材料力學彎曲內(nèi)力

第四章彎曲內(nèi)力§4–1平面彎曲的概念§4–2梁的剪力和彎矩§4–3剪力圖和彎矩圖§4–4剪力、彎矩與荷載集度間的關(guān)系§4–5按疊加原理作彎矩圖1精選課件

§4–1平面彎曲的概念一、彎曲的概念

1.彎曲:桿受垂直于軸線的外力或外力偶矩矢的作用時,軸線變成了曲線，這種變形稱為彎曲。2.梁：以彎曲變形為主的構(gòu)件通常稱為梁。2精選課件3.工程實例3精選課件縱向?qū)ΨQ面MF1F2q二、平面彎曲桿件具有縱向?qū)ΨQ面，荷載作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁彎曲后軸線彎成一條平面曲線，稱為平面彎曲。在后幾章中，將主要研究平面彎曲的內(nèi)力，應力及變形等。4精選課件三、簡單靜定梁懸臂梁簡支梁外伸梁5精選課件火車輪軸簡化梁的載荷與支座6精選課件車削工件7精選課件吊車大梁簡化受均布載荷8精選課件§4–2梁的剪力和彎矩FABalFABFAxFAyFB荷載和支座反力皆屬外力，下面研究橫截面的內(nèi)力。9精選課件PABal將梁從Ⅰ－Ⅰ位置截開，取左側(cè)。ⅠⅠxAFAyⅠⅠFsMx因內(nèi)力必須與外力平衡，故內(nèi)力簡化結(jié)果為一力和一力偶。該力與截面平行，稱為截面的剪力，用Fs

表示之；該力偶的力偶矩稱為截面的彎矩，用M表示之。

⑴剪力正負的規(guī)定：使微段有順時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力為正，反之為負；

⑵彎矩正負的規(guī)定：使微段下面受拉、上面受壓變形的彎矩為正，反之為負。10精選課件⊕FsFs○－FsFs⊕○－MMMM剪力正負的規(guī)定彎矩正負的規(guī)定內(nèi)力通過平衡方程計算。AFAyⅠⅠFsMx11精選課件

計算梁內(nèi)力的步驟：⒈取整體，求支座反力（懸臂梁此步可省）；⒉將梁在要求內(nèi)力的部位截開，選簡單一側(cè)作研究對象；⒊畫受力圖，截面的剪力、彎矩一定要按正的規(guī)定畫；⒋列平衡方程

Fx=0，求剪力FS

；

m=0，求彎矩。12精選課件例1求圖示梁1、2、3、4截面的內(nèi)力。ABCD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344解：取整體，F(xiàn)AFB1－1截面FA11Fs1M1A由1－1截面的內(nèi)力計算可得結(jié)論：桿端無力偶作用，緊挨桿端截面的彎矩M=0。13精選課件CP=12kN2－2截面FA22Fs2M2AFA33Fs3M3A3－3截面ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFB14精選課件D2233PFs3M3Fs2M2由2、3截面的內(nèi)力計算可得如下結(jié)論：⑴集中力（包括支座反力）兩側(cè)截面的的彎矩相等；⑵集中力（包括支座反力）兩側(cè)截面的的剪力不等，左右截面剪力之差等于集中力（集中力以向下為正）。ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFB15精選課件C44M4Fs44－4截面由4－4截面的內(nèi)力計算可得如下結(jié)論：⑴自由端無集中力作用，端截面剪力等于零：F=0；

⑵自由端無集中力偶作用，端截面彎矩等于零：M=0。ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFB16精選課件例2求圖示梁1、2、3截面的內(nèi)力。ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m解：取整體，1－1截面FA11Fs1AM1m117精選課件FA22Fs2M2A33Fs3M3Bm12－2截面3－3截面FBABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m18精選課件由2、3截面的內(nèi)力計算可得如下結(jié)論：⑴集中力偶兩側(cè)截面的的剪力相等；⑵集中力偶兩側(cè)截面的的彎矩不等，左右截面彎矩之差等于集中力偶矩（集中力偶矩以逆時針轉(zhuǎn)為正）。C2233Fs3M3FS2M2m2ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m19精選課件例3求圖示梁1、2、3截面的內(nèi)力。ABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m33112FAFB23m解：取整體1－1截面FA11Fs1M1A20精選課件BFA22Fs2M2Am2－2截面33Fs3M3FBq3－3截面BABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m33112FAFB23m21精選課件§4–3剪力圖和彎矩圖qxql-xlFs(x)M(x)圖示梁任一截面的內(nèi)力。截面剪力是截面坐標的函數(shù)，稱為剪力方程。截面彎矩也是截面坐標的函數(shù)，稱為彎矩方程。22精選課件qxl剪力方程的函數(shù)圖象稱為剪力圖。正的剪力畫在基線上側(cè)，負的畫在下側(cè)。剪力圖qlxFs⊕彎矩方程的函數(shù)圖象稱為彎矩圖。-ql2/2彎矩圖xM23精選課件q懸臂梁受均布載荷作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：任選一截面x，寫出剪力和彎矩方程x依方程畫出剪力圖和彎矩圖FSxMxl由剪力圖、彎矩圖可見。最大剪力和彎矩分別為4例題5qx24精選課件BAlFAYFBY圖示簡支梁C點受集中力作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力FAy＝Fb/lFBy＝Fa/l2．寫出剪力和彎矩方程x2FSxMxx1ACCB3.依方程畫出剪力圖和彎矩圖。CFab例題625精選課件BAlFAYFBY圖示簡支梁C點受集中力偶作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力FAy＝M/lFBy＝-M/l2．寫出剪力和彎矩方程x2x1AC3.依方程畫出剪力圖和彎矩圖。CMab例題726精選課件BAlFAYqFBY簡支梁受均布載荷作用試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力FAy＝FBy＝ql/22．寫出剪力和彎矩方程yxCx3.依方程畫出剪力圖和彎矩圖。FSxMx例題827精選課件§4–4剪力、彎矩與荷載集度間的關(guān)系A(chǔ)Bdxxq(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)M(x)dxo取微段dx，受力如圖。28精選課件ABdxx略去高階微量得：q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)dxo29精選課件

⑴

當q=0，F(xiàn)s

=常數(shù)，F(xiàn)s

圖為平直線；

M為一次函數(shù)，M圖為斜直線；

⑵

當q=常數(shù)，F(xiàn)s為一次函數(shù)，F(xiàn)s圖為斜直線；

M為二次函數(shù)，M圖為拋物線；

當M圖為拋物線時，畫M圖需確定拋物線頂點的位置和頂點的彎矩值。由：

可知彎矩拋物線頂點對應于剪力圖等于零的位置。30精選課件1、在集中力作用處剪力發(fā)生突變，彎矩的斜率發(fā)生變化，成為一個轉(zhuǎn)折點。2、在集中力偶處彎矩發(fā)生變化，變化的數(shù)值等于力偶矩數(shù)值。3、的絕對值可能發(fā)生在剪力等于0處，也可能發(fā)生在集中力作用處，還有集中力偶處。根據(jù)M、Fs與q之間的關(guān)系，可不必列剪力方程和彎矩方程，即可畫出剪力圖和彎矩圖。另外：31精選課件根據(jù)M、Fs與q之間的關(guān)系畫剪力圖和彎矩圖的步驟如下：⒈取整體，求支座反力（懸臂梁此步可?。虎矊⒘悍侄危悍彩羌辛?、集中力偶作用點，分布荷載兩端，支座處都應取作分段點；⒊用截面法求出每段梁兩端截面的剪力和彎矩，由Fs=0確定彎矩拋物線頂點所對應的截面位置，并求出該截面的彎矩值；⒋用直線，均布荷載下彎矩圖用拋物線將各截面剪力、彎矩連起來。并在圖上標出正負號，各控制截面的剪力值和彎矩值，以及彎矩拋物線頂點所對應的截面位置。32精選課件例9畫圖示梁的剪力圖和彎矩圖。AC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FAFB34m11解：取整體Fs圖M圖FsM1234==00B33精選課件AC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kNFB=18kN34m11Fs圖M圖FsM12345==00FA22Fs2M2A66612B34精選課件Fs圖M圖FsM1234==0066-1812FA33Fs3M3Am24B44M4Fs4FB6FB=18kNAC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kN34m11B35精選課件AC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kNFB=18kN34m11Fs圖M圖FsM12345==0066-181224B66kN18kN⊕○－⊕3m5555Fs5M5FBq02712kN.m24kN.m27kN.mB36精選課件例10畫圖示梁的剪力圖和彎矩圖。AC2mF=6kNq=3kN/m66223FAFB32m11解：取整體Fs圖M圖FsM12345==002mB4455D6===37精選課件AC2mF=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=7kN32m11Fs圖M圖Fs

M12345==002mB4455D6===5-75FA33Fs3M3AF-1-1-11010⊕○－5kN1kN7kN⊕10kN.m38精選課件AC2mF=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=7kN32m11Fs

圖M圖FsM12345==002mB4455D6===5-75RA44Fs

4M4AP-1-1-11010⊕○－5kN1kN7kN⊕10kN.m8kN.m8839精選課件例11畫圖示梁的內(nèi)力圖。ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344解：取整體，F(xiàn)BmAFs圖M圖Fs

M1234==0084440精選課件ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344FB=12kNFs圖M圖Fs

M1234==00844mA=8kN.mP=4kN22FBFs2M2-8-8-8⊕○－4kN8kN⊕○－8kN.m8kN.mCB41精選課件例12畫圖示梁的內(nèi)力圖。ABCD3m4m2mF=3kNq=1kN/m11223366解：取整體，F(xiàn)AFC4455m=6kN.mFs圖M圖(kN)(kN.m)42精選課件ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs

圖M圖(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－43精選課件ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs圖M圖(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－○－FA33Fs3M3Amq9444精選課件ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs圖M圖(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－FA22Fs2M7Aq9422.5mFA77Fs7Aq773.125M2⊕45精選課件二、按疊加原理作彎矩圖qmABlmABlqABl=+FA=m/lFB=m/lFA=ql/2FB=ql/2Fs圖M圖⊕⊕○－m/lm⊕○－ql/2ql/2ql2/8m/l+ql/2m/l-ql/2⊕○－mql2/8=++=⊕○－Mmax46精選課件PmABl/2mABAB=+FA=m/lFB=m/lRA=P/2FB=P/2Fs圖M圖⊕⊕○－m/lmP/2P/2Pl/4m/l+P/2m/l-P/2○－○－mPl/4=++=l/2l/2l/2l/2l/2P⊕○－⊕⊕47精選課件應用疊加原理畫彎矩圖常用的兩種情況：l/2l/2ABMAMBPl/2l/2ABMAMBqPl/4○－⊕○－○－MAMBMBMA⊕○－ql2/8M圖(b)M圖(a)

⑴

AB段梁中間作用一集中力P，兩端彎矩為MA、MB，該段梁的彎矩圖如圖（a）所示；

⑵

AB段梁作用于均布荷載

，兩端彎矩為MA、MB，該段梁的彎矩圖如圖（b）所示。48精選課件例13用疊加法畫圖示梁的彎矩圖。q=2kN/mAP=4kN6m2m11223344BCM圖解：將梁分為AB，BC兩段。8kN.m9kN.m○－⊕不必求支座反力。49精選課件例14用疊加法畫圖示梁的彎矩圖。q=2kN/mAP=4kN4m2m11223344CBM