無(wú)窮小無(wú)窮大極限運(yùn)算法則

關(guān)于無(wú)窮小無(wú)窮大極限運(yùn)算法則當(dāng)一、無(wú)窮小定義1(P39).

若時(shí),函數(shù)則稱函數(shù)例1(P39):函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮小;函數(shù)時(shí)為無(wú)窮小;函數(shù)當(dāng)為時(shí)的無(wú)窮小

.時(shí)為無(wú)窮小.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明第2頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天說(shuō)明(P39):

2、0是可以作為無(wú)窮小的唯一常數(shù)時(shí),函數(shù)(或)則稱函數(shù)為定義1.

若(或)則時(shí)的無(wú)窮小

.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1、無(wú)窮小不是很小的數(shù)定理1第3頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中

為時(shí)的無(wú)窮小量.定理1(P39)

.(無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)證:當(dāng)時(shí),有對(duì)自變量的其它變化過(guò)程類似可證.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束無(wú)窮大第4頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、無(wú)窮大定義2(P40)

.

若任給

M>0,一切滿足不等式的

x,總有則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮大,

使對(duì)若在定義中將①式改為①則記作(正數(shù)X),記作總存在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意第5頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天注意(P40):1.無(wú)窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2.函數(shù)為無(wú)窮大,必定無(wú)界.但反之不真!例(P42題6),

函數(shù)當(dāng)?shù)詴r(shí),不是無(wú)窮大!機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2第6頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2(P40).

證明證:

任給正數(shù)

M,要使即只要取則對(duì)滿足的一切x,有所以若則直線為曲線的鉛直漸近線.漸近線說(shuō)明(P41):機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束無(wú)窮小無(wú)窮大關(guān)系第7頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系若為無(wú)窮大,為無(wú)窮小;若為無(wú)窮小,且則為無(wú)窮大.則據(jù)此定理,關(guān)于無(wú)窮大的問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為無(wú)窮小來(lái)討論.定理2(P41).

在自變量的同一變化過(guò)程中,說(shuō)明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理2證明第8頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天證設(shè)取當(dāng)時(shí)，有即所以為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小.反之，設(shè)且

取當(dāng)

時(shí)，有由得所以為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大.內(nèi)容小結(jié)第9頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天內(nèi)容小結(jié)1.無(wú)窮小與無(wú)窮大的定義2.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系3.無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系思考與練習(xí)P42題1,3P42題3提示:第五節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第10頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天

第一章二、極限的四則運(yùn)算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則一、無(wú)窮小運(yùn)算法則第五節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束極限運(yùn)算法則第11頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天時(shí),有一、無(wú)窮小運(yùn)算法則定理1(P43).

有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮小.證:

考慮兩個(gè)無(wú)窮小的和.設(shè)當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)因此這說(shuō)明當(dāng)時(shí),為無(wú)窮小量.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明第12頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天說(shuō)明:

無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小!例如，(P56,題4(2))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束類似可證:有限個(gè)無(wú)窮小之和仍為無(wú)窮小.定理2第13頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理2(P43).

有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.

證:

設(shè)又設(shè)即當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)時(shí),就有故即是時(shí)的無(wú)窮小.推論1(P44)

.

常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2(P44)

.

有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1第14頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1(P48例8).

求解:

利用定理2(P43)

可知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束極限四則運(yùn)算法則第15頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、極限的四則運(yùn)算法則則有定理3(P44).

若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明(P45):

定理3可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減、乘的情形.推論第16頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天推論1(P45).(C

為常數(shù))推論2(P45).(n

為正整數(shù))例2(P46).

設(shè)

n次多項(xiàng)式試證證機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理4第17頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理4(P45)

.

若則有提示:

因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù),故此定理可由定理3(P44)

直接得出結(jié)論.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3第18頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天

x=3時(shí)分母為0!例3(P46).

設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項(xiàng)式,試證:證:說(shuō)明(P47):

若不能直接用商的運(yùn)算法則.例如.

若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4第19頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4(P47).

求解:

x=1時(shí)分母=0,分子≠0,但因機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由P41定理2有例5第20頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5

.

求解:時(shí),分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束有理分式極限一般結(jié)果第21頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天一般有如下結(jié)果(P48)：為非負(fù)常數(shù))(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算第22頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理6(P48).

設(shè)且x

滿足時(shí),又則有

說(shuō)明(P49):

若定理中則類似可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則第23頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天例7.求解:

令已知(見(jiàn)P47例3)∴原式=(見(jiàn)P34例5)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8第24頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天例8.求解:

方法1則令∴原式方法2機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)第25頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天內(nèi)容小結(jié)1.極限運(yùn)算法則(1)無(wú)窮小運(yùn)算法則(2)極限四則運(yùn)算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時(shí),用代入法(分母不為0)時(shí),對(duì)型,約去公因子時(shí),分子分母同除最高次冪“抓大頭”(2)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)第26頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考及練習(xí)1.是否存在?為什么?答:

不存在.否則由利用極限四則運(yùn)算法則可知存在,與已知條件矛盾.解:原式2.問(wèn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3題第27頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.

求解法1原式=解法2令則