正弦型函數的性質與圖象第1課時課件高一下學期數學人教B版

正弦型函數的性質與圖象第1課時問題情境情境1

如圖所示，將一個有孔的小球裝在彈簧的一端，彈簧的另一端固定，小球穿在水平放置的光滑桿上，不計小球與桿之間的摩擦，稱小球靜止時的位置為平衡位置．將小球拉離平衡位置之后釋放，則小球將左右運動．從某一時刻開始，如果記ts后小球的位移為xcm，則由物理學知識可知x與t的關系可以寫成x＝Asin（ωt＋φ）的形式，其中A，ω，φ都是常數．問題情境情境2

日常生活中，一般家用電器使用的電流都是交流電流，交流電流i與時間t的關系一般可以寫成i＝Imsin（ωt＋φ），其中Im，ω，φ都是常數．新知探究問題1

上述x＝Asin（ωt＋φ）與i＝Imsin（ωt＋φ）都是t的函數．那么，這種類型的函數具有什么性質呢？怎樣研究這種類型的函數的性質？正弦型函數一般地，形如y＝Asin（ωx＋φ）的函數，在物理，工程等學科的研究中經常遇到，這種類型的函數稱為正弦型函數，其中A，ω，φ都是常數，且A≠0，ω≠0．新知探究新知探究問題2可否由函數y＝sinx的性質得到y＝Asinx（A≠0）的性質？函數y＝Asinx的圖象與函數y＝sinx的圖象有什么關系？y＝Asinx（A≠0）型函數的性質函數y＝Asinx（A≠0）的定義域為R，值域為[－|A|，|A|]，周期是2π．y＝Asinx的圖象可由y＝sinx的圖象上的點，橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍得到．新知探究問題3可否由函數y＝sinx的性質得到y＝sin（x＋φ）的性質？函數y＝sin（x＋φ）與函數y＝sinx的圖象有什么關系？新知探究問題3可否由函數y＝sinx的性質得到y＝sin（x＋φ）的性質？函數y＝sin（x＋φ）與函數y＝sinx的圖象有什么關系？y＝sin（x＋φ）型函數的性質函數y＝sin（x＋φ）的定義域為R，值域為[－1，1]，周期是2π．y＝sin（x＋φ）的圖象可由y＝sinx的圖象向左（或右）平移得到．新知探究問題4可否由函數y＝sinx的性質得到y＝sinωx（ω≠0）的性質？函數y＝sinωx的圖象與函數y＝sinx的圖象有什么關系？新知探究問題4可否由函數y＝sinx的性質得到y＝sinωx（ω≠0）的性質？函數y＝sinωx的圖象與函數y＝sinx的圖象有什么關系？y＝sinωx（ω≠0）型函數的性質函數y＝sinωx（ω≠0）的定義域為R，值域為[－1，1]，周期是y＝sinωx的圖象可由y＝sinx圖象上的點，縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/p>

得到．新知探究問題5正弦型函數中的常數A，ω，φ有什么實際意義嗎？新知探究問題5正弦型函數中的常數A，ω，φ有什么實際意義嗎？y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω≠0）型函數的性質x＝Asin（ωt＋φ）中（1）|A|表示小球能偏離平衡位置的最大距離，稱為振幅；（2）φ在決定t＝0時小球的位置（即Asinφ）中起到關鍵作用，稱為初相；（小球的位置和速度首次都得到重復時完成了一次運動）．（3）周期T＝

表示小球完成一次運動所需要的時間．新知探究問題6正弦型函數y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω≠0）的性質是什么？y＝Asin（ωx＋φ）的圖象可通過對正弦曲線進行平移、伸縮得到．A，ω，φ的實際意義：正弦型函數y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω≠0）的定義域為R，值域為[－|A|，|A|]，周期是|A|表示小球能偏離平衡位置的最大距離，稱為振幅；φ在決定t＝0時小球的位置中起關鍵作用，稱為初相；周期T＝

表示小球完成一次運動所需要的時間，表示1s內能完成的運動次數，稱為頻率．初步應用例1

探究函數y＝2sinx的定義域、值域和周期性，并作出它在一個周期內的圖象．解答：函數y＝2sinx的定義域為R．又因為sinx＝1時，y＝2sinx＝2；sinx＝－1時，y＝2sinx＝－2，所以y＝2sinx的值域為[－2，2]．函數y＝2sinx的周期函數，周期是2π．初步應用例1

探究函數y＝2sinx的定義域、值域和周期性，并作出它在一個周期內的圖象．下面我們用五點法作出y＝2sinx在[0，2π]上的圖象，取點列表如下．由圖象可以看出，y＝2sinx的圖象可由y＝sinx的圖象上的點，橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫剑畑0π2πy＝sinx010－10y＝2sinx020－20xyOπ2π12－1y＝2sinx，x∈[0，2π]y＝sinx，x∈[0，2π]－2描點作圖：初步應用例2

探究函數y＝的定義域、值域和周期性，并作出它在一個周期內的圖象．當u∈[0，2π]時，即0≤u≤2π時，解答：令y＝x＋

，則y＝可以化成y＝sinu，由y＝sinu的周期為2π可知，y＝的周期也為2π，我們有0≤x＋

≤2π，即初步應用x0π2π010－10描點作圖：例2

探究函數y＝的定義域、值域和周期性，并作出它在一個周期內的圖象．所以下面我們用五點法作出y＝在

上的圖象，取點列表如下，由圖可以看出，y＝的圖象可由y＝sinx的圖象向左平移

個單位得到．初步應用例3

探究函數y＝sin2x的定義域、值域和周期性，并作出它在一個周期內的圖象．解答：令u＝2x，則y＝sin2x可以化成y＝sinu．由y＝sinu的周期為2π可知，對任意u，當它增加到且至少要增加到u＋2π時，對應的函數值才重復出現，因為u＋2π＝2x＋2π＝2（x＋π），這說明對任意x，當它增加到且至少要增加到x＋π時，y＝sin2x的函數值才重復出現，這就說明y＝sin2x的周期為π．當u∈[0，2π]時，即0≤u≤2π時，我們有：0≤2x≤2π，即0≤x≤π，初步應用x0πu＝2x0π2πy＝sinu＝sin2x010－10描點作圖：由圖可以看出，y＝sin2x的圖象可由y＝sinx的圖象上的點，縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/p>

得到．所以下面我們用五點法作出y＝sin2x在[0，π]的圖象，取點列表如下：例3

探究函數y＝sin2x的定義域、值域和周期性，并作出它在一個周期內的圖象．初步應用例4

探究函數y＝的定義域、值域和周期性，并作出它在一個周期內的圖象．由y＝3sinu的定義域為R，值域為[－3，3]，由y＝3sinu的周期為2π可知，對任意u，當它增加到且至少要增加到u＋2π時，對應的函數值才會重復出現，解答：令u＝2x＋

，則y＝可以化成y＝3sinu．可以看出y＝的定義域為R，值域為[－3，3]．初步應用例4

探究函數y＝的定義域、值域和周期性，并作出它在一個周期內的圖象．這說明對任意x，當它增加到且至少要增加到x＋π時，當u∈[0，2π]時，即0≤u≤2π時，因為u＋2π＝2x＋

＋2π＝2（x＋π）＋y＝的函數值才會重復出現，y＝的周期為π．我們有0≤2x＋

≤2π，即初步應用描點作圖：例4

探究函數y＝的定義域、值域和周期性，并作出它在一個周期內的圖象．所以下面我們用五點法作出y＝在

上的圖象，取點列表如下：x0π2πy＝sinu010－10030－30初步應用例4

探究函數y＝的定義域、值域和周期性，并作出它在一個周期內的圖象．如圖所示，我們還作出了y＝sinx，y＝sin2x，y＝3sin2x的部分圖象，把函數y＝sinx圖象上的所有點，縱坐標不變，把它們與函數y＝的圖象進行比較，就可以看出這些圖象之間的關系；把y＝sin2x圖象上的所有點，橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，就可得到y＝3sin2x的圖象；橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/p>

，就可以得到y＝sin2x的圖象；初步應用例4

探究函數y＝的定義域、值域和周期性，并作出它在一個周期內的圖象．如圖所示，我們還作出了y＝sinx，y＝sin2x，y＝3sin2x的部分圖象，把它們與函數y＝的圖象進行比較，就可以看出這些圖象之間的關系；把y＝3sin2x圖象上所有的點，向左平移

個單位，就可得到y＝的圖象．初步應用把函數y＝sinx圖象上的所有點，向左平移

個單位，就可得到的圖象；把y＝的圖象上的所有點，縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/p>

，就可得到y＝的圖象；把y＝

圖象上的所有點，橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，就可得到y＝的圖象．初步應用由函數y＝sinx的圖象經過一系列變換得到函數y＝Asin（ωx＋φ）的圖象，通常的變換順序為y＝sin→y＝sin（x＋φ）→y＝sin（ωx＋φ）→y＝Asin（ωx＋φ）．練習練習：教科書練習A：1，3，4．歸納小結“五點法”