2023-2024學(xué)年山東省煙臺市高一年級下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年山東省煙臺市高一下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.若z(l+i)=l-5i,貝丘=()

A.-2-3iB.-2+3iC.3-3iD.3+3i

【正確答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的除法運算求出復(fù)數(shù)z,再求出之作答.

l-5i(l-5i)(l-i)-4-6i__

【詳解】依題意,z====23

l+i(l+i)(l-i)2

所以z=—2+3i.

故選：B

2.已知向量“、〃的夾角為150,忖=1,愀=6,則4+28=

()

A.石B.不c.710D.V19

【正確答案】B

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得|〃+20的值.

【詳解】因為向量〃、〃的夾角為150,何=1,W=G,

己知

3.cos|a+2)=()＜。＜兀，則sina的值為()

7

A.空5G13

B.D.

14IT

【正確答案】C

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出再根據(jù)兀71<,

sinja+^J,sincr=sina+~--利

O

用兩角差的正弦公式計算可得.

【詳解】因為cos|a+.1ri八兀7177r

-,且0<a<7i,則+

/666

71

所以sina=sina+~

4x/3V31111

=--------X--------------X—=——

727214

故選：C

4.故宮是世界上規(guī)模最大，保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑群，故宮"乾清宮''宮殿房檐的

設(shè)計在夏至前后幾天屋檐遮陰，在冬至前后幾天正午太陽光就會通過地磚反射到“正大光明”

匾上，驚艷絕倫.己知北京地區(qū)夏至前后正午太陽高度角為73。，冬至前后正午太陽高度角

為27。，如圖，測得BC=“，則房檐A點距地面的高度為（）

2sin46°

2sin46°asin53°

tan73°—tan27°asin27°sin73°

atan53°tan27°sin46°

【正確答案】D

【分析】利用三角形的邊角關(guān)系及正弦定理解決本題即可.

【詳解】設(shè)點A在地面的射影為。,由已知得N/WD=73。，ZACB=27°,

則NB4C=73-27=46；

忌，得所黑

在三角形MC中，由正弦定理而

一工w，一?rcasm27sin73

在直角二角形A3。中，AD=/ABsin73=-------------.

sin46

故選：D

5.在中，點。為BC中點，E為4。中點，記AQ=a，CE=b，則A8=（）

3311rr

A.—a+bB.-a-bC.—a+bD.-a-b

2222

【正確答案】A

【分析】根據(jù)平面向量的基本定理，利用基向量出6,結(jié)合向量的運算進(jìn)行求解.

【詳解】因為點力為BC中點，所以。B=CO；因為E為AD中點，所以=

所以A8=AO+O8=AO+C。=AD+CE+ED

133

=AD+CE+-AD=-AD+CE=-a+b.

222

故選：A.

6.設(shè)。=(1-V5tan2O)sin80,b=sin40sin110-sin20sin130,c=2tan15,則()

'7l-tan215

A.a>b>cB.c>h>aC.c>a>bD.a>c>b

【正確答案】C

【分析】利用三角恒等變換化簡。、。、。利用正切函數(shù)的單調(diào)性以及同角三角函數(shù)的基

本關(guān)系可得出。、b、。的大小關(guān)系.

cos20-75sin20jsin（90-10）

【詳解】=（1-73tan20jsin80=

cos20

sin20-cos20jcoslO2sin（20-30）cosl02sinl0cos10

cos20cos20cos20

sin20c八

=------=tan20，

cos20

/?=sin40sin110-sin20sin130=sin40sin（90+20）-sin20sin（90+40）

=sin40cos20-sin20cos40=sin（40-20）=sin20,

<=2tan15=330,

1-tan215

因為0<cos20<1,貝han30>tan20=「°〉sin20,c>a>b.

cos20

故選：C.

7.設(shè)函數(shù)/(x)=binM+|cosx|,g(x)=sin(2x4-^)-2sinx,若存在內(nèi),七￡[。，兀]，使得

/(xJ+g(%)=M，則實數(shù)機的取值范圍為()

A.[-3,1]B.[-2,V^]C.[-2,1+V^]D.[-1,2]

【正確答案】C

【分析】求出函數(shù)F(x),g(x)在。兀]上的值域，再根據(jù)已知求出機的范圍作答.

【詳解】xe[0,7c],/(x)=J(|sinx|+|cosx|)2=Jl+|sin2x|,顯然2%￡[0,2兀],

當(dāng)％w｛0弓，兀｝時，回地小產(chǎn)。,當(dāng)x嗚苧時，Isin2x^=0,因此1工/。)工行，

八213

xG[0,7i],^(x)=cos2x-2sinx=1-2sin~x-2sinx=-2(sin-^+—)2+—,

=1

而OWsinxWl,則當(dāng)sinx=0,即｛0,幾｝時，g(x)max，當(dāng)sinx=l，即x=時，g(x)m.n=-3,

即-3<g(x)<l,

依題意，mmin=-3+l=-2,mniax=1+母,

所以實數(shù)m的取值范圍為是[-2,1+0].

故選：C

8.在銳角J15C中，角4B,C所對的邊分別為“/,c.若2ccosB=a—c,則皿上O的

sin8

取值范圍為()

A.(l,x/3)B.(0,1)C.(0,V2)D.(忘,

【正確答案】B

【分析】由2c8SB=“-C,根據(jù)正弦定理邊化角，再消去C,可得sin(C-B)=sin(-C),

利用三角形ABC是銳角三角形，可得B=2C,進(jìn)而求出對"二三0化簡,可

<64)sinB

求出結(jié)果.

【詳解】因為2ccosB=a-c,由正弦定理可知，2sinCcosB-sin/4+sinC=0,

又4+8+。=兀，所以sinA=sin(8+C)

所以2sinC8sB-sin(8+C)+sinC=0,

所以sinCcosB-sinBcosC+sinC=0

即sin（C-8）=sin（-C）,

又..ABC是銳角，則

則（7_3￡（_5，5）,-Cej?所以C_B=_C,即3=2C,

兀兀

解得?！?/p>

654

所以sin（A-C）_sin（A-C）_sin（萬一4C）_sin4C_2sin2Ccos2C

sinBsin2Csin2Csin2Csin2C

CGf—2C€j9貝!!cos2Cw（0,/）,貝I]2cos2c￡（0,1）,

故選：B.

二、多選題

jrIT

9.已知復(fù)數(shù)2=5皿二+遼05二，則()

66

A.z的虛部為3iB.1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限

2

C.z+z=|z|D.z是關(guān)于x的方程》2一》+1=0的一個根

【正確答案】BCD

【分析】把復(fù)數(shù)化成z='+Xli,利用復(fù)數(shù)的意義判斷A；求出)、|z|判斷BC；利用復(fù)數(shù)

22

的四則運算計算判斷D作答.

【詳解】依題意，復(fù)數(shù)z='+3i,復(fù)數(shù)Z的虛部為無，A錯誤；

222

1=9當(dāng)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(；,-多在第四象限，B正確；

|z|=J(g)2+g)2=l，z+3=(；+乎i)+(；—曰i)=l,則Z+5=|z|，C正確；

2,JG.、2J6.、,,1百.、15^.,?

Z-—Z4-1=(1--1)-—(1-----1)+1=(----1---1)-------1+1=0,

22222222

即Z是關(guān)于x的方程d-x+l=o的一個根，D正確.

故選：BCD

10.已知向量a=（l,2）,b=（3,—1）,c=（2,m）,則下列說法正確的是（）

A.若〃?=1,則〃與c夾角的余弦值為2B.若（a+〃）//c,則加=；

C.若加>7,則〃與c的夾角為銳角D.向量a在〃上的投影向量是（2,-看］

【正確答案】ABD

【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可判斷A選項；由平面向量共線的坐標(biāo)表示可判

斷B選項；分析可知a.c>0且a與c不共線，求出機的取值范圍，可判斷C選項；利用投

影向量的定義可判斷D選項.

/、/\a,c44

【詳解】對于A選項，當(dāng)相=1時，c=（2,l）,則cos0c片麗=島君=二,A對;

對于B選項，因為a=（l,2）,￡>=（3,-1）,c=（2,m）,貝ija+6=（4,l）,

若(a+Z?)//c,則4〃?=2,解得％=5，B對;

對于C選項，若a與c夾角為銳角，則a-c=2+>0，解得機>-1，

且a與c不共線，所以，“*4,

所以，當(dāng)機>-1且時，”與c的夾角為銳角，C錯；

對于D選項，向量”在。上的投影向量“cos

故選：ABD.

7T

11.函數(shù)/（x）=Asin（?x+⑼（A>O,0>O,lsl<i）的部分圖象如圖所示，則（）

A.函數(shù)/*）在區(qū)間（-3,二）上單調(diào)遞增

B.(-")是函數(shù)〃x)的一個對稱中心

C.函數(shù)〃x)在區(qū)間上的最大值2

D.若./1(%)=/。2)，則lwl=n

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，求出函數(shù)〃x)的解析式，再逐項分析、計算判斷作答.

【詳解】觀察圖象知，A=拒,/(0)=2sinp=百，即sine=^^,而解得夕

223

f令=2而(畀+令=一石，有sin(工。+烏)=-立，因為點(0,6)與吟，-6)在函數(shù)圖象

22132322

上相鄰，

因此=兀，解得69=2,于是f(x)=2sin(2x+1),

對于A,當(dāng)-二<x<E時，0<2x+二〈二，而正弦函數(shù)y=sinx在(03)上單調(diào)遞增，

612322

JT7T

所以函數(shù)/(X)在區(qū)間(-；,二)上單調(diào)遞增，A正確；

612

對于B,當(dāng)*=-［時，f(—S)=2sin(-W)=-6wO,(-*0)不是函數(shù)/(x)的一個對稱中心，

JJD

B正確；

對于C當(dāng)時,2嗚w吟部當(dāng)2X+K即x與時，/(X)取得最大值

2,C正確;

對于D,取X1=0,x,=3，有/(%)=6,/(工,)=$出==6，止匕時有/(%)=/(々)，而

63

TT

lxi-x21=7,D錯誤?

故選：AC

12.在口ABC中，角4,B,C所對的邊分別為a,4>,c,asinB=bsinB+C,a=3,。為,ABC

2

外接圓圓心，則下列結(jié)論正確的有()

A.A=1B..ABC外接圓面積為12兀

C.BOBC聾D.SABC的最大值為名叵

24

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角正弦求出角A,再利

用正余弦定理、三角形面積公式、數(shù)量積運算計算判斷各選項作答.

【詳解】在，ABC中，由正弦定理及asin3=/?sinO±C得：sinAsinB=sinBsin-—―

22

AAAAc八A兀4八

MsinB>0,則有sinA=cos—,即2sin—cos—=cos—,又0<一<一,cos—>0,

2222222

則sin4=〈，所以4=1,即4=9,A正確;

22263

3=6

1f\?-----_?1-------------

由正弦定理得一ABC外接圓半徑2sinA2.71該圓面積兀/?2=3兀，B錯誤;

sin—

3

10

如圖，BOBC=\BO\\BC\cosZOBC=-aa=-C正確;

22f

由余弦定理得：9=a2=b2+c2-2/JCCOS1>2bc-bc=be,當(dāng)且僅當(dāng)6=c=3時取等號,

因此SABC='〃csin殳叵，D正確.

ABC2344

故選：ACD

三、填空題

13.已知sina+cosa=1，—<?<—,則sin[2a-：]的值為.

542V4)

【正確答案】述

50

【分析】根據(jù)給定條件，求出sin2%cos2。，再利用差角的正弦求解作答.

74924

【詳解】因為sina+cosa=w,兩邊平方得：l+2sinacosa=石，解得sin2a=w，

又(<a<5，即5<2a<加，則cos2a=-Jl-sin?2a=-Jl-=-^-,

所以sin(2a--)=sin2acos--cos2asin—=—x-(一--)x近-,

44425225250

故或

50

14.寫出一個同時滿足以下三個性質(zhì)的函數(shù)：/(x)=.(寫出一個符合條件的即可)

①對于任意xeR,都有/*+；）=/（x-今）；②f（x）的圖象關(guān)于直線x=］對稱；③/（x）

的值域為［0,2］.

【正確答案】sin（2x+》+l（答案不唯一）

4

【分析】由性質(zhì)①可得/（X）的周期為"，再由性質(zhì)②③寫出滿足3個性質(zhì)的一個函數(shù)即可.

IT37r

【詳解】任意XeR,/（X+7）=/（X-^）<z>/（X+71）=/（X）,即函數(shù)/（X）是周期為兀的周

44

期函數(shù)，

則由性質(zhì)①，可令/'（幻=念皿（2犬+?）+6,4>0,|夕|<:萬，

7T7TTT1T

由性質(zhì)②知，2x-+（p=kn+-,keZ,而|°|<彳，則左=0,夕=:，

8224

_fA+b=2,7i

由性質(zhì)③知，S解得A=l,b=l,于是/（1）=$皿21+:）+1,

［-A+b=04

7T

所以同時滿足給定三個性質(zhì)的函數(shù)可以為/（x）=sin（2x+：）+l.

4

71

故sin（2x+—）+1

4

15.在，.ABC中，,。=2,卜8『-血卜8忸C|+4=|AC］，。是邊AB上一點，且滿足

CDCB=CDCA，則COCB的值為.

【正確答案】2

【分析】由C力?CB=C。?CA可得C￡>為AB邊上的高，利用邊長關(guān)系可求|CQ『=2,再利用

向量關(guān)系轉(zhuǎn)化后可求COCB的值.

【詳解】

因為CDCB=COC4，故CO（CB-C4）=0即C￡>A8=0,

故CD為AB邊上的高，^CDCB=CD（CD+DB^=CDL.

又網(wǎng)2-&網(wǎng)|叫+4=|AC|2可化為

（卜牛|叫『-2皿回+回）+4=卜邛+|8『，Tfn|co|2=4-|BD|2,

所以（|叫+即「一2&（|叫+叫）+4=卜邛+4］叫2,

整理得到：,。卜（卜4+,4）一0（,4+k4）=0,故忸4=血，

故|cn1=2即C?CB=2,

故2.

四、雙空題

16.趙爽是我國漢代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》作注解時，給出了“趙

爽弦圖“：四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大的正方形.如圖所示，正方

形A2C￡＞的邊長為JF,正方形EFG”邊長為1,則AEAG的值為;

tanZ.EAB=

【分析】根據(jù)給定的“趙爽弦圖”，利用勾股定理求出AF,AG的值，再利用向量數(shù)量積的定

義求出AE-AG，利用和角的正切求出tanZE45作答.

【詳解】依題意，Rt/8G,Rt8C，,Rt.8E,RtD4F全等，

在Rt/XABG中，AB=y/]3,AG=AF+l,BG=AF,由AG?+BG)=AB?得:

(AF+1)2+AF2=13,即AF2+AF-6=0,又AF>0,解得AF=2,

AE-AG=\AE\\AG\cosZEAF=\AF\(\AF\+1)=2x3=6；

.EF1.BG2

tanNEAF=--=—,tun/BAG=---=一,

AF2AG3

12

tanZEAF+tanZBAG—i—7

所以tan/EAB=tan(ZEAF+/BAG)=23

1-tanZ.EAFtan/BAG124

1-—x—

23

7

故6；-

五、解答題

17.（1）已知復(fù)數(shù)2=求的值;

（2）已知忖=血，忖=1,卜+.=百，求“+萬與3a-26夾角的大小.

【正確答案】（1）-3（2）￡

4

【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義，求得sine與cos。，從而求出tan。，由兩角和的正切公式

即可求出tan的值；

（2）根據(jù)向量的模的公式和兩個向量的夾角公式，即可求出.

/

【詳解】（1）因為復(fù)數(shù)2=cos"sin6-i是純虛數(shù),

COS0-=0r-r-

51,即cos0=—且sin6。,

所以

?口2瓦八55

sin，-----工0

5

2=土述，又因為sin。/3叵,

所以sin6=±^l-cos0=±A/1-

55

2班

所以sin8=_25,貝i]tan0=-——=—A—=-2

5cos。V5

5

7T八

tan——tan，

所以tan(^—。)=—------

1+1x(—2)

14-tan—tan0

4

（2）因為卜+〃卜6，所以k+〃[=5,即/+//+2〃力=5，

所以（血尸+/+2〃2=5,整理得=

所以3+/?＞（3々一勸）=3/+〃力-2。二3x（四產(chǎn)+1-2x1?=5,

13a-2/JI-y］Oa-2b)2=-\2ab+=j9x(V2)2-12xl+4xl2=回,

,g/(a+b>(3a-2b)5五

設(shè)a+b與3a-2b夾角為。，口,。=cosa+6,a3a-20=下可亭而=云扁=與，

TTTT

因為ago,兀］,所以a=r，故a+E與3。一2〃夾角為

18.已知向量a=(l,-6),向量方與〃的夾角為|%且W=2.

(1)求向量〃的坐標(biāo)；

⑵設(shè)向量c=(sinx,cosx),(xeR),向量，〃=若小膽=(),求|+［的最大值并求

出此時x的取值集合.

【正確答案】(1)(一2,0)或(1,6)；

71

(2)3,{無|x=2E+—,攵$Z}.

【分析】(1)設(shè)出向量〃的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積和向量的模建立方程組并求解作答.

(2)由(1)的結(jié)論結(jié)合岳相=0確定向量。，再求出1+d并借助輔助角公式及正弦函數(shù)性

質(zhì)求解任何.

【詳解】(1)設(shè)8=(x,y),依題意，|a|=jF+(_Q)2=2，。力=|“||6|8$丁=-2,而

ab=x-6y,

7勺；2,解得"='或＜x=l

因此

x2+y=4y=0y=M

所以向量b的坐標(biāo)是(-2,0)或(1,6).

(2)向量機=卜6,1),且從加=0，當(dāng)6=(-2,0)時，b.m=2百鈍,不符合題意，舍去,

當(dāng)b=(l,6)時，1Am=1x(-6)+6xl=0,符合題意,即6=(1,6)，則

/?+c=(1+sinx,A/3+cosx),

\h+c\=5/(1+sinx)2+(5/3+cosjt)2=V5+2sinx+25/3cosx=^5+4sin(x+y),

因為xeR,則當(dāng)1+m=2桁+弓,攵￡2,即x=2E+g,%￡Z時，(|A+c|)3=3,

所以卜+4的最大值是3,此時x的取值集合是{尤|X=2依+E，keZ}.

19.在；,ABC中，角A,B,C所對的邊分別為且（2a-，）cosC=ccos8.

⑴求角C的大??；

（2）若=c=2拒,求一ABC的周長.

【正確答案】（1）:；

⑵6+2技

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可化簡求得cosC,由此可得C.

（2）由三角形面積公式可求得而，利用余弦定理可構(gòu)造方程求得a+匕，由此可得三角形

周長.

【詳解】（1）在45c中，由正弦定理及（2〃-6）cosC=ccos8得：

2sinAcosC-cosCsin8=sinCeosB,

整理得.2sinAcosC=sinCcosB+cosCsin8=sin（C+B）=sin（兀-A）=sinA,

而sinA>0,則cosC='，X0<C<7t,

2

所以C=1.

（2）由（1）知。==，依題意，5ABC=—r/frsinC=^-ab=2>/3>解得而=8,

324

由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab=（^4-/?）2-24=12,解得：a+b=6,

所以..ABC的周長L=〃+/;+c=6+25/3.

20.觀察以下各式：

A/3tan600-tan60°tan30°-6tan30=1;

Gtan50-tan50°tan20-5/3tan20=1;

V3tan45°-tan45tan!5°->/3tan!5°=1.

分析以上各式的共同特點，寫出一個能反映一般規(guī)律的等式，并證明該等式.

【正確答案】見解析

【分析】利用兩角和與差的正切公式即可證明.

【詳解】V3tana-tanatan/?->/3tan>0=1,其中a-/?=30,

證明：tan(a—0=Jaytanjtanso=B，

l+tancrtanp3

貝hancr-tan/?=-^-(1+tanatan/?),

則左邊=6(tana-tan/7)-tancrtan/?

=V5x^^(l+tanatan/?)-tanatan/=1=右邊.

故等式成立.

21.綠水青山就是金山銀山.近年來，祖國各地依托本地自然資源，打造旅游產(chǎn)業(yè)，旅游業(yè)

7TJT

蓬勃發(fā)展.某景區(qū)有一直角三角形區(qū)域，如圖，BC=lkm,ZACZ?=pZABC=~,現(xiàn)準(zhǔn)

備在中間區(qū)域打造兒童樂園M,N都在邊AC(不含A,C)上且NMBN=$,設(shè)

6

ZNBC=a.

B

(1)若sinNABM=得，求sina的值；

(2)求一比WN面積的最小值和此時角a值.

【正確答案】(1產(chǎn)6-5；

26

06-36

4

【分析】(1)利用給定的條件，利用同角公式、誘導(dǎo)公式及和角的余弦公式計算作答.

(2)利用正弦定理用a的正余弦表示再利用三角形面積公式列式，借助三角恒

等變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.

c,1r\

【詳解】(1)依題意，sinZAZ?M=—,則cos/ABM=Jl-sin?ZA8M=內(nèi),而

jrTT

/ABC=—,/MBN=-,

26

sina=sin(--/ABM-/MBN)=cos(ZABM+-)

=cosZABMcos--sinNABMsin-=—x—--xl=12^~5.

6613213226

BNBC,而NAC3=1,ZBNC=^--a

(2)在二8NC中，由正弦定理得t

sinZACB-sinZBNC

BCsin—V3

貝ijBN=—廠工=——

717ccos

sin(；-a)2(sin2cosa-cos2sina)網(wǎng)。+sina

33

在./IBC中，ZABC=-,ZBAC=~,AB=BCtanZACB=tan-=5/3

263

ABBM

在，A8A7中，由正弦定理得,,而

sinZAMBsinABAC

IT

NAMB=NMBN+NNBC+ZACB=-+a,

2

....71

ABsin一右

BM=----------,

si嗎+a)2cosa

q3

uBMN=-BNBMsin------------------------------,

268cosa(Vr3cosa+sina)

8cosa(6cosa+sina)=4sin2a+4b(1+cos2a)=4(sin2a+6cos2a)+4G

=8§皿22+；)+4百，顯然a+/A3M=5，有2￡(0,鼻)，2a+-^-G(y,7t),

則當(dāng)2a+1=],即a=^■時，8cosa(6cosa