2023-2024學年重慶市高二年級上冊期末數(shù)學模擬試題1(含解析)

2023-2024學年重慶市高二上冊期末數(shù)學模擬試題

一、單選題

i.已知函數(shù)/（耳=；1+/-依,r（i）=o,則實數(shù)“=（）

A.4B.3C.2D.1

【正確答案】B

【分析】求導，利用/'。）=0即可.

【詳解】因為/'（x）=/+2x-a,

所以/'⑴=1+2-。=3-。=0,

則。=3,

故選：B.

2.已知等比數(shù)列｛"“｝的前〃項和是S,,且6=2,%=4（%-2）,則邑=（）

A.24B.28C.30D.32

【正確答案】C

【分析】由條件求出4=2,代入等比數(shù)列求和公式即可.

【詳解】因為4=%引=2[2嗎=qg=2g,代入得：2/=4（2g-2）,

即決-4g+4=0,解得2,

故邑=號=30,

故選：C.

3.雙曲線=l的左、右焦點是耳、F2,點P在雙曲線E上，若|「耳|=4,則歸周=

（）

A.8B.6C.6或2D.8或0

【正確答案】A

【分析】對點尸的位置進行分類討論，結(jié)合雙曲線的定義可求得|尸用的值.

【詳解】在雙曲線E中，°=2,b=C，c=yla2+b2=V7＞設點尸（》/），易知￡（石,0卜

若點P在雙曲線E的右支上，則x22,

附|=+，=yp^~2^x+4=2yx-2>/7-2,

由雙曲線的定義可得|P6|-|Pg|=2〃=4,可得|P周=0,不合乎題意：

若點P在雙曲線E的左支上，則x<-2,

|P￡|=J(x_S)+)---2/7.V+4=2^yX>J~7+2，

由雙曲線的定義可得I尸間-|P￡|=2a=4,可得|P周=8>近+2,合乎題意.

綜上所述，|/”|=8.

故選：A.

4.函數(shù)/(x)=%-ln(2x+l)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

*11

A.B.C.一,+00D.—,+00

22

【正確答案】D

【分析】由導數(shù)/%工)>0求單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】因為定義域是卜;,+8］，且/'(x)=l-4衿，令"(X)>0,解得：X>\

2x4-12

故單調(diào)遞增區(qū)間是+8),

故選:D.

5.等差數(shù)列｛0｝的前〃項和是S“，且滿足羽二鳥。，若S“存在最大值，則下列說法正確的是

()

A.ax+a16>0B.a2+a15<0

C.q+〃i4<0D.a2+aI4>0

【正確答案】B

【分析】由題意可得d<0,再由等差數(shù)列的性質(zhì)對選項一一判斷即可得出答案.

【詳解】因為等差數(shù)列S,存在最大項，故等差數(shù)列的公差d<0,

又S$=S]0,即〃6+%+〃8+〃9+"10=。，即/=。，

則q+《6<%+。15=0，故選項A錯誤；

a2+a15<d,+a15=0,故選項B正確；

q+%4>q+“15=0,故選項C錯誤；

而“2+”I4=《+45=。，故選項D錯誤；

故選：B.

6.已知函數(shù)〃x)=2xlnx-機(x+l)(加eZ)存在零點，則整數(shù)〃?的最小值是()

A.-2B.-1C.0D.1

【正確答案】C

【分析】當加=0時，對函數(shù)/(x)求導，求出/(x)的單調(diào)性和最值，即可判斷C,D；再令

,“=T和加=-2,求出函數(shù)/(x)的單調(diào)性和最值，可判斷A,B.

【詳解】因為加=0時，/(x)=2xlur(x>0),/"(x)=21nx+2=0(x>0),

解得：X=g,所以/(x)在(o,g)上單調(diào)遞減，在g,e)上單調(diào)遞增，

而==當x趨近于正無窮，則/(x)趨近于正無窮，

\Qjeee

所以/(x)存在零點，故排除D.

當機=一1時，令/(x)=2xlnx+x+l=0,Bp21riv+l+—=0,

x

令/=：,即/+l-21n/=0,令g(f)=f+l-21nf,故/(。=1-：=上廣，

當fe(O,2)時，g'(/)<0,當fe(2,+?>)時，g'⑺〉0,

故g(f)*g⑵=3-21n2>0,

所以此時無零點，故m=-1時沒有零點，故B不正確；

當機4-1時，/(x)=2xlnx-加(x+l)N2xlnx+(x+l)>0,也不存在零點，故A不正確；

故選：C.

7.過點尸(0,1)的直線/與圓E:(x-1)2+V=4相交于48兩點，則弦長以川的最小值是()

A.2B.2后C.D.4

【正確答案】B

【分析】求出圓心、半徑，得出怪尸|<一即點*0,1)在圓內(nèi).當時，弦長最小，根據(jù)

勾股定理即可求出答案.

【詳解】由已知可得圓心儀1,0),半徑/

因為|=^(1-0)2+(0-1)2=應<廠，所以點尸(0,1)在圓內(nèi).

所以，當時，弦心距最大，弦長最小.

所以弦長M卻的最小值是|力同=2尸而7=20.

故選：B.

8.已知過點”(",0)可以作曲線夕=(工-2"'的兩條切線，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(2,+00)B.(-<?,-e)o(2,+co)

C.2)U(2,+8)D.(―°°,—1)(2,+oo)

【正確答案】C

【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義設切點坐標—(/，九)，求解切線方程為

v

^-(x0-2)e?=(x0-l)e^(x-x0),代入點N(a,0),得到關于％的含參方程，孤立參數(shù)，構(gòu)

造函數(shù)MX)=X+：,XHO利用導數(shù)確定函數(shù)的取值情況，滿足方程的根又兩個，從而可得實

數(shù)。的取值范圍.

【詳解】解：設切點是。(“，幾)，xoeR,即為=(x°-2)e'。，而;/=(x-l)e'

故切線斜率左=(x0-l)e&,切線方程是)一(%-2產(chǎn)=(%-l)eM(x-x。),

又因為切線經(jīng)過點故-伉-2)於=(%-1)非(。-%),顯然/工1,

2—x1

則。=---^+%=(%T)H----;.在與wl上有兩個交點，

-1X。-1

令工=工0-1,設〃(x)=x+.，xr0，則/(x)=l一-1=xJ,令〃'(x)=0得玉=-1,X=1,

XXX2

所以當xe(-8,-l)時，〃(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，當xe(-l,0)時，〃(x)<0,〃(x)單調(diào)遞

減，

當xe(O,l)時,〃(x)<0,A(x)單調(diào)遞減,當xe(l,+8)時，h'(x)>0,%(x)單調(diào)遞增,

又〃(―1)=—2,力⑴=2,且x->-8時，—oo,X—>0-時，A(x)—>—<?,x—>0+時，

+8,X->+8時，A(x)->+oo,

所以a=〃(x)有兩個交點，則〃>2或a<-2,故實數(shù)”的取值范圍是(-力,-2)=(2,+功.

故選：C.

二、多選題

9.已知圓C:f-2x+/=3,點戶(“。,九)在圓C上，則下列說法正確的是()

A.圓。的圓心是(1,0),半徑是2

B.圓C的圓心是(-1,0),半徑是近

C.%+傷。的最小值是-4

D.過點P與圓C相切的直線方程是(x0-l)x+y0-y-x0-3=0

【正確答案】AD

【分析】將圓C的方程配成標準方程，可判斷AB選項，利用圓的參數(shù)方程可判斷C選項，

將點P坐標代入直線方程可得點在線上，再根據(jù)圓心到直線的距離可判斷直線與圓相切

【詳解】將圓配方成標準方程為：C:(x-iy+/=4,圓心是(1,0),半徑是2,故選項A正

確，選項B錯誤：

由圓的參數(shù)方程得：則與+島。=l+2cosa+26sina=4si{a4)+1,

故解得與+島。的最小值是-3,故選項C錯誤；

將尸(乙，人)代入直線方程得：(4-1)%+隊%,-%-3=0,即一(與,九)在直線上，

|4|4

又圓心到直線的距離d=jq=出_氏+y2+l=2,故直線與圓相切，故選項D

正確；

故選：AD.

10.定義在R上的函數(shù)/(x),g(x),它們的導函數(shù)/'(x),g'(x)都存在，則下列說法正確

的是()

A.若/i(x)=g(x),則〃x)=g(x)

B.若/(x)=g(x),則/i(x)=g(x)

C.若函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，則導函數(shù)/'(x)一定是偶函數(shù)

D.若函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，則導函數(shù)g'(x)一定是奇函數(shù)

【正確答案】BCD

【分析】取特例可說明A項；根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到關系式，根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，

兩邊同時求導即可判斷C、D項.

【詳解】對于A項，令/(x)=x,g(x)=x+l,則/斗)=g(x)=l,但是〃x)=g(x)不

成立，故A錯誤；

對于B項,若/(x)=g(x),則f￥x)=g(x),故B正確;

對于C項，由已知可得/(-x)=-/(x),兩邊同時求導得：

即八川=/3,故小(X)是偶函數(shù),故c項正確;

對于D項，由已知可得g(-x)=g(x),兩邊同時求導得：-g'(-x)=g'(x),所以g'(x)是奇

函數(shù)，故D項正確.

故選：BCD.

11.已知數(shù)列｛氏｝滿足。用=2%+3",其中q=f,則下列說法正確的是()

A.當f=l時,則%=3'-2"

B.對任意的fwR,｛%+3"｝都是等比數(shù)列

C.對任意的feR,｛%-3"｝都是等比數(shù)列

D.存在feR,使得｛%｝是等比數(shù)列

【正確答案】AD

【分析】由己知可得-3用=2(%-3").構(gòu)造"=a?-3",有如=2".分/=3以及小3討

論，求出％的通項公式，即可判斷各項正誤.

【詳解】由己知可得，%M-3"M=2(%-3").

令舟=。"一3",則晨i=24.

又4=q-3=，-3,

當f=3,/>?=a?-3"=0,所以%=3"；

當23時，也｝是以4=-3為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以6,=(_3>2"T.

所以《,="+3"=(-3)2-'+3".

對于A項，當f=l時,有％=(1-3)X2"T+3"=3"-2",故A項正確；

對于B項，當塊3,4+3"=(-3)?1+2-3"不是等比數(shù)列，故B項錯誤；

對于C項，因為當f=3,a,,=3",%-3"=。不是等比數(shù)列，故C項錯誤；

對于D項，因為當，=3,%=3",所以竽=3對都成立，所以｛%｝是等比數(shù)列，

故D項正確.

故選：AD.

12.拋物線C:必=2px(p>0)的焦點是F，直線/與C相交于4(再,必),8(丁,必)兩點,0

是坐標原點，則下列說法正確的是()

A.直線/經(jīng)過焦點廠的充要條件是M%=-p2

B.直線/經(jīng)過焦點廠的充要條件是工尸2=。

C.若直線/經(jīng)過焦點產(chǎn)，且+4忸習的最小值是9,則P=2

D.若N/1OB檸，且048的面積最小值是16,則p=2

【正確答案】ACD

【分析】設出直線43方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達定理得出m力=-27，當t=時，

該式與必為=-。2等價，即可說明A項；由A項結(jié)合點在拋物線上，可得占々=/，由

x,x2=^-,可得f=±gp,與U5不等價，即可說明B項；根據(jù)圖象以及幾何關系可得

\AF\=—^—,\BF\=—^,即有夏后+而廣一.根據(jù)“1”的代換，結(jié)合基本不等式可

求得以刊+4忸尸|2學，結(jié)合已知即可判斷C項；根據(jù)垂直關系以及坐標，可用數(shù)量積求得

f=2p.得出S?！笔?x2p|y「%|,進而根據(jù)基本不等式求出卜4p,即可判斷D

項.

【詳解】對于A項，因為尸（go）,假設48直線方程為x=my+f,因為/（%,乂）,8（々,%）,

聯(lián)立直線與拋物線的方程卜=2PX,消去x得「一2P即-20=0

[x=my+1

△=4p2〃r+8pz>0,

由韋達定理得：%為=-2"，當必為=-p2時，解得滿足△＞（），故直線經(jīng)過焦點

喑q

當直線經(jīng)過焦點嗚,01時，，=勺解得必必="，故A正確；

對于B項，因為再=3,9=羋，所以再質(zhì)=y9",故直線過焦點廠（與,0）時，/=￡,

2P2p"k2J2

Z

則

王X=

24

Z

當

玉X=時，即『=。，解得f=士;p,則不一定過焦點戶故選項B錯誤；

24

對于C項，假設直線48的傾斜角為a.

如圖，4片為拋物線的準線.過點A作/C_Lx軸于C點，作4于4,8片，/￡于用.

_￡

則在Rt/c尸中,有?叫二?尸a占一萬,又網(wǎng)=|詞=%+勺

cosacosa

所以解得*《.藝翳，所以網(wǎng)"+勺鼻

同理可得，忸目=——.

1+cosa

112

所以證j+函=i?

所以

㈤+4阿卜夕網(wǎng)+4阿a

4|8尸|\AF

當且僅當H=R-,即H曰=2忸川時，等號成立.

所以|""|+4忸目有最小值學，

又M川+4忸目的最小值是9,所以半=9,解得P=2.故c正確；

對于D項，43直線方程為x=W+，,因為N4O8=，，即CMJ.08,即。丘：0片：0，故

王迎+%、2=°，

由A知，yxy2=-2pt,xtx2=r,所以/2-2p/=0,解得》=2p或t=0（舍）.

故直線在x軸上的交點坐標為。（2p,0）.

S+Sx

故SOAB=OADoM=^2p|^|+|x2p|^2|=|x2p|71-j2|,

根據(jù)M力=-2pf,且，=2p得%為=-4加，

故必x（-%）=4p2,故瓦+（-%心2廊、切，

所以SQ,B=；x2p|M-y2124P二

又S.B的面積最小值是16,故解得p=2,故D正確；

故選：ACD.

方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設直線方程，設交點坐標為（玉,凹）,（%，%）;

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于x（或y）的一元二次方程，必要時計算△；

（3）列出韋達定理；

(4)將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為王+馬、x,x2(或%+為、必力)的形式;

(5)代入韋達定理求解.

三、填空題

13.已知函數(shù)/(x)=sinxcosxj'(x)為其導函數(shù)，則/.

【正確答案】二##-0.5

2

【分析】對函數(shù)/(x)求導，即可求出/(?)的值.

【詳解】因為/(x)=sinxcosx,故/'(x)=cos2x-sin2x=cos2x,/'[?)=cos|■仍

故答案為.一萬

14.等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和是S“，若S,=3(〃+1>i-a,則實數(shù)。=.

【正確答案】3

【分析】由國與%的關系轉(zhuǎn)化求出%=6〃+2(“22),由外也符合求得。的值.

【詳解】因為S,=3(〃+l)2-〃-4=3/+5〃+3-a,

22

當“22時，an=S?-S?_l=3n+5n+3-a-(3(?-1)+51>3-a)=6?+2,

因為｛2｝是等差數(shù)列,所以當”=1時，也符合上式，故。=3；

故答案為:3

15.橢圓￡：h+《=1的左，右焦點分別是K(—0),橢圓E上存在一點P,滿足

25b

N耳尸￡=90，，be=12,則橢圓E的離心率￡=.

4

【正確答案】《##0.8

b2+c2=25

be=12

【分析】根據(jù)己知可得<A,解出4c的值.又由題意可推得/耳8凡290，，進而可得

h>0

c>0

75

出c2z3，求出c=4,即可得出離心率.

2

【詳解】因為“2=25,h2+c2=25,

又be=12,

〃+02=25

be=12f/?=30=4

聯(lián)立?八,解得力或

h>0[c=4[c=3

c>0

設橢圓的上頂點為4,則耳(0,6),則忸闿=忸2周=曲/=4.

因為橢圓E上存在一點P,滿足N耳尸6=90、

所以/耳與鳥“?！?

即閨鳥能忸闿2+忸閭2,即4c222a2=50,即c"亍，所以c=4.

所以，e，c=；4.

a5

故答案為:4

,>(“+2)2”

16.數(shù)列｛““｝的前〃項和是￡,且“(2〃2+2〃)二(3〃+2)2+1，則S“=----------------?

I1

【正確答案】"(〃+l)2”J

【分析】將數(shù)列｛%｝的通項公式進行裂項，利用裂項相消法求和.

【詳解】因為

__________(〃+2)2"_________+]]

a"~(2/+204"-(3"+2>2"+1-[(n+l)2B+1-l][nx2n-ll|-nx2"-1(n+l)2n+'-l'

11111

故q=1-亍的=，一五，L,“"-〃乂2"-1-(〃+1)2m-1'

0,11111,1

+a+n+l,,+|

所以“一%+%+n-+廠區(qū)nx2"-\(n+1)2-l-(?+1)2-1)

故答案為.1—(〃+1)2'川_1

四、解答題

17.等差數(shù)列｛《,｝的首項4=1,且滿足。2+。5=12,數(shù)列出｝滿足=2%.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

（2）設數(shù)列何｝的前〃項和是Z,,求小

【正確答案】⑴a“=2〃—1；

,2”+1,

⑵7"=丁一7

【分析】（1）由已知可得2q+5"=12,代入4=1,求出d=2,即可得到通項公式；

（2）由（1）知，b“=；x4",得到低｝是％=2為首項，以4為公比的等比數(shù)列.進而根據(jù)

等比數(shù)列前〃項和公式，即可求出答案.

【詳解】（1）解：設｛凡｝公差為d.

由a2+a5=12可得,2a｝+5d=12.

又6=1,所以d=2.

所以4=1+2（〃-1）=2〃-1.

（2）解：由（1）知，b?=2a"=22"-'=-x4".

2

則空=4,故｛〃,｝是々=2為首項，以4為公比的等比數(shù)列.

%

,2X（1-4"）2x4"-222B+I2

所以*="+"+hll=_\----1=絲_±=-------.

1-4333

18.已知雙曲線C：￡-￡=l（a>0,b>0）的漸近線方程是2x土y=0,右頂點是

（1）求雙曲線C的離心率；

（2）過點A傾斜角為5的直線/與雙曲線的另一交點是8,若|/a=8收，求雙曲線。的方程.

【正確答案】（1）石；

【分析】（1）依題意可得雙曲線的漸近線方程是V=±2'，從而得到2=2,再根據(jù)=/+/

aa

即可求出離心率；

（2）首先得到直線/方程為工=夕+。，設8（乙,乙），聯(lián)立直線與雙曲線方程，即可求出8點

縱坐標，根據(jù)弦長公式求出。的值，即可得解.

【詳解】（1）解：因為雙曲線。：斗-4=1（。＞08＞0）,故漸近線方程是：y=±-x,又漸近

aba

線方程是2x土y=0,故2=2,即6=2*故c?=6+/=5/,

a

故e。=5,.'.e=y/5;

（2）解：因為直線/的傾斜角為3,故直線/斜率是1，又直線/經(jīng)過4（。,0），則直線/方程

為工='+”，設8（/，九），

號上T

由＜儲4a2,消去x得43+。）2-丁-4片=0,

[x=y-^-a

Q

故3/+8即=0,解得又均=0,

則|/6|=Vm回一詞=0xga=80,解得〃=3,故/=9,b2=4a2=36,

故雙曲線。的方程是E-X=l.

936

19.如圖，四棱錐P-480底面/BCD是直角梯形，且ND48=48C=90，，且尸/_1底

ffilABCD,AB=BC=1,PA=AD=2,E是尸。的中點.

（1）求證：直線CE〃平面P/B；

（2）求二面角4-CK-。的正弦值.

【正確答案】（1）證明見解析；

⑵逑.

3

【分析】（1）取/P中點/，連接4W,ME,可推出ME///。，且ME=進而結(jié)合已知

可得，四邊形8CEM為平行四邊形.所以〃8〃CE,根據(jù)線面平行的判定定理即可得出證明;

（2）以點A為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標.求出平面/CE以及平面

PCD的法向量，根據(jù)向量法即可得出面面角.

【詳解】(1)證明：如圖1,取4P中點A1,連接

因為E是尸。的中點，"是/P中點，所以ME//AD,且

2

又因為底面488是直角梯形，且NDAB=ZABC=90",

所以BC//4D,且=

2

故ME=BC,QMEHBC，即四邊形8CEM為平行四邊形.

則M8〃CE,且直線CE不在平面P/8內(nèi)，MB在平面尸48內(nèi)，

貝ljCEII平面PAB.

(2)解：因為P/_L底面/8C。，且/。48=90,，

如圖2,以＜0為x軸正方向，以為V軸正方向，以力內(nèi)為z軸正方向，建立空間直角坐

圖2

因為Z5=8C=1,PA=AD=2.

故4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),0(0,2,0),尸(0,0,2),

因為E是尸。的中點，則E(0,L1),

則一:(1,1,0),/￡=(0,1,1),PC=(l,l,-2),8=(7,1,0).

設平面ACE的一個法向量是對=(x］，M,馬),

則0,玉+M=0

即

-AE=0M+Z|=0

令乂=T，則陽=1，4=1,則〃|：

設平面尸CD的一個法向量是%=(Z，%,Z2),

外條二°,x+_y-2Z=0

則即222

-x+y=0

n2-CD=022

令》2=1,則%=1,Z2=1,故/=(14,1).

故〃:與一夾角的余弦值8s(%,“J1-1+11

n2|73-5/33,

Jl-cos2(■=J￡)=半

故二面角A-CE-D的正弦值sin?=

20.已知數(shù)列｛”“｝滿足4=1,4=4,對任意的〃wN+時，都有%+2=5。用-6%+2成立.

⑴令勿=%+「"+1，。=%+「3%+2,求證：也｝,｛。,｝都是等比數(shù)歹U；

(2)求數(shù)列｛4｝的通項公式對.

【正確答案】(1)證明見解析；

(2)a,=3"-3X2"T+1.

【分析】(1)由已知變形可得%+2-2。,川+1=3(。,川-2““+1),代入或也「即可得出

be=3b“；由已知變形可得%+2-3。向+2=2(a?+l-3a?+2),代入c?,cn+l,即可得出c?+l=2c?；

(2)由(1)知,〃=3",c,,=3-2"T.作差即可得出4.

【詳解】⑴證明：因為4+2=54+|-6?！?2,

故%+2-2。川+1=3%+1-6%+3=3(。向-2%+1).

又b?=a?+l-2a?+l,則b?+l=an+2-2an+I+1,

所以%=3?.

又4=。2-2q+1=3,

b

所以對任意的時，$=3,

b“

故也“｝是以4=3為首項，公比為3的等比數(shù)列；

又因為氏+2=5%-6%+2,所以an+2-3。用+2=2。向-6q,+4=2(6/?+|-3a?+2).

2

又c“=%+i-3%+2,則cn+1=a?+2-3a?+i+.

所以c“+]=2c“.

又q=%—3q+2=3,

所以對任意的〃wN+時，工2,

g

故｛。｝是以。=3為首項，公比為2的等比數(shù)列.

(2)解：由⑴知,b,=b「3"T=3",c"=c「2"T=3-2"T.

即。向一2%+1=3"，an+]-3an+2=3-2"-',

兩式作差可得。向-2%+l-(a?+l-3a?+2)=3"-3?2"、

整理可得%=3"-3>2"T+1.

21.函數(shù)=g(x)=a廿+

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若xe(O,4w)時，不等式g(x)±x恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+8),極大值1,無極小值;

(2)。21

【分析】(1)直接求導，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與極值;

（2）構(gòu)造G（x）="1x+

由G(l)20,可得aNl,可得

G（x）>fx+-Vl-^^,Xx+--l>l,即得G（x”0,可得aNl時,

\XjXXX

g(x)Nx恒成立.

1+lnx

【詳解】(1)因為/(x)=,所以/'(力=-號

X

故當xe（O,l）時，,歡x）>0,當xe（l,+8）時，/（x）<0,

所以/（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+?>）上單調(diào)遞減，

所以/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0,1）,單調(diào)遞減區(qū)間是（1,內(nèi)），

故/（x）在x=l處取得極大值/⑴=1,無極小值；

（2）因為xe（0,+co）時，g（x）>x,即q（f+]）_1+21nx4丫,

..（1、l+21nx

故x+------j----1>0,

IXJX

,\1+21nx,

令G（x）="卜+力---------1，

故xe（0,+8）時，G（x）20恒成立，故G⑴=2a-220,即（必要性），

當aZl時，因為卜+[>0,G（x）=a（x+￡）-^!E-i2（x+

因為x+1I±l,又由寫吧=寫二，由⑴知，上^^=/卜2）4/（1）=1,

故x+L_lZ里上，故時，G（x"0恒成立（充分性），

XX

即aZl時，g（x）2x恒成立，

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍是

導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，

對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、

微積分相聯(lián)系.（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).（3）

利用導數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題.（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應用.

22.如圖，橢圓C:/+/=l的左頂點A，點尸,。都在橢圓上不與頂點重合且關于坐標原

點。對稱，其中點P在第一象限，線段OP的中點是M,點M在x軸上的投影是N,直線QV

交橢圓C于另一交點E.直線/尸,4。的斜率分別是

(2)求證:PQLPE；

(3)求△EP。面積的最大值.

2

【正確答案】(1)證明見解析，一：

(2)證明見解析

嗚

【分析】⑴設尸(X。,外乂X”土石)，則。(』,-九)，求得勺?&=3彳結(jié)合P在橢圓上,

%0-3

即可得出答案；

k=及k=,°j卜

(2)因為M是線段OP的中點，可得以一吃'”一3一3P。，類比(1)可得：

2X°

22

kPE-kEQ=~,又灰而得kpE-kp9=~l,即可證得結(jié)論；

(3)設直線尸。為夕=去/>0),與橢圓方程聯(lián)立求得P，O，N的坐標，進而求出歸。|,設出

”直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理得為+羥，結(jié)合(2)中結(jié)論求得|尸司，可

得5口也=；戶。|卡局的解析式,通過變形處理,利用基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性求得最大

值.

【詳解】(1)設P