數(shù)學(xué)史省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

黎曼猜測(cè)1黎曼介紹2黎曼ζ函數(shù)及黎曼猜測(cè)3關(guān)于黎曼猜測(cè)證實(shí)努力第1頁(yè)黎曼介紹黎曼(Riemann，GeorgeFriedrichBernhard，1826-1866)是黎曼幾何創(chuàng)始人。他在讀博士學(xué)位期間，研究是復(fù)變函數(shù)。他把通常函數(shù)概念推廣到多值函數(shù)，并引進(jìn)了多葉李曼曲面直觀概念。他博士論文受到了GAUSS贊揚(yáng)，也是他今后十年工作基礎(chǔ)，包含：復(fù)變函數(shù)在Abel積分和theta函數(shù)中應(yīng)用，函數(shù)三角級(jí)數(shù)表示，微分幾何基礎(chǔ)等第2頁(yè)黎曼生平1826年，他出生于漢諾威王國(guó)（今德國(guó)）小鎮(zhèn)布列斯倫茨（Breselenz）。他父親弗雷德里?！げǘ鞴隆だ杪钱?dāng)?shù)芈返聲?huì)牧師。他在六個(gè)孩子中排行第二。1840年，黎曼搬到漢諾威和祖母生活并進(jìn)入中學(xué)學(xué)習(xí)。1842年祖母逝世后，他搬到呂內(nèi)堡約翰紐姆。1846年，按照父親意愿，黎曼進(jìn)入哥根廷大學(xué)學(xué)習(xí)哲學(xué)和神學(xué)。在此期間他去聽(tīng)了一些數(shù)學(xué)講座，包含高斯最小二乘法講座。在得到父親允許后，他改學(xué)數(shù)學(xué)。1847年春，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)，投入雅戈比、狄利克雷和Steiner門(mén)下。兩年后他回到哥廷根。

1854年他首次登臺(tái)作了題為“論作為幾何基礎(chǔ)假設(shè)”演講，開(kāi)創(chuàng)了黎曼幾何，并為愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。他在1857年升為哥廷根大學(xué)編外教授，并在1859年狄利克雷逝世后成為正教授。1862年，他與愛(ài)麗絲·科赫（EliseKoch）結(jié)婚。

1866年，他在第三次去意大利途中因肺結(jié)核在塞拉斯卡（Selasca）逝世。第3頁(yè)黎曼ζ函數(shù)黎曼猜測(cè)（RH）是關(guān)于黎曼ζ函數(shù)ζ(s)零點(diǎn)分布猜測(cè)。黎曼ζ函數(shù)在任何復(fù)數(shù)s≠1上有定義。它在負(fù)偶數(shù)上也有零點(diǎn)（比如，當(dāng)s=?2,s=?4,s=?6,...）。這些零點(diǎn)是“平凡零點(diǎn)”。黎曼猜測(cè)關(guān)心是非平凡零點(diǎn)。（非平凡零點(diǎn)(在此情況下是指s不為-2、-4、-6???等點(diǎn)值)實(shí)數(shù)部份是?。）黎曼ζ函數(shù)：第4頁(yè)黎曼ζ函數(shù)在臨界限Re(s)=1/2上實(shí)部（紅色）和虛部（藍(lán)色）。我們能夠看到最起初幾個(gè)非平凡零點(diǎn)就位于Im(s)=±14.135,±21.022和±25.011上。第5頁(yè)黎曼ζ函數(shù)實(shí)部與虛部數(shù)值比較圖，也就是Re(ζ(s))vs.Im(ζ(s))，沿著臨界限s=it+1/2，t由0到34.第6頁(yè)黎曼猜測(cè)提出黎曼函數(shù)非平凡零點(diǎn)實(shí)數(shù)部份是?即全部非平凡零點(diǎn)都應(yīng)該位于直線?+ti（“臨界限”）上。t為一實(shí)數(shù)，而i為虛數(shù)基本單位。沿臨界限黎曼ζ函數(shù)有時(shí)經(jīng)過(guò)Z-函數(shù)進(jìn)行研究。它實(shí)零點(diǎn)對(duì)應(yīng)于ζ函數(shù)在臨界限上零點(diǎn)。素?cái)?shù)在自然數(shù)中分布問(wèn)題在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)上都很主要。素?cái)?shù)在自然數(shù)中分布并沒(méi)有簡(jiǎn)單規(guī)律。黎曼（1826--1866）發(fā)覺(jué)素?cái)?shù)出現(xiàn)頻率與黎曼ζ函數(shù)緊密相關(guān)。1901年HelgevonKoch指出，黎曼猜測(cè)與強(qiáng)條件素?cái)?shù)定理等價(jià)?，F(xiàn)在已經(jīng)驗(yàn)證了最初1,500,000,000個(gè)素?cái)?shù)對(duì)這個(gè)定理都成立。不過(guò)是否全部解對(duì)此定理都成立，至今尚無(wú)人給出證實(shí)。黎曼猜測(cè)所以被認(rèn)為是當(dāng)代數(shù)學(xué)中一個(gè)主要問(wèn)題，主要是因?yàn)楹芏嗌钊牒椭饕獢?shù)學(xué)和物理結(jié)果都能在它成立大前提下被證實(shí)。大部份數(shù)學(xué)家也相信黎曼猜測(cè)是正確（約翰.恩瑟.李特爾伍德與賽爾伯格曾提出懷疑。塞爾伯格于晚年部分改變了他懷疑立場(chǎng)。在1989年一篇論文中，他猜測(cè)黎曼猜測(cè)對(duì)更廣泛一類(lèi)函數(shù)也應(yīng)該成立。）克雷數(shù)學(xué)研究所設(shè)置了$1,000,000美元獎(jiǎng)金給予第一個(gè)得出正確證實(shí)人。第7頁(yè)黎曼猜測(cè)證實(shí)歷史黎曼1859年在他論文überdieAnzahlderPrimzahlenuntereinergegebenenGr??e'中提及了這個(gè)著名猜測(cè)，但它并非該論文中心目標(biāo)，他也沒(méi)有試圖給出證實(shí)。黎曼知道ζ函數(shù)不平凡零點(diǎn)對(duì)稱(chēng)地分布在直線s=?+it上，以及他知道它全部不平凡零點(diǎn)一定位于區(qū)域0≤Re(s)≤1中。1896年，雅克.阿達(dá)馬和CharlesJeandelaVallée-Poussin分別獨(dú)立地證實(shí)了在直線Re(s)=1上沒(méi)有零點(diǎn)。連同了黎曼對(duì)于不非凡零點(diǎn)已經(jīng)證實(shí)了其它特征，這顯示了全部不平凡零點(diǎn)一定處于區(qū)域0<Re(s)<1上。這是素?cái)?shù)定理第一個(gè)完整證實(shí)中很關(guān)鍵一步。第8頁(yè)1900年，大衛(wèi).希爾伯特將黎曼猜測(cè)包含在他著名23條問(wèn)題中，黎曼猜測(cè)與哥德巴赫猜測(cè)一起組成了希爾伯特名單上第8號(hào)問(wèn)題。當(dāng)被問(wèn)及若他一覺(jué)醒來(lái)已是五百年后他將做什么時(shí)，希爾伯特有名地說(shuō)過(guò)他第一個(gè)問(wèn)題將是黎曼猜測(cè)有否被證實(shí)。(Derbyshire:197;Sabbagh:69;Bollobas1986:16).黎曼猜測(cè)是希爾伯特問(wèn)題中唯一一個(gè)被收入克雷數(shù)學(xué)研究所千禧年大獎(jiǎng)數(shù)學(xué)難題。大衛(wèi).希爾伯特第9頁(yè)1914年，高德菲哈羅德哈代證實(shí)了有沒(méi)有限個(gè)零點(diǎn)在直線Re(s)=?上。然而依然有可能有沒(méi)有限個(gè)不平凡零點(diǎn)位于其它地方（而且有可能是最主要零點(diǎn)）。以后哈代與約翰恩瑟李特爾伍德在1921年及塞爾伯格在1942年工作（臨界限定理）也就是