2023-2024學(xué)年遼寧省丹東市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年遼寧省丹東市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.拋物線-=8y的準(zhǔn)線方程為()

A.了=-1B.y=-2C.x=-\D.x=-2

【正確答案】B

【分析】由拋物線定義即可求.

【詳解】由定義可知，拋物線f=8_y的準(zhǔn)線方程為y=-14=-2.

故選：B.

2.學(xué)校組織社團(tuán)活動(dòng)，要求每名同學(xué)必須且只能參加一個(gè)社團(tuán)，現(xiàn)僅剩的3個(gè)社團(tuán)供4名

同學(xué)選擇，則不同的選擇方法有()

A.A：種B.Cj種C.甲種D.3?種

【正確答案】D

【分析】由分步計(jì)數(shù)乘法原理即可求解

【詳解】由題意可得，每名同學(xué)共有3種選擇，故不同的選擇方法有丁種

故選：D

3.已知橢圓過(guò)點(diǎn)(0,2),焦點(diǎn)分別為耳(O,T),瑪(0,1),則橢圓的離心率為()

A.；B.正C.—D.—

2325

【正確答案】A

【分析】由題可得橢圓方程，后可得橢圓離心率.

【詳解】設(shè)橢圓方程為4+W=l,右焦點(diǎn)為(c,0),由題有=1

“b[a2-b2=c2=\

c1

則。=2,故離心率為e=—=K

故選：A

4.己知空間向量1(-2,1,-4),6=(1,-1,2),工=(-7,-5,〃?)若，馬,1共面,則實(shí)數(shù)加

的值為()

A.-14B.6C.-10D.12

【正確答案】A

【分析】根據(jù)向量共面，建立方程組，解得答案.

-2=x-ly

【詳解】由￡,石，）共面，可設(shè)2=口+,，則＜1=一%-5y,

-4=2x+tny

17

x=~~

-2=x-ly17

由?「，解得J,代入第三個(gè)方程可得：_4=_?+￡,解得加=74.

y=—

12

故選：A.

5.在正方體/BCD—44GA中，點(diǎn)E是。。的中點(diǎn)，則二面角E-8￡-C的平面角的正

切值為（）

A.1B.5C.2D.2生

【正確答案】C

【分析1由題可得NEC,為二面角E-4C-C的平面角，后結(jié)合題目條件可得答案.

【詳解】如圖，因幾何體為正方體，則用G，面qcoq,c°u面GC。。，則8c，￡C,

又GEu平面GC。。，則故NE￡C即為二面角E-4C-C的平面角.

過(guò)E做直線GC垂線，交qc于F,則尸為GC中點(diǎn).

EP

故tanNEC尸=—=2

6.雙曲線C：/??。"）的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于則雙曲線C的漸近線方程

為（）

A.y[lx土夕=0B.x士\[2y=0C.x+y=OD.拒x+y=0

【正確答案】C

【分析】由點(diǎn)到直線距離公式可得a,6間關(guān)系，據(jù)此可得答案.

【詳解】由題，雙曲線的一條漸近線的方程為y=2x,右焦點(diǎn)為（c,0）,則

a

be

~r===a0b=a,故漸近線方程為x±y=0.

歷

故選：c

7.如圖所示為某公園景觀的一隅，是由，4BCDE五處區(qū)域構(gòu)成，現(xiàn)為了美觀要將五處區(qū)域用

鮮花裝飾，要求相鄰區(qū)域種植不同色的鮮花，有4種顏色鮮花可供選用，則不同的裝飾方案

數(shù)為（）

ABC

D

E

A.216B.144C.128D.96

【正確答案】B

【分析】依次確定區(qū)域8、A、D、C、￡的選法種數(shù)，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】區(qū)域B有4種顏色鮮花可供選擇，區(qū)域A有3種顏色鮮花可供選擇，區(qū)域。有3種

顏色鮮花可供選擇，

區(qū)域C、E各有2種顏色鮮花可供選擇，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的裝飾方案數(shù)為4x3x3x2x2=144種.

故選：B.

8.已知圓O:f+V=16與圓C:X,+/+8x+6y+16=0交于Z,8兩點(diǎn)，則四邊形。4cB的

面積為（）

24

A.12B.6C.24D.—

5

【正確答案】A

【分析】由兩圓標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心坐標(biāo)和半徑，由4-4,0）和C（-4,-3）可知。則四

邊形O4CB的面積S=2SON=2xg.4Hze|,計(jì)算即可.

【詳解】圓。：/+/=16,圓心坐標(biāo)為。（0,0）,半徑4=4,

圓/+8x+6y+16=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+4『+（y+3『=9,圓心坐標(biāo)為C（-4,-3）,

半徑4=3,

圓。與圓C都過(guò)點(diǎn)（-4,0）,則/（-4,0）,如圖所示，

又C（-4,-3）,：.OA1AC,由對(duì)稱性可知，OBVBC,

OA=OB=4,AC=BC=3,則四邊形O4CB的面積S=2S3c=2x；?|O4|=4x3=12.

故選：A

二、多選題

9.20件產(chǎn)品中有18件合格品，2件次品，從這20件產(chǎn)品中任意抽取3件，則抽出的3件

產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法表述正確的是（）

A.C；,C；9B.C；C：+C；CgC.C：0-C]D.C；,C；9-C；C1

【正確答案】BCD

【分析】直接法：抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品有兩種可能：恰有1件次品和恰有2

件次品，運(yùn)即可算求解；間接法：法一：20件產(chǎn)品中任意抽取3件的抽法減去沒(méi)有次品（全

為合格品）的抽法；法二：先抽取1件次品，再?gòu)氖Ｓ嗟?9件中任取2件，減去重復(fù)一次

的情況（2個(gè)次品）.

【詳解】直接法：抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品有如下可能：

抽出的3件產(chǎn)品中恰有1件次品的抽法C[C3

抽出的3件產(chǎn)品中恰有2件次品的抽法C；?C\；

故抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法為C1C；8+CbC8,A錯(cuò)誤，B正確；

間接法：法一：這20件產(chǎn)品中任意抽取3件的抽法為C：。，抽出的3件產(chǎn)品中沒(méi)有次品（全

為合格品）的抽法為CL

故抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法為C：o-C；8,C正確；

法二：先抽取I件次品，再?gòu)氖Ｓ嗟?9件中任取2件，抽法為C；-C：9,但2個(gè)次品的情況

重復(fù)一次，抽出2個(gè)次品的抽法為CbC；8，

故抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法為C1C；9-C，C；8,D正確：

故選：BCD.

10.若（1-X嚴(yán)2=7+罕+&》2+…+。2022%匹，則（）

A.冊(cè)=1B.a,=2022

C.at+a2+---+a2O22=-1D.a0-a,+a2-a}+---+a2022=1

【正確答案】AC

【分析】對(duì)ACD,由賦值法可判斷；對(duì)B,由二項(xiàng)式展開(kāi)項(xiàng)通項(xiàng)公式可求.

【詳解】對(duì)A,令x=0得%=1,A對(duì)；

對(duì)B,由二項(xiàng)式展開(kāi)項(xiàng)通項(xiàng)公式可得第2項(xiàng)為

202I

T2=C^221（-X）'=-2022%=qx=4=-2022,B錯(cuò)

對(duì)C,令x=l得%+%+%+…+&022=0=6+%+…+%022=_%=T，C對(duì)；

對(duì)D,令x=—1得%—+。2—%+…+。2022=2~°~，D錯(cuò).

故選：AC.

11.已知直線/：丘-2y-4k+l=0,則下列表述正確的是（）

A.當(dāng)％=2時(shí)，直線的傾斜角為45。

B.當(dāng)實(shí)數(shù)人變化時(shí)，直線/恒過(guò)點(diǎn)（4,；）

C.當(dāng)直線/與直線x+2y-4=0平行時(shí)，則兩條直線的距離為1

D.直線/與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形面積的最小值為4

【正確答案】ABD

【分析】A選項(xiàng)，可求出直線斜率，即可判斷選項(xiàng)正誤;

B選項(xiàng)，將直線方程整理為Mx-4)+1-2卜=0,由此可得直線所過(guò)定點(diǎn)：

C選項(xiàng)，由題可得人=-1,后由平行直線距離公式可判斷選項(xiàng)；

D選項(xiàng)，分別令x，J=0,可得直線與歹軸，x軸交點(diǎn)為［4-p°

則圍成三角形面積為5--^―-4--L后由基本不等式可判斷選項(xiàng).

【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)人=2時(shí)，直線方程為2x-2y-7=0,可得直線斜率為1,則傾斜角為45。,

故A正確;

B選項(xiàng)，由題可得A(x-4)+l-2y=0,則直線過(guò)定點(diǎn)(4,；),故B正確；

C選項(xiàng),因直線/與直線……=。平行，蛆U=T則直線方程為:

-x-2y+5=0,即x+2y-5=0.則/與直線x+2y-4=0之間的距離為

|「4+5|=石

,故C錯(cuò)誤;

?+225

1一4k

D選項(xiàng)，分別令X，y=0,可得直線與y軸，X軸交點(diǎn)為0,4-

2r°?

又交點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸正半軸，則2n左<0.故圍成三角形面積為

4-->0

k

1B-=2+(-4A)+￡22+2卜&).士=4,當(dāng)且僅當(dāng)

-4A=,即％=-!時(shí)取等號(hào).即面積最小值為4,故D正確.

-4k4

故選：ABD.

12.在棱長(zhǎng)為2的正方體/BCD-44GR中，E,F分別是4B,8c邊上的動(dòng)點(diǎn)，旦滿足

BE=ABA-&[0/，BF=pBC,〃目05.則（）

A.當(dāng)2=〃=1時(shí)，正方體各棱與平面。區(qū)尸夾角相等

B.當(dāng)X=g時(shí)，存在〃使得直線8Q與平面REF垂直

C.當(dāng)〃=：時(shí)，滿足E"=2EF的點(diǎn)E有且只有兩個(gè)

D.當(dāng)2=〃=，時(shí)，異面直線EF與與3的距離為Y5

22

【正確答案】AD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量解決夾角、距離、平行等問(wèn)題.

【詳解】以D為原點(diǎn)，次，反，西的方向?yàn)閤軸，V軸，z軸正方向建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

則有0(0,0,0),0,(0,0,2),S,(2,2,2),4(2,0,0),C(0,2,0),

當(dāng);1=〃=1時(shí),￡（2,0,0）,尸（0,2,0）,屏=（2,0,-2）,*=（0,2,-2）,

設(shè)平面。瓦"的一個(gè)法向量為專=貝卜n-D,E=2x-2z=0/、

(x,%z),1/，令z=l,則河=1,1,1,

n-DlF=2y-2z=0

西二(0,0,2),次=(2,0,0),反=(0,2,0),故K°s(西，研=同

理=|cos^Z）C,n^|=—

3

由此可得正方體各棱與平面AM夾角相等，A正確；

當(dāng);1=；時(shí)，￡(2,1,0),0^=(2,1,-2),瓦方=(-2,-2,-2),貝ij麗.印=-4-2+440,即

D[E與6Q不垂直，

所以直線用。與平面〃￡尸不垂直，B錯(cuò)誤；

當(dāng)〃=g時(shí)，尸(1,2,0),設(shè)E(2,6,0)(04642),由EA=2EF,有

22222

V2+/)+2=2A/1+(2-*),化簡(jiǎn)得3/-166+12=0，

A=162-4X3X12>0,々+b,=?>4,所以這樣點(diǎn)E不可能有兩個(gè)，C錯(cuò)誤；

當(dāng)人〃時(shí)，E(2,l,0),F(l,2,0),E尸的中點(diǎn)為G%，o)，郎的中點(diǎn)為“(LU),

WG=|-,y-1I,fF=(-1,1,0),。氏=(2,2,2),則=-§+彳=0,

府函=1+1-2=0,

所以//G是異面直線EF與BQ的公垂線段，且|而卜j+[j+(-1)2=等,

所以異面直線EF與鳥(niǎo)。的距離為巫，D正確.

2

故選：AD

三、填空題

13.已知異面直線相和CD的方向向量分別為次=(1,1,1),3=(-2,0,4)則異面直線N5和

C。所成角的余弦值為.

【正確答案】巫

15

【分析】根據(jù)異面直線夾角求余弦值的坐標(biāo)公式，可得答案.

同.51-24-0+41715

[詳解】設(shè)異面直線AB和CD所成角為。,則cos。=鬲鬲=71+1+X4+0+16=1T-

故答案為.巫

15

14.“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早在1261年中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的

《詳解九章算法》一書(shū)中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近

四百年.如圖所示的楊輝三角中，從第2行開(kāi)始，每一行除1外，其他每一個(gè)數(shù)字都是其上

一行的左右兩個(gè)數(shù)字之和，若在楊輝三角中存在某一行，滿足該行中有三個(gè)相鄰的數(shù)字之比

為3:5:5,則這一行是第行.

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

【正確答案】7

【分析】設(shè)這一行為第2〃+l("eN*)行，且這三個(gè)數(shù)分別為C￡\、利用組合

數(shù)公式可得出關(guān)于〃的等式，解出〃的值，即可得解.

【詳解】由題意可知，這一行為第2〃+l(〃eN，)行，且這三個(gè)數(shù)分別為C*、

^2”+1（2/z+l）!n!-（n+l）!=號(hào)=1解得〃=3,

由題意可得（〃_1）!（〃+2）「（2/7+J!

因此，這一行是第2x3+l=7行.

故答案為.7

15.平行六面體的底面是菱形，AB=2,44=4,AB=ZA.AD=60°,

線段4G的長(zhǎng)度為2拒，則cosZDAB=.

【正確答案】g##0.5

【分析】利用空間向量基本定理得到離=荏+石+羽，平方后，利用數(shù)量積公式列出方

程，求出cos/DNB.

【詳解】因?yàn)椴?標(biāo)+通+羽，

所以NG=(AB+AD+AA}^=AB+AD+AA1+2AB-AD+2AB-AA}+2AD-AA}

因?yàn)?8=/￡)=2,AA,=4,4/8=4/0=60。，AC1二2拒,

所以4+4+16+8cos/8N￡)+16cos60°+16cos60°=44,

解得.cosNB4D=；

四、雙空題

v-22_

16.已知橢圓C:一?+\v=l(q>b>0),直線/與C在第一象限交于4,B兩點(diǎn),直線/與1軸

ab

和y軸分別交于M,N兩點(diǎn)，且M4=N8,點(diǎn)E為48的中點(diǎn)，直線?！陜A斜角的正切值為顯,

2

OE=3,則直線/的方程為；橢圓C的離心率為.

【正確答案】y=--x+2y/3—

22

【分析】利用幾何知識(shí)求出直線/的斜率，利用中點(diǎn)E坐標(biāo)求出點(diǎn)〃坐標(biāo)，即可得出直線/的

方程.設(shè)出點(diǎn)48坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法，即可得出橢圓C的離心率.

22

【詳解】由題意，在C:二+與=l(a>b>0)中，MA=NB,BA=BE,

ab2

由幾何知識(shí)得，直線/與直線0E關(guān)于點(diǎn)E所在x軸對(duì)稱，

???直線0E傾斜角的正切值為此,OE=3

2

，直線/的斜率為-1，

2

設(shè)上(4，豆)，

XE=y/6

則<，解得:

絲=也）￡=6

:.E（瓜吟,M（0,2萬(wàn)）

'?l\y=-^-x+2y/i>

2

設(shè)力(網(wǎng),必)，8(%,%),

則當(dāng)+*=1，與+善=1，xt+x2=2xE=2>/6,必+%=2丹=2百

aba~h

A<L^+2￡Z21=O,

a2b2

.（必+為）（%-%）_一

.從2月（啦11

,,/一2后［2）2,

22

??a=2b,即a=6tb，

?-c=>Ja2—h2=12b2—b?=b，

./、-cbV2

.?離心率.e=—=1—=-------

a42b2

故y=-#+25與

五、解答題

17.已知圓C的圓心在直線2x+y-6=0上，且與直線丁=》相切于原點(diǎn).

(1)求原點(diǎn)(0,0)關(guān)于直線2x+y-6=0對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求圓C的方程.

【正確答案】葭)

(2)(x-6)2+(y+6>=72

【分析】(1)若兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則兩點(diǎn)連線中點(diǎn)在直線上，且兩點(diǎn)連線與直線垂直，據(jù)

此可得答案；

(2)因圓C與直線N=x相切于原點(diǎn)，則圓C過(guò)原點(diǎn)，且圓心在直線V=-x上，又圓心在直

線2x+y-6=0上，可求得圓心坐標(biāo)與圓的半徑.

【詳解】(1)設(shè)原點(diǎn)(0,0)關(guān)于直線2x+y-6=0對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(所,％),則兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)坐

標(biāo)為停圖.

?.?中點(diǎn)在直線2x+y-6=0上，得到：2%+%-12=0①.

又過(guò)兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的直線與已知直線垂直，...-Zx江=-1,得2%=/②.

xo

聯(lián)立①②解得對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為((2彳4,《12、卜

(2)過(guò)原點(diǎn)且與直線丁=》垂直的直線方程為y=-x,由題圓心在y=-x上.

[y=-xfy=-6/、

又圓心在直線2x+y-6=0上，聯(lián)立直線：、<八='/，即圓心為6,-6.

[2x+y-6=0[x=6

由題原點(diǎn)在圓C上，則半徑r=6近，則所求圓的方程為.(x-6>+(y+6)2=72

18.如圖，在直三棱柱/8C-481G中，AC1BC,AC=BC=CQ=2.

⑴求點(diǎn)A到平面45G的距離;

(2)若點(diǎn)〃是棱8c的中點(diǎn)，求直線4"與平面ABC,所成角的正弦值.

【正確答案】(1)逑

3

⑵萼

【分析】如圖，建立以C為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系.

(1)求出平面Z2G的法向量心設(shè)點(diǎn)片到面28G的距離為"，則〃=一^

問(wèn)

(2)設(shè)直線用M與平面48G成角正弦值為sin。，則sin?=卜《(瓦麗)卜n-B}M

同啊

【詳解】(1)因?yàn)橹比庵?BC-44儲(chǔ)底面三角形/8C滿足：AC1BC,

且4C=8C=CG=2,則以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，聲的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系c-斗.

則8(0,2,0),A(2,0,0),C(0,0,2),B、(0,2,2),M(0,1,0),

存=(-2,2,0),不=(2,0,-2).設(shè)面的法向量為。=(x,y,z),

ii-AB=-2x+2y=0,、

則一',取萬(wàn)=1,1,1).

n-CiA=2x-2z=0

——|萬(wàn)?88122、萬(wàn)

又8耳=(0,0,2),設(shè)點(diǎn)用到面的距離為d,則^=壬=/色

|?|V33

(2)由題可得麗=(0,-1,-2),設(shè)6M與面ZBG的夾角為巴

則s*H"，啊=■(=舄=曝

19.雙曲線cJ4=l(a>0/>0)的一條漸近線方程為尸瓜，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)工(2詢.

(1)求C的方程；

(2)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)雙曲線C上一動(dòng)點(diǎn)“(也在第一象限)分別作C的兩條漸近線的平行

線為4，4且4，4與X軸分別交于P，。，求證：I。叩。。|為定值.

【正確答案】⑴工-仁=1

39

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)雙曲線漸近線方程以及已知點(diǎn)，聯(lián)立方程，可得答案;

(2)由題意，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式方程，結(jié)合直線位置關(guān)系，寫(xiě)出直線44的直線方程,

求出。/的坐標(biāo)，整理|。斗|。。|的表達(dá)式，利用整體思想，可得答案.

【詳解】(1)???漸近線為y=Ex,則2=6,b=?，：￡上=\,

aa3a

43

A在雙曲線。上，得一?-不亍=1解得/=3,

a3a

22

...曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三-匕=1.

39

(2)設(shè)點(diǎn)”坐標(biāo)為(%,No)

則4：y-%=6(xr。)，得尸石獷。,0,則|。尸|=，7)'。,

同理：

l2：y-y0=-^(x-x0),得。，宵。,0,則|0°|=6.。,

則|附0@=鳳二打蟲(chóng)厚%=3%亦

V33

又?.?點(diǎn)〃在曲線C上，.?.3/2-汽2=9

39

則|。外|?！悴沸麑?3，二得證|。斗|。。|為定值3.

20.已知拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸的動(dòng)直線與C交于/,B兩點(diǎn).

(1)若直線的傾斜角為45。，求弦的長(zhǎng)度；

⑵設(shè)48兩點(diǎn)到x軸的距離分別為4，d2,求&+4的最小值.

【正確答案】(1)8

(2)4

【分析】(1)先利用點(diǎn)斜式得到直線方程，接著與拋物線進(jìn)行聯(lián)立可得卜"+%=：,然后用

〔必必=-4

弦長(zhǎng)公式即可求解；

fV,4-y=4/w

(2)設(shè)直線的方程為x=2y+l,與拋物線聯(lián)立可得3A,，所以

I%%=-4

4W=園間=4,然后用基本不等式進(jìn)行求解即可

【詳解】(1)由拋物線C：/=4x可得焦點(diǎn)尸(1,0),

當(dāng)直線傾斜角為45"時(shí)，直線48的方程為尸x-1,

聯(lián)立0[y==4x-x1化簡(jiǎn)得：卜任4=。，經(jīng)驗(yàn)證2。成立,

%+為=4

設(shè)，(國(guó),必),8(3力),此時(shí)

=-4

2。

：.\AB\^一對(duì)=4=8

(2)由題可知，直線的斜率不為0,又焦點(diǎn)網(wǎng)1,0),所以設(shè)直線的方程為》=叩+1,

IX=7WV+1、

聯(lián)立\化簡(jiǎn)得：/_4〃沙-4=0,經(jīng)驗(yàn)證A>0成立,

[y2=4x

%+%=4機(jī)

設(shè)4(%,%)，8(%,%)，此時(shí)

%乂=-4

由題可得：4=|對(duì),&=|%|，則44=聞舊=4,

又4+d2>2^W即4+424,

當(dāng)且僅當(dāng)4=4=2,直線Z8與X軸垂直，即弦Z8為通徑時(shí)等號(hào)成立,

所以&+4的最小值是4.

21.如圖，PO是三棱錐P—/8C的高，PA=PB,AB1AC,E是PB上的動(dòng)點(diǎn).

(1)若OE〃平面P4C,請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置，并說(shuō)明理由；

3

(2)若/50=4,當(dāng)E是P8中點(diǎn)，且二面角尸-48-C的正切值為萬(wàn)

時(shí).求二面角C-4E-8的正弦值.

【正確答案】(1)E是5尸中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析

咪

【分析】(1)通過(guò)證明三△PO5,得到。/=。8,再通過(guò)線面平行的性質(zhì)，即可確定

點(diǎn)E的位置.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面ZE8和面/EC的法向量，即可求出二

面角C-/E-8的正弦值.

【詳解】（1）由題意，E是8P中點(diǎn)，理由如下：

延長(zhǎng)80交/C于點(diǎn)連接尸。、0A,取中點(diǎn)“，連接QW.

V尸。/面ABC,：.ZPOA=ZPOB=90°.

又?：PA=PB,：./\POA=/\POB,：.OA=OB.

是N8中點(diǎn)，Z.OMLAB.

VACLAB,：.OM//AC,二。是8。中點(diǎn).

又；O￡u面8PD,面8P￡）n面P/C=P。，

若0E〃面刃C,則由線面平行性質(zhì)定理得OE〃PO.

是8。中點(diǎn)，二E是8P中點(diǎn).

（2）由題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，方的方向?yàn)閤軸正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4-xyz,

由（1）,可知z軸在平面/OP內(nèi).

二BD=2OA=8,

：.AD=4,AB=4BAC=\2,

.?.O（2百,2,0）,8（46,0,0）,C（0,12,0）,

由（1）,可得POJ■平面Z8C,OMLAB,：.PMLAB,

NPMO為二面角P-AB-。的平面角，

3

tanZPMO=—

OM2

又OM=2,,PO=3,...尸（2道,2,3）.

???E是P5中點(diǎn)，???￡

（36,1,1）,方=（40,0,0）,JC=（0,12,0）.

/.AE=

設(shè)平面4E8的法向量為工=(xj,z),

M-^E=3>/3X+7+|Z=0

則取萬(wàn)=（0,-3,2）.

?-J5=4>/3x=0

設(shè)平面NEC的法向量為而=(a,6,c)