山東省高中數(shù)學(xué)(新課標(biāo)人教A版)必修三《1.3-算法案例》省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

【課標(biāo)要求】1．了解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)含義，了解其執(zhí)行過程．2．了解秦九韶算法計(jì)算過程，并了解它提升計(jì)算效率實(shí)質(zhì)．3．了解進(jìn)位制概念，能進(jìn)行不一樣進(jìn)位制間轉(zhuǎn)化．4．了解進(jìn)位制程序框圖和程序．【關(guān)鍵掃描】1．三種算法原理及應(yīng)用．(重難點(diǎn))2．三種算法框圖表示及程序．(難點(diǎn))3．不一樣進(jìn)位制之間相互轉(zhuǎn)化．(重點(diǎn))4．秦九韶算法中多項(xiàng)式改寫．(易錯(cuò)點(diǎn))1.3

算法案例第1頁輾轉(zhuǎn)相除法(1)輾轉(zhuǎn)相除法，又叫歐幾里得算法，是一個(gè)求兩個(gè)正整數(shù)___________古老而有效算法．(2)輾轉(zhuǎn)相除法算法步驟第一步，給定________________.第二步，計(jì)算___________________.第三步，____________.第四步，若r＝0，則m、n最大條約數(shù)等于___；不然，返回________.自學(xué)導(dǎo)引1．最大條約數(shù)兩個(gè)正整數(shù)m，nm除以n所得余數(shù)rm＝n，n＝rm第二步第2頁更相減損術(shù)第一步，任意給定兩個(gè)正整數(shù)，判斷它們是否都是_____．若是，用_______；若不是，執(zhí)行_______．第二步，以_____數(shù)減去_____數(shù)，接著把所得差與_____數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得數(shù)_____為止，則這個(gè)數(shù)(等數(shù))或這個(gè)數(shù)與約簡數(shù)乘積就是所求最大條約數(shù)．

任意給定兩個(gè)正整數(shù)，用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)是否都能夠求它們最大條約數(shù)？提醒是．更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法都能在有限步內(nèi)結(jié)束，故均能夠用來求兩個(gè)正整數(shù)最大條約數(shù)．2．偶數(shù)2約簡第二步較小較小相等較大第3頁秦九韶算法把一個(gè)n次多項(xiàng)式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改寫成以下形式：(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多項(xiàng)式值時(shí)，首先計(jì)算_____________一次多項(xiàng)式值，即v1＝__________，然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式值，即v2＝__________，v3＝__________，…vn＝__________.這么，求n次多項(xiàng)式f(x)值就轉(zhuǎn)化為求________________值．3．最內(nèi)層括號內(nèi)anx＋an－1v1x＋an－2v2x＋an－3vn－1x＋a0n個(gè)一次多項(xiàng)式第4頁進(jìn)位制進(jìn)位制是人們?yōu)榱薩____和_________而約定記數(shù)系統(tǒng)，“滿k進(jìn)一”就是k進(jìn)制，k進(jìn)制基數(shù)是k.把十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為k進(jìn)制數(shù)時(shí)，通慣用除k取余法．

不一樣進(jìn)制間數(shù)不能比較大小，對嗎？提醒不對．不一樣進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定記數(shù)系統(tǒng)，不一樣進(jìn)位制數(shù)照樣可比較大小，不過普通要轉(zhuǎn)化到十進(jìn)制下比較大小更方便一些．4．計(jì)數(shù)運(yùn)算方便第5頁1．輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)區(qū)分和聯(lián)絡(luò)名師點(diǎn)睛名稱輾轉(zhuǎn)相除法更相減損術(shù)區(qū)分①以除法為主．②兩個(gè)整數(shù)差值較大時(shí)運(yùn)算次數(shù)較少．③相除余數(shù)為零時(shí)得結(jié)果①以減法為主．②兩個(gè)整數(shù)差值較大時(shí)，運(yùn)算次數(shù)較多．③相減，兩數(shù)相等得結(jié)果．④相減前要做是否都是偶數(shù)判斷聯(lián)絡(luò)①都是求兩個(gè)正整數(shù)最大條約數(shù)方法．②二者實(shí)質(zhì)都是遞推過程．③二者都要用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)第6頁秦九韶算法(1)特點(diǎn)：經(jīng)過一次式重復(fù)計(jì)算，逐步得出高次多項(xiàng)式值，對于一個(gè)n次多項(xiàng)式，只需做n次乘法和n次加法即可．(2)算法步驟：設(shè)Pn(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，將其改寫為Pn(x)＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.第一步：計(jì)算最內(nèi)層anx＋an－1值，將anx＋an－1值賦給一個(gè)變量v1(為方便將an賦予變量v0)；第二步：計(jì)算(anx＋an－1)x＋an－2值，能夠改寫為v1x＋an－2，將v1x＋an－2值賦給一個(gè)變量v2；2.第7頁依次類推，即每一步計(jì)算之后都賦予一個(gè)新值vk，即從最內(nèi)層括號到最外層．括號值依次賦予變量v1，v2，…，vk，…，vn，第n步所求值vn＝vn－1x＋a0即為所求多項(xiàng)式值．(3)秦九韶算法有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：①大大降低了乘法次數(shù)，使計(jì)算量減?。谟?jì)算機(jī)上做一次乘法所需要時(shí)間是做加法、減法幾倍到十幾倍，降低做乘法次數(shù)也就加緊了計(jì)算速度；②規(guī)律性強(qiáng)，便于利用循環(huán)語句來實(shí)現(xiàn)算法；③防止了對自變量x單獨(dú)做冪計(jì)算，每次都是計(jì)算一個(gè)一次多項(xiàng)式值，從而能夠提升計(jì)算精度．第8頁關(guān)于進(jìn)位制應(yīng)注意問題(1)十進(jìn)制原理是滿十進(jìn)一．一個(gè)十進(jìn)制正整數(shù)N能夠?qū)懗蒩n×10n＋an－1×10n－1＋…＋a1×101＋a0×100形式，其中an，an－1，…，a1，a0都是0至9中數(shù)字，且an≠0.比如365＝3×102＋6×10＋5.(2)普通地，k進(jìn)制數(shù)原理是滿k進(jìn)一，k進(jìn)制數(shù)普通在右下角處標(biāo)注(k)，以示區(qū)分．比如270(8)表示270是一個(gè)8進(jìn)制數(shù)．但十進(jìn)制普通省略不寫．(3)在k進(jìn)制中，有：①有k個(gè)不一樣數(shù)字符號，即0,1,2,3，…，(k－1)；②“逢k進(jìn)一”，即每位數(shù)計(jì)滿k后向高位進(jìn)一．一個(gè)k進(jìn)位制正整數(shù)就是各位數(shù)碼與k方冪乘積和，其中冪指數(shù)等于對應(yīng)數(shù)碼所在位數(shù)(從右往左數(shù))減1.比如230451(k)＝2×k5＋3×k4＋0×k3＋4×k2＋5×k＋1.3．第9頁題型一求兩個(gè)正整數(shù)最大條約數(shù)分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求261和319最大條約數(shù)．[思緒探索]使用輾轉(zhuǎn)相除法可依據(jù)m＝nq＋r，重復(fù)執(zhí)行直到余數(shù)為0；更相減損術(shù)則是依據(jù)m－n＝r，重復(fù)執(zhí)行，直到n＝r為止．解

法一

(輾轉(zhuǎn)相除法)319÷261＝1(余58)，261÷58＝4(余29)，58÷29＝2(余0)，所以319與261最大條約數(shù)為29.【例1】第10頁法二

(更相減損術(shù))319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，29－29＝0，所以319與261最大條約數(shù)是29.第11頁規(guī)律方法

(1)利用輾轉(zhuǎn)相除法求給定兩個(gè)數(shù)最大條約數(shù)，即利用帶余除法，用數(shù)對中較大數(shù)除以較小數(shù)，若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小數(shù)組成新數(shù)對，再利用帶余除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時(shí)較小數(shù)就是原來兩個(gè)數(shù)最大條約數(shù)．(2)利用更相減損術(shù)求兩個(gè)正整數(shù)最大條約數(shù)普通步驟是：首先判斷兩個(gè)正整數(shù)是否都是偶數(shù)．若是，用2約簡．也能夠不除以2，直接求最大條約數(shù)，這么不影響最終結(jié)果．第12頁用輾轉(zhuǎn)相除法求80與36最大條約數(shù)，并用更相減損術(shù)檢驗(yàn)?zāi)憬Y(jié)果．解

80＝36×2＋8，36＝8×4＋4,8＝4×2＋0，即80與36最大條約數(shù)是4.驗(yàn)證：80÷2＝40

36÷2＝1840÷2＝20

18÷2＝920—9＝11

11－9＝29－2＝7

7－2＝55－2＝3

3－2＝12－1＝1

1×2×2＝4所以80與36最大條約數(shù)為4.【變式1】第13頁將七進(jìn)制數(shù)235(7)轉(zhuǎn)化為八進(jìn)制．解

235(7)＝2×72＋3×71＋5＝124，利用除8取余法(如圖所表示)，所以124＝174(8)．所以235(7)轉(zhuǎn)化為八進(jìn)制數(shù)為174(8)．題型二

進(jìn)位制之間轉(zhuǎn)化【例2】規(guī)律方法對于非十進(jìn)制數(shù)之間互化，通常是把這個(gè)數(shù)先轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，然后再利用除k取余法，把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為k進(jìn)制數(shù)．而在使用除k取余法時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：(1)必須除到所得商是0為止；(2)各步所得余數(shù)必須從下到上排列；(3)切記在所求數(shù)右下角標(biāo)明基數(shù)．第14頁把以下各數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)．(1)101101(2)；(2)2102(3)；(3)4301(6)．解

(1)101101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×2＋1＝45.(2)2102(3)＝2×33＋1×32＋2＝65.(3)4301(6)＝4×63＋3×62＋1＝973.【變式2】第15頁用秦九韶算法求f(x)＝3x5＋8x4－3x3＋5x2＋12x－6，當(dāng)x＝2值．題型三

秦九韶算法在多項(xiàng)式中應(yīng)用【例3】第16頁[規(guī)范解答]依據(jù)秦九韶算法，把多項(xiàng)式改寫成以下形式：f(x)＝((((3x＋8)x－3)x＋5)x＋12)x－6，按照從內(nèi)到外次序，依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)x＝2時(shí)值． (2分)v0＝3，v1＝v0×2＋8＝3×2＋8＝14， (4分)v2＝v1×2－3＝14×2－3＝25， (6分)v3＝v2×2＋5＝25×2＋5＝55， (8分)v4＝v3×2＋12＝55×2＋12＝122，v5＝v4×2－6＝122×2－6＝238， (10分)所以當(dāng)x＝2時(shí)，多項(xiàng)式值為238. (12分)第17頁【題后反思】(1)先將多項(xiàng)式寫成一次多項(xiàng)式形式，然后運(yùn)算時(shí)從里到外，一步一步地做乘法和加法即可．這么比直接將x＝2代入原式大大降低了計(jì)算量．若用計(jì)算機(jī)計(jì)算，則可提升運(yùn)算效率．(2)注意：當(dāng)多項(xiàng)式中n次項(xiàng)不存在時(shí)，可將第n次項(xiàng)看作0·xn.第18頁用秦九韶算法計(jì)算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或減法)與乘法運(yùn)算次數(shù)分別為 (

)．A．5,4 B．5,5C．4,4 D．4,5解析

n次多項(xiàng)式需進(jìn)行n次乘法；若各項(xiàng)均不為零，則需進(jìn)行n次加法，缺一項(xiàng)就降低一次加法運(yùn)算．f(x)中無常數(shù)項(xiàng)，故加法次數(shù)要降低一次，為5－1＝4.故選D.答案

D【變式3】第19頁已知f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6，用秦九韶算法求這個(gè)多項(xiàng)式當(dāng)x＝2時(shí)值時(shí)，做了幾次乘法？幾次加法？[錯(cuò)解]依據(jù)秦九韶算法，把多項(xiàng)式改寫成以下形式f(x)＝((((x＋2)x＋3)x＋4)x＋5)x＋6.按照從內(nèi)到外次序，依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)x＝2時(shí)值：v1＝2＋2＝4；v2＝2v1＋3＝11；v3＝2