2023-2024學年黑龍江省大慶市高三（上）第一次質檢數學試卷（含解析）

2023-2024學年黑龍江省大慶市高三（上）第一次質檢數學試卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分,共40分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|x2-x-220},B={-2,-1,0,1},貝()

A.{-2,-1,0}B.{-1,0,1}C.{-2}D.{-2,-1}

2.己知z十4+i，則z-z=()

1-1

A.-4iB.4zC.2D.-2

3.3知向量Z=(x-5,7),b=(x,-2)>則“x=7"是"lib"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.石拱橋是世界橋梁史上出現較早、形式優(yōu)美、結構堅固的一種橋型.如圖，這是一座石

拱橋，橋洞弧線可近似看成是頂點在坐標原點，焦點在y軸負半軸上的拋物線C的一部

分，當水距離拱頂4米時，水面的寬度是8米，則拋物線C的焦點到準線的距離是（）

A.1米B.2米C.4米D.8米

5.函數f(x)在(2,3)上單調遞減，則f的取值范圍是()

A.[6,+8)B.(…，6]C.(-8,4]D.[4,+°0)

6.已知銳角a滿足tan。=平*，則sin2a=()

A.B.返C.—D.—

3333

7.在直三棱柱ABC-A山Ci中，A8_LBC,AB=BC=AA\,D,E分別為AC,BC的中點,

則異面直線GD與8E所成角的余弦值為（)

A.近B.近7

nV30

3510

8.設。=1.7,fe=tanl.l,c=2ln2A,則（

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.若甲組樣本數據笛，X2,……，（數據各不相同）的平均數為3,乙組樣本

數據2為+“，2x2+〃，……，的平均數為5,下列說錯誤的是（）

A.a的值不確定

B.乙組樣本數據的方差為甲組樣本數據方差的2倍

C.兩組樣本數據的極差可能相等

D.兩組樣本數據的中位數可能相等

（多選）10.已知函數/'（x）=2cos（3X+0）+1（3>O,O<（P<1T）的部分圖象如圖所示,

.兀

Bn.（b=—

中6

c./（x）在［等，至;］上單調遞增

OO

KJT

D.f（x哈）的圖象關于直線x七對稱

（多選）11.已知定義在（0,+8）的函數/（x）滿足孫）=/（x）+f（y），且/（4）

=12,當x>l時，/（x）>0,則（）

A.y（i）=o

B.f（x）是偶函數

C.f（x）在（0,1）上單調遞減，在（1,+8）上單調遞增

D.不等式￡但+3）-￡（2）〈6的解集是（0，1）

x

（多選）12.半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是由邊數不全相同的正

多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形構成，其可由正四

面體切割而成.在如圖所示的半正多面體中，若其棱長為1,則下列結論正確的是（）

A.該半正多面體的表面積為空巨

4

B.該半正多面體的體積為空叵

12

c.該半正多面體外接球的表面積為告二

D.若點M,N分別在線段。E,BC上，則FM+MN+AN的最小值為J元

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.已知圓C：N+,2+2x-4y+a=0的半徑為3,則。=.

14.設｛?。堑缺葦盗?，且。|+火=7,6/3+06=21,則。7+。10=.

15.現將6本不同的書籍分發(fā)給甲、乙、丙3人，每人至少分得1本，已知書籍A分發(fā)給

了甲，則不同的分發(fā)方式種數是.（用數字作答）

22

16.已知雙曲線氏七-25=1（。>0,b>0）的左、右焦點分別為B,點M在雙曲

線E上，ARMF2為直角三角形，O為坐標原點，作ONLMFi,垂足為N,若2棉=3呵,

則雙曲線E的離心率為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知等差數列｛〃“）的前〃項和為S”02=10,59=9.

（1）求｛跖｝的通項公式;

(2)求數列｛|。川的前〃項和T,,.

18.如圖，在△ABC中，N8AC=135°,AB=4,AC=2A/2.

(1)求sin/ABC的值;

S,

(2)過點A作AD_LAB,力在邊8c上，記△4BD與△AC。的面積分別為Si,Si,求三上

So

的值.

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PB_L平面ABC。，PB=AC=AD=2,PA=3BC=3.

(1)證明：平面PAC_L平面P8c.

(2)若AOJ_AB,求平面P8C與平面PAD夾角的余弦值.

P

20.為了提高居民參與健身的積極性，某社區(qū)組織居民進行乒乓球比賽，每場比賽采取五局

三勝制，先勝3局者為獲勝方，同時該場比賽結束，每局比賽沒有平局.在一場比賽中,

甲每局獲勝的概率均為P，且前4局甲和對方各勝2局的概率為得.

(1)求P的值；

(2)記該場比賽結束時甲獲勝的局數為X,求X的分布列與期望.

22

21.已知R,3分別是橢圓C：￥+%=l(a〉b>0)的左、右焦點，P(l,

'9.1

橢圓C上一點，且PF「PF2甘.

(1)求橢圓C的方程；

(2)延長畫，畫，并與橢圓C分別相交于M,N兩點，求△「〃可的面積.

22.已知函數/(x)—axe*(aWO).

(1)討論/(尤)的單調性；

(2)當a>^時，證明：以？~-(x+l)lnx>0.

ex+1

參考答案

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知集合4=3/-》-220},B={-2,-1,0,1},則4nB=()

A.{-2,-1,0}B.{-1,0,1}C.{-2}D.{-2,-1}

【分析】先求出集合A,再求兩集合的交集即可.

解：由N-X-2N0,得xW-1或x22,

所以A={x|xW-1或x22},

因為8={-2,-1,0,1),

所以ACB={-2,-1}.

故選：D.

【點評】主要考查了集合交集運算，屬于基礎題.

9.—

2.已矢口z31"；;—~+i>則z-z=()

1-1

A.-4/B.4zC.2D.-2

【分析】先化簡計算求出復數z,再求zG即可

O

解：因為Z—丁+i=l+i+i=l+2i，

1-1

所以z-W=l+2i-l+2i=4i-

故選：B.

【點評】本題主要考查復數的四則運算，屬于基礎題.

3.己知向量Z=(x-5,7),b=(x,-2)，則“》=7”是“；二”的()

A.充分不必耍條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

【分析】根據充分不必要條件的定義判斷即可.

解：若x=7,則彳?玉=2義7+7義(-2)=0,即

若彳_1_總則工(x-5)-14=0,即(x-7)(x+2)=0,解得x=7或x=-2.

故“x=7”是的充分不必要條件.

故選：A.

【點評】本題考查充分不必要條件的判斷，考查平面向量數量積的坐標表示，屬于基礎

題.

4.石拱橋是世界橋梁史上出現較早、形式優(yōu)美、結構堅固的一種橋型.如圖，這是一座石

拱橋，橋洞弧線可近似看成是頂點在坐標原點，焦點在y軸負半軸上的拋物線C的一部

分，當水距離拱頂4米時，水面的寬度是8米，則拋物線C的焦點到準線的距離是()

A.1米B.2米C.4米D.8米

【分析】設拋物線Cx2=-2py(p>0),由題意可知點(4,-4)在拋物線C上，求

得P，即可得解.

解：設拋物線C：X2--2py(p>0),

由題意可知點(4,-4)在拋物線C上，則-2pX(-4)=42,解得p=2,

...拋物線C的焦點到準線的距離是2米.

故選：B.

【點評】本題考查了拋物線的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基

礎題.

5.函數/CO在(2,3)上單調遞減，則f的取值范圍是()

A.[6,+8)B.(-8,6]C.(-8,4]D.[4,+°0)

【分析】根據復合函數的單調性得到關于，的不等式，解出即可.

解：若函數/(x)在(2,3)上單調遞減，

則y=x(x-r)=NTX在(2,3)單調遞減，

而y'=2x-t,令y'<0,解得：

故y=x(x-f)在(-8,A)單調遞減，

則■^?23,解得：t，6,

即f的取值范圍是[6,+8).

故選：A.

【點評】本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用，是基礎題.

6.已知銳角a滿足tana二號則sin2a=()

A.B.返C.—D.—

3333

【分析】根據同角三角函數基本關系式和二倍角正弦公式可求出結果.

解：由tana［得cos。=J^sina，

因為sin2a+cos2a=1,

所以sin2a+2sin2a=1,

可得sin2a4，

o

因為a為銳角，

所以sina二零-，cosa二彎■，

oo

所以sin2a=2sinacosa二一「?

o

故選：A.

【點評】本題考查了同角三角函數基本關系式和二倍角正弦公式在三角函數求值中的應

用，屬于基礎題.

7.在直三棱柱ABC-A山iG中，AB1BC,AB=BC=AA\,D,E分別為AC,8C的中點，

則異面直線GO與BE所成角的余弦值為()

A.返B.匹C.D.

351010

【分析】設AB=2,取481的中點F,連接GF,DF,DE,則可得/為異面直線

G。與BiE所成的角或補角，然后在△GO尸中求解即可.

解：設AB=2,取的中點F,連接CiF,DF,DE,

因為。，E分別為4C,BC的中點，所以￡>E〃AB,DE卷AB，

因為AbB]〃AB,AiBi=ABf所以AE〃8i尸,B\F=DE,

所以四邊形。ESF為平行四邊形，所以DF〃囪，

所以NG。產為異面直線GD與所成的角或補角.

因為AB，8C,AB=BC=AAi=2fD,E分別為AC,5C的中點,

DF=BJE=A/12+22=V5,0^=712+22=V5,C^^(72)2+22=V6>

l_o近

所以5r2V30.

cos/CiDF^蕾工

故選：D.

【點評】本題主要考查異面直線所成角,考查計算能力，屬于中檔題.

8.設。=1.7,fe=tanl.l,c=2Zn2.1,則()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

【分析】由已知結合正切函數的單調性可比較m6的大小，構造函數/(x)=中-勿,

對其求導，結合導數分析函數單調性即可比較a,c的大小即可判斷.

解：因為y=tanx在(0,夕兀)上單調遞增，

所以/?=tanl.l>tan-7T-=^3^1.7=a，

o

令f(x)=ex-ex,則f(x)=夕-e,

當x>l時，，(x)>0,f(x)在(1,+8)上單遞增，

WJ/(1.7)=e17-I.7e>/(1)=0,

則^'-7>1.7e>1.7X2.7=4.59>4.41=2.12,

因此1.7>[2.產=2歷2.1,即a>c,

故c<a<b.

故選：c.

【點評】本題主要考查了導數與單調性關系，還考查了函數單調性在函數值大小比較中

的應用，屬于中檔題.

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.若甲組樣本數據xi,及，……，X”（數據各不相同）的平均數為3,乙組樣本

數據2?+a,2x2+〃，……，2x”+a的平均數為5,下列說錯誤的是（）

A.a的值不確定

B.乙組樣本數據的方差為甲組樣本數據方差的2倍

C.兩組樣本數據的極差可能相等

D.兩組樣本數據的中位數可能相等

【分析】根據平均數的性質求出。，從而判斷A；根據方差的性質判斷以根據極差和中

位數的定義判斷CD.

解：由題意可知，2X3+a—5,a--1,故A錯誤；

易知乙組樣本數據的方差為甲組樣本數據方差的22=4倍，故B錯誤；

不妨設x,<x2<????<””則甲組數據的極差為心-M,

乙組數據的極差為（2x〃-1）-（2ri-1）=2（xn-XI）,

所以兩組樣本數據的極差不相等，故C錯誤；

設甲組樣本數據的中位數為m,

則乙組樣本數據的中位數為2機-1,

當機=1時，m=2m-1,

所以兩組樣本數據的中位數可能相等，故￡>正確.

故選：A8C.

【點評】本題考查了平均數，方差的性質，考查中位數，極差的定義，是基礎題.

（多選）10.已知函數/（x）=2cos（3x+（p）+1（a）>0,0<<p<ir）的部分圖象如圖所示,

貝（）

B.0記

C./（x）在［手，4］上單調遞增

Oo

JTJT

D.f（x哈）的圖象關于直線x七對稱

【分析】由圖可知r=n,求得3,可判斷A；由f（等）=-1結合0＜（pV7T求得少，可

TT

判斷8；利用三角函數的單調性求解可判斷C；求出f（x哈）的解析式，進而求出對稱

軸，可判斷Q.

解：由圖可知丁=2（告；一^）=兀，則3=*=2,故A正確；

因為f（*）=2cos（2X*+。）+1=-1，

所以哈+0=2k兀+兀（kEZ），即。=2k兀吟（kEZ），

JT

因為OVcpVm所以。T，則3正確；

令2加-2k兀（k€Z），解得k兀，:《x《k兀（k￡Z），此時/

（x）單調遞增;

令2EW2x七卷42k兀+兀（kEZ），解得k兀［^^x《k兀（k￡Z），此時,

（x）單調遞減.

由x€［等，?］，得/（X）在［竿，窄）上單調遞減，在［哈，等］上

單調遞增，則C錯誤；

因為f(x)=2cos(2x+■丁)+1，

IT

所以f(xk-)=2c(2x-丁)+l=-2sin2x+l?

人TT7Tk兀兀7r

令2x二k兀十&WZ，4得fqx=：“y-，kEZ.

當k=o時，X-，

4

ITIT

則f(x哈)的圖象關于直線X號對稱，故。正確.

故選：ABD.

【點評】本題考查了由y=Asin(3x+(p)的部分圖象確定其解析式以及余弦函數的圖象

和性質的應用，屬于中檔題.

(多選)11.已知定義在(0,+8)的函數f(x)滿足/(丐)=/(x)tf(y)，且/(4)

=12,當x>l時，/(%)>0,則()

A./(1)=0

B.f(x)是偶函數

C.f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增

D.不等式f(x+3)-f的解集是(0,1)

x

【分析】利用X=y=l可求出/(I)判斷A,根據定義域判斷奇偶性判斷B,由單調性定

義判斷C,由函數性質及單調性脫去“尸解不等式判斷D

解：令x—y—1,得/(1)—f，即/(I)=0，則A正確：

由題意可知f(x)的定義域是(0,+8),則/CO是非奇非偶函數，故B錯誤；

當x>l時，因為y>0,所以因為/(xy)=f(x)+f(y),

所以/1(xy)-/(y)=/(x)>0,則/(x)在(0,+°0)上單調遞增，故C錯誤；

令x=y=2,得f(4)—2f(2),因為/(4)=12,所以/(2)—6.

因為/(孫)=/(x)+f(y)，所以/(封)-/(y)=于(x),

所以/(X+3)-f(Z)=f(x2+3x),所以f(x+3)-f心)<6等價于

x2x

\+3>0

—>0

因為/(x)在(0,+8)上單調遞增，所以《XV,解得0<x<l,則。正確.

故選：AD

【點評】本題主要考查抽象函數及其應用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

(多選)12.半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是由邊數不全相同的正

多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形構成，其可由正四

面體切割而成.在如圖所示的半正多面體中，若其棱長為1,則下列結論正確的是（）

A.該半正多面體的表面積為空巨

4

B.該半正多面體的體積為空反

12

c.該半正多面體外接球的表面積為工量

D.若點N分別在線段DE,BC上，則FM+MN+4V的最小值為J通

【分析】根據給定的多面體，利用正四面體的性質，球的截面圓的性質，以及多面體的

側面展開圖，結合棱錐的表面積與體積公式，以及球的表面積公式，逐項判定，即可求

解.

解：由題意，該半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形構成，其可由正四面體切割

而成，其棱長為1,

對于A,該正多面體的表面積為4X（1X32-3X亞XP）+4x1*F=7逐，

444

故A錯誤；

對于8,如圖所示，該半正多面體所在的正四面體中，可得正四面體的棱長為3,

取正四面體的下底面的中心為M連接MN,則底面ABC,

在直角△MNG中，：MG=3,NG=—X但義3=禽,

32

1Ml"2-叱=、32-（a）2=心

該半正多面體的體積為庭W-4xLx亞"XF義近=空巨，故8正確；

434312

對于C,該半正多面體外接球的球心即其所在正四面體的外接球的球心，

記球心為。，半徑為R,△QEF的球心為01,

連接04,NA,OF,00i,由等邊△￡>￡尸的邊長為1,

可得。［尸=《,x今x1=4，

323

又由底面正六邊形A//KBCL的邊長為I,可得附=1,

在正四面體M-QEF中，可得MOi=逅，

_3

0]N=MN-MO\=V6

設ON=h,\'OA=OF=R,.?.岫2+42=0|尸+0]￡2,

222

.\\+h=(近)+(-^Zl_h)2,解得仁返即。N=遮,

3344

，？=0A2=(近)2+]2=&，

48

,該半正多面體外接球的表面積為4叱。42=丹二，故c正確；

對于。，該半正多面體展開圖如圖所示:

則a=4,AT=M，AF=PT2+AT2=Vl91FM+MN+AN》AF=后,故。正確.

故選：BCD.

【點評】本題考查正四面體的性質、球的截面圓的性質、多面體的側面展開圖、棱錐的

表面積與體積公式、球的表面積公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共2()分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.已知圓C：N+V+2x-4y+a=0的半徑為3,則〃=-4.

【分析】直接利用圓的一般式和標準式之間的轉換求出結果.

解：圓C：/+)2+2%-4y+o=0的半徑為3,轉換為圓的標準式為(x+1)2+(y-2)2=5

-a.

故5-a=9,解得a=-4.

故答案為：-4.

【點評】本題考查的知識要點：圓的一般式和標準式的轉換，主要考查學生的理解能力

和計算能力，屬于基礎題.

14.設｛“”｝是等比數列，且41+44=7,43+46=21,則。7+?10=189.

【分析】根據已知條件，結合等比數列的性質，即可求解.

解：設等比數列｛斯｝的公比為q,

則Q[+a4）q?=a3+a6,故爐=3,

故〃7+aio=/（〃3+。6）=21X9=189.

故答案為：189.

【點評】本題主要考查等比數列的性質，屬于基礎題.

15.現將6本不同的書籍分發(fā)給甲、乙、丙3人，每人至少分得1本，已知書籍A分發(fā)給

了甲，則不同的分發(fā)方式種數是180.（用數字作答）

【分析】通過對甲分得書籍A與其它書籍的多少，分類討論求解即可.

解：若甲只分得書籍A,則共有（C：+CQ?A，=30種分發(fā)方式；

uU4

cklQc|c?Q

若甲除了書籍A,還分得了其他書籍，則共有一^種分發(fā)方式.

°AN,

A2A2

故不同的分發(fā)方式種數是30+150=180.

故答案為：180.

【點評】本題考查排列組合的實際應用，計數原理的應用，是中檔題.

22

16.已知雙曲線E：%-J=1（4>0,6>0）的左、右焦點分別為A,Fi,點M在雙曲

線E上，為直角三角形，。為坐標原點，作ONLMFi,垂足為N,若2誣=3而;

則雙曲線E的離心率為返士1.

一2一

【分析】由題意，根據直角三角形的直角頂點所在位置以及雙曲線的定義得到|MA|,

的表達式，結合相似三角形的性質以及離心率公式進行求解即可.

解：已知同為直角三角形，

此時/MFIF2W90°,

若NFiMB=90°,

因為ONLMFi,

所以ON〃MFz,

此時點N為線段MFi的中點，不滿足2誣=3NFi，

所以NMF2FI=90°,

即MF2_Lx軸，

不妨設X=c,

22

因為用一?

ab

所以W='，

2222

即眼尸2|=旦_,\MFi\=^—+2a=-C

aaa"

因為2誣=3NF「

所以|NF||=—|MF1|=2(a2+c'j,

55a

易知△ONFisaMB乃，

1叫|_|OFi|

此時恒±1=IMF/'

22

WWa+c=V5ac-①

又e=￡■且e>\,②

a

聯立①②，解得e=返包.

_2

故答案為：返旦.

2

【點評】本題考查雙曲線的性質，考查了邏輯推理和運算能力.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知等差數列｛“J的前〃項和為S”，42=10,59=9.

(1)求｛跖｝的通項公式;

（2）求數列｛|斯|｝的前〃項和T?.

【分析】（1）設數列｛斯｝的首項為a”公差為d,根據通項公式及前〃項和公式得到方

程組，解得。1、d,即可得解；

（2）令%>0求出〃的取值范圍，再分段求出數列｛|斯|｝的前"項和

解：（1）設數列｛斯｝的首項為公差為d,

a2=a[+d=10=13

則V,解得4ai

Sg=9aj+36d=9=-

kd3

故“"=13-3(n-1)=16-3n.

(2)由(1)可得$=(13+16-3n)n=29n-3n；

n22

令斯=16-3”>0,解得n<±^'，

所以當1W〃W5時，a〃>0,則1二ai+ac+…+a=S產〉-3n

lna1a2andn2

當〃26時，a”VO,貝lj1+02+43+04+05-。6-----an

=2（。1+。2+。3+〃4+〃5）-（。1+。2+。3+〃4+。5+。6_|—^如）

cc、,29x5-3x5229n-3n23n2-29n+140

-2S5-S/2X------2-----------2-=------2-------'

2叱3n2,1<n<5

所以4=2

3n-29n+140n》6

【點評】本題考查數列通項公式的求法和數列前"項和的求法，綜合性強，難度大，計

算繁瑣，是高考的重點.解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化.

18.如圖，在△ABC中，NBAC=135°,AB=4,耽=2如.

（1）求sin/ABC的值；

S,

（2）過點A作AO_LAB,。在邊BC上，記△ABO與△ACO的面積分別為Si,S,求三工

S2

的值.

【分析】（1）由余弦定理可得8C,由正弦定理可得sin/ABC；

(2)求出cos/ABC,由可求得BD=一學"，進而得C￡>,由蓼=”求得

cosz_ABCS2CD

結果.

解：(1)在AABC中，由余弦定理可得BG=A82+AG-24rAecos/BAC,

則Bc2=16+8-2X4XX(=40,

故BC=2近3,

BC________AC

由正弦定理可得sinZBAC=sinZABC

AOsin/BAC_V10

則sin/ABO

BC~^o"

(2)因為NBAC=135°,

所以0°<ZABC<90°,

因為sin/ABC=^，

所以cosNABC

因為AOJLAB,

所以cosNABC=^，

DU

所以BD=一晾耍，

cosZ.ABC3

則CD=BC-BD粗耍，

o

設點A到直線BC的距離為d,

因為Si、d,

1242

所以I1席=2.

02CD

【點評】本題考查了余弦定理，重點考查了三角形的面積公式，屬中檔題.

19.如圖，在四棱錐P-ABCZ)中，P2_L平面ABC。，PB=AC=AD=2,PA=3BC=3.

(1)證明：平面P4C_L平面P8C.

(2)若AO_LAB,求平面P8C與平面PAO夾角的余弦值.

p

D

【分析】（1）先證明線面垂直，再應用面面垂直判定定理證明即可;

（2）建系，利用空間向量，向量夾角公式，即可求解.

解：（1）證明：因為P8,平面ABCZ）,又ABu平面ABCQ,

所以在RtZXPAB中，可求得怔=療彳=病.

在△A8C中，因為8c=1,AC=2,

所以AG+BGnSnA#,所以AC_LBC,

又PB_L平面ABC。，ACu平面ABC。，所以4C_LPB,

又PBCBC=B,PB,BCu平面PBC,

所以AC_L平面PBC,又ACu平面PAC,

所以平面PACJ_平面PBC；

（2）因為AB_L4O,P8_L平面ABC￡）,

所以分別以標，BA.而的方向為x，?z軸的正方向，建系如圖，

P“

x/D

P(0,>2),C?0),D(2,0,0),AD=(2,0,0),AP=(0,~\/~512)

由（I）知4C_L平面P8C,

所以正=（2叵，應豆，0）為平面P8C的一個法向量.

55

設平面PA。的法向量為n=(x,y,z)，

則巧可寫，取彘(0,2,收)，

n-AP=-V5y+2z=0

設平面PBC與平面PAD的夾角為0,

貝“cos6=|cos(n>AC)|=|?

InIIAC|15

【點評】本題考查面面垂直的證明，向量法求解面面角問題，化歸轉化思想，屬中檔題.

20.為了提高居民參與健身的積極性，某社區(qū)組織居民進行乒乓球比賽，每場比賽采取五局

三勝制，先勝3局者為獲勝方，同時該場比賽結束，每局比賽沒有平局.在一場比賽中,

甲每局獲勝的概率均為p,且前4局甲和對方各勝2局的概率為得.

(1)求p的值；

(2)記該場比賽結束時甲獲勝的局數為X,求X的分布列與期望.

【分析】(1)由題意，可知乙每局獲勝的概率為(1-p),又前4局甲和對方各勝2局

的概率為看，列出等式即可求出〃的值；

(2)得到X的所有取值，求出相對應的概率，列出分布列，代入期望公式中進行求解即

可.

解：(1)已知在一場比賽中，甲每局獲勝的概率均為p,

所以乙每局獲勝的概率為(1-p),

又前4局甲和對方各勝2局的概率為看，

則以儼(1-p)2=_|,

解得p=-^-；

P2

(2)易知X的所有取值為0,1,2,3,

止匕時P(X=0)=e)3q，P(X=l)=C；X(/)3乂/=得，P(X=2)=

C：X(?X>奈

P(X=3)=1-1?！?

則X的分布列為:

X0123

P2332

s-1616~2

故E(X)=OX^-+1X^+2X^+3X^=^1-.

81616216

【點評】本題考查離散型隨機變量分布列及期望，考查了邏輯推理和運算能力.

22r~

21.已知Fi,22分別是橢圓C：與■當=1(@>1>>0)的左、右焦點，2(1,—

a"bz2

橢圓C上一點，且而卜畫,.

(1)求橢圓C的方程；

(2)延長呵，畫，并與橢圓C分別相交于M,N兩點，求△PMN的面積.

【分析】(1)由平面向量