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文檔簡介
2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)
第28講等差數(shù)列(精講)
題型目錄一覽
①等差數(shù)列基本量的計算
②等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用
③等差數(shù)列的前n項和
④等差數(shù)列中中明與鼠的關(guān)
系
⑤等差數(shù)列的判定與證明
一、知識點梳理
__________________________________________________________________________________________________?
一、等差數(shù)列的有關(guān)概念
1.等差數(shù)列的定義
一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這
個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母1表示,定義表達式為%(常數(shù))(nwN*,?>2).
2.等差中項的概念
若三個數(shù)a,A,6成等差數(shù)列,則A叫做。與匕的等差中項,且有A=巴也.
2
二、等差數(shù)列的有關(guān)公式
1.等差數(shù)列的通項公式
如果等差數(shù)列{4}的首項為4,公差為d,那么它的通項公式是a“=q+(w-l)d.
2.等差數(shù)列的前〃項和公式
設(shè)等差數(shù)列{4}的公差為d,其前〃項和S'=叫+嗎3d=*"").
三'等差數(shù)列的常用性質(zhì)
已知{4}為等差數(shù)列,d為公差,S”為該數(shù)列的前〃項和.
1.通項公式的推廣:an=ammeN*1.
2.在等差數(shù)列{〃“}中,當(dāng)根+〃=夕+4時,。機+4=4+〃/祇,2P,qeN").
3.ak,ak+m,以+2加,…仍是等差數(shù)歹取公差為md(k,meN*).
4.S?,S『Sn,邑〃一邑〃,…也成等差數(shù)列,公差為n2d.
5.若{%},{"}是等差數(shù)列,貝IJ{p4+*〃}也是等差數(shù)歹lj.
四、等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系
2
S?=|?+(ai-|>.數(shù)列{4}是等差數(shù)列=邑=4〃2+加(A、3為常數(shù)).
【常用結(jié)論】
1.等差數(shù)列{4}中,若4=根,冊〃,私〃eN*),則?!?。.
2.等差數(shù)列{〃〃}中,若S“=九鼠=〃(加。/九〃£N*),則鼠+〃=一(機+〃).
3.等差數(shù)列{%}中,若Sn=SNn手〃,m,neN*),則鼠+〃=0.
4.若以}與{b“}為等差數(shù)列,且前"項和為S”與7,,則詈=邑0.
"^2m-l
--------------------------------------------------------------------\
二、題型分類精講
____________________________________________________________________/
題型一等差數(shù)列基本量的計算
-策略方法解決等差數(shù)列運算問題的思想方法
⑴方程思想:等差數(shù)列的基本量為首項0和公差d,通常利用已知條件及通項公式或前〃項和公式
列方程(組)求解,等差數(shù)列中包含防,d,n,an,S〃五個量,可“知三求二”.
⑵整體思想:當(dāng)所給條件只有一個時,可將已知和所求都用ai,d表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代
換即可求解.
⑶利用性質(zhì):運用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程.
【典例1]在等差數(shù)列中,氏=33,每=153,則201是數(shù)列的第幾項()
A.59B.60C.61D.62
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義求出公差,從而求出通項公式,再根據(jù)%=201,構(gòu)造關(guān)于"的方程,解方程即可.
【詳解】等差數(shù)列{%}中,生=33,45=153,設(shè)公差為d,
40d=a45—a5=153—33=120,解得d=3;
/.通項公式為4=。45+3(〃-45),
當(dāng)。〃=153+3(〃-45)=201時,n=61.
故選:C.
【典例2]在等差數(shù)列{%}中,4+4=20,%=12,則%的值為()
A.2B.6C.8D.12
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件,利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差即可求解作答.
【詳解】在等差數(shù)列{%}中,&=5愛=1。,則數(shù)列{%}的公差"=%-4=2,
所以為=a6~2d=10—2x2=6.
故選:B
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1.(2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)??寄M預(yù)測)已知{4}為等差數(shù)列,出=-2嗎+%。=%+4,則%=()
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
【分析】利用基本量法可求公差和首項,從而可求出.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為",則,,彳,
14+q+9d=%+2d+4
故17一,3,故%=_3+(5-l)xl=l,
\a=\
故選:A.
2.(2023?江西贛州?統(tǒng)考二模)等差數(shù)列{%}滿足的=T4,a12=-4,則出3=()
A.5B.7C.9D.11
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)運算求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列{%}的公差為d,
因為101=%2-〃2=1°,解得d=l,
所以。23=。12+11〃=一4+11x1=7.故選:B.
3.(2023?廣東廣州?廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測)在等差數(shù)列{%}中,出=1,%=5,則。廣()
A.9B.11C.13D.15
【答案】C
【分析】利用等差數(shù)列的基本量計算可得答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列{%}的公差為(則2d=%-%=4,
貝[|4=4+6d=1+3x4=13
故選:C
4.(2023?廣西?統(tǒng)考模擬預(yù)測)設(shè){4}為等差數(shù)列,若%+2%=1,%=5,則公差〃=()
A.12B.-1C.1D.2
【答案】D
【分析】由等差數(shù)列的基本量法列方程組求解.
3al+2d=1%=一]
【詳解】由題意得n解得
%+3d=5d=2
故選:D.
5.(2023?四川涼山?三模)在等差數(shù)列{%}中,的+g=2,%=3,則%=().
A.3B.5C.7D.9
【答案】C
【分析】由等差中項性質(zhì)得。3=1,利用等差數(shù)列通項公式求基本量公差d,進而寫出通項公式,即可得知.
【詳解】由題設(shè)電+。4=24=2,則%=1,而%=3,
若等差數(shù)列公差為d,則6/=用2=1,
所以,{%}通項公式為%=%+(〃-3)4=〃-2,故%=7.
故選:C
6.(2023?西藏日喀則?統(tǒng)考一模)中國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有一道題:“今有七人差等均錢,甲乙均五十八
文,戊己庚均六十文,問乙丁各若干?”,意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個人,所分到的錢數(shù)成等差數(shù)
列,甲、乙兩人共分到58文,戊、己、庚三人共分到60文,問乙、丁兩人各分到多少文錢?則下列說法正確的是
()
A.乙分到28文,丁分到24文B.乙分到30文,丁分到26文
C.乙分到24文,丁分到28文D.乙分到26文,丁分到30文
【答案】A
【分析】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為。-3d,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,a+3d,再
根據(jù)題意列方程組可解得結(jié)果.
【詳解】依題意,設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為"3d,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,a+3d,
」人
a-3d+a-2d=58,[a=249
則<Jo7么c,解得L_o
[Q+d+a+2d+a+3d—60[d——2
所以乙分得a-2d=28(文),丁分得,=24(文),
故選:A.
7.(2023?全國?高三專題練習(xí))等差數(shù)列{%}滿足2%+%=12,則曲)=()
A.6B.4C.3D.2
【答案】D
【分析】設(shè)等差數(shù)列{4}的公差為d,根據(jù)已知條件可求得4+54的值,進而可求得見-14。的值.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列{%}的公差為d,貝!12%+%=2(01+64)+?1+34=3&+54)=12,
以,q+5d=4,——ci^=+7t/-5(4+9d)=/(q+5d)=^x4=2.
故選:D.
8.(2023?陜西咸陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知等差數(shù)歹U{4}滿足凡+2凡討=3〃+2,則{〃〃}的前20項和S?。=()
A.200B.300C.210D.320
【答案】C
[3A=3
【分析】設(shè)a〃=A〃+3,an+2an+i=3An+2A+3B則OAQA—O,解方程即可求出知,再由等差數(shù)列的前〃項
I/A+J5JD—L
和即可得出答案.
【詳解】因為數(shù)列{4}為等差數(shù)列,設(shè)?!?A〃+3,所以〃用=A〃+A+3,
所以=3A〃+2A+33.因為4+2〃“+i=3〃+2,
所以,[23A4+=333=2所以A=1
B=0
則4=",^rlUS=20xl+20><(^0~1)xl=210
20故選:C.
二、填空題
9.(2023?甘肅白銀甘肅省靖遠縣某中學(xué)校聯(lián)考二模)在等差數(shù)列{q}中,a3+a4+a5=12,/+%+4=18,則
{q}的公差是.
【答案】-3
【分析】設(shè){%}的公差為d,由等差數(shù)列的通項公式可得答案.
【詳解】設(shè){4}的公差為d,(a,+a4+a5)-(o1+as+a6)=2^=12-18=-6,
則d=—3.
故答案為:-3.
10.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知等差數(shù)列{4}的公差為d(d>o),且滿足2%-%=1,4q=4。,則數(shù)列{4}的
通項公式4=.
【答案】3n—2
【分析】根據(jù)等差數(shù)列得通項求出首項和公差,再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可得解.
【詳解】由2%-%=1,%q=40,
2。]+4d-(a1+4d)=1%=1
得m+03+34)=4。,由">0解得
d=3
所以《=3〃-2.
故答案為:3n—2.
11.(2023春?上海寶山?高三上海交大附中??计谥校┑炔顢?shù)列{%}中,%+3/+%=120,貝口佝-陽的值是.
【答案】24
【分析】先由等差數(shù)列的通項公式化簡%+3%+@=120得到q+7d=24,再由等差數(shù)列的通項公式把2%-%。化
為q+74即可求出答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列{。〃}的首項為外,公差為d,
貝[jq+3q+弓5=卬+3(q+7d)+q+14d=5q+35d=120,
所以4+74=24.
所以2%-4,=2(?+8<7)-(01+9<7)=01+7(7=24.故答案為:24
12.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知等差數(shù)歹!){。"}中的+%+弓。=18,a6+as+al0=27,若4=21,貝也=.
【答案】12
【分析】根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)求出與、W,即可求出公差d,再根據(jù)《=%+(左-7”計算可得.
【詳解】因為,+“7+40=18,又%+60=2%,所以%=6,
又4+。8+40=27,ab+a10=2a&,所以%=9,
所以公差=3,
所以4=%+(左一7)d=21,即6+3化-7)=21,解得上=12.
故答案為:12
13.(2023?上海普陀?上海市宜川中學(xué)??寄M預(yù)測)已知數(shù)列{%}滿足:a,l+a,l+l=4n,若{%}為等差數(shù)列,則通
項公式為.
【答案】an=2n-l
【分析】設(shè)等差數(shù)列{4}的首項為卬,公差為d,由%+。用=4〃求出4和d,即可寫出通項公式.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列{%}的首項為外,公差為d,
貝[|an+an+l=2q+(2〃-V)d=2q—d+2dn=4〃,
[2a,—d=Q[d=2
所以」,,解得「
[2d=4%=1
所以4=1+2(〃T)=2〃-1,
故答案為:4=2〃-l.
14.(2023?湖北襄陽?襄陽四中??寄M預(yù)測)己知等差數(shù)列{%}中,/=4,4=16,若在數(shù)列{凡}每相鄰兩項之間
插入三個數(shù),使得新數(shù)列也是一個等差數(shù)列,則新數(shù)列的第43項為.
【答案】y
【分析】先計算出等差數(shù)列{%}的公差,進而得到新的等差數(shù)列圾}的公差,從而求出也}的通項公式,求出新數(shù)
列的第43項.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列{4}的公差為d,則q+d=4,4+54=16,
所以q=l,d=3,
設(shè)在數(shù)列{%}每相鄰兩項之間插入三個數(shù)所得新數(shù)列為{bn}9
則新的等差數(shù)列也}的公差為5=首項為4=q=l,
所以新數(shù)列的通項公式為2=1+:(〃-1)=%+小
故如=引義43+!=:.
故答案為:
題型二等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用
畬策略方法利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題的兩個關(guān)注點
⑴兩項和的轉(zhuǎn)換是最常用的性質(zhì),利用2即=麗-+即+〃可實現(xiàn)項的合并與拆分,在S〃=*紜中,
與可相互轉(zhuǎn)化.
(2)利用Sm,Slm—Sm,S3m—S2加成等差數(shù)列,可求S2帆或S3%
【典例1】已知等差數(shù)列{4}中,%+%7=30,則為+%0+%1=()
A.30B.40C.50D.45
【答案】D
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
[詳解]由/+%7=30得。3+。17=2〃10=30=>60=15,
所以〃9+4O+%I=3%0=45,
故選:D
【典例2】已知加和2〃的等差中項是8,2相和幾的等差中項是10,則加和〃的等差中項是
A.2B.3C.6D.9
【答案】c
【分析】根據(jù)等差中項的概念,列方程,求的m+n=12,再根據(jù)等差中項的定義,可知m和n的等差中項為6.
【詳解】:Tm和2n的等差中項是8,2m和n的等差中項是10,
由等差中項的概念得:m+2n=16①,2m+n=20②
①+②得:3m+3n=36,即m+n=12.
.?.m和n的等差中項為6.
故選:C
【點睛】本題考查了等差中項的概念,是基礎(chǔ)題.
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列{%}是等差數(shù)列,若4-0,+%=7,則%+旬等于()
A.7B.14C.21D.7(/1)
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計算.
【詳解】因為生一+%7=(a1+〃17)—“9=2。9—。9=〃9=7,"3+45=2。9=2x7=14.
故選:B
2.(2023?全國?高三專題練習(xí))如果等差數(shù)列{%}中,%+%+%=12,那么”]+?+???+%=()
A.14B.12C.28D.36
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計算.
【詳解】;〃3+。4+〃5=12,/.3a4=12,貝!)&=4,又4+為=%+〃6=%+%=2%,
故q+%+…~H%=7%-28.
故選:C.
3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列{4}中,a2+a4=6,則%+生+%+%+%=()
A.30B.15C.5瓜D.10"
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計算.
【詳解】???數(shù)列{%}為等差數(shù)列,的+%=24=6,所以%=3
/.%+電+〃3+〃4+〃5=(%+〃5)+Q+%)+〃3=5%=15.
故選:B
4.(2023?青海西寧?統(tǒng)考二模)已知{%},也}均為等差數(shù)列,且%=6,4=0,偽=1,則數(shù)歹U{a“+2}的前5項
和為()
A.35B.40C.45D.50
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的等差中項性質(zhì)解決即可.
【詳解】由題知也},圾}均為等差數(shù)列,且。3=6,4=0,&=1,
所以4="6,得4=2,
+b
所以數(shù)列{a“+bn}的前5項和為([+為+/+%+。5)+(42+4+“+仇)=543+54=30+10=40.
故選:B
5.(2023?全國?高三專題練習(xí))現(xiàn)有茶壺九只,容積從小到大成等差數(shù)列,最小的三只茶壺容積之和為0.5升,最大
的三只茶壺容積之和為2.5升,則從小到大第5只茶壺的容積為()
A.0.25升B.0.5升C.1升D.1.5升
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】設(shè)九只茶壺按容積從小到大依次記為如電,馬,
由題意可得q+a2+a3=0.5,a7+a8+a9=2.5,
所以3a2=0.5,3a8=2.5^>a2+ag=1,.,.a5=的,
故選:B
6.(2023?陜西榆林?統(tǒng)考三模)一個等差數(shù)列的前3項之和為12,第4項為0,則第6項為()
A.-2B.-4C.1D.2
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),求得的=4,再結(jié)合2%=%+3,即可求解.
【詳解】由等差數(shù)列的前3項之和為12,可得%+%+%=3%=12,所以。2=4,
又由第4項為0,即g=。,
因為第2項、第4項、第6項依次成等差數(shù)列,即2%=a2+a6,
所以。6=2%-2=-4.故選:B.
7.(2023春?江西鷹潭?高三貴溪市實驗中學(xué)??茧A段練習(xí))數(shù)列{4}是等差數(shù)列,若。3%=8,—+—=1,則/=
a。J
()
42
A.2V2B.4C.D.
73
【答案】c
【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到?手=,得到答案.
【詳解】—=^^=一=*=]故;
CI3aga3a98833
故選:C
8.(2023?全國?高三專題練習(xí))從冬至日起,小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、
芒種這十二個節(jié)氣的日影長度依次成等差數(shù)列,冬至、立春、春分這三個節(jié)氣的日影長度之和為31.5尺,前九個節(jié)
氣日影長度之和為85.5尺,則谷雨這一天的日影長度為()
A.5.5尺B.4.5尺C.3.5尺D.2.5尺
【答案】A
【分析】根據(jù)題意,分別設(shè)十二個節(jié)氣為火,出,,%,再運用等差中項求解.
【詳解】設(shè)冬至,小寒,大寒,立春,雨水,驚蟄,春分,清明,谷雨,立夏,小滿,芒種這十二個節(jié)氣為:a1,a2,a3,,al2,
且其公差為d,
依題意有:%+%+%=31.5,%+%++%=85.5,
「?々4=3=1。5%=9=9.5,公差1=。5_。4=_19
貝[|為=%+4d=9.5—4=5.5,
所以谷雨這一天的日影長度為5.5尺,
故選:A
9.(2023?全國?高三專題練習(xí))“/+%=2%”是“數(shù)列{%}為等差數(shù)列”的().
A.充分不必要條件B.充要條件
C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件
【答案】C
【分析】舉特例結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),即可得出答案.
【詳解】設(shè)%則生=-3,G=-5,%=",所以/+%=-10=2%,但數(shù)列{%}不是等差數(shù)列;
若數(shù)列{%}為等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知,%十%=2as成立.
所以,“/+%=2%”是“數(shù)列{4}為等差數(shù)列”的必要不充分條件.
故選:C.
10.(2023?全國?高三專題練習(xí))公差不為零的等差數(shù)列{%}中,%+2%=6,則下列各式一定成立的是()
A.03a5<2B.。3。5<4C.ci2a5<2D.ci2a5<4
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項求出%=2,再利用基本不等式即可求出的%<4,對于CD選項,利用特殊值法反駁
即可.
【詳解】因為出+2%=g+。4+%=3。4=6,所以。&=2,
因為{4}公差不為零洶/外,所以B正確,A錯誤,
取%=1.9,貝!|%=2.2,此時%%=418>4,C,D均不正確,
故選:B.
二、填空題
11.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列{%},o11+a13=2e,%=
【答案】e
【分析】由等差中項的性質(zhì)計算即可.
【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可知:&+&=2%,
又0n+%3=2e,故%2=e.
故答案為:e
12.(2023春?甘肅天水?高三??奸_學(xué)考試)已知等差數(shù)列{4},a2+a4+a6++a10=5,ab=.
【答案】1
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求解.
【詳解】{4}是等差數(shù)列,.二+。4+〃6++%0=%+。4+4+g+4o=5〃6=5,。6=1.
故答案為:1.
13.(2023?全國?高三專題練習(xí))在等差數(shù)列{?!埃?,[949=1949,^+0^=2023,貝.
【答案】74
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)列式計算即可.
【詳解】因為1949+74=102+1921,所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可得一+每49=%02+^1921=2023,
所以%949=74,
故答案為:74
14.(2023?全國?高三專題練習(xí))在等差數(shù)列{%}中,%%o是方程尤2-3x-5=0的根,則為+%=.
【答案】3
【分析】先利用韋達定理,再利用等差數(shù)列的性質(zhì),即可得到結(jié)論.
【詳解】由。3,4。是方程d—3x—5=o的根得/+4。=3.
又?jǐn)?shù)列{%}為等差數(shù)列,**?%+網(wǎng)〃3+〃10^3?
故答案為:3
15.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列{?!埃凉M足a,+i+a,i=2a,("Z2),且出=5,a5=13,則為=.
【答案】21
【分析】根據(jù)題中條件,判斷數(shù)列{q}為等差數(shù)列,再計算基本量即可得出結(jié)果.
【詳解】由。用+a,i=2a”(“N2)知,數(shù)列{%}是等差數(shù)列,.?.%a5,%成等差數(shù)列.
/.a2+ag=2a$,as=2a5~a2=2x13—5=21.
故答案為:21.
題型三等差數(shù)列的前n項和
⑨^策略方法
在等差數(shù)列中,S,,s2-sn,s^—w,…仍成等差數(shù)列;{與}也成等差數(shù)列.
n
【典例1】設(shè)S“是等差數(shù)列和“}的前”項和,已知星=659=15,貝!JS[2=()
A.16B.18C.20D.22
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項和公式進行求解即可.
【詳解】設(shè)該等差數(shù)列的公差為(
因為s“是等差數(shù)列{4}的前〃項和,
9
3^+—x3x2J=6ax--
所以由$3=6,國=15,可得;n9
9^+—x9x8J=15d=-
9
所以兀=12'畀"2乂1卜卜小=18,
故選:B
【典例2]已知S,為等差數(shù)列{%}的前〃項和,$7=28,則〃4的值為()
A.4B.7C.8D.9
【答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標(biāo)和性質(zhì)計算可得.
【詳解】因為$7=7(%+%)=2^=728,解得4=4.
22
故選:A
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1.(2023?江西贛州?統(tǒng)考二模)已知等差數(shù)列{%}中,S,是其前w項和,若%+$3=22,?4-S4=-15,則%=()
A.7B.10C.11D.13
【答案】C
【分析】設(shè)出公差,列出方程組,求出公差和首項,得到答案.
[詳解]設(shè)公差為d,貝(!4+2d+3q+3d=22,q+3d—4%—6d=T5,
解得4=3,d=2,
故%=4+4d=3+8=11.
故選:C
2.(2023?全國?高三專題練習(xí))一百零八塔,位于寧夏吳忠青銅峽市,是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群,是中
國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一,塔的排列順序自上而下,第一層1座,第二層3座,第三層3座,第四
層5座,第五層5座,從第五層開始,每一層塔的數(shù)目構(gòu)成一個首項為5,公差為2的等差數(shù)列,總計一百零八座,
則該塔共有()
A.八層B.十層C.H-■層D.十二層
【答案】D
【分析】設(shè)該塔共有“+4層,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計算即可.
【詳解】設(shè)該塔共有〃+4層,
則5〃+"-l)x2=108—(1+3+3+5),
即(〃+—8)=0,
解得〃=8或〃=-12(舍),
即該塔共有“+4=8+4=12層.
故選:D
3.(2023?江西新余?統(tǒng)考二模)記S"是公差不為。的等差數(shù)列{q}的前“項和,若g=S3,^a3=S4,則數(shù)列{%}的
公差為()
A.-2B.-1C.2D.4
【答案】A
【分析】由等差數(shù)列和等差數(shù)列的前〃項和公式代入求解即可得出答案.
【詳解】由。2=S3可得:%+d=34+3d①,
4x3
由aya3=S4可得:q(a1+2d)—4qH———d(2),
由①②可得:d=-2或d=。(舍去).
故選:A.
4.(2023?湖南長沙?長沙市實驗中學(xué)??级#┠纤螖?shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的
形狀,后人稱為“三角垛”,“三角垛”的最上層有1個球,第二層有3個球,第三層有6個球,……,則第十層有()
個球.
A.12B.20C.55D.110
【答案】C
【分析】把每一層的球數(shù)看成數(shù)列的項,即可得一個數(shù)列,根據(jù)規(guī)律即可求解.
【詳解】由題意知:
“1=1,
&=4+2=1+2,
%=4+3=14-2+3,
+幾=1+2+3++H,
所以/=1+2+3++10=55.
故選:C
5.(2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)??寄M預(yù)測)《數(shù)書九章》有這樣一個問題:有5位士兵按從低到高站成
一排(從低到高依次為甲、乙、丙、丁、戊),身高依次成等差數(shù)列,已知乙士兵的身高為5尺1寸,這五位士兵
身高之和為26尺(1尺為10寸),則丁士兵的身高為()
A.5尺2寸B.5尺3寸C.5尺4寸D.5尺5寸
【答案】B
【分析】依題意列方程組求出等差數(shù)列的首項和公差即可求解.
【詳解】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊這5位士兵身高依次所成等差數(shù)列為{%},公差為d,
a?~q+d—5.1
則Ldu.解得。1=5,1=0.1,,丁的身高為q=4+3d=5.3,
故選:B.
6.(2023?全國?高三專題練習(xí))記S“為等差數(shù)列{qj的前w項和.若出+&=1。,%。8=45,則8=()
A.25B.22C.20D.15
【答案】C
【分析】方法一:根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列{凡}的公差和首項,再根據(jù)前〃項和公式即可解出;
方法二:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列{為}的公差,再根據(jù)前〃項和公式的性質(zhì)即可解出.
【詳解】方法一:設(shè)等差數(shù)列{%}的公差為d,首項為4,依題意可得,
。2+〃6=+"+%+54=1。,艮[Jq+3d=5,
又=(ai+3d)(q+7d)=45,解得:d=1,%=2,
5x4
所以8=5^+-^-xd=5x2+10=20.
故選:C.
方法二:a2+a6=2a4=10,a4ag=45,所以%=5,as=9,
從而[=_^^^£=1,于是%=%_/=5-1=4,
8-4
所以$5=5%=20.
故選:C.
7.(2023?陜西安康?統(tǒng)考三模)已知等差數(shù)列{4}的前"項和為S,,%+%=4,則及=()
A.6B.12C.18D.24
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),求得q+4=4,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式,即可求解.
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì),可得4+4=+%=4,
所以臬=6"%)=6(/;%)=12.
故選:B.
8.(2023春?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學(xué)??紝n}練習(xí))在等差數(shù)列{加}中,a3+2a5+a9=10,則數(shù)列{助}前
10項的和為()
A.20B.24C.25D.28
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出首項和公差的關(guān)系,最后根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列{%}的首項為%,公差為d,
由。3+2%+%=1。得2%+9d=5,
??數(shù)歹!]{%}前10項的和5]0=100,+451=5(2%+94)=25.
故選:C.
9.(2023?全國?高三專題練習(xí))在項數(shù)為機的等差數(shù)列{%}中,其前3項的和為12,最后3項的和為288,所有項的
和為850,則冽=()
A.16B.17C.19D.21
【答案】B
【分析】利用等差數(shù)列的基本性質(zhì)求出4+4的值,利用等差數(shù)列的求和公式可得出關(guān)于機的等式,解之即可.
(、fa+a0+a.=12
【詳解】設(shè)等差數(shù)列4的前〃項和為%貝!I?23.。。,
&+4.T+%-2=288
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得3(q+%“)=(%+%+/)+(%”++%“-2)=12+288=300,
所以,a1+am=100,
所以,S”=硬“J=也122=50.850,解得m=17.
22
故選:B.
10.(2023?廣東東莞?校聯(lián)考模擬預(yù)測)設(shè)5〃為正項等差數(shù)列{〃〃}的前〃項和.若52023=2023,貝九一+一的最小值
02020
為()
5Q
A.-B.5C.9D.-
22
【答案】D
【分析】由等差數(shù)列的求和公式和等差中項公式,求得。1+%023=。4+。2020=2且〃4>0,出020>。,
141,「14x1r_.a?n?n4為
化簡一+---=--(a4+6Z2020)(—+------)=--[5+(------+------)],結(jié)合基本不等式,即可求解.
“402020乙44"2020'”4”2020
【詳解】由等差數(shù)列的前"項和公式,可得%>23=2°23(“;出。23)=2。23,可得4+的必=2,
又由+。2023—“4+02020—2日.。4>°,“2020>。,
所以,+4=/&+%。2。)('+±)=?[5+(如+也)]?1(5+2百五)=]當(dāng)且僅當(dāng)次='時,
。4“20202”4”2020?。4“2020?\。4“20201的42020
即4=。2020時9等號成立,
14Q
所以7+'的最小值為
“4420202
故選:D.
IL(2023?陜西咸陽?統(tǒng)考三模)已知等差數(shù)列{4},也}的前〃項和分別為S,,,若(2"+3電=冏,貝贊=()
A.-B.-C.—D.—
732525
【答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項求和公式可得興=詈,由題意可得率=三p令〃=9,計算即可求解.
T9b5Tn2n+3
【詳解】(2"+3電="£=冒=亍0,
Tn2〃+3
l99
又$9=—(6Zj+tz9)=—x2%=9a5,
99
T
9=-(^I+^9)=-X2/?5=9b5,
rr^9_a5▽邑=9_
所以r|勾一4’又「2x9+3-,,
所以詈=;.故選:A.
以7
12.(2023?全國?高三專題練習(xí))若兩個等差數(shù)列{4},也}的前〃項和4,紇滿足寸=二萬(weN)加涓=()
H■〃十乙/%]
1414「778
A.B.-C.—D.—
1073471
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列得性質(zhì)和前"項和公式計算即可.
A,7n+l/
【詳解】由K=G(〃eN),
21(%+。21)
an_2au_ax+tz21_?_2421_7x21+1_4
得叱-禹一4+瓦]―郁4+如)一耳―4x21+27
2
故選:B.
二、多選題
13.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列{%}的前"項和為5",若$=生愛,貝U()
A.S]]=。B./=0
C.S6=S5D.S7=S6
【答案】ABC
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項和公式和通項的性質(zhì),推出。6=。,結(jié)合選項可得答案.
【詳解】因為{4}是等差數(shù)列,所以為+%=ax+an=2a6.
根據(jù)題意治=%愛=%,又與J?;""1]",所以11%=%,
從而。6=°,%=0,故選項A,B正確;
又&='-$5=0,即56=8,故選項C正確;
對于選項D,$7-56=%,根據(jù)題意無法判斷出是否為零,故選項D錯誤.
故選:ABC
14.(2023?遼寧?校聯(lián)考一模)設(shè)等差數(shù)列{q}的前〃項和是S“,若出<-知<4,則()
A.4<%B.Sl0>0C.幾<0D.Sn<S5
【答案】BC
【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為d,由題目條件,可得%>0,d<0,-5d<<-^d,由此可得各選項正誤.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d,則由題目條件有:
q+d<—q—10dd<0
<%+d<%=><q>0.
—ci,—1Od<。[_,11,
11
i-5d<a1V---d
A選項,4一%=>0=4>/,故A錯誤;
B選項,Ho=104+45d>—50d+45d=—5d>0,故B正確;
C選項,染=15a+105(/<-—d+105d=—d<0,故C正確;
15122
D選項,注意到4=%+5d>-5d+5d=0,
%=ay+6d<-^d+6d=^<0,又由d<0知{4}為單調(diào)遞減數(shù)列,貝!I
Sn<S6,故D錯誤.
故選:BC.
三、填空題
15.(2023春?陜西安康?高三陜西省安康中學(xué)??茧A段練習(xí))已知等差數(shù)列{4}的前n項和為S“,必+%=1,S$=55,
則公差為.
【答案】-3
【分析】根據(jù)等差數(shù)列公式求解.
2%+116?=1,
【詳解】設(shè)數(shù)列{叫的公差為d,則<5x4〃代解得1=-3;
JCLH----d=55,
I2
故答案為:-3.
16.(2023?安徽六安?六安一中??寄M預(yù)測)記等差數(shù)列{4}的前〃項和為S,,若3s5-5$3=135,則數(shù)列{q}的
公差d=.
【答案】9
【分析】將其和S,拆分為為和d,解方程即可得出答案.
【詳解】因為3與-5s3=135,
5x43x2
所以3(5q+—d)_5(3%+—d)=135,
所以15d=135,
解得d=9,
故答案為:9.
17.(2023?江蘇無錫?江蘇省天一中學(xué)??寄M預(yù)測)若等差數(shù)列{%}前〃項和為S“,且出=14,55=55,數(shù)列{陶-}
的前10項的和為.
【答案】-265
al+d=14
【分析】由題意可得L5x4,“,解方程求出%,4,即可求出生7,再由等差數(shù)列的前〃項和公式求解即可.
5%H—~u—55
【詳解】設(shè)等差數(shù)列{%}的首項為外,公差為d,
6+4=14%=17
則<5x4八解得上“
5%H———d—55\ct——3
故q=17+(〃-l)x(-3)=-3〃+20,
所以為1T=-3x(3〃-1)+20=-9〃+23,
所以數(shù)列}的前10項的和為*(;67)=一265.
故答案為:-265.
18.(2023?河南?洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知等差數(shù)列{%}的前“項和為S",且2%-4=1。,則
S[=.
【答案】70
【分析】設(shè)公差為d,化簡已知得。4=1。,再利用等差數(shù)列的求和公式計算即得解.
【詳解】設(shè)公差為d,因為{4}是等差數(shù)列,所以2(q+4d)-(%+5d)=10,
化簡得6+34=10,即。4=1。,
77
所以S7=-(6Z1+<2
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