數(shù)學(xué)建模介紹省公開課一等獎(jiǎng)全國示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模競賽中國地質(zhì)大學(xué)何水明第1頁學(xué)生談收獲

（摘自李大潛院士主編中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建摸競賽）在當(dāng)代大學(xué)生中廣泛流傳著一個(gè)想法：工科大學(xué)生沒有必要學(xué)過多數(shù)學(xué)課程…埋怨在實(shí)際工作中用不到，但經(jīng)過數(shù)學(xué)建摸我們在這方面有了新認(rèn)識，深深體會到工科大學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)主要性。（陳亞勇、李效峰、朱江云）p275進(jìn)入大學(xué)以來，我們發(fā)覺從沒有任何一門功課像數(shù)學(xué)建摸那樣深深吸引著我們，他所教給我們不但是一些數(shù)學(xué)面知識，更多是綜合能力培養(yǎng)、鍛煉與提升。數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)了我們?nèi)矫妗⒍嘟嵌瓤紤]問題能力。數(shù)學(xué)建模使我們邏輯推理能力和量化分析能力得以很好鍛煉和提升，我們想象力和洞察力也得到了不停提升。（黃杲、陳旭東、邵偉）p269-269第2頁學(xué)生談收獲

（摘自李大潛院士主編中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建摸競賽）數(shù)學(xué)建摸有利于概括力和想象力培養(yǎng)，…...，數(shù)學(xué)建模還能增強(qiáng)我們抽象能力，……，數(shù)學(xué)建模對我們分析綜合能力和利用各種工具（包含數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)等）能力提升都大有裨益，……（王力強(qiáng)、林征宇、黃潤真）p271團(tuán)體精神培養(yǎng)表達(dá)在數(shù)學(xué)建模全過程中，在建模過程中需要全組同學(xué)對研究課題有全方面了解、到達(dá)共識；在研究工作中要合理分工，掌握進(jìn)度，在此基礎(chǔ)上建立較滿意數(shù)學(xué)模型。（黃杲、陳旭東、邵偉）p271第3頁關(guān)于“數(shù)學(xué)建模”

自97年以來，我們面向全校開出了“數(shù)學(xué)建模”課程和培訓(xùn)，近二千多人接收了數(shù)學(xué)建模教學(xué)，五百余人經(jīng)過了一系列專門模塊式教學(xué)培訓(xùn)及校內(nèi)選拔，近三百人參加了全國數(shù)學(xué)建模競賽。已取得了顯著效果。凡經(jīng)過數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)學(xué)生均表現(xiàn)出了較強(qiáng)綜合能力與素質(zhì)。據(jù)統(tǒng)計(jì)，絕大多數(shù)同學(xué)成績優(yōu)異，很快找到了工作，在工作中絕大多數(shù)學(xué)生為用人單位重用，更為優(yōu)異被直接保送碩士。

第4頁關(guān)于“數(shù)學(xué)建模”MCM獲獎(jiǎng)情況是效果很好檢驗(yàn)。自年以來共獲國家獎(jiǎng)十二項(xiàng)，湖北省獎(jiǎng)就更多了，因?yàn)闀r(shí)間關(guān)系，沒有來得及統(tǒng)計(jì)！今年有4個(gè)隊(duì)取得國家獎(jiǎng)，其中一等獎(jiǎng)一項(xiàng)，二等獎(jiǎng)三項(xiàng)！第5頁目錄什么是數(shù)學(xué)建模實(shí)例數(shù)學(xué)建模基本方法和主要意義數(shù)學(xué)建模課程主要內(nèi)容關(guān)于大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模競賽組織和論文撰寫第6頁一什么是數(shù)學(xué)模型？玩具、照片…~實(shí)物模型風(fēng)洞中飛機(jī)…~物理模型地圖、電路圖…~符號模型模型是為了一定目標(biāo)，對客觀事物一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來原型替換物。模型集中反應(yīng)了原型中人們需要那一部分特征。我們常見模型第7頁例1某人平時(shí)下班總是按預(yù)定時(shí)間抵達(dá)某處，然然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時(shí)提早了三十分鐘抵達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來接他方向步行回去并在途中碰到了妻子，這一天，他比平時(shí)提前了十分鐘到家，問此人共步行了多長時(shí)間？

一個(gè)簡單實(shí)例

似乎條件不夠哦。。

換一個(gè)想法，問題就迎刃而解了。假如他妻子碰到他后仍載著他開往會合地點(diǎn)，那么這一天他就不會提前回家了。提前十分鐘時(shí)間從何而來？

顯然是因?yàn)楣?jié)約了從相遇點(diǎn)到會合點(diǎn)，又從會合點(diǎn)返回相遇點(diǎn)這一段路緣故，故由相遇點(diǎn)到會合點(diǎn)需開5分鐘。而此人提前了三十分鐘抵達(dá)會合點(diǎn)，故相遇時(shí)他已步行了二十五分鐘。

請思索一下，本題解答中隱含了哪些假設(shè)？第8頁例2交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時(shí)，有一個(gè)過渡狀態(tài)——亮一段時(shí)間黃燈。請分析黃燈應(yīng)該亮多久。構(gòu)想一下黃燈作用是什么，不難看出，黃燈起是警告作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請馬上停車。停車是需要時(shí)間，在這段時(shí)間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段距離L。這就是說，在離街口距離為L處存在著一條停車線（盡管它沒被畫在地上），見圖1-4。對于那些黃燈亮?xí)r已過線車輛，則應(yīng)該確保它們?nèi)阅艽┻^馬路。

馬路寬度D是輕易測得，問題關(guān)鍵在于L確實(shí)定。為確定L，還應(yīng)該將L劃分為兩段：L1和L2，其中L1是司機(jī)在發(fā)覺黃燈亮及判斷應(yīng)該剎車反應(yīng)時(shí)間內(nèi)駛過旅程，L2為剎車制動后車輛駛過旅程。L1較輕易計(jì)算，交通部門對司機(jī)平均反應(yīng)時(shí)間t1早有測算，反應(yīng)時(shí)間過長將考不出駕照），而此街道行駛速度v也是交管部門早已定好，目標(biāo)是使交通流量最大，可另建模型研究，從而L1=v*t1。剎車距離L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計(jì)算出來（留作習(xí)題）。黃燈終究應(yīng)該亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計(jì)算出L應(yīng)多大才能使看見黃燈司機(jī)停得住車。第二步，黃燈亮?xí)r間應(yīng)該讓已過線車順利穿過馬路，即T最少應(yīng)該到達(dá)（L+D）/v。

DL第9頁例3某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。問：在什么條件下，能夠確保途中最少存在一地，此人在兩天中同一時(shí)間抵達(dá)該地。分析

本題多少有點(diǎn)象數(shù)學(xué)中解存在性條件及證實(shí)，當(dāng)然，這里情況要簡單得多。

假如我們換一個(gè)想法，把第二天返回改變成另一人在同一天由B去A，問題就化為在什么條件下，兩人最少在途中相遇一次，這么結(jié)論就很輕易得出了：只要任何一人抵達(dá)時(shí)間晚于另一人出發(fā)時(shí)間，兩人必會在途中相遇。（請自己據(jù)此給出嚴(yán)格證實(shí)）

第10頁你碰到過數(shù)學(xué)模型

——“航行問題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到x=20,y=5,答：船速每小時(shí)20公里第11頁航行問題

建立數(shù)學(xué)模型基本步驟

作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；

用符號表示相關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運(yùn)動距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時(shí)20公里）。第12頁數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling);數(shù)學(xué)模型:對于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對象，為了一個(gè)特定目標(biāo)，依據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要簡化假設(shè)，利用適當(dāng)數(shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模：建立數(shù)學(xué)模型全過程（包含建立、求解、分析、檢驗(yàn)）。第13頁數(shù)學(xué)建?；痉椒ê筒襟E基本方法機(jī)理分析測試分析依據(jù)對客觀事物特征認(rèn)識，找出反應(yīng)內(nèi)部機(jī)理數(shù)量規(guī)律將研究對象看作“黑箱”,經(jīng)過對量測數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好模型機(jī)理分析沒有統(tǒng)一方法，主要經(jīng)過實(shí)例研究(CaseStudies)來學(xué)習(xí)。建模主要指機(jī)理分析二者結(jié)合機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),測試分析確定模型參數(shù)第14頁數(shù)學(xué)建模普通步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型組成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目標(biāo)搜集相關(guān)信息掌握對象特征形成一個(gè)比較清楚‘問題’第15頁數(shù)學(xué)建模普通步驟模型假設(shè)針對問題特點(diǎn)和建模目標(biāo)作出合理、簡化假設(shè)在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言、符號描述問題發(fā)揮想象力使用類比法盡可能采取簡單數(shù)學(xué)工具第16頁數(shù)學(xué)建模普通步驟模型求解各種數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果誤差分析、模型對數(shù)據(jù)穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ秃侠硇?、適用性模型應(yīng)用第17頁數(shù)學(xué)建模實(shí)例

——錄象機(jī)計(jì)數(shù)器用途問題經(jīng)試驗(yàn)，一盤錄象帶從頭走到尾，時(shí)間用了183分30秒，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6152。在一次使用中錄象帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為4580，問剩下一段還能否錄下1小時(shí)節(jié)目？要求不但回答下列問題，而且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與錄象帶轉(zhuǎn)過時(shí)間關(guān)系。思索計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增加嗎？第18頁問題分析錄象機(jī)計(jì)數(shù)器工作原理0000左輪盤右輪盤磁頭計(jì)數(shù)器錄象帶錄象帶運(yùn)動方向錄象帶運(yùn)動右輪盤半徑增大右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)錄象帶運(yùn)動速度是常數(shù)計(jì)數(shù)器讀數(shù)增加變慢觀察計(jì)數(shù)器讀數(shù)增加越來越慢！第19頁模型假設(shè)與符號

錄象帶運(yùn)動速度是常數(shù)

v；

計(jì)數(shù)器讀數(shù)

n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)

m成正比，記

m=kn；

錄象帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù)w；

空右輪盤半徑記作r

；

時(shí)間

t=0時(shí)讀數(shù)n=0.建模目標(biāo)建立時(shí)間t與讀數(shù)n之間關(guān)系（設(shè)v，k，w，r為已知參數(shù)）第20頁模型建立建立t與n函數(shù)關(guān)系有各種方法1.右輪盤轉(zhuǎn)第i圈半徑為r+wi,m圈總長度等于錄象帶在時(shí)間t內(nèi)移動長度vt,所以第21頁模型建立2.考查右輪盤面積增加，等于錄象帶厚度乘以轉(zhuǎn)過長度，即3.考查t到t+dt錄象帶在右輪盤纏繞長度，有第22頁思考1.3種建模方法得到同一結(jié)果2.模型中有待定參數(shù)一個(gè)確定參數(shù)方法是測量或調(diào)查，請?jiān)O(shè)計(jì)測量方法。第23頁參數(shù)預(yù)計(jì)另一個(gè)確定參數(shù)方法——測試分析將模型改記作只需預(yù)計(jì)理論上，已知t=183.5,n=6152,再有一組(t,n)數(shù)據(jù)即可；實(shí)際上，因?yàn)闇y試有誤差，最好用足夠多數(shù)據(jù)作擬合?，F(xiàn)有一批測試數(shù)據(jù)

t020406080n00001153204528003466

t

100120140160183.5n40684621513556196152用最小二乘法可得第24頁模型檢驗(yàn)應(yīng)該另外測試一批數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停耗Ｐ蛻?yīng)用1.回答提出問題：由模型算得n=4580時(shí)t=118.5分，剩下錄象帶能錄183.5-118.5=65分鐘節(jié)目。2.揭示了“t與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律，當(dāng)錄象帶狀態(tài)改變時(shí)，只需重新預(yù)計(jì)a,b即可。第25頁怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無法歸納成普遍適用準(zhǔn)則想象力洞察力判斷力學(xué)習(xí)、分析、評價(jià)、改進(jìn)他人作過模型親自動手，認(rèn)真作幾個(gè)實(shí)際