,BBX,CC]tDDX上,AA^—1,BB2=DD2=2,CC2—3.

（1）證明：B2C2#AD2;

（2）點(diǎn)P在棱上，當(dāng)二面角尸-4c2為150。時(shí)，求22P.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

（2）1

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；

（2）設(shè)尸（0,2,㈤（04444）,利用向量法求二面角，建立方程求出4即可得解.

【詳解】（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD,CB,CG所在直線為無(wú),y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),￡>2(2,0,2),4(2,2,1),

B2c2=(0,-2,l),4D2=(0,-2,l),

:.Bf?”，

又52c2,42不在同一條直線上，

/.52c2〃4。2.

(2)設(shè)尸(024)(0WXW4),

貝！=(一2,—2,2),尸。2=(0，一2,3—幾)，2。2=(—2,0,1),

設(shè)平面尸4c2的法向量幾=(%,y,z),

=-2x-2y+2z=0

n-PC2=-2y+(3-4)z=0

令z=2fy=3-A,x=A—l,

TI—(X—1,3—4,2),

設(shè)平面4G02的法向量機(jī)=，

m-A.C=-2a-2b+2c=0

則?，

m?D2c2=-2a+c=0

令a=l,得b=1,c=2,

=2),

n-m6

/.cos(=|cosl50°|=

“|mV6^4+(2-l)2+(3-2)22

化簡(jiǎn)可得，萬(wàn)_42+3=0,

解得a=1或X=3,

.?.尸(0,2,1)或尸(0,2,3),

B2P=1.

2.（20203全國(guó)?統(tǒng)考新課標(biāo)團(tuán)卷）如圖，三棱錐A—BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,ZADB=ZADC=60,E

為BC的中點(diǎn).

AF

（1）證明：BC±DA；

（2）點(diǎn)尸滿足Ef=D4，求二面角。-AB-尸的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

【分析】（1）根據(jù)題意易證3C/平面ADE,從而證得BC_LD4；

（2）由題可證近，平面3CD,所以以點(diǎn)E為原點(diǎn)，E/）,E8,E4所在直線分別為羽y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

再求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出.

【詳解】（1）連接因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，DB=DC,所以。EL3c①，

因?yàn)閆M=DB=OC,ZADB=ZADC=60,所以ACD與△A5D均為等邊三角形，

AC=AB,從而AE_LBC②，由①②，AE\DE=E,AEQEu平面ADE,

所以，3C/平面ADE,而ADu平面ADE,所以3C_LAA.

（2）不妨設(shè)ZM=￡>8=DC=2,BDLCD,BC=2^2,DE=AE=^2.

:.AE2+DE2=4=AD1，:.AE±DE,又，AELBC,DE\BC=E,HE,BCu平面BCD.?.?!￡1_L平面3co.

以點(diǎn)E為原點(diǎn)，瓦>,即，出所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

y

設(shè)0(72,0,0),A(0,0,夜),2(0,V2,0),E(0,0,0),

設(shè)平面DAB與平面A3廠的一個(gè)法向量分別為4=（占,%,4）,%=（%，%，z?），

二面角O-AB-/平面角為區(qū)而AB=（。,應(yīng),-0）,

因?yàn)镋F=D4=卜后,0,0）,所以產(chǎn)卜血,0,忘），即有AF=卜立,0,0）,

「+屈Z[=0

3,取玉=1,所以4=(1,1,1);

—\f2.z?=0

L，取%=1,所以%=(0,1,1)，

|cos"=^^=2=4,從而sin8=jl—1

所以,

所以二面角D-AB-尸的正弦值為走.

3

3.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考乙卷)如圖，在三棱錐P—A5c中，ABJ.BC,AB=2,BC=2日PB=PC=?,BP,

AP,BC的中點(diǎn)分別為D,E,O,迅OO,點(diǎn)尸在AC上，BF1AO.

(1)證明：EF〃平面ADO；

(2)證明：平面ADO_L平面BEE

⑶求二面角D-AO-C的正弦值.

【答案】①證明見(jiàn)解析；

⑵證明見(jiàn)解析；

⑶叵

2

【分析】(1)根據(jù)給定條件，證明四邊形ODEF為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

(2)法一：由(1)的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：過(guò)點(diǎn)A作2軸，

PA=y/14

平面8AC,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(x,y,z),所以由="求出p點(diǎn)坐標(biāo)，再求出平面ADO與

PC=76

平面8EF的法向量,由4?%=0即可證明；

(3)法一：由(2)的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面ADO

與平面ACO的法向量，由二面角的向量公式求解即可.

1

【詳解】(1)連接。瓦。/，設(shè)AF=zAC,則2/=區(qū)4+4尸=(1-。區(qū)4+缶。，AO=-BA+-BC,BFLAO,

貝U所?AO=[(1-Z)BA+tBC]-(-BA+-BC)=Q-1?A+-/BC2=4(？-1)+4^0,

解得f=則歹為AC的中點(diǎn)，由。,￡0,尸分別為「民尸4瓦：,4(?的中點(diǎn)，

2

于是DE//AB,DE=；AB,OF//AB,OF=^AB,即DEHOF,DE=OF,則四邊形ODEF為平行四邊形,

EF/IDO,EF=DO,又平面平面ADO,

所以砂//平面ADO.

(2)法一：由(1)可知跳V/OD,貝I]A0=而,。0=逅，得AD=^D0=叵,

22

因止匕0/52+AO2=A￡>2=_,則OD_LA。，有EFJLAO,

2

XAO±BF,BFEF=F,BF,EFu平面BEF,

則有AOJL平面3￡F,又AOu平面A￡>O,所以平面4DO_L平面3EF.

法二：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A作z軸，平面BAC,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

A（2,0,0,）,B（0,0,0）,C（0,272,0）,

砂+6-

在△瓦）4中,cosZPBA=

2DBAB

2x2x

2

在APBA中，PT=PB2+AB2-2PBABCOSZPBA=6+4—2#x2x一一|=14,

'PA=V14(x-2)2+/+z2=14

設(shè)尸(x,y,z),所以由卜B=#可得:

<x1+y2+z2=6

PC=x2+^y-2sf2^+z2=6

可得：x=—1,y=V2,Z=A/3,所以尸,

則。］一;，4，孚，所以HL"。）.

5女百、

AO=(-2,V2,0),A￡?=

~2，^T，~2

7

設(shè)平面ADO的法向量為4=(%,乂，4),

…0=0'2芭+岳|=0

則得50/-

[nt-AD=0—^+―Zj=0

令玉=1,則乂=J5,Z]=豆，所以％=(1,應(yīng),6),

BE=[5萬(wàn)工,BF=(1,^,0)

設(shè)平面BEF的法向量為“=（%，%*2），

1,0,由一「

出-BE=0^X2+—y2+—Z2=0

則2，得

-BF=0

x2+0y2=0

令怎=2,則%=一四,z?=0,所以%=僅，一忘,0)，

/?!"z?2=2xl+-\/2x卜^/^)+0=0,

所以平面ADO_L平面BEF；

（3）法一：過(guò)點(diǎn)。作交AC于點(diǎn)H,設(shè)ADBE=G,

由AO_L3b，得"O_LAO,且FH=；AH,

又由（2）知，OD1AO,則NDO”為二面角?！狝O—C的平面角,

因?yàn)?E分別為的中點(diǎn)，因此G為s鉆的重心，

1I13

即有OG=—AO,GE=—BE,又FH=—AH,即有OH=—GF,

3332

,315

4+丁34+6一尸42r-

cosZABD=-2X2X.‘解得尸A=E，同理得8￡=半，

2x2xv

/f—\2zi—\2

于是BE2+E尸°=BF?=3,即有BEJ_￡F,貝UGE?=-x—+—=-,

I32JI2J3

從而GF=姮，。4級(jí)姮=姮

3232

在△DOa中，OH=-BF=—,OD=—,DH=—,

2222

一6--3---1-5

444

于是cos/DOH=sinZDOH=,

2Y〔2)2

所以二面角。-AO-C的正弦值為

2

p

D

/G

B

A

法二：平面ADO的法向量為6=（1,0,若）,

平面ACO的法向量為%=（0,0,1）,

石__后

J1+2+3—2

因?yàn)闃?lè)幾3”［。，兀］,所以sin（4,〃3）=Jl-COS2（4，〃3）=^~

故二面角O-AO-C的正弦值為變.

2

4.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考甲卷）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，ACJ■底面ABC,ZACB=90°,AA；=2,4到平面

8CC4的距離為1.

(1)證明：AXC=AC-

（2）已知M與BBt的距離為2,求9與平面BCG耳所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得A。，平面BCG4,再由勾股定理求出。為中點(diǎn)，即

可得證；

（2）利用直角三角形求出AB］的長(zhǎng)及點(diǎn)A到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.

【詳解】（1）如圖，

Cl

Bi

A

A]C_L底面ABC,BCu面ABC,

.-.\CLBC,又BCLAC,4C,ACu平面ACGA,ACcAC=C,

.?.BC_L平面ACGA/,又3Cu平面BCG4，

平面ACGA，平面BCCXB1,

過(guò)A作AQ_LCG交CG于0,又平面ACC14'平面BCG4=CC],4。匚平面4^4,

.1a。，平面BCCB

A到平面BCC國(guó)的距離為1,A。=1,

在RtA4cq中，AC_LAG，cq=AA1=2,

設(shè)C0=x,則C|O=2—x,

.?△aocaAOG,Z\AcCi為直角三角形，且CG=2,

co2+Ap1=Ac2>AO2+OCI2=CIA2>AQ+AGJCC,

.-.1+X2+1+(2-X)2=4,解得X=1,

AC=A?！猇2,

:.AIC=AC

(2)AC=AlCI,BClAlC,BC±AC,

RtAACB^RtA^CB

BA=BA^,

過(guò)8作BOLAA，交44j于。，則。為A4中點(diǎn)，

由直線44]與BB[距離為2,所以3￡>=2

\D=\,BD=2?A^B—AB—\[5)

在RtZXABC,：.BC=dAB。-AC。=下),

延長(zhǎng)AC,使AC=CN,連接GM,

由CM/Z^CM=AG知四邊形ACMQ為平行四邊形，

GAf〃4C,CM平面ABC,又AMu平面ABC,

C[M1AM

22

則在RtZXAGM中，AM=2AC,ClM=AlC,Aq=7(2AC)+^C,

在Rt^AB|G中，AC】=J(2AC>+4C2,Bg=BC=6

222

ABt=7(2>/2)+(V2)+(V3)=713,

又A到平面BCG4距離也為1,

所以AB】與平面BCG用所成角的正弦值為「L=巫.

71313

5.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考乙卷)如圖，四面體A3CD中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面3ED_L平面ACD；

(2)設(shè)AB=3D=2,NACB=60。，點(diǎn)尸在上，當(dāng)△仙7的面積最小時(shí)，求CP與平面4犯所成的角的正弦值.

【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析

(2)CF與平面配所成的角的正弦值為拽

7

【分析】(1)根據(jù)已知關(guān)系證明得到AB=CB,結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面

面垂直的判定定理即可證明；

(2)根據(jù)勾股定理逆用得到班IDE,從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)因?yàn)锳D=CD,E為AC的中點(diǎn)，所以ACLDE；

在△ABZ)和△CBD中，因?yàn)锳D=CD,ZADB=NCDB,DB=DB,

所以△ABD^CBD,所以AB=CB,又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以ACLBE；

又因?yàn)镺E,BEu平面BED,DEcBE=E,所以AC_L平面3ED,

因?yàn)锳Cu平面ACD,所以平面3ED_L平面ACD.

(2)連接￡F,由(1)知，AC_L平面因?yàn)镋Fu平面BED,

所以ACLEF,所以SA.C=；AC.M，

當(dāng)跖，BD時(shí)，所最小，即△AFC的面積最小.

因?yàn)樗摹鰿BD,所以CB=AB=2,

又因?yàn)镹ACB=60。，所以ABC是等邊三角形，

因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AE=EC=1,BE*,

因?yàn)锳DLCD,所以O(shè)E=gAC=l,

在.DEB中，DE2+BE2=BD2,所以BE,DE.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系“一孫z,

則4(1,0,0),網(wǎng)0,6,0),￡>(0,0,1),所以罰=(-1,0,1),麗

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為〃=（尤,y,z）,

n?AD=-x+z=0

取y=G

ri'AB=-x+6y=0

又因?yàn)镃（T,O,O）,尸0，￥卷,

所以CF=1,弓3,

44

7IJ

n-CF64百

cos(n,CF

所以nCF

\\\\亞xg7

設(shè)CP與平面ABD所成的角的正弦值為4eWT

4A/3

所以sin6=cos(n,CF

~T~

所以b與平面的所成的角的正弦值為半

6.(2022?全國(guó)■統(tǒng)考高考甲卷)在四棱錐P—ABCD中，PD_L底面A8CD,C￡>〃A8,AZ>=DC=C8=1,AB=2,￡>尸=g.

⑴證明：BD1PA;

（2）求PD與平面E4B所成的角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

⑵『

【分析】（1）作。E上AB于E,CFLAB千F,利用勾股定理證明上根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得PD_LgL>,

從而可得國(guó)平面PAD,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

（2）以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.

【詳解】（1）證明：在四邊形ABCD中，作。E工AB于E,CF1AB于尸,

因?yàn)镃D//AB,AD=CD=CB=1,AB=2,

所以四邊形ABCD為等腰梯形，

所以=B尸=1,

2

故DE=W，BD=NDE2+BE。=如,

所以4￡>2+3￡>2=鈿2,

所以4。上皮），

因?yàn)槭辏!_平面ABC。，BDu平面ABCD,

所以/>0_1_3￡）,

又PDcAD=D,

所以平面尸AD,

又因?yàn)锽4u平面PAD,

所以3D_LR4；

（2）解：如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

BD=6

則A（l,0,0）,8（0,6,0）,P（0,0,，

則AP=（-1,0,A/3）,BP=（0,-石,石），DP=（0,0,A/3）,

設(shè)平面R鉆的法向量w=（x,y,z）,

n-AP=—x+A/3Z=0

則有｛可取〃=（石,1,1）,

n-BP=—+yfiz=0

,/\n-DP6

則cM，WnD=麗二，

所以與平面R鉆所成角的正弦值為手.

7.（2022?全國(guó)?新課標(biāo)團(tuán)卷）如圖，直三棱柱ABC-A4G的體積為4,ABC的面積為2友.

⑴求A到平面A"的距離；

（2）設(shè)。為AC的中點(diǎn)，AAl=AB,平面ABC，平面AB44,求二面角A-8D—C的正弦值.

【答案】⑴血

（2）6

2

【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；

（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得3C/平面AB瓦A，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.

【詳解】（1）在直三棱柱ABC-ABC1中，設(shè)點(diǎn)A到平面ABC的距離為〃，

12、歷11A

則匕_9。=§SABC/=-y-，=七_(dá)ABC=§SABC.AA=§匕BC-AB￡=J,

解得〃=0，

所以點(diǎn)A到平面ABC的距離為0；

（2）取AB的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)槔?4B,所以

又平面A.BC±平面ABB,A,平面ABCc平面ABB^=AtB,

且AEu平面ABBiA，所以M_L平面ABC,

在直三棱柱ABC-4月6中，BB}±平面ABC,

由3Cu平面ABC,ABC^^AELBC,BB[±BC,

又AE,叫u平面ABB,4且相交，所以BC工平面A即A，

所以BC,4兩兩垂直，以8為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

由（1）得AE=6,所以A4]=AB=2,AB=2y[i,所以3c=2,

則A（0,2,0），A（0,2,2）,3（0,0,0）,C（2,0,0）,所以AC的中點(diǎn)。（1,1,1）,

則BZ）=（1,1,1）,朋=（0,2,0）,BC=（2,0,0）,

m?BD=x+y+z=0

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量m=(x,y,z),則

m?BA=2y=0

可取加=(1,0,T)，

n?BD=a+b+c=0

設(shè)平面5￡)C的一個(gè)法向量〃=(a,仇c),貝卜

n-BC=2a=0

可取7=（0,l,-l），

/\m，n11

—

則[JillCOS'(m,n/)=|mI-|.|nr|-r=7~~2F=x-7-21==2，

所以二面角A—BD—C的正弦值為，-Q：=*.

8.(2022全國(guó)?統(tǒng)考新課標(biāo)回卷)如圖，P0是三棱錐尸-ABC的高，PA=PB,AB1AC,E是PB的中點(diǎn).

⑴證明：OE〃平面PAC；

（2）若NABO=/C8O=30。，PO=3,PA=5,求二面角C—AE—8的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（陪

【分析】（1）連接8。并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)。，連接。4、PD,根據(jù)三角形全等得到再根據(jù)直角三角形的

性質(zhì)得到49=00,即可得到。為3。的中點(diǎn)從而得到OE7/PD,即可得證；

（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對(duì)值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

計(jì)算可得.

【詳解】（1）證明：連接20并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)連接。4、PD,

因?yàn)镻。是三棱錐尸一至。的高，所以尸0人平面ABC,AO,8Ou平面ABC,

所以尸O_LAO、POLBO,

又PA=PB,所以Z\P0A三APOB,即。1=。3,所以=

又AB工AC,即/BAC=90。，所以NQ4B+NQ4D=90。，ZOBA+ZODA=90°,

所以/OZM=/Q4D

所以49=00,即AO=￡）O=O3,所以。為8。的中點(diǎn)，又E為m的中點(diǎn)，所以O(shè)E//PD,

又OE<Z平面PAC,PDu平面PAC,

所以0E//平面PAC

P

（2）解：過(guò)點(diǎn)A作上〃0P,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镻O=3,AP=5,所以=4,

又NO3A=NO3C=30。，所以30=204=8,則AD=4,AB=,

所以AC=12,所以O(shè)（2百,2,0）,網(wǎng)4后0,0）,尸（2百,2,3）,C（0,12,0）,

所以E（3如

則AE=13折,L|1,A3=（4石,0,0）,AC=（0,12,0）,

3

n?AE=3v3x+y+—z=0、

設(shè)平面AEB的法向量為〃=（x,y,z）,則j2,令z=2,貝!］產(chǎn)一3,%=0,所以〃=（0,-3,2）；

n?AB=4^3x=0

、r^、」一口r/、i=343a+b+—c=O

設(shè)平面AEC的法向量為根=（〃,仇c）,則彳2

m-AC=12b=0

令Q=6，貝”c=—6,b=0,所以機(jī)=（迅,0,—6）；

/\n-m-124A/3

所以=而713x739-13

設(shè)二面角C-AE-B的大小為0,則|cos6\=4：

9.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考乙卷）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是矩形，尸￡＞，底面ABCD,PD=DC=1,M為BC

的中點(diǎn)，且PB_L40.

（1）求8C；

（2）求二面角4-尸河-5的正弦值.

【答案】（1）血；（2）叵

14

【分析】（1）以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、。尸所在直線分別為x、V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=2a,

由已知條件得出PRAM=0,求出。的值，即可得出8C的長(zhǎng)；

（2）求出平面R4M、的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】（1）［方法一］:空間坐標(biāo)系+空間向量法

尸￡＞，平面ABC。，四邊形ABC。為矩形，不妨以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC,分所在直線分別為了、，、z軸

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系孫z,

設(shè)3c=2。,則。（0,0,0）、尸（0,0,1）、川2%1,0）、皆（41,0）、A（2?,0,0）,

則PB=（2a,l,-l）,AM=（-a,1,0）,

PBVAM,則網(wǎng).3=-24+1=0，解得。=變，故BC=2a=也;

2

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法

如圖，連結(jié)3D.因?yàn)槭酌鍭BCO,且AWu底面ABC。，所以如工AM.

又因?yàn)镻B_LAM,PBPD=P,所以W2平面PBD.

又BDu平面PB￡）,所以AM_L3Z）.

從而ZADB-i-ZDAM=90°.

因?yàn)镹M4B+NDA〃=90。，所以NM4B=NAZM.

w十日ADBA

所以于是不7=二7.

ABBM

所以次=L所以BC=￡.

［方法三］:幾何法+三角形面積法

如圖，聯(lián)結(jié)8。交A〃于點(diǎn)N.

由［方法二］知

ANDA9

在矩形ABCD中，有《DANs&BMN,所以——=——=2,^AN=-AM.

MNBM3

令3c=2々＞0),因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，貝=￡)3=,4產(chǎn)+1，AM=+1.

由5叩=3￡>448=；￡?"河,得/=；140+1*〃+1,解得「=；,所以BC=2r=應(yīng).

（2）［方法一］【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法

V，1,O,,

設(shè)平面24〃的法向量為根=（%,％,4）,則AM=AP=(-72,0,1)

V2

m-AM=———玉+%=0

由，,取F=0,可得機(jī)=(0,1,2),

m-AP=-\［lxx+Z］=0

一看0,0

設(shè)平面尸3M的法向量為〃=（%2，%*2），BM=

2J

n,BM=-=0

由,22取%=1，可得〃=（0,1,1）,

n-BP=-42X2-y2+Z2=Q

m-n_3_3A/14

帆?同_77x0_14

_____________j］。

所以，sin(m,n^=yjl-cos2{m,,

因此，二面角A-3的正弦值為畫(huà).

14

［方法二］:構(gòu)造長(zhǎng)方體法+等體積法

如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體A3CD-A4￡2,聯(lián)結(jié)交點(diǎn)記為X,由于A耳，4耳，BC,所以AHL平面

ABCR.過(guò)打作RM的垂線，垂足記為G.

聯(lián)結(jié)AG,由三垂線定理可知4G，RM,

故NAG8為二面角A--3的平面角.

易證四邊形ABCD,是邊長(zhǎng)為血的正方形，聯(lián)結(jié)RE,HM.

S.D1HM=-HG,SDHM=,IWH,HBMMCD,，

由等積法解得=

10

在MJLHG中，AH=4Z,8G=d叵，由勾股定理求得AG=痘.

2105

所以，sinZAGH=—=^-,即二面角A—PM—3的正弦值為畫(huà).

AG1414

【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結(jié)合三角形

相似進(jìn)行計(jì)算求解，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎(chǔ)上，利用三角形等面積方法求得.

（2）方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計(jì)算求解二面角問(wèn)題是常用的方法，思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)

解；方法二采用構(gòu)造長(zhǎng)方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強(qiáng)，需注意進(jìn)行嚴(yán)格的論證.

10.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考甲卷）已知直三棱柱ABC-4旦。中，側(cè)面①夕避為正方形，AB=BC=2,E,尸分別為

AC和CG的中點(diǎn)，。為棱4片上的點(diǎn).BF±

（1）證明：BF±DE；

（2）當(dāng)耳。為何值時(shí)，面BBCC與面。尸￡所成的二面角的正弦值最小?

【答案】（［）證明見(jiàn)解析；（2）耳。=g

【分析】（1）方法二：通過(guò)已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明

線線垂直；

（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進(jìn)而可以確定出答案；

【詳解】（1）［方法一］：幾何法

因?yàn)?/144,&用//48,所以WA3.

又因?yàn)锳2L2與，BFcBByB,所以AB/平面BCC由.又因?yàn)锳fi=3C=2,構(gòu)造正方體ABCG-A瓦GG,如

圖所示，

過(guò)“作AB的平行線分別與AG,3c交于其中點(diǎn)M,N,連接AM，4N,

因?yàn)镋,P分別為AC和CG的中點(diǎn)，所以N是8c的中點(diǎn)，

易證RtBCF=RtB、BN,則NCBF=NBB1N.

又因?yàn)镹BBiN+NBiNB=90°,所以NCBF+NB〔NB=90。,

又因?yàn)?FlABi，B|N44=耳，所以加^平面4肱四.

又因?yàn)镋DU平面AMA",所以防_LDE.

［方法二］【最優(yōu)解】：向量法

因?yàn)槿庵鵄BC-A^G是直三棱柱，，BBJ底面ABC,BBy1AB

\BJ/AB,BFl^,.-.BFA.AB,又2與cBF=B,AB工平面3CC4.所以BA,BC,5耳兩兩垂直.

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA,BC,B與所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

.-.B（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,B,（0,0,2）,A（2,0,2）,C；（0,2,2）,￡（l,l,0）,F（0,2,l）.

由題設(shè)。（a,0,2）（0<a<2）.

因?yàn)闀P=(0,2,1),Z)E=(l-a,1,-2),

所以8R.DE=0x(l—a)+2xl+lx(—2)=0,所以3尸_LDE.

［方法三］:因?yàn)?尸，A瓦，A.BJ/AB,所以M，AB,故BRA4=0，BFAB=Q,所以

BFED=BF(EB+BB［+BtD)=BF-B1D+BF(EB+BB)=BFEB+BFBBl=BF^-1BA-1BCJ+BF-BB{

=-^BF-BA-^BF-BC+BF-BBt=-^BF-BC+BF-BBt=-||BF||BC|COSNFBC+,尸|?卜41cosZFBBt

121

=--x45x2x--j=+y/5x2x-j==0,所以MJ_￡D.

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：向量法

設(shè)平面DFE的法向量為m=(x,y,z),

因?yàn)榈Z=(—1,1,1),。直=(一。,1,—2),

［m-EF-0口口］-%+y+z=0

所以《廠7即"\o_n.

［m-DE=0y-2z=0

令z=2-a,貝!j虎=(3,1+。,2—〃)

因?yàn)槠矫?。。固的法向量為B4=(2,0,0),

設(shè)平面BCC［B］與平面DEF的二面角的平面角為6,

Im-BAl63

貝UICOS0\=----ir=/=］

H,網(wǎng)2xy/2a2-2a+14s/2a2-2a+14

127

當(dāng)"5時(shí)，2〃3+4取最小值為了，

3A/6

此時(shí)cos。取最大值為干"一行.

所以（sin嘰=卜曰=與此時(shí)4%.

［方法二］:幾何法

如圖所示，延長(zhǎng)所交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S,聯(lián)結(jié)交4G于點(diǎn)T,則平面。正平面84c。=FT.

作B］H1FT,垂足為“，因?yàn)槠矫?耳GC,聯(lián)結(jié)則ZD"用為平面8月C。與平面DEE所成二面角的

平面角.

設(shè)4。=4re[0,2],B1T=s,過(guò)G作QG〃■及交。S于點(diǎn)G.

C,S1C.G1

由京丁方得GG=］（2f）.

S

又坐=里即一3t

2—s，所以

乂C。C?'1-(2-1)t+1

B,HB,TB、Hss

又布二方’即丁=而〃?’所以耳”=而0.

BD=

則sinNO"A=總

所以，當(dāng)i=g時(shí)，(sinNDHBJmj*

[方法三]:投影法

如圖，聯(lián)結(jié)五耳,FN,

s

。跖在平面B4GC的投影為通戶產(chǎn)，記面BBCC與面OEE所成的二面角的平面角為6,貝化0$。=/^?