2023-2024學(xué)年黑龍江省大慶市高三（上）第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年黑龍江省大慶市高三（上）第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分,共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|x2-x-220},B={-2,-1,0,1},貝()

A.{-2,-1,0}B.{-1,0,1}C.{-2}D.{-2,-1}

2.己知z十4+i，則z-z=()

1-1

A.-4iB.4zC.2D.-2

3.3知向量Z=(x-5,7),b=(x,-2)>則“x=7"是"lib"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.石拱橋是世界橋梁史上出現(xiàn)較早、形式優(yōu)美、結(jié)構(gòu)堅(jiān)固的一種橋型.如圖，這是一座石

拱橋，橋洞弧線可近似看成是頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上的拋物線C的一部

分，當(dāng)水距離拱頂4米時(shí)，水面的寬度是8米，則拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）

A.1米B.2米C.4米D.8米

5.函數(shù)f(x)在(2,3)上單調(diào)遞減，則f的取值范圍是()

A.[6,+8)B.(…，6]C.(-8,4]D.[4,+°0)

6.已知銳角a滿足tan。=平*，則sin2a=()

A.B.返C.—D.—

3333

7.在直三棱柱ABC-A山Ci中，A8_LBC,AB=BC=AA\,D,E分別為AC,BC的中點(diǎn),

則異面直線GD與8E所成角的余弦值為（)

A.近B.近7

nV30

3510

8.設(shè)。=1.7,fe=tanl.l,c=2ln2A,則（

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

（多選）9.若甲組樣本數(shù)據(jù)笛，X2,……，（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為3,乙組樣本

數(shù)據(jù)2為+“，2x2+〃，……，的平均數(shù)為5,下列說錯(cuò)誤的是（）

A.a的值不確定

B.乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為甲組樣本數(shù)據(jù)方差的2倍

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的極差可能相等

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等

（多選）10.已知函數(shù)/'（x）=2cos（3X+0）+1（3>O,O<（P<1T）的部分圖象如圖所示,

.兀

Bn.（b=—

中6

c./（x）在［等，至;］上單調(diào)遞增

OO

KJT

D.f（x哈）的圖象關(guān)于直線x七對稱

（多選）11.已知定義在（0,+8）的函數(shù)/（x）滿足孫）=/（x）+f（y），且/（4）

=12,當(dāng)x>l時(shí)，/（x）>0,則（）

A.y（i）=o

B.f（x）是偶函數(shù)

C.f（x）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增

D.不等式￡但+3）-￡（2）〈6的解集是（0，1）

x

（多選）12.半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正

多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四

面體切割而成.在如圖所示的半正多面體中，若其棱長為1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.該半正多面體的表面積為空巨

4

B.該半正多面體的體積為空叵

12

c.該半正多面體外接球的表面積為告二

D.若點(diǎn)M,N分別在線段。E,BC上，則FM+MN+AN的最小值為J元

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.已知圓C：N+,2+2x-4y+a=0的半徑為3,則。=.

14.設(shè)｛?。堑缺葦?shù)列，且。|+火=7,6/3+06=21,則。7+。10=.

15.現(xiàn)將6本不同的書籍分發(fā)給甲、乙、丙3人，每人至少分得1本，已知書籍A分發(fā)給

了甲，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是.（用數(shù)字作答）

22

16.已知雙曲線氏七-25=1（。>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為B,點(diǎn)M在雙曲

線E上，ARMF2為直角三角形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，作ONLMFi,垂足為N,若2棉=3呵,

則雙曲線E的離心率為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知等差數(shù)列｛〃“）的前〃項(xiàng)和為S”02=10,59=9.

（1）求｛跖｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列｛|。川的前〃項(xiàng)和T,,.

18.如圖，在△ABC中，N8AC=135°,AB=4,AC=2A/2.

(1)求sin/ABC的值;

S,

(2)過點(diǎn)A作AD_LAB,力在邊8c上，記△4BD與△AC。的面積分別為Si,Si,求三上

So

的值.

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PB_L平面ABC。，PB=AC=AD=2,PA=3BC=3.

(1)證明：平面PAC_L平面P8c.

(2)若AOJ_AB,求平面P8C與平面PAD夾角的余弦值.

P

20.為了提高居民參與健身的積極性，某社區(qū)組織居民進(jìn)行乒乓球比賽，每場比賽采取五局

三勝制，先勝3局者為獲勝方，同時(shí)該場比賽結(jié)束，每局比賽沒有平局.在一場比賽中,

甲每局獲勝的概率均為P，且前4局甲和對方各勝2局的概率為得.

(1)求P的值；

(2)記該場比賽結(jié)束時(shí)甲獲勝的局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列與期望.

22

21.已知R,3分別是橢圓C：￥+%=l(a〉b>0)的左、右焦點(diǎn)，P(l,

'9.1

橢圓C上一點(diǎn)，且PF「PF2甘.

(1)求橢圓C的方程；

(2)延長畫，畫，并與橢圓C分別相交于M,N兩點(diǎn)，求△「〃可的面積.

22.已知函數(shù)/(x)—axe*(aWO).

(1)討論/(尤)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a>^時(shí)，證明：以？~-(x+l)lnx>0.

ex+1

參考答案

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4=3/-》-220},B={-2,-1,0,1},則4nB=()

A.{-2,-1,0}B.{-1,0,1}C.{-2}D.{-2,-1}

【分析】先求出集合A,再求兩集合的交集即可.

解：由N-X-2N0,得xW-1或x22,

所以A={x|xW-1或x22},

因?yàn)?={-2,-1,0,1),

所以ACB={-2,-1}.

故選：D.

【點(diǎn)評】主要考查了集合交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

9.—

2.已矢口z31"；;—~+i>則z-z=()

1-1

A.-4/B.4zC.2D.-2

【分析】先化簡計(jì)算求出復(fù)數(shù)z,再求zG即可

O

解：因?yàn)閆—丁+i=l+i+i=l+2i，

1-1

所以z-W=l+2i-l+2i=4i-

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.己知向量Z=(x-5,7),b=(x,-2)，則“》=7”是“；二”的()

A.充分不必耍條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)充分不必要條件的定義判斷即可.

解：若x=7,則彳?玉=2義7+7義(-2)=0,即

若彳_1_總則工(x-5)-14=0,即(x-7)(x+2)=0,解得x=7或x=-2.

故“x=7”是的充分不必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查充分不必要條件的判斷，考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)

題.

4.石拱橋是世界橋梁史上出現(xiàn)較早、形式優(yōu)美、結(jié)構(gòu)堅(jiān)固的一種橋型.如圖，這是一座石

拱橋，橋洞弧線可近似看成是頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上的拋物線C的一部

分，當(dāng)水距離拱頂4米時(shí)，水面的寬度是8米，則拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是()

A.1米B.2米C.4米D.8米

【分析】設(shè)拋物線Cx2=-2py(p>0),由題意可知點(diǎn)(4,-4)在拋物線C上，求

得P，即可得解.

解：設(shè)拋物線C：X2--2py(p>0),

由題意可知點(diǎn)(4,-4)在拋物線C上，則-2pX(-4)=42,解得p=2,

...拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2米.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

5.函數(shù)/CO在(2,3)上單調(diào)遞減，則f的取值范圍是()

A.[6,+8)B.(-8,6]C.(-8,4]D.[4,+°0)

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于，的不等式，解出即可.

解：若函數(shù)/(x)在(2,3)上單調(diào)遞減，

則y=x(x-r)=NTX在(2,3)單調(diào)遞減，

而y'=2x-t,令y'<0,解得：

故y=x(x-f)在(-8,A)單調(diào)遞減，

則■^?23,解得：t，6,

即f的取值范圍是[6,+8).

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

6.已知銳角a滿足tana二號(hào)則sin2a=()

A.B.返C.—D.—

3333

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和二倍角正弦公式可求出結(jié)果.

解：由tana［得cos。=J^sina，

因?yàn)閟in2a+cos2a=1,

所以sin2a+2sin2a=1,

可得sin2a4，

o

因?yàn)閍為銳角，

所以sina二零-，cosa二彎■，

oo

所以sin2a=2sinacosa二一「?

o

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和二倍角正弦公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)

用，屬于基礎(chǔ)題.

7.在直三棱柱ABC-A山iG中，AB1BC,AB=BC=AA\,D,E分別為AC,8C的中點(diǎn)，

則異面直線GO與BE所成角的余弦值為()

A.返B.匹C.D.

351010

【分析】設(shè)AB=2,取481的中點(diǎn)F,連接GF,DF,DE,則可得/為異面直線

G。與BiE所成的角或補(bǔ)角，然后在△GO尸中求解即可.

解：設(shè)AB=2,取的中點(diǎn)F,連接CiF,DF,DE,

因?yàn)?。，E分別為4C,BC的中點(diǎn)，所以￡>E〃AB,DE卷AB，

因?yàn)锳bB]〃AB,AiBi=ABf所以AE〃8i尸,B\F=DE,

所以四邊形。ESF為平行四邊形，所以DF〃囪，

所以NG。產(chǎn)為異面直線GD與所成的角或補(bǔ)角.

因?yàn)锳B，8C,AB=BC=AAi=2fD,E分別為AC,5C的中點(diǎn),

DF=BJE=A/12+22=V5,0^=712+22=V5,C^^(72)2+22=V6>

l_o近

所以5r2V30.

cos/CiDF^蕾工

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查異面直線所成角,考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

8.設(shè)。=1.7,fe=tanl.l,c=2Zn2.1,則()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

【分析】由已知結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性可比較m6的大小，構(gòu)造函數(shù)/(x)=中-勿,

對其求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性即可比較a,c的大小即可判斷.

解：因?yàn)閥=tanx在(0,夕兀)上單調(diào)遞增，

所以/?=tanl.l>tan-7T-=^3^1.7=a，

o

令f(x)=ex-ex,則f(x)=夕-e,

當(dāng)x>l時(shí)，，(x)>0,f(x)在(1,+8)上單遞增，

WJ/(1.7)=e17-I.7e>/(1)=0,

則^'-7>1.7e>1.7X2.7=4.59>4.41=2.12,

因此1.7>[2.產(chǎn)=2歷2.1,即a>c,

故c<a<b.

故選：c.

【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系，還考查了函數(shù)單調(diào)性在函數(shù)值大小比較中

的應(yīng)用，屬于中檔題.

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

（多選）9.若甲組樣本數(shù)據(jù)xi,及，……，X”（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為3,乙組樣本

數(shù)據(jù)2?+a,2x2+〃，……，2x”+a的平均數(shù)為5,下列說錯(cuò)誤的是（）

A.a的值不確定

B.乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為甲組樣本數(shù)據(jù)方差的2倍

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的極差可能相等

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等

【分析】根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)求出。，從而判斷A；根據(jù)方差的性質(zhì)判斷以根據(jù)極差和中

位數(shù)的定義判斷CD.

解：由題意可知，2X3+a—5,a--1,故A錯(cuò)誤；

易知乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為甲組樣本數(shù)據(jù)方差的22=4倍，故B錯(cuò)誤；

不妨設(shè)x,<x2<????<””則甲組數(shù)據(jù)的極差為心-M,

乙組數(shù)據(jù)的極差為（2x〃-1）-（2ri-1）=2（xn-XI）,

所以兩組樣本數(shù)據(jù)的極差不相等，故C錯(cuò)誤；

設(shè)甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為m,

則乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2機(jī)-1,

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，m=2m-1,

所以兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等，故￡>正確.

故選：A8C.

【點(diǎn)評】本題考查了平均數(shù)，方差的性質(zhì)，考查中位數(shù)，極差的定義，是基礎(chǔ)題.

（多選）10.已知函數(shù)/（x）=2cos（3x+（p）+1（a）>0,0<<p<ir）的部分圖象如圖所示,

貝（）

B.0記

C./（x）在［手，4］上單調(diào)遞增

Oo

JTJT

D.f（x哈）的圖象關(guān)于直線x七對稱

【分析】由圖可知r=n,求得3,可判斷A；由f（等）=-1結(jié)合0＜（pV7T求得少，可

TT

判斷8；利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解可判斷C；求出f（x哈）的解析式，進(jìn)而求出對稱

軸，可判斷Q.

解：由圖可知丁=2（告；一^）=兀，則3=*=2,故A正確；

因?yàn)閒（*）=2cos（2X*+。）+1=-1，

所以哈+0=2k兀+兀（kEZ），即。=2k兀吟（kEZ），

JT

因?yàn)镺VcpVm所以。T，則3正確；

令2加-2k兀（k€Z），解得k兀，:《x《k兀（k￡Z），此時(shí)/

（x）單調(diào)遞增;

令2EW2x七卷42k兀+兀（kEZ），解得k兀［^^x《k兀（k￡Z），此時(shí),

（x）單調(diào)遞減.

由x€［等，?］，得/（X）在［竿，窄）上單調(diào)遞減，在［哈，等］上

單調(diào)遞增，則C錯(cuò)誤；

因?yàn)閒(x)=2cos(2x+■丁)+1，

IT

所以f(xk-)=2c(2x-丁)+l=-2sin2x+l?

人TT7Tk兀兀7r

令2x二k兀十&WZ，4得fqx=：“y-，kEZ.

當(dāng)k=o時(shí)，X-，

4

ITIT

則f(x哈)的圖象關(guān)于直線X號(hào)對稱，故。正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評】本題考查了由y=Asin(3x+(p)的部分圖象確定其解析式以及余弦函數(shù)的圖象

和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

(多選)11.已知定義在(0,+8)的函數(shù)f(x)滿足/(丐)=/(x)tf(y)，且/(4)

=12,當(dāng)x>l時(shí)，/(%)>0,則()

A./(1)=0

B.f(x)是偶函數(shù)

C.f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增

D.不等式f(x+3)-f的解集是(0,1)

x

【分析】利用X=y=l可求出/(I)判斷A,根據(jù)定義域判斷奇偶性判斷B,由單調(diào)性定

義判斷C,由函數(shù)性質(zhì)及單調(diào)性脫去“尸解不等式判斷D

解：令x—y—1,得/(1)—f，即/(I)=0，則A正確：

由題意可知f(x)的定義域是(0,+8),則/CO是非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

當(dāng)x>l時(shí)，因?yàn)閥>0,所以因?yàn)?(xy)=f(x)+f(y),

所以/1(xy)-/(y)=/(x)>0,則/(x)在(0,+°0)上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；

令x=y=2,得f(4)—2f(2),因?yàn)?(4)=12,所以/(2)—6.

因?yàn)?(孫)=/(x)+f(y)，所以/(封)-/(y)=于(x),

所以/(X+3)-f(Z)=f(x2+3x),所以f(x+3)-f心)<6等價(jià)于

x2x

\+3>0

—>0

因?yàn)?(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以《XV,解得0<x<l,則。正確.

故選：AD

【點(diǎn)評】本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

(多選)12.半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正

多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四

面體切割而成.在如圖所示的半正多面體中，若其棱長為1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.該半正多面體的表面積為空巨

4

B.該半正多面體的體積為空反

12

c.該半正多面體外接球的表面積為工量

D.若點(diǎn)N分別在線段DE,BC上，則FM+MN+4V的最小值為J通

【分析】根據(jù)給定的多面體，利用正四面體的性質(zhì)，球的截面圓的性質(zhì)，以及多面體的

側(cè)面展開圖，結(jié)合棱錐的表面積與體積公式，以及球的表面積公式，逐項(xiàng)判定，即可求

解.

解：由題意，該半正多面體由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割

而成，其棱長為1,

對于A,該正多面體的表面積為4X（1X32-3X亞XP）+4x1*F=7逐，

444

故A錯(cuò)誤；

對于8,如圖所示，該半正多面體所在的正四面體中，可得正四面體的棱長為3,

取正四面體的下底面的中心為M連接MN,則底面ABC,

在直角△MNG中，：MG=3,NG=—X但義3=禽,

32

1Ml"2-叱=、32-（a）2=心

該半正多面體的體積為庭W-4xLx亞"XF義近=空巨，故8正確；

434312

對于C,該半正多面體外接球的球心即其所在正四面體的外接球的球心，

記球心為。，半徑為R,△QEF的球心為01,

連接04,NA,OF,00i,由等邊△￡>￡尸的邊長為1,

可得。［尸=《,x今x1=4，

323

又由底面正六邊形A//KBCL的邊長為I,可得附=1,

在正四面體M-QEF中，可得MOi=逅，

_3

0]N=MN-MO\=V6

設(shè)ON=h,\'OA=OF=R,.?.岫2+42=0|尸+0]￡2,

222

.\\+h=(近)+(-^Zl_h)2,解得仁返即。N=遮,

3344

，？=0A2=(近)2+]2=&，

48

,該半正多面體外接球的表面積為4叱。42=丹二，故c正確；

對于。，該半正多面體展開圖如圖所示:

則a=4,AT=M，AF=PT2+AT2=Vl91FM+MN+AN》AF=后,故。正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)評】本題考查正四面體的性質(zhì)、球的截面圓的性質(zhì)、多面體的側(cè)面展開圖、棱錐的

表面積與體積公式、球的表面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共2()分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.已知圓C：N+V+2x-4y+a=0的半徑為3,則〃=-4.

【分析】直接利用圓的一般式和標(biāo)準(zhǔn)式之間的轉(zhuǎn)換求出結(jié)果.

解：圓C：/+)2+2%-4y+o=0的半徑為3,轉(zhuǎn)換為圓的標(biāo)準(zhǔn)式為(x+1)2+(y-2)2=5

-a.

故5-a=9,解得a=-4.

故答案為：-4.

【點(diǎn)評】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：圓的一般式和標(biāo)準(zhǔn)式的轉(zhuǎn)換，主要考查學(xué)生的理解能力

和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.設(shè)｛“”｝是等比數(shù)列，且41+44=7,43+46=21,則。7+?10=189.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.

解：設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,

則Q[+a4）q?=a3+a6,故爐=3,

故〃7+aio=/（〃3+。6）=21X9=189.

故答案為：189.

【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.現(xiàn)將6本不同的書籍分發(fā)給甲、乙、丙3人，每人至少分得1本，已知書籍A分發(fā)給

了甲，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是180.（用數(shù)字作答）

【分析】通過對甲分得書籍A與其它書籍的多少，分類討論求解即可.

解：若甲只分得書籍A,則共有（C：+CQ?A，=30種分發(fā)方式；

uU4

cklQc|c?Q

若甲除了書籍A,還分得了其他書籍，則共有一^種分發(fā)方式.

°AN,

A2A2

故不同的分發(fā)方式種數(shù)是30+150=180.

故答案為：180.

【點(diǎn)評】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，是中檔題.

22

16.已知雙曲線E：%-J=1（4>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為A,Fi,點(diǎn)M在雙曲

線E上，為直角三角形，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，作ONLMFi,垂足為N,若2誣=3而;

則雙曲線E的離心率為返士1.

一2一

【分析】由題意，根據(jù)直角三角形的直角頂點(diǎn)所在位置以及雙曲線的定義得到|MA|,

的表達(dá)式，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)以及離心率公式進(jìn)行求解即可.

解：已知同為直角三角形，

此時(shí)/MFIF2W90°,

若NFiMB=90°,

因?yàn)镺NLMFi,

所以O(shè)N〃MFz,

此時(shí)點(diǎn)N為線段MFi的中點(diǎn)，不滿足2誣=3NFi，

所以NMF2FI=90°,

即MF2_Lx軸，

不妨設(shè)X=c,

22

因?yàn)橛靡?

ab

所以W='，

2222

即眼尸2|=旦_,\MFi\=^—+2a=-C

aaa"

因?yàn)?誣=3NF「

所以|NF||=—|MF1|=2(a2+c'j,

55a

易知△ONFisaMB乃，

1叫|_|OFi|

此時(shí)恒±1=IMF/'

22

WWa+c=V5ac-①

又e=￡■且e>\,②

a

聯(lián)立①②，解得e=返包.

_2

故答案為：返旦.

2

【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知等差數(shù)列｛“J的前〃項(xiàng)和為S”，42=10,59=9.

(1)求｛跖｝的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)列｛|斯|｝的前〃項(xiàng)和T?.

【分析】（1）設(shè)數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)為a”公差為d,根據(jù)通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式得到方

程組，解得。1、d,即可得解；

（2）令%>0求出〃的取值范圍，再分段求出數(shù)列｛|斯|｝的前"項(xiàng)和

解：（1）設(shè)數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)為公差為d,

a2=a[+d=10=13

則V,解得4ai

Sg=9aj+36d=9=-

kd3

故“"=13-3(n-1)=16-3n.

(2)由(1)可得$=(13+16-3n)n=29n-3n；

n22

令斯=16-3”>0,解得n<±^'，

所以當(dāng)1W〃W5時(shí)，a〃>0,則1二ai+ac+…+a=S產(chǎn)〉-3n

lna1a2andn2

當(dāng)〃26時(shí)，a”VO,貝lj1+02+43+04+05-。6-----an

=2（。1+。2+。3+〃4+〃5）-（。1+。2+。3+〃4+。5+。6_|—^如）

cc、,29x5-3x5229n-3n23n2-29n+140

-2S5-S/2X------2-----------2-=------2-------'

2叱3n2,1<n<5

所以4=2

3n-29n+140n》6

【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列前"項(xiàng)和的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，計(jì)

算繁瑣，是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.

18.如圖，在△ABC中，NBAC=135°,AB=4,耽=2如.

（1）求sin/ABC的值；

S,

（2）過點(diǎn)A作AO_LAB,。在邊BC上，記△ABO與△ACO的面積分別為Si,S,求三工

S2

的值.

【分析】（1）由余弦定理可得8C,由正弦定理可得sin/ABC；

(2)求出cos/ABC,由可求得BD=一學(xué)"，進(jìn)而得C￡>,由蓼=”求得

cosz_ABCS2CD

結(jié)果.

解：(1)在AABC中，由余弦定理可得BG=A82+AG-24rAecos/BAC,

則Bc2=16+8-2X4XX(=40,

故BC=2近3,

BC________AC

由正弦定理可得sinZBAC=sinZABC

AOsin/BAC_V10

則sin/ABO

BC~^o"

(2)因?yàn)镹BAC=135°,

所以0°<ZABC<90°,

因?yàn)閟in/ABC=^，

所以cosNABC

因?yàn)锳OJLAB,

所以cosNABC=^，

DU

所以BD=一晾耍，

cosZ.ABC3

則CD=BC-BD粗耍，

o

設(shè)點(diǎn)A到直線BC的距離為d,

因?yàn)镾i、d,

1242

所以I1席=2.

02CD

【點(diǎn)評】本題考查了余弦定理，重點(diǎn)考查了三角形的面積公式，屬中檔題.

19.如圖，在四棱錐P-ABCZ)中，P2_L平面ABC。，PB=AC=AD=2,PA=3BC=3.

(1)證明：平面P4C_L平面P8C.

(2)若AO_LAB,求平面P8C與平面PAO夾角的余弦值.

p

D

【分析】（1）先證明線面垂直，再應(yīng)用面面垂直判定定理證明即可;

（2）建系，利用空間向量，向量夾角公式，即可求解.

解：（1）證明：因?yàn)镻8,平面ABCZ）,又ABu平面ABCQ,

所以在RtZXPAB中，可求得怔=療彳=病.

在△A8C中，因?yàn)?c=1,AC=2,

所以AG+BGnSnA#,所以AC_LBC,

又PB_L平面ABC。，ACu平面ABC。，所以4C_LPB,

又PBCBC=B,PB,BCu平面PBC,

所以AC_L平面PBC,又ACu平面PAC,

所以平面PACJ_平面PBC；

（2）因?yàn)锳B_L4O,P8_L平面ABC￡）,

所以分別以標(biāo)，BA.而的方向?yàn)閤，?z軸的正方向，建系如圖，

P“

x/D

P(0,>2),C?0),D(2,0,0),AD=(2,0,0),AP=(0,~\/~512)

由（I）知4C_L平面P8C,

所以正=（2叵，應(yīng)豆，0）為平面P8C的一個(gè)法向量.

55

設(shè)平面PA。的法向量為n=(x,y,z)，

則巧可寫，取彘(0,2,收)，

n-AP=-V5y+2z=0

設(shè)平面PBC與平面PAD的夾角為0,

貝“cos6=|cos(n>AC)|=|?

InIIAC|15

【點(diǎn)評】本題考查面面垂直的證明，向量法求解面面角問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

20.為了提高居民參與健身的積極性，某社區(qū)組織居民進(jìn)行乒乓球比賽，每場比賽采取五局

三勝制，先勝3局者為獲勝方，同時(shí)該場比賽結(jié)束，每局比賽沒有平局.在一場比賽中,

甲每局獲勝的概率均為p,且前4局甲和對方各勝2局的概率為得.

(1)求p的值；

(2)記該場比賽結(jié)束時(shí)甲獲勝的局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列與期望.

【分析】(1)由題意，可知乙每局獲勝的概率為(1-p),又前4局甲和對方各勝2局

的概率為看，列出等式即可求出〃的值；

(2)得到X的所有取值，求出相對應(yīng)的概率，列出分布列，代入期望公式中進(jìn)行求解即

可.

解：(1)已知在一場比賽中，甲每局獲勝的概率均為p,

所以乙每局獲勝的概率為(1-p),

又前4局甲和對方各勝2局的概率為看，

則以儼(1-p)2=_|,

解得p=-^-；

P2

(2)易知X的所有取值為0,1,2,3,

止匕時(shí)P(X=0)=e)3q，P(X=l)=C；X(/)3乂/=得，P(X=2)=

C：X(?X>奈

P(X=3)=1-1?！?

則X的分布列為:

X0123

P2332

s-1616~2

故E(X)=OX^-+1X^+2X^+3X^=^1-.

81616216

【點(diǎn)評】本題考查離散型隨機(jī)變量分布列及期望，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

22r~

21.已知Fi,22分別是橢圓C：與■當(dāng)=1(@>1>>0)的左、右焦點(diǎn)，2(1,—

a"bz2

橢圓C上一點(diǎn)，且而卜畫,.

(1)求橢圓C的方程；

(2)延長呵，畫，并與橢圓C分別相交于M,N兩點(diǎn)，求△PMN的面積.

【分析】(1)由平面向量