2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷

2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（新高考I）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合加=｛-2,-1,0,1,2},^{xjx2-X-6^0},則MAN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

2.（5分）已知z=」-i,則z-z=（）

2+2i

A.-iB.iC.0D.1

3.（5分）已知向量a=（1，1），b=（1，-1）.若（a+入b）-L（a+Hb），貝U（）

A.入+|i=lB.入+p=-1C.入R=1D.A|i=-1

4.（5分）設函數(shù)/（x）=2%*〃在區(qū)間（0,1）單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（）

A.（-8,-2]B.[-2,0）C.（0,2]D.[2,+8）

22

5.（5分）設橢圓。：+/=1C2：2—+y2=l的離心率分別為ei,紀若62=

a2+4

Me\,貝!）。=（）

A.B.V2C.V3D.V6

3

6.（5分）過點（0,-2）與圓/+尸-4A：-1=0相切的兩條直線的夾角為a,則sina=（）

A.1B.'壓,C.HD.迎

444

S

7.（5分）記S為數(shù)列｛a〃｝的前〃項和,設甲：分〃｝為等差數(shù)列;乙：｛一%｝為等差數(shù)列,

n

則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.（5分）已知sin（a-p）=—,cosasinp=A,則cos（2a+2p）=（）

36

A.1B.Ac.-AD.-1

9999

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

（多選）9.（5分）有一組樣本數(shù)據(jù)xi,X2,X6,其中xi是最小值，X6是最大值，則（）

A.XI,X3,X4,X5的平均數(shù)等于XI,X2,X6的平均數(shù)

B.XI,X3>X4>X5的中位數(shù)等于XI,X2,X6的中位數(shù)

C.X2,X3,X4,X5的標準差不小于XI,X2,X6的標準差

D.XI,X3,X4,X5的極差不大于XI,XI,X6的極差

（多選）10.（5分）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲

壓級4，=20X/g旦，其中常數(shù)po（po>O）是聽覺下限閾值，p是實際聲壓.下表為不

P0

同聲源的聲壓級：

聲源與聲源的聲壓級

距離/加IdB

燃油汽車1060?90

混合動力汽1050?60

車

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10，*處測得實際聲壓分別為m，P2,P3,

貝（）

A.pi》p2B.P2>10/73C.P3=lOOpoD.p\^100^2

（多選）11.（5分）已知函數(shù)/（x）的定義域為R,/（孫）=/f（x）+?/,（>'）,則（）

A.f（0）=0B./⑴=0

C.f（x）是偶函數(shù)D.x=0為/（x）的極小值點

（多選）12.（5分）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：機）的正方體容器（容

器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99”？的球體

B.所有棱長均為1.4”?的四面體

C.底面直徑為O.Obn,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2加，高為0.01,”的圓柱體

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選

修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種

(用數(shù)字作答).

14.(5分)在正四棱臺A8CD-A131C1D1中，A8=2,=44i=&,則該棱臺的體

積為?

15.(5分)已知函數(shù)f(x)=coswx-1(o)>0)在區(qū)間［0,2司有且僅有3個零點，則3的

取值范圍是.

22

16.(5分)已知雙曲線C：2--匚=1(a>0,h>0)的左、右焦點分別為Fi,F2.點A

2,2

ab

在C上，點8在y軸上，:6_Lpg，F(xiàn)《=--pg，則。的離心率

11N32

為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求siriA；

(2)設48=5,求AB邊上的高.

18.(12分)如圖，在正四棱柱ABC。-A1B1C1D中，A8=2,441=4.點A2,Bl,C2,

。分別在棱All,BB\,CC\,DD\±,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)證明：B2C2//A2D2；

(2)點P在棱BBi上，當二面角P-A2c2-￡>2為150°時，求82P.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=a(ex+a)-x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當。>0時，/(x)>2lna+—.

2.

20.(12分)設等差數(shù)列｛〃”｝的公差為d,且4>1.令樂=工上，記的，力分別為數(shù)列

｛加｝的前"項和.

(1)若3a2=3m+a3,53+73—21,求｛“”｝的通項公式；

(2)若｛加｝為等差數(shù)列，且599-799=99,求d.

21.(12分)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，

若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每

次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概

率各為05

(1)求第2次投籃的人是乙的概率；

(2)求第，次投籃的人是甲的概率；

(3)已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且尸(必=1)=\-P(X,=0)=qi,i=l,2,

nn

…，〃，則E(￡xj=￡q..記前”次(即從第1次到第〃次投籃)中甲投籃的次數(shù)

i=l1i=l1

為匕求E(Y).

22.(12分)在直角坐標系xOy中，點尸到x軸的距離等于點尸到點(0,-1)的距離，記

2

動點P的軌跡為W.

(1)求W的方程；

(2)已知矩形ABCZ)有三個頂點在W上，證明：矩形ABCC的周長大于3M.

2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（新高考I）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合"={-2,-1,0,1,2},N={x|，-x-6》0},則MCN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.

【分析】先把集合N表示出來，再根據(jù)交集的定義計算即可.

【解答】解:VJC2-x-6>0,/.（x-3）（x+2）20,二田或xW-2,

N=（-8,-2]U[3,+8）,則MClN={-2}.

故選：C.

【點評】本題考查集合的運算，屬于基礎題.

2.（5分）已知z=—i,則z-z=（）

【分析】根據(jù)己知條件，結合復數(shù)的四則運算，以及共輒復數(shù)的定義，即可求解.

故z-Z=_i-

故選：A.

【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及共物復數(shù)的定義，屬于基礎題.

3.（5分）已知向量；=（1,1）,b=（1，-1）.若（a+Ab）±（；+而，則（）

A.入+p=lB.入+p=-1C.入（i=lD.X|i=-1

【分析】由已知求得Z+入E與W+NE的坐標，再由兩向量垂直與數(shù)量積的關系列式求解.

【解答】解：丁a=（1,1）,b=（1，-1）,

***@+入匕=（入+1，1-入），a+Rb=（p+1,1-|i）,

由（a+入b）-L（a+.b），得（入+1）（|i+l）+（1-A）（1-p）=0,

整理得：2人戶2=0,即入p=-L

故選：D.

【點評】本題考查平面向量加法與數(shù)乘的坐標運算，考查兩向量垂直與數(shù)量積的關系，

是基礎題.

4.(5分)設函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，則〃的取值范圍是()

A.(…，-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+?>)

【分析】利用換元法轉化為指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性進行求解即可.

【解答】解：設尸x(X5)=--這，對稱軸為》=包，拋物線開口向上，

2

???y=2,是，的增函數(shù)，

二要使f(x)在區(qū)間(0,I)單調(diào)遞減，

則在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，

即旦21,即2,

2

故實數(shù)”的取值范圍是[2,+8).

故選：D.

【點評】本題主要考查復合函數(shù)單調(diào)性的應用，利用換元法結合指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的

單調(diào)性進行求解是解決本題的關鍵，是基礎題.

22

5.（5分）設橢圓Ci：^-+y2=1（a>l）.Ci-.-^―+\2=1的離心率分別為ei,e2.若e2=

2

a4-

Mei,則a=()

A.B.V2C.A/3D.V6

3

2

【分析】利用橢圓C2：三-+)2=1的方程可求其離心率e2,進而可求ei,可求

4

【解答】解：由橢圓C2：2—+尸=1可得.2=2,￡>2—1>C2—V4-1—V3>

4

二橢圓Cl的離心率為e2=1,

2

：e2=V^ei,-

2a]2

???aj=4cj=4<af-bp=4<aj-1）,

或a=--（舍去）.

33

故選：A.

【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查運算求解能力，屬基礎題.

6.(5分)過點(0,-2)與圓/+/-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為a,則sina=()

A.1B.2/ILC.D.近

444

【分析】圓的方程化為(x-2)2+^=5,求出圓心和半徑，利用直角三角形求出sinK-,

2

再計算cos工-和sina的值.

2

【解答】解：圓/+/-4x-1=0可化為(x-2)2+尸=5,則圓心C(2,0),半徑為r

—5/5；

設尸（0,-2）,切線為以、PB,則改=五可了=2&,

△必C中，sin2=乂“，所以cos巴=J］力=乂“,

22V22V18272

所以sina=2sin-^cos-5-=2XX.

222V22V24

故選:B.

【點評】本題考查了直線與圓的位置關系應用問題，也考查了三角函數(shù)求值問題，是基

礎題.

S

7.(5分)記為為數(shù)列｛如｝的前"項和,設甲：｛的｝為等差數(shù)列；乙：｛一巴｝為等差數(shù)列,

n

貝IJ()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【分析】首先明確充要條件的判定方法，再從等差數(shù)列的定義入手，進行正反兩方面的

論證.

【解答】解：若｛斯｝是等差數(shù)列,設數(shù)列｛〃”｝的首項為G,公差為d,

貝！]Sn=nai+n(n-1)

2

B|J-^￡L—ai+n-^,

n222

S

故｛上｝為等差數(shù)列，

n

即甲是乙的充分條件.

反之，若｛上S｝為等差數(shù)列，則可設S上L-S-2=。，

nn+1n

S

則_￡_=Si+(n-1)D,即S"=〃Si+〃Cn-1)D,

n

當〃》2時，有S"-1=(n-1)S\+(n-1)(?-2)D,

上兩式相減得：Cln=Sn-Sn\=Sl+2(rt-1)D,

當〃=1時，上式成立，所以如=41+2(〃-1)￡),

則而+1-的=。1+2必-⑷+2(n-1)D]=2D(常數(shù))，

所以數(shù)列｛加｝為等差數(shù)列.

即甲是乙的必要條件.

綜上所述，甲是乙的充要條件.

故本題選：C.

【點評】本題主要考查利用定義進行等差數(shù)列的判斷，穿插了充要條件的判定，屬中檔

題.

8.(5分)己知sin(a-P)=上，cosasinp=—,則cos(2a+2p)=()

36

A.工B.AC.-AD.-工

9999

【分析】由已知結合和差角公式先求出sinacos0,再求出sin(a+0),然后結合二倍角公

式可求.

【解答】解：因為sin(a-P)=sinacosp-sinPcosa=A,cosasinp=A,

36

所以sinacos|3=-l.,

2

所以sin(a+p)=sinacosp+sin|3cosa=—

263

則cos(2a+20)=1-2sin2(a+0)=1-2XA=A.

99

故選：B.

【點評】本題主要考查了和差角公式，二倍角公式的應用，屬于中檔題.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

(多選)9.(5分)有一組樣本數(shù)據(jù)R1,X2,…，X6,其中M是最小值，胚是最大值，則()

A.XI,X3,X4,X5的平均數(shù)等于九1,XI,X6的平均數(shù)

B.XI,X3,九4,X5的中位數(shù)等于XI,X2,…，X6的中位數(shù)

C.X2,X3,K4,X5的標準差不小于川，X2,X6的標準差

D.XI,X3,戈4,戈5的極差不大于無1,X2,…，X6的極差

【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，標準差，極差的概念逐一判定即可.

【解答】解：A選項，Kl，X3,X4,X5的平均數(shù)不一定等于XI,犬2,…，X6的平均數(shù)，A錯

、口

I天；

8選項，XI,X3,X4,X5的中位數(shù)等于上■—―,X\,X2,…，X6的中位數(shù)等于上——,B

22

正確；

C選項，設樣本數(shù)據(jù)XI,X2,■■■,X6為0,1,2,8,9,10,可知XI,X2,…，胚的平均數(shù)

是5,X2,X3,X4,X5的平均數(shù)是5,

XI,X2,,X6的方差u2=—X[(0-5)2+(1-5)2+(2-5)2+(8-5)2+(9-5)2+

16

(10-5)2]=毀，

3

X2,X3,X4,X5的方差v2=—xl(1-5)2+(2-5)2+(8-5)2+(9-5)勺=空，

S242

S]2>s/，'si>S2,C錯誤.

O選項，X6>X5,X2>X1,.,.X6-X1>X5-X2,。正確.

故選：BD.

【點評】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、標準差、極差的計算，是基礎題.

(多選)10.(5分)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲

壓級Lp=20Xlg2,其中常數(shù)po(po>O)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓.下表為不

P0

同聲源的聲壓級:

聲源與聲源的聲壓級

距離/加/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽1050?60

車

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10〃?處測得實際聲壓分別為0,P2,〃3,

則()

A.pi2P2B.p2>10p3C.P3=100/9()D.pi100/72

【分析】根據(jù)題意分別計算0，P2,P3的范圍，進行比較即可求解.

9_

【解答】解：由題意得，60^20/^-1^90,1000/x)WpW]05po,

P。

g

50W20/g——^60,1Q2po1OOOpo,

P。

20/g^^=40,〃3=1OOpo,

PO

可得piep2,A正確；

p2W10p3=1000p。,8錯誤；

p3=lOOpo,C正確；

9_5_

PW]02po=100X102po〈lOOp2,pi〈100p2,。正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查函數(shù)模型的運用，考查學生的計算能力，是中檔題.

(多選)11.(5分)已知函數(shù)/(無)的定義域為R,f(xy)=y2f(x)+x2/(y)，則()

A.f(0)=0B./(1)=0

C.f(x)是偶函數(shù)D.x=0為/(x)的極小值點

【分析】在己知等式中，取x=y=0判斷A；取x=y=l判斷&求出/(-I),再取y

=-1判斷C；取滿足等式的特殊函數(shù)判斷D.

【解答】解:由/(肛)=y2f(x)+臼。)，

取x=y=0,可得/(0)=0,故A正確；

取x=y=l,可得/(I)=2f(1),即/(I)=0,故8正確;

取x—y--1,得/(1)—2f(-1),即/(-1)=交，(1)=0,

取y=-i，得/(7)=/(X)，可得/(x)是偶函數(shù)，故C正確；

由上可知，/(-1)=f(0)=/(1)=0,而函數(shù)解析式不確定，

不妨取f(X)=0,滿足/(xy)=臼(x)+X2/1(>),

常數(shù)函數(shù)f(x)=0無極值，故。錯誤.

故選：ABC.

【點評】本題考查抽象函數(shù)的應用，取特值是關鍵，是中檔題.

(多選)12.(5分)下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：加)的正方體容器(容

器壁厚度忽略不計)內(nèi)的有()

A.直徑為0.99〃?的球體

B.所有棱長均為14〃的四面體

C.底面直徑為0.01兀，高為18〃的圓柱體

D.底面直徑為12",高為0.01加的圓柱體

【分析】對于A，由正方體的內(nèi)切球直徑大于0.99可判斷；對于8,由正方體內(nèi)部最大

的正四面體的棱長大于1.4可判斷；對于C,由正方體的體對角線小于1.8可判斷；對于

D,取E,F,G,H,I,J都為棱中點，則六邊形EFGH/J為正六邊形，由正六邊形的內(nèi)

切圓直徑大于1.2可判斷.

【解答】解：對于A,棱長為1的正方體內(nèi)切球的直徑為1>0.99,選項A正確；

對于8,如圖，

正方體內(nèi)部最大的正四面體D-A\BC\的棱長為1]_2+]2>1.1選項B正確;

對于C,棱長為1的正方體的體對角線為詹<1.8,選項C錯誤；

對于力，如圖，六邊形EFG"〃為正六邊形，E,F,G,H,I,，為棱的中點，

BECE

六邊形EFG”〃棱長為返?米，NGFH=NGHF=3Q°,

2_

所以FH=V3FG=V§GH平米，故六邊形EFGHIJ內(nèi)切圓直徑為亨米,

而＞（1.2）2=1.44，選項。正確.

故選：ABD.

【點評】本題考查簡單幾何體的體積，考查空間想象能力與運算求解能力，屬于中檔題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選

修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有64種（用

數(shù)字作答）.

【分析】利用分類計數(shù)原理進行計算即可.

【解答】解：若選2門，則只能各選1門，有C：C：=16種，

如選3門，則分體育類選修課選2,藝術類選修課選1,或體育類選修課選1,藝術類選

修課選2,

貝第1=24+24=48,

綜上共有16+48=64種不同的方案.

故答案為：64.

【點評】本題主要考查簡單的計數(shù)問題，利用分類計數(shù)原理進行計算是解決本題的關鍵,

是基礎題.

14.（5分）在正四棱臺ABC。-A1B1C1D1中，AB=2,=A4i=&,則該棱臺的體

積為工逅.

一6一

【分析】先根據(jù)題意求出四棱臺的高，再代入臺體的體積公式即可求解.

【解答】解：如圖，設正四棱臺ABCD-AiBCiDi的上下底面中心分別為M,N,

過4作4”_LAC,垂足點為“，由題意易知又AN=&,

：.AH=AN-W?/=X-2,,又A4=&,:.A\H=MN='g

22

,該四棱臺的體積為工X(1+4+4IX4)乂返_=工道.

326

故答案為：上ZE.

6

【點評】本題考查臺體的體積公式的應用，屬基礎題.

15.(5分)已知函數(shù)/(x)=cosu)x-1(3>0)在區(qū)間［0,2ir］有且僅有3個零點，則3的

取值范圍是23).

【分析】利用余弦函數(shù)的周期，結合函數(shù)的零點個數(shù)，列出不等式求解即可.

【解答】解：.隹［0,2n］,函數(shù)的周期為HL(o)>0),cosa)x-1=0,可得coso)x=l,

函數(shù)/(冗)=cosa)x-1(a)>0)在區(qū)間［0,2川有且僅有3個零點，

可得2.空_W如<3.空■，

所以2W3<3.

故答案為：［2,3).

【點評】本題考查三角函數(shù)的周期的應用，函數(shù)的零點的應用，是基礎題.

16.(5分)已知雙曲線C：(?>0,6>0)的左、右焦點分別為四，尸2.點A

2,2

ab

在C上，點B在y軸上，用=-2多，則C的離心率為_旦近」.

35

【分析】(法一)設Fl(-c,0),Fi(c,0),B(0,/1),根據(jù)題意可得點A的坐標，

進一步得到幣=/c,.n),用=(c,n)>再由不,用，可得〃2=4C2.結

合點A在雙曲線上，可得解；

|FAI

(法二)易知-9■，設|彳|=2t,|陰|=3t，ZF\AF2=Q,解三角形可知

IF2BI

5c2=9。2,進而得解.

【解答】解：(法一)如圖，設Fl(-c,0),Fi(c,0),B(0,ri'),

_

設A(x,y),則F2A=(x-c,y),F2B=(c,n>

又F2A則’9，可得AC|"c,一|"nA

又F[A，F(xiàn)]B，且F[A=(石c,fn)，F(xiàn)1B=(c,n)>

則跖,用=,c24n2=0,化簡得"2=402.

oo

又點A在C上，

-2-5c2—4n299

則上------一=1,整理可得冬__細_=1,

a2b29a29b2

99

代〃2=4C2,可得至＞一筆_=9即25e2-亨

abe-

解得92上或工（舍去），

（法二）由取=一|多，得IF2Al

IMI-3

設|取|=2t,|陰|=3t，由對稱性可得|率|=3t，

則|訊|=2t+2a,|AB|=5V

所以c0s8=g/t+2a,解得片小

055t

所以|耳|=2t+2a=4a,|AF^|=2a>

222

在△AF1F2中，由余弦定理可得858=162+40.一二

【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)己知在△ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA；

(2)設A8=5,求48邊上的高.

【分析】(1)由三角形內(nèi)角和可得C=?L,由2sin(A-C)=sin&可得2sin(A-C)

4

=sin(A+C),再利用兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡可得sinA=3cosA,再結合平方關

系即可求出sinA；

(2)由sinB=sin(A+C)求出sinB,再利用正弦定理求出AC,BC,由等面積法即可求

出AB邊上的高.

【解答】(1)'：A+B=3C,A+B+C=TT,

.'.4C=TT,

.?.c=2L,

4

V2sin(A-C)=sinB,

A2sin(4-C)=sin[ii-(A+C)]=sin(A+C),

/.2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC4-cosAsinC,

「?sinAcosC=3cosAsinC,

?底.A.

——sinA=3X-cosA*

sinA=3coSi4,BPcosA=AsinA,

3

又;SMA+COS2A=L**-sin2A-^sin2A=r

解得sin2A=A-,

10

又〈AW(0,IT),/.sinA>0,

—嚕

(2)由(1)可知sinA=3y~^_,cosA=2sirt4

10310

/.sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=^/Z^_X

V2=2V5.

1025

?ABACBC

sinCsinBsinA

X10

設AB邊上的高為

則*AB?h=yXACXBCXsinO

?'?1-h^yX2V10X3A/5X冬

解得h=6,

即AB邊上的高為6.

【點評】本題主要考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，考查了正弦定理和余弦定理的應

用，屬于中檔題.

18.(12分)如圖，在正四棱柱ABC。-A1B1CM1中，AB=2,441=4.點42,Bz,Cl,

分別在棱AAl，BB\,CC\,DD\±,442=1,BB1=DD1=2,CC2=3.

(1)證明：B2C2//AiDii

(2)點P在棱B81上，當二面角P-A2c2-02為150°時，求B2P.

【分析】（1）建系，根據(jù)坐標法及向量共線定理，即可證明；

（2）建系，根據(jù)向量法，向量夾角公式，方程思想，即可求解.

【解答】解：（1）證明：根據(jù)題意建系如圖，則有:

B2(0,2,2),C2(0,0,3),A2(2,2,1),Di(2,0,2),

=

‘B2c2=(0,-2,1),A2D2(0?-2,1)?

,

?'-B2C2=A2D2又比，C2,A2,。2四點不共線，

.".B2C2//A2D2;

(2)在(1)的坐標系下，可設P(0,2,t),zeio,4],

又由(1)知C2(0,0,3),A2(2,2,1),D?(2,0,2),

C2A2=(2,2,-2)>C2P=(0?2,t-3)?A2D；=(0,-2,1)，

設平面附2c2的法向量為孟=(x,y,z)'

[m?C2A2=2x+2y_2z=0

則/-°，取恐(t-l,3-t,2)，

m?C2P=2y+(t-3)z=0

設平面A2c2。2的法向量為1=(a,b,c)，

,

nC9A9=2a+2b-2c=0

則_士。n，取￡(1,1,2)，

n*A2D2=-2b+c=0

，根據(jù)題意可得|cosl50°|=|cos〈ir，n>l='J叱？L

ImIIn

2V(t-l)2+(3-t)2+4xV6

.,.F-4f+3=0,又作[0,4],

，解得t=1或t=3,

:.p為B\B2的中點或B2B的中點,

：.B2P=l.

z

【點評】本題考查利用向量法證明線線平行，利用向量法求解二面角問題，向量共線定

理及向量夾角公式的應用，方程思想，屬中檔題.

19.(12分)己知函數(shù)/(無)=a(—+〃)-x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當〃>0時，f(x)>2lna+^-.

2

【分析】(1)先求出導函數(shù)/(X),再對〃分。W0和。>0兩種情況討論，判斷了(K)

的符號，進而得到了G)的單調(diào)性；

(2)由(1)可知，當〃>0時，/(x)mifi=f(ln-)=1+/+歷6,要證f(x)>2lna+—,

a2

只需證1+/+歷°>2勿〃+慨，只需證設g(a)J-lna-/。＞°，求

導可得g(x)min=g(乂2)>0,從而證得/(x)>2lna+—.

22

【解答】解：(l)/(x)=a(歹+。)-%,

則/(x)=aex-1,

①當aWO時，f(x)VO恒成立，f(x)在R上單調(diào)遞減，

②當〃>0時，令/(x)=0得，x=]1T

a

當在(-8,加工.)時，f(x)<0,/(%)單調(diào)遞減；當炬(/nA,4-00)時，/(X)>

aa

0,fCx)單調(diào)遞增，

綜上所述，當“W0時，fG)在R上單調(diào)遞減；當a>0時，f(x)在(-8,加L)上

a

單調(diào)遞減，在(加工，+°°)上單調(diào)遞增.

a

2

證明：(2)由(1)可知，當Q>0時、f(x)min=fCln—)=a(」+〃)-ln—=\+a+lnaf

aaa

要證/(%)>2lna+—,只需證1+〃2+及〃>2及〃+士，

22

只需證a2-lna-，->°，

=a2-lna—

則g'(a)

aa

令g'(a)=0得，

2_

晅)時，g'(a)<0,g(a)單調(diào)遞減，當(亞，+?>)時，g'(a)>0,

當ae(0,

22

g(a)單調(diào)遞增,

所以g(a)2g(V^.)=_L_i-A=-/H^Z.>0,

22^222

即g(a)>0,

所以a2Tna-^〉。得證，

BP/(x)>2/na+—得證.

【點評】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了函數(shù)恒成立問題，

屬于中檔題.

2.

20.(12分)設等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,且d>l.令工」R,記為,2分別為數(shù)列｛an｝,

an

｛為｝的前"項和.

(1)若3a2=3小+。3,$3+73=21,求｛a”｝的通項公式;

(2)若｛加｝為等差數(shù)列,且S99-799=99,求d.

【分析】(1)根據(jù)題意及等差數(shù)列的通項公式與求和公式，建立方程組，即可求解；

(2)根據(jù)題意及等差數(shù)列的通項公式的特點，可設帆="7,則bJtl,且d=f>l；

nt

或設“”=A(〃+1),則bJ?，且d=A>l，再分類討論，建立方程，即可求解.

nk

【解答】解:(1)；3。2=3。1+。3,53+73=21,

3(a[+d)=3a[+a]+2d

根據(jù)題意可得4

3ai+3d+(2-^7=21'

1a[a]+da?+2d

aj=d

??SQ，

6d-^=21

???2屋一7d+3=0,又d>l,

???解得d=3,；?m=d=3,

an=ai+（n-1）d=3n,〃WN*；

（2）；｛a"｝為等差數(shù)列，｛為｝為等差數(shù)列，且加=二~2,

an

，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式的特點，可設?！?加，則b上工，且d=>1;

nt

或設女（幾+1）,則bJ，且d=Z>l,

nk

①當。〃=5，b』+Ld=?l時，

nt

則S99-丁99=（t+99t）X99_心十幽）x-^.=99,

2'tt'2

??50t—^-=r.1。』-L51=0,又d=i>l,

，解得d=，=旦；

50

②當a〃=Z（〃+l）,Rd=Z>l時，

nk

則S99-799=（2k+嗎k）x99_eg）x號=99,

.??51『毀=1，???51必-2-50=0,又d=Z>l,

k

???此時攵無解，

.??綜合可得"=旦.

50

【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式與求和公式的應用，方程思想,

化歸轉化思想，分類討論思想，屬中檔題.

21.（12分）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，

若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每

次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概

率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

(3)已知：若隨機變量X,服從兩點分布，且P(X,=1)-P(X(=0)—qi,i—1,2,

nn

…，小則E(工Xj=工q..記前〃次(即從第1次到第〃次投籃)中甲投籃的次數(shù)

i=l1i=l1

為匕求E(V).

【分析】(1)設第2次投籃的人是乙的概率為P,結合題意，即可得出答案；

(2)由題意設P”為第"次投籃的是甲，則P”+i=0.6P"+0.2(1-PQ=0.4尸”+0.2,構造

得P”+i-」=0.4(尸〃-工)，結合等比數(shù)列的定義可得是首項為工，公比為0.4

3336

的等比數(shù)列，即可得出答案；

(3)由(2)得Pi=』+2X(2)八1,當“6N*時，E(r)=P\+P2+...+Pn,求解即可得

365

出答案.

【解答】解：(1)設第2次投籃的人是乙的概率為P,

由題意得P=0.5X0.4+0.5X0.8=0.6；

(2)由題意設P”為第〃次投籃的是甲，

則P"+i=0.6P”+0.2(1-Pn')=0.4P?+0.2,

：.Pn+\-工=0.4(P?-A),

33

又』-工=2W0,貝ij｛辦-2｝是首項為工，公比為0.4的等比數(shù)列，

323636

A=Ax(.2),rl,即P“=JL+JLX(2)”7,

365365

第，?次投籃的人是甲的概率為代=工+工x(2)門；

365

(3)由(2)得P