利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題課件高二下學(xué)期人教A版選擇性

拓展：第2課時利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題第五章

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的解1.函數(shù)f(x)＝x3－12x－16的零點(diǎn)個數(shù)為A.0 B.1 C.2 D.3√解：由題意得f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<－2；令f′(x)<0，得－2<x<2，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－2)，(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－2,2)，所以函數(shù)的極大值為f(－2)＝0，極小值為f(2)＝－32，當(dāng)x→－∞時，f(x)<0，當(dāng)x→＋∞時，f(x)>0，所以函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為2.2.方程(x＋1)ex＝a(a>0)解的個數(shù)為A.3B.2C.1D.0√題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的解解：設(shè)f(x)＝(x＋1)ex，所以f′(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex，當(dāng)x>－2時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x<－2時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x→－∞時，f(x)<0，當(dāng)x→＋∞時，f(x)>0.函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，因為a>0，所以方程(x＋1)ex＝a(a>0)的解的個數(shù)為1.√題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的解題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的解題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的解4.給定函數(shù)f(x)＝ex－x.(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并求出f(x)的值域；(2)畫出函數(shù)f(x)的大致圖象；(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在區(qū)間[－1,2]上的根的個數(shù).（1）函數(shù)f(x)的定義域為R，f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)單調(diào)遞減1單調(diào)遞增所以f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)x＝0時，f(x)的極小值f(0)＝1，也是最小值，故函數(shù)f(x)的值域為[1，＋∞).題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的解（2）由(1)可知，函數(shù)的最小值為1.當(dāng)x→＋∞時，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞；當(dāng)x→－∞時，指數(shù)函數(shù)y＝ex越來越小，趨向于0，因此函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)逐漸趨向于直線y＝－x，根據(jù)上述信息，畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的解（3）截取函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上的圖象如圖所示.由圖象知，當(dāng)f(0)<m≤f(－1)，即當(dāng)m∈時，f(x)與y＝m恰有兩個不同的交點(diǎn)，即當(dāng)m∈

時，方程f(x)＝m在區(qū)間[－1,2]上恰有兩個不同的實根；同理，當(dāng)m＝1或

＋1<m≤e2－2時，方程f(x)＝m在區(qū)間[－1,2]上有唯一的實根；當(dāng)m<1或m>e2－2時，方程f(x)＝m在區(qū)間[－1,2]上無實根.題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的解判斷零點(diǎn)的個數(shù)問題的思路:(1)求出函數(shù)的定義域.(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)及函數(shù)f′(x)的零點(diǎn).(3)用f′(x)的零點(diǎn)將函數(shù)f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各個區(qū)間上的正負(fù)，并得出f(x)的單調(diào)性與極值.(4)確定f(x)的圖象經(jīng)過一些特殊點(diǎn)，以及圖象的變化趨勢.(5)畫出f(x)的大致圖象.題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的解題型二：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題1.若不等式ax2≥lnx恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是√2.關(guān)于x的不等式ax<ex在x∈(0,1)上恒成立，則a的取值范圍是__________.(－∞，e]題型二：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題所以f′(x)<0，即f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)>e，所以a≤e.3.已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ax－a2x2(a>0).若f(x)<0在定義域內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.題型二：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題解：f(x)的定義域為(0，＋∞)，所以x，f′(x)，f(x)的變化情況如下表，xf′(x)＋0－f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減題型三：導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用1.要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高應(yīng)為√2.為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝

(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值.