第12練 函數(shù)與方程（解析版）-2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)五層訓(xùn)練（新高考地區(qū)）

第12練函數(shù)與方程

一、課本變式練

1.(人A必修一P155習(xí)題4.5T1變式)下列函數(shù)圖象與x軸都有公共點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)

近似值的是()

1,

【解析】根據(jù)題意,利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的條件是：函數(shù)在零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反，即穿過X軸,

據(jù)此分析選項(xiàng)：A選項(xiàng)中函數(shù)不能用二分法求零點(diǎn)，故選A.

2.(人A必修一P155習(xí)題4.5T2變式)已知函數(shù)y=/。)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有如下對(duì)應(yīng)值表：

X123456

y108-32-7-9

則下列結(jié)論正確的是()

A.f(x)在(1,6)內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)B.f(x)在(1,6)內(nèi)至少有3個(gè)零點(diǎn)

C./(x)在(1,6)內(nèi)最多有3個(gè)零點(diǎn)D.以上結(jié)論都不正確

【答案】B

【解析】依題意，/(2)>0,/(3)<0,/(4)>0,/(5)<(),..?根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可知,在區(qū)間(2,3)

和(3,4)及(4,5)內(nèi)至少含有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)/㈤在區(qū)間(1,6)上的零點(diǎn)至少有3個(gè)，故選B.

3.(人A必修一PI44練習(xí)T2變式)設(shè)函數(shù)/(月=2*+5的零點(diǎn)為方廁x°e()

A.(-4,-2)B.(-2,-1)C.(1,2)D.(2,4)

【答案】B

【解析】易知f(x)在R上單調(diào)遞增且連續(xù).由于”-4)=工-?<0)(-2)=:-1<0,/(-1)=:一:>0,當(dāng)

1634323

》>0時(shí),/*)>0,所以為€(—2,—1).故選B

4.(人A必修一P155習(xí)題4.5T7變式)若關(guān)于x的方程f一日+2=。的一根大于1,另一根小于1,則實(shí)數(shù)人

的取值范圍為.

【答案】(3,+8)

【解析】由題意，關(guān)于x的方程V+2=0的一根大于1,另一根小于1,設(shè)f(x)=f-履+2,根據(jù)二次函數(shù)的

性質(zhì)，可得/⑴=-%+3<0.解得Q3,所以實(shí)數(shù)%的取值范圍為(3,e).

二、考點(diǎn)分類練

(一)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷

5.(2022屆天津市紅橋區(qū)高三下學(xué)期一模)函數(shù)f(x)=e'+2x-6的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

【答案】C

【解析】函數(shù)f(x)=e*+2x-6是R上的連續(xù)增函數(shù),；/(l)=e-4<0,〃2)=e2-2>0,

可得/(1)/(2)<0,所以函數(shù)/(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2).故選C

6.(2022屆河南省焦作市高三第一次模擬)設(shè)函數(shù)〃x)=2'+q的零點(diǎn)為％，則()

A.(-4,-2)B.(-2,-1)C.(1,2)D.(2,4)

【答案】B

【解析】易知/(X)在R上單調(diào)遞增且連續(xù).由于/(-4)=4一3<0./(-2)=1-日<0,/(-1)=(—<>0,當(dāng)

1634323

x>0時(shí),〃x)>0,所以天故選B

(二)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷

7.函數(shù)/⑴』二的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()個(gè)

-2+Inx,x>0

A.2B.1C.0D.3

【答案】A

【解析】由卜:2xT-°nx=_i_0,由門=芯=",所以函數(shù)f(x)=.的零點(diǎn)個(gè)

[x<0[-2+lnx=0[-2+lnx,x>0

數(shù)為2,故選A.

8.(2022屆天津市靜海區(qū)高三下學(xué)期3月調(diào)研)已知函數(shù)y=/(x)是周期為2的周期函數(shù),且當(dāng)時(shí)xe[-1，1]

吐〃6=2兇-1,則函數(shù)F(x)=/(x)-|lgx|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.9B.1()C.11D.18

【答案】B

【解析】尸。)=，。)-旭%|零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是y=/(x),y=|lgx|圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出y=/(x),y=|lgx|圖象,如圖：

由圖可得有10個(gè)交點(diǎn)，故F(x)=/(x)-|lgx|有1()個(gè)零點(diǎn).故選B.

o110X

9.(2022屆安徽省十校聯(lián)盟高三下學(xué)期4月聯(lián)考)已知函數(shù)〃x)=F，則函數(shù)

Inx,x>0

g(x)=/[/(x)+2]+2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】令r=/(x)+2,當(dāng)x<-1時(shí),/(x)=x+1e(-8,-2)且遞增，此時(shí)fe(f。),當(dāng)-1<x<0時(shí)，

X

/(x)=x+-e(YO,-2)且遞減，此時(shí)te(YO,0)，當(dāng)0cx<4■時(shí)"(x)=Inxe(f,-2)且遞增，此時(shí)te(y>,0),

xe

時(shí),/(x)=lnxw(-2,+O旦遞增，此時(shí)fe(O,e),所以,g(x)的零點(diǎn)等價(jià)于％)與y=-2交點(diǎn)橫坐標(biāo)t

e

對(duì)應(yīng)的x值，如下圖示:

由圖知：/（，）與y=-2有兩個(gè)交點(diǎn),橫坐標(biāo)：=-1、0<j<1：當(dāng)％=-1.即/（x）=-3時(shí)，在x、（-1,0）、

（0,，）上各有一個(gè)解；當(dāng)0<，2<1,即-2<f（x）<-l時(shí)，在xe（g,+e）有?個(gè)解.綜上,g（x）的零點(diǎn)共有4個(gè).

故選B

（三）函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用

,x<0

10.（2022屆四川省攀枝花市高三上學(xué)期考試）已知直線卜=依與函數(shù)〃x）=,的圖象恰有3個(gè)

公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（夜B.（V2,5）C.（^3,4）D.(后2&)

【答案】A

2-(―)',x,,0

【解析】根據(jù)題意，函數(shù)=<，作出f（x）的圖象:

—x2+1,x>0

2

當(dāng)n,o時(shí)，直線丫=如和函數(shù)/a）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)機(jī)>o時(shí)，直線卜=點(diǎn)和函數(shù)），=2-（5，的圖象只有

一個(gè)交點(diǎn)，直線產(chǎn)皿和函數(shù)"；寸+1（》>0）的圖象有2個(gè)交點(diǎn)卸方程*=夫2+1在（0,內(nèi)）上有2個(gè)實(shí)數(shù)根,

儂=卜+1=:7-如+1=0廁有，;m2>I解可得相>0,即加的取值范圍為(迂,+8)

22［2/72>0

11.(2022屆黑龍江省大慶市高三第三次質(zhì)量檢測(cè))已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足〃2-力=/(力,當(dāng)OWxVl

吐〃司=8-*-1,則方程〃x)=由在區(qū)間［-3,5］上所有解的和為()

A.8B.7C.6D.5

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)滿足〃2—x)=/(x),所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

又函數(shù)”6為偶函數(shù)，所以"2-x)=/(x)=/(—x).

所以函數(shù)/(x)是周期為2的函數(shù),

又g(x)='的圖象也關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

作出函數(shù)/(%)與g(x)在區(qū)間［-3,5］上的圖象，如圖所示:

由圖可知，函數(shù)與g(x)的圖象在區(qū)間［-3,5］上有8個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于直線x=l對(duì)稱,

所以方程/(x)=西在區(qū)間［-3,5］上所有解的和為4x2x1=8,故選A.

12.已知函數(shù)〃力=,，若有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)a1,c,使得〃。)==/(c)，則a+Hc的

1x

1叫7一，工€（1,+8）

71

取值范圍為()

A.（2萬(wàn),2017））B.（27,2018萬(wàn)）

（3兀4035%）

CD.（4,2017%）

-IT-J

【答案】B

sin[O,句

【解析】由題意得:f(x)=<

log20i7土，xe(肛+8)

71

當(dāng)xeo,y時(shí),〃x)單調(diào)遞增；當(dāng)xeg兀時(shí),/")單調(diào)遞減；且xw[0,句時(shí)(x)關(guān)于x=5對(duì)稱；當(dāng)

X€(7,+CO)時(shí)J(X)單調(diào)遞增;

冗

設(shè)a<b<c,由〃。)=/(〃)=/(c)知：〃+。=2乂耳=乃，乃<0〈2017萬(wàn)，

「.〃+人+(;￡(2",2018%).故選B.

三、最新模擬練

13.(2022屆安徽省部分學(xué)校高三上學(xué)期期末聯(lián)考)函數(shù)/*)=x+log2X的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

A.

【答案】C

【解析】由已知得/(x)=x+log爐為(0,+8)上的遞增函數(shù),/(￡j=g+log2g=g-log23<0.

=；+=jK)=j+log2：='|-log23=:(5—log227)>0,/(l)=l>0,

由零點(diǎn)存在定理可知,/(x)在區(qū)間(g，I)存在零點(diǎn)，故選C.

14.(2022屆江西省重點(diǎn)中學(xué)盟校高三第二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=2'+x-4,g(x)=e'+x-4,

〃(x)=lnx+x-4的零點(diǎn)分別是a力,c,則9,c的大小順序是()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】C

【解析】由己知條件得f(x)的零點(diǎn)可以看成y=2'與y=4-x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),g(x)的零點(diǎn)可以看成丫=廿與

>=4-x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),h(x)的零點(diǎn)可以看成y=Inx與y=4-x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

在同一坐標(biāo)系分別畫出丫=2\〉=^4=皿L丫=4一》的函數(shù)圖象,如下圖所示，

可知c>a>b,故選C.

2-v-l,%<1

15.(2022屆北京市豐臺(tái)區(qū)高三上學(xué)期期末)己知函數(shù)〃x)=-2，若函數(shù)gG)=/(X)-%有兩個(gè)

,x>1

不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是()

A.(fO]B.(0,1]

C.(-1,0]D.[0,1)

【答案】D

[解析】函數(shù)g(x)=/(*)-%有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即為函數(shù)y=/(x)與直線y=k有兩個(gè)交點(diǎn),

函數(shù)y=/(x)圖象如圖所示:

所以ke[0,l),故選D.

則尸小)一；的所有零點(diǎn)之和刈)

16.(2022屆江西省萍鄉(xiāng)市高三二模)已知函數(shù)〃x)=

A.墾1

B.C.2D.0

2'節(jié)

【答案】D

【解析】x>0時(shí)，由(x—l)2-Q=0得x=1±,%<0時(shí)，由卜+1|—萬(wàn)=0得工=一；或x=—]

所以四個(gè)零點(diǎn)和為1+走+1—交―，—2=0.故選D.

2222

3X-1,x＜l

17.(2022屆福建省莆田市高三三模)已知函數(shù)/(x)=?J，函數(shù)g(x)=/(x)-。,則下列結(jié)論

-4X2+16X-13,X＞1

正確的是()

A.若g(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是U,2)

B.若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是(0,1)

C.若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)八,*2,天,七(改＜%＜七),則七+匕=4

(137、

D.若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)%,々，毛，匕(3＜%)，則毛匕的取值范圍是

【答案】BCD

【解析】令g*)=/*)—。=()得/(X)=4,即

所以g(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)y=〃x)與y=。圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

故，作出函數(shù)y=/(x)圖像如圖,

由圖可知,g(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則。的取值范圍是1,2){0}.故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則〃的取值范圍是(0,1),故B選項(xiàng)正確；

g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)%,程天,匕(與＜電＜七)，此時(shí)0匕關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以毛+*4=4,故C選項(xiàng)

正確：

由C選項(xiàng)可知七=4-匕,所以吃毛=(4-匕)X」=-X：+4與,由于g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn),a的取值范圍是(0,1),

137

故0<5：+16a-13<1,所以?<一：+4%.,故口選項(xiàng)正確.故選BCD

18.（2022屆河北省高三下學(xué)期4月全過程縱向評(píng)價(jià)）已知函數(shù)/（力=/y4+9+的有四個(gè)不同零點(diǎn)，分別

為百,乂2?3,看（不<$<%），則下列說(shuō)法正確的是（）.

A.-1<x3<0

r+t<+4

Re'=—

C.》犬=獷

D.卜（西工2%3%4）+玉+%2+七+/二一8

【答案】ACD

【解析】由題意知*%，“+4+如=0有四個(gè)不同的根，顯然XR0，即+

exe

令/=北，即e0+；+〃2=0,即產(chǎn)+例?+1=0.另外,y=Re*,y'=（%+l）e\

令V=。得工二-1,故丁=北在區(qū)間（—,-1）上單調(diào)遞減在區(qū)間（-1,+0））上單調(diào)遞增，

當(dāng)xf-8時(shí)"=屁，-0,如圖所示.

，則滿足T<s<°，能.

根據(jù)題意知e4r2+祝+1=0存在兩根%%不妨設(shè)4>J

即有4=%e*=玉。々&=X2已”=毛小，則由圖象可知一1<芻<。,故A正確;

由于--<，2V「V0,,能=~4，故---<‘2<----T<<0,

eeee

r,X4

由圖象可知，石Z>0,0>^=x1e=x4e>一］,故西爐〈二，

ee

即e""M<」一,B錯(cuò)誤；

結(jié)合以上分析可知t2=々e-=,故C正確;

21

由：=Xje'1=々e*4,q==xex,XR*1?xeX1-xex>■xetj=(^)=-^,

32342e

8

兩邊取自然對(duì)數(shù)得111(不9毛￡)+玉+X2+J^+X4=-lne=-8.D正確，故選ACD.

16X2-24X+9,X<1

19.(2022屆重慶市第八中學(xué)校高三下學(xué)期月考)已知函數(shù)f(x)=1/、則下列結(jié)論正確的有

()

A.f(n)=9'-",〃wN*

B.Vxe(0,+oo)J(x)<L恒成立

X

c.關(guān)于x的方程/(x)=m(meR)有三個(gè)不同的實(shí)根，則^<m<\

D.關(guān)于x的方程〃x)=9i(”€N*)的所有根之和為川+^

【答案】AC

【解析】由題知，(")="("-1)=//5-2)=i=//(〃-(〃-1))=//(1)=9'一",故A正確；

由上可知，要使日€(0,+8)"。)<，恒成立,只需滿足0<三1時(shí),/(月」成立,即16/-24X+9<±即

XXX

16/-24x2+9x—1<0成立，令g(X)=16/-24x2+9x-1,貝!Jg'(x)=48x2-48x+9=0得%=；,々=：,易知當(dāng)

x=1時(shí)有極大值g(《)=0,故B不正確；

44

作函數(shù)圖象，由圖可知，要使方程/(x)=，M”eR)有三個(gè)不同的實(shí)根，則/⑵即:<巾<1,故C正確;

y

由f(x)=4./Xx-l)可知,函數(shù)在5，〃+11上的函數(shù)圖象可以由上的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，在將

9

13

所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的;倍得到，由于y=16/-24x+9的對(duì)稱軸為x=',故/>(X)=9°的兩

333

根之和為同理,/。)=9一1的兩根之和為1+2,…J(x)=91的兩根之和為1+2(〃-1),故所有根之和為

33333

—H(—F2)+(—F4)H--F[—F2(M—1)]=n2H—鹿，故D錯(cuò)誤.故選AC

22222

20.(2022屆四川省成都市高三下學(xué)期“三診)若函數(shù)〃%)=(1-#卜2+公+9的圖象關(guān)于直線犬=2對(duì)稱，

且直線y=k與函數(shù)/")的圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為.

【答案】-9

【解析】由已知可得，土1是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線x=2,因此3和5也是“力的零點(diǎn)，

所以/(X)=(1—X2)(X-3)(X—5)=-(X-1)(X-3)(X+1)(X-5)

=-(X2-4X+3)(X2-4X-5)=-(<-4X)2+2(X2-4X)+15.

由題意可知，關(guān)于x的方程/(力=女有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

令f-4x=r.則關(guān)于f的方程產(chǎn)一2"15+4=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解44,

艮關(guān)于x的方程》?-4X-K=0與/-4》-2=0中一個(gè)方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解,另一個(gè)方程有兩個(gè)不同的實(shí)

數(shù)解,

fl6+4/.=0fl6+4f>0

則L/八或麻/n，因此4與灰中有一個(gè)等于Y,另一個(gè)大于

[16+4r,>0[16+包=0

不妨設(shè)％=-4,貝I]9+%=0,解得比=-9,此時(shí)*-2.-24=0不得：=-4、G=6滿足條件，

因此&=—9.

21.(2022屆浙江省紹興市高三下學(xué)期4月考試)已知a,beR,若儲(chǔ),巧,三是函數(shù)/(力=丁+加+%的零點(diǎn),

且占<x?<三,|5|+同=同,則&a+b的最小值是.

【答案】-16

[解析]/(x)=0即1=_(++扮，可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)

①若石,“2<°，W>0,此時(shí)〃>。力<。,由對(duì)稱性可知陽(yáng)」玉1>1工?不合題意

②若菁<0,%2，X3>。,止匕時(shí)4<。力>0」白題意得一次1+W=芻

又寸于方程(％_玉)。_工2)*—曰)=0

32

x一(內(nèi)+x2+x3)x+(X]X2+*工3+x2x3)x-=0

一(無(wú)]+々+七)=〃

a=-2X

故《玉W+玉工3+工2工3=0解得2

b=x1

-x1x2x3=b

故6a+b=石一12%2，(工2>。)

令g(x)=/一12x,gf(x)=3(x+2)(x-2)

故g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增

故6。+〃的最小值為-16

22.(2022屆重慶市西北狼教育聯(lián)盟高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè))函數(shù)“X)滿足〃l+x)=〃l-x)楞x>lllt

'(')=高'若Mx)。叭、)+.=°有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是一

【答案】、4'2(e-2).

【解析】由〃l+x)=/(l—x)得:對(duì)稱軸為x=l,當(dāng)x>l時(shí)，尸(力=言爭(zhēng),當(dāng)x>e時(shí),/'(力>0,當(dāng)l<x<e時(shí),

/'卜)<0,故f(x)在x=e處取得極小值，且為最小值了㈤年力⑻二峭喊(同用,則產(chǎn)_2加+4加=0,要想

尸(力一2時(shí)(x)+4〃?=0有8不同的實(shí)數(shù)解，故&)=產(chǎn)—2問+4m要有兩個(gè)根，則A=4>—16機(jī)>0,解得:

"e)>0e2

〃?>4或〃2<0,且兩根均要大于6,所以力(。=/-2〃”+4/"要滿足，-2m，解得：e</?<—~—，綜上:

-亍〉e2(e-2)

e-2

me.4,

2(e-2)J-

四、高考真題練

e”,(x40)

23.(2018全國(guó)卷I)己知函數(shù)=?,g(x)=f{x)+x+a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的

lnx,(x>0)

取值范圍是)

A.[?-1,0)B.[0,+oo)C.[-1,+oo)D.[l,+8)

【答案】C

【解析】由g(x)=0得/(外二-九-心作出函數(shù)人好和丁二一》一^的圖象如圖

當(dāng)直線y=—x—a的截距一。VI,即aA—1時(shí),兩個(gè)函數(shù)的圖象都有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，故實(shí)

數(shù)a的取值范圍是[-1,+8),故選C.

24.(2017全國(guó)卷HI)已知函數(shù)/(%)=/一2%+。(然7+6-川)有唯一零點(diǎn),則。=()

111,

A.--B.-C.-D.1

232

【答案】C

2(x—1)?

【解析】法―：/(X)=0nf_2x=_a(ex-'+e1),設(shè)g(x)=e+e=g'(x)=--"

當(dāng)g'(x)=0時(shí),x=1,當(dāng)x<1時(shí),g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>1時(shí).g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取得最小值g⑴=2,設(shè)/z(x)=f_2x.當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取得最小值-1,若一a>0.函數(shù)

力⑺和ag(x)沒有交點(diǎn)，當(dāng)一a<0時(shí),一ag(l)=/z(l)時(shí)，函數(shù)人(力和ag(x)有--個(gè)交點(diǎn)，即-ax2=-l,

所以a=L故選C.

2

法二：由條件,/(x)=Y—2x+a(ei+e-x+1),W：

/(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-1-1+e(2'x]+')

=f-4x+4-4+2x+a(e「x+*)

=f_2x+a(e*T+/T)

所以/(2—x)=〃x)Wx=l為的對(duì)稱軸

由題意,/(X)有唯一零點(diǎn),/(%)的零點(diǎn)只能為x=1即/⑴=12-2-1+?(e'-'+e-|+l)=0

解得a=:.

2

25.(2020全國(guó)卷m)設(shè)函數(shù)/(x)=x3+6x+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)(；次；))處的切線與y軸垂直.

⑴求b.

(2)若/(x)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：/(x)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.

【解析】⑴因?yàn)閒(x)=3f+尻

.1＜1V3

由題意,/(一)=(),即3x-+8=0,則》=一二；

2⑴4

3

(2)由(1)可得/。)=彳3——X+C,

4

,,311

/(x)=3x--=3(x+—)(x--),

令/'(X)＞0,得x＞；或x＜-g：令f(x)＜0,得一;＜x＜；,

所以/(X)在(一；,；)上單調(diào)遞減，在+8)上單調(diào)遞增，

旦/(-D=C-L)=C+；"(;)=T，〃D=C+：,

若/(x)所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1零點(diǎn)%,則/(-1)＞0或/(1)＜0.

即c＞，或c＜一」.

44

當(dāng)C＞；時(shí),/(_l)=c_；＞0,/(_g)=c+；＞0,/(；)=c_；＞0,/(l)=c+；＞0.

又/(-4c)=-64?+3c+c=4c(1-16c2)＜0,

由零點(diǎn)存在性定理知/(x)在(Yc,-1)上存在唯-一個(gè)零點(diǎn)看,

即/⑴在(-oo,T)上存在唯?個(gè)零點(diǎn)，在(-1,+00)上不存在零點(diǎn)，

此時(shí)/(x)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；

當(dāng)c＜_；時(shí),/(-l)=c_；＜0,/(-g)=c+；＜0,/(；)=c_；＜0,/(l)=c+；＜0.

又/(-4c)=64c3+3c+c=4C(1-16C2)＞0.

由各點(diǎn)存在性定理知在(l,-4c)上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)與',

即/（x）在（1,e）上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在（-00,1）上不存在零點(diǎn),

此時(shí)/（X）不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；

綜上J（x）所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.

X+1

26.(2019全國(guó)卷II)已知函數(shù)/(x)=lnx------

x-i

⑴討論了（X）的單調(diào)性,并證明了（X）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn);

⑵設(shè)%是/（X）的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=Inx在點(diǎn)A（Xo，ln/）處的切線也是曲線V=優(yōu)的切線.

【解析】（1）/（x）的定義域?yàn)椋?,1）1乂1,一）.

12

因?yàn)?'(x)=-+—-?>°,所以f(x)在(0,1)和(l,+oo)卜一是單調(diào)遞增.

x(1)

因?yàn)檠裕肌?"=2一含=分"

所以/（%）在（1,+oo）有唯一零點(diǎn)百,即/&）=0.

又°J<1,/X+1,、1

'_L、=—In+=—/a）=（）,故/co在（0,1）有唯一零點(diǎn)一.

Xj—1x\

綜上,/（?有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

（2）因?yàn)楣?6小(n

，故點(diǎn)B-lnx0,—在曲線y=e,上.

X。<xo>

C八1X+1

由題設(shè)知/(%>)=o,即InX。=-n2—,

X。T

1,1X。+1

----lnx0

故直線A5的斜率出

、11

曲線y=/在點(diǎn)叫-In%,1處切線的斜率是一.曲線y=ln冗在點(diǎn)A（Xo，ln/）處切線的斜率也是一,

“"01工0玉）

所以曲線y=ln%在點(diǎn)A（Xo』n/）處的切線也是曲線＞="的切線.

五、綜合提升練

27.（2022屆天津市寶垠區(qū)高三上學(xué)期考試）已知函數(shù)"》）=卜：-4"：+4，x：0恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的

lnx+2ar,x>0

取值范圍是（）

A.B.（一3，。）

C.S，-l）,J。）D.1-《o）（1,同

【答案】C

【解析】當(dāng)a20時(shí),〃x）=9—4ar+4在（-8,0］上單調(diào)遞減，又/⑼=4,

所以函數(shù)/（x）在（fo,0］上沒有零點(diǎn)，

〃x）=lnx+2公在（0,”）上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)〃x）在（0,*o）上至多有一個(gè)零點(diǎn)，

故當(dāng)“20時(shí)，函數(shù)〃x）在R上至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)av（）時(shí),/（x）=\nx+2ax,xe（0,+oo）

/（力=4+2〃=^1,令/（力=0,得'=一?，

xxla

.?.xe（0,—（）時(shí),/'（x）>0,函數(shù)/"（x）單調(diào)遞增；XW（-A，8）時(shí),/'（x）<0,函數(shù)〃x）單調(diào)遞減，

.??$時(shí)，函數(shù)〃x）有最大值,/（一（卜1?$）—1,

.?.當(dāng)/（$）=In（總卜<0,即a<時(shí)涵數(shù)/（x）在（0,內(nèi)）上沒有零點(diǎn)，

當(dāng)，（一（卜"（$卜=°，即"=-5時(shí)，函數(shù)/（力在（°，+8）上有一個(gè)零點(diǎn)’

當(dāng)卜1>0,即一?<a<0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0,+8）上有兩個(gè)零點(diǎn)：

對(duì)于/（犬）=%2-40￥+4/€（-00,。］,對(duì)稱軸為工=2。,函數(shù)/（司=%2—40￥+4在（一8,。］上最小值為

/（2a）=（2a）"-4a-2a+4=4-4a2,X/（0）=4,

.?.當(dāng)〃2a）>0,即一l<a<0,函數(shù)〃x）在（F,0］上沒有零點(diǎn),

當(dāng)/（2。）=0,即a=—1,函數(shù)〃x）在（Y,0］上有個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)〃24）<0.即"-1,函數(shù)/（X）在（-8,0］上有兩個(gè)零點(diǎn)；

1

a<———___13....<。<0

所以要使函數(shù)/（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)貝?卜2e，或a=2"或<2e

a<-\a=-1-]<a<0

解得av-1或---<a<0：

2e

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是々<-1或-丁<a<0.故選C.

2e

28.（2022屆江西省八校高三第一次聯(lián)考）已知函數(shù)/*）=（/-l）lnx+〃x-l）2（/lw0）的三個(gè)零點(diǎn)分別為

%，々，七淇中西>七>七，則無(wú)（%]+工2）（馬+毛）（%3+%）的取值范圍為（）

A.(-64,-32)B.(-32,0)C.(F,-64)D.(-00,-32)

【答案】C

[解析]/(x)=(x_l)[(x+l)lnx+〃x_l)],顯然/(1)=0,令(x+l)]nx+〃x_l)=0,(工>0),即

Mx+"1)=0,(x>0)令g(x)=lnx+"l),(x>0)，則g(D=0

x+1x+1

g'(x)=g+2/1%2+(2X+2)x+1

,(x>0)

(x+l>x(x+l)2

令/I（X）=%2+（24+2）X+1,（x>0）,

要想g（x）除1外再有兩個(gè)零點(diǎn)，則g（x）在（0,+向上不單調(diào)，則△=（24+2）2-4=4萬(wàn)+8幾>0,解得：2V-2或

2>0,

當(dāng);1>0時(shí),g'（x）>0在（0,+8）恒成立，則g（x）在（0,+8）單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去

當(dāng)；1<一2時(shí)，設(shè)g'（x）=0即/J（X）=0的兩根為。，匕，且?！簇绖t有[“+6=_2（/+1）>0'故0<〃<1<力，

令g'（x）>0,解得：…或x>b,令如）<0,解得：a<x<b,

所以g（x）在（0,a）.（。,+司上單調(diào)遞增，在（“㈤上單調(diào)遞減,

因?yàn)橛?gt;X2>工3,所以0<43<4<1=工2<。<西，

*

,A

又因?yàn)間-=In1+_=-111》+^^=-&（》）,若8（力=0,則8（1）=0,因?yàn)?（%）=8（芻）=0,所

-+11+XJ

X

1

以芻=一

所以a+^)(x2+x3)(x3+^)=(x,+i)i

因?yàn)?<一2,所以把<-8,故分(%+毛)(W+毛)(七+再)<-64.

檢驗(yàn)：當(dāng)2=-2時(shí),g(x)=lnx+生二^(x>0),g'(x)=L-廠工7=與220,此時(shí)g(x)在(0,+功上

X+1X(X+1)X(X+1)

單調(diào)遞增，又g⑴=0,即再=%=多=1,此時(shí)為臨界情況，]&+%)(%+電)(4+%)=-64

綜上：分(芭+%2)(X2+X3)(X3+XJ的取值范圍為(~°°，-64).故選c

29.(2022屆江蘇省泰州市高三上學(xué)期期中)已知關(guān)于x的方