2023-2024學年天津市七區(qū)聯考高一年級上冊期末數學試題

2023-2024學年天津市七區(qū)聯考高一上冊期末數學試題

第I卷（選擇題共40分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1,已知全集°={°,1,2,3,4},集合KO，1，%B={0,3,4},則（四/）吐=

A.{0}B.{3,4}C.{0,3,4}D.{1,2,3,4）

【正確答案】B

【分析】根據題意求出?/={3,4},即可求解.

【詳解】全集。={0,1,2,3,4},集合/={0,1,2},

電人{3,4}

何4）八8={3,4}

故選：B

2.函數/（x）=2、+3x—7的零點所在的區(qū)間是（）

A.（-1,0）B.（0,1）C.（1,2）D.（2,3）

【正確答案】C

【分析】判斷求解端點的函數值，利用零點判定定理求解即可.

【詳解】解：函數/（x）=2、+3x—7,因為y=2、是增函數，_y=3x—7是增函數，

所以函數/（力=2*+3工一7是增函數.

/（-1）=1-10<0,

/（0）=1-7<0.

/（1）=2+3-7<0.

/（2）=4+6-7>0..

函數/（x）=2*+3x—7的零點所在的區(qū)間是：（1,2）.

故選：C.

一是嚴格把握零點存在性定理的條件；

二是連續(xù)函數在一個區(qū)間的端點處函數值異號是這個函數在這個區(qū)間上存在零點的充分條件，而

不是必要條件；

三是函數外）在口，6］上單調且大0求6）<0,則/（X）在口，6］上只有一個零點.

3."a>8>0”是“/〉/，，的

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】由充分條件和必要條件的概念，即可判斷出結果.

【詳解】解:因為a>b>0能推出”2>〃，而/>〃不能推出>6>0,

所以“a>b>0”是“。2>的充分不必要條件,

故選:A.

本題主要考查充分條件、必要條件與充要條件的判斷，屬于基礎題型.

4.一個扇形的面積和弧長的數值都是2,則這個扇形中心角的弧度數為（）

A.4B.3C.2D.1

【正確答案】D

【分析】根據扇形面積和弧長公式計算即可得出結果.

【詳解】設扇形中心角的弧度數為半徑為廠，

由題意可知，扇形面積S=1ar2=2,弧長/=ar=2，

2

解得r=2,a=l,

即扇形中心角的弧度數為1.

故選：D

5.已知a=2%b=log52,c=log025,則a,6,c的大小關系是（）

A.b<c<aB.a<h<cC.c<b<aD.c<a<b

【正確答案】C

【分析】根據指數函數和對數函數的單調性分別限定mb,c的取值范圍即可比較出大小.

【詳解】由指數函數y=2、在R上單調遞增可知，2°=1<2°5<21=2,即

由對數函數J=log5X在（0,+00）上單調遞增可知,log5l=0<logs2<log55=1,即6e（0,1）；

由對數函數歹=logo.2X在(0,+8)上單調遞減可知，logozSvlogozl=0，即ce(-oo,0）

所以，可得c<b<a

故選：C

7T

6.把函數y=sin2x的圖象向右平移二個單位長度，得到的圖象所對應的函數解析式可以是()

6

A.尸sin（2x-；B.y=sin|2x-1C.=sin12x+yD.

y=sin(2x+￡

【正確答案】A

【分析】由題意利用函數y=4sin(5+@的圖象平移變換規(guī)律，得出結論.

JT

【詳解】將函數V=sin2x的圖象向右平移一個單位長度后,

6

所得圖象對應的函數解析式是^=$由2(、-聿sinf2x—1,

故選：A

【正確答案】A

【分析】首先判斷函數的奇偶性，再利用特殊值利用排除法判斷即可.

【詳解】解：因為函數=：定義域為R,

e+e

乂?警）=一鬻=_所以小卜空言為奇函數,

函數圖形關于原點對稱，故排除C、D,

1冗

1+—

____2_>o,故排除B；

+e萬

故選：A

8.下列計算正確的是（）

23

A.不（71-4）-=71-4B

,a3a5-a

C.lg（lg10）=1D.log,47=14

【正確答案】D

【分析】對選項逐一判斷，A選項注意平方再開方后要取絕對值，去絕對值要注意正負；B選項

同底數幕相乘，底數不變指數相加；C選項lglO=l,lgl=O；D選項由對數的運算性質即可判斷

正誤.

【詳解】J（兀-4）2=|兀一4|=4一兀故A錯誤;//=4*=尚"，故B錯誤；

電（舊0）=電1=0故?錯誤；108247=地2（22）7=10822"=14唾22=14故0正確.

故選：D

9.經研究表明，大部分注射藥物的血藥濃度C。）（單位：/zg/mL）隨時間t（單位：h）的變化

規(guī)律可近似表示為C（f）=G-e-*',其中C0表示第一次靜脈注射后人體內的初始血藥濃度，k表

示該藥物在人體內的消除速率常數.已知某麻醉藥的消除速率常數左=0.5（單位：h」），某患者

第一次靜脈注射該麻醉藥后即進入麻醉狀態(tài)，測得其血藥濃度為4.5〃g/mL,當患者清醒時測得

其血藥濃度為0.9〃g/mL,則該患者的麻醉時間約為(In5al.609)()

A.3.2hB.3.5hC.2.2hD.0.8h

【正確答案】A

【分析】依據題意列出關于，的方程即可求得該患者的麻醉時間.

【詳解】解：由題意得，0.9=4梟3'，即則0.5f=ln5,解得f=21n5a3.2.

故選：A.

10.已知函數/(x)=」lg(—若函數g(x)=/(x)+a有四個不同的零點%，4,七，

-6x+l,x>0.

/，且M<吃CW<5，則下列結論中正確的是()

A.—1<X,<---B,-1?a<0C,x.x,=—D.X：+%=3

2101210

【正確答案】B

【分析】作出函數/(X)圖象，根據函數圖象得出4個零點的關系及范圍，進而得出結論.

【詳解】函數g(x)=/(x)+a的四個不同的零點為，巧，x3,七，就是函數y=/(x)與N=-a

兩個圖象四個交點的橫坐標，

作出函數歹=/(x)的圖象，

對于A,7(0)=1,

當一1cx＜0時，/'（x）=-lg（-x）,令/（x）=l,解得X=

結合圖象可知一1＜%4-,，故A錯誤；

210

結合圖象可知0＜-。41,解得一1＜。＜0,故B正確；

又'（F）|=恒（F）|，且3（一馬）＜。，1g（f）＞0，

所以1g（一%）=一1g（一％），即1g（-XJ+1g（—％）=電（x/2）=0，

所以國吃=1，故C錯誤；

根據二次函數的性質和圖象得出七上=3,所以與+蘢.=6,故D錯誤；

故選：B

第n卷（共80分）

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.

11.已知幕函數夕=r（x）的圖象經過點（4,2）,那么這個幕函數的解析式為.

1

【正確答案】V=X2

【分析】設幕函數y=/（x）=x〃，由幕函數的圖象經過點（4,2）,知4“=2,由此能求出這個基

函數的解析式.

【詳解】設基函數y=/（x）=x",

?..塞函數夕=/（力的圖象經過點（4,2）,

1

??4"=2，?。=5，

，這個累函數的解析式為u.1.

y

?-

故y斯-_x丫2?

12.cos（-390°）=.

【正確答案】2

2

【分析】根據誘導公式求解即可.

【詳解】cos(-390°)=cos(-30")=cos30°=—^.

故答案為.巫

2

_k1eSina+Zcosa

13.已1知tana=——,則-------------=_____________.

35cosa-sina

【正確答案】—

16

sin+2cosciI

【分析】-------------分子分母同除以cosa,將tana=-一代入即可得結果.

5cosa-sina3

?、旺sina+2cosatana+2

【詳解】---------；——=---------

5cosa-sina5-tana

5

16-

本題主要考查，同角三角函數之間的關系的應用，屬于中檔題.同角三角函數之間的關系包含平

方關系與商的關系，平方關系是正弦與余弦值之間的轉換，商的關系是正余弦與正切之間的轉換.

14.若x>—1,則2x+」一的最小值為_____.

X+1

【正確答案】20—2

【分析】由于X>-1,可將原式整理為2川++-2,然后利用基本不等式求解即可.

【詳解】2x+-^-=2x+2+-1--2>2j(2x+2)x--2=272-2,

x+\x+1V'x+1

當且僅當2x+2=」■；■，即x=也-1時，取得最小值.

x+12

故答案為.2夜—2

15.有下列命題:

①函數J=螞幺”的定義域為

②不等式2Ax2+攵x—j<0的解集為R,則實數k的取值范圍為(—3,0)；

③函數/(X)是定義在R上的偶函數，當xNO時，f(x)=x2+x-1.則當x<0時,

f(x)^x2-x-1.

其中正確命題的序號為(把正確的答案都填上).

【正確答案】①③

【分析】對①②③逐一判斷，①函數的定義域要滿足分母不為0,對數函數的真數大于0,②對不

等式的二次項系數分類討論，分別求的滿足條件的集合，即可求得實數%的取值范圍，③有函數

的奇偶性可知/(-X)=/(x)，又知當當xN0時函數的解析式，即可求得當x<0時函數的解析式.

]n(2x—1)2x—1>01

【詳解】對于①函數V_^定義域滿足《，C且XH1,故

x-1"1工02

xe(；,l)u(l,+8),①正確；

3

對于②當％=0時，一一<0滿足題意，

8

當左〉0時，函數丁=2丘2+丘——開口向上，2kx^+kx一一<0解集為火不成立，

88

當左<0時，若2履2+H—焉<。解集為R,則△=r-4x2左x]一；J<0,解得一3〈左<0,

綜上若不等式2區(qū)2+去-三<0的解集為R,則數％的取值范圍為(-3,0],故②錯誤；

O

對于③?.?函數/(X)是定義在R上的偶函數，

又；當xNO時，/(x)=x2+x-l,

當X<0時，—X>0,/(—X)=X?-x—1

/.f(X)=X2-X—1

即當x〈0時，/(x)=x2—X—1故③正確.

故①③.

三、解答題：本大題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

16.己知sina=—2叵，。是第三象限的角.

5

(1)求tana；

(2)求sin(2a-W)的值.

【正確答案】(1)2

(2)473+3

10

sina

【分析】(1)先求出cosa,后由tana=------可得答案；

cosa

(2)由(1)可得sin2a,cos2a,后由兩角差的正弦公式可得答案.

【小問1詳解】

sina-..........，且a是第三象限的角,

5

sina

cosa=-Vl-sin2a=~~~'tana=

cosa

【小問2詳解】

?1"26(J相

sin2a=2smacosa=2x-------x------

I5JI-

.243

cos2a=1-2sin~a=l-2x—=——,

55

兀

sin2a--=sin2acos--cos2asinJ

I6j66,

,4XV3(3]1

52V5；2

473+3

10

17.已知函數/(x)=<'

—x+6,xN3

(1)求/(4),/(/(—2))的值；

(2)若/(a)=4,求實數a的值；

(3)直接寫出/(X)的單調區(qū)間.

【正確答案】(1)2；-2

⑵1-V5

(3)單調遞增區(qū)間(1,3),單調遞減區(qū)間(一8,1),(3,+oo)

【分析】(1)根據分段函數定義直接代入計算即可；(2)分類討論實數a的取值范圍，解方程即

可得出符合題意的a的值；(3)畫出函數圖象即可直接寫出單調區(qū)間.

【小問1詳解】

根據分段函數解析式可得/(4)=-4+6=2,

易知/(-2)=(-2)2—2x(-2)=8；所以/(/(—2))=/(8)=-8+6=-2

即〃4)=2,/(/(-2))=-2.

【小問2詳解】

①當a<3時，/(a)=a?-2&=4,

解得a=l—y[5，或a=1+非(舍).

②當a?3時，/(。)=一。+6=4,解得a=2(舍).

綜上可得a=l-6.

即實數a的值為1-石

【小問3詳解】

畫出函數圖象如下所示:

所以，單調遞增區(qū)間（1,3）,單調遞減區(qū)間（一8,1）,（3,+8）

18.已知指數函數/（同=優(yōu)（。＞0,且4￥1）的圖象過點（一2,9）.

（1）求4的值；

（2）若/'（加）=2,/（/?）=,求加+〃的值；

（3）求不等式/（爐-5%-6）＞1的解集.

【正確答案】（1）-

3

（2）-log35

(3){x|-l<x<6}

【分析】（1）由于函數過點（-2,9）,將點代入函數解析式即可求得a的值.

（2）將/（加）=2,/（〃）=［分別代入函數中，分別求得"?,〃，再用對數的運算性質求得加+〃

的值。

（3）將/，-5x-6）＞1中的1代換成/（0）=（；）,再由函數的單調性即可求得不等式

/（/一5》一6）＞1的解集.

【小問1詳解】

函數/（x）=優(yōu)（a＞0,且aH1）的圖象過點（一2,9）,

所以/（一2）=。一2=9,解得a=±；.又。＞0,故。的值為;.

【小問2詳解】

由⑴知，因為/（加）=2,./1（〃）=：■,

所以,I哈

即=2

加+"=log|2+log|%=log]2x-=log,5=-log35

3323\275

【小問3詳解】

不等式/“2一5》一6）>1,

因為〃加。所以曠>即

/㈤吧

因為,在R上單調遞減函數,

所以Y—5x-6<0，解得T<x<6,

所以不等式的解集為{x|-1<x<6}.

19.已知函數/（彳）=25111%（：05。-m）-冷，xeR.

⑴求/（X）的最小正周期；

（2）求/（X）在區(qū)間p7t上的最大值和最小值；

（3）若/（"。+或）=一^^,X°e,求cos2x（）的值.

【正確答案】（1）兀

（2）最大值為正，最小值為一1.

2

⑶—亞

5

【分析】（1）根據兩角和差，二倍角公式及輔助角公式化簡函數解析式，求周期即可;

(2)根據自變量范圍求，結合單調性求最值;

(3)由已知條件結合兩角和差公式求值.

【小問1詳解】

f(x)=2sinx(cosxcosy+sinxsiny)一日

cwgm)-3

22

=sinxcosx+VJsin2%------，

2

1._/T1-cos2xG

=—sin2x+<3x-----------------

222

1「Go

=—sinzx------cos2x

22

=sin(2x-y).

2兀

,*'T==71,/(x)的最小正周期為兀.

2

【小問2詳解】

因為X￡［］,乃］,所以2工一。

令2x_］e［技得xe［巖,兀］,令2x-］e［與,￡］,得xe|^,詈］,

所以Ax)在甘，詈］上單調遞減，在［巖，兀］上單調遞增.

且/(9=￥，/(巖)=-1，/(兀)=一”，

所以，"X)的最大值為巫，最小值為一1.

2

【小問3詳解】

因為，/,(%()+-)=>所以，sin(2x--)=<0>

024100410

「兀兀八?！肛Ｘ?/p>

r71~,e3

又因為修￡—所以，2x0~~—>—

故2x。手上用,cos(2x「2嚕,

所以，cos2x0=cos

旦

5

20.已知函數/口)=式;是定義域為的奇函數，且/(1)=；.

(1)求/(x)的解析式；

(2)用函數單調性的定義證明/(x)在區(qū)間［-1,1］上單調遞增；

(3)設g(x)=［/(x)『—2W(x)+l(〃?eR),求g(x)的最小值.

X

【正確答案】(1)/(x)=-A-

X+1

51

m+—,m<——

42

,11

2

(2)證明見解析(3)g(x)min=^-w+l,--<