2023-2024學年浙江省七彩陽光新高考研究聯(lián)盟高三（上）返校數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年浙江省七彩陽光新高考研究聯(lián)盟高三(上)返校

數(shù)學試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合4={因0<"兀},8={0|6=竽+a/￡62},則4。8=()

A.g}B.吟為C.備鬻}D.或總

2.在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點在第一象限，i為虛數(shù)單位，則復數(shù)zi對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知向量1=(1,2)范=(3,4)，在直線［方向向量上的投影向量相等，則直線2的斜率為()

A.1B.-1C.2D.-2

4.若雙曲線的兩個頂點將兩焦點間的線段三等分，則該雙曲線的離心率為()

A.3B.CC.2D.。

5.過圓。：/+y2=9上一點P作圓M：(%—l)2+(y—1產(chǎn)=1的兩條切線PB,切點

為48.當乙4PB最大時，直線48的斜率為()

A.—V2B.2C.-1D.1

6.若函數(shù)y=f(2x+1)+1為奇函數(shù)，貝lj()

A./(-2x+1)+f(2x+1)=0B.f(-2x+1)+f(2x4-1)=-2

C./(-2x-1)4-/(2x+1)=0D./(-2x-1)+f(2x+1)=—2

7.已知a€(06)，且?sin(2a+g)—sin(a+今=—￡則cosa=()

AlBlDj?

8.中國風扇車出現(xiàn)于西漢，《天工開物》亦有記載.又稱風谷車、揚谷

機風車、風柜、扇車、雕車、揚車、揚扇、揚谷器，是一種用來去除

水稻等農(nóng)作物子實中雜質(zhì)、癟粒、秸桿屑等的木制傳統(tǒng)農(nóng)具.它頂部有

個入料倉，下面有一個漏斗出大米，側(cè)面有一個小漏斗出細米、癟粒，

尾部出谷殼.頂部的入料倉高為4dm的多面體，其上下底面平行，上底

面是長為6dm,寬為4dm長方形，下底面是邊長為3dm的正方形，側(cè)面均為梯形，此入料倉

的體積為()

A.64cm3B.(44+8yJ-6)cm3C.63cm3D.(44+8y/-3)cm3

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.已知函數(shù)/'(x)=靖一：,貝lj()

A.函數(shù)f(x)在(一8,0)上單調(diào)遞增B.存在沏e(-8,0)使得人與)=0

C.函數(shù)/'(久)圖象存在兩條相互垂直的切線D.存在與e(0,1)使得f(Xo)=0

10.某校高三選科為政史地組合的班級為高三(1)班50人、高三(2)班40人.現(xiàn)對某次數(shù)學測試

的成績進行統(tǒng)計,高三(1)班平均分為99分，優(yōu)秀率為12%,方差為11；高三(2)班平均分為90,

優(yōu)秀率為7.5%,方差為11.則政史地班級的()

A.平均分為95B.優(yōu)秀率為10%

C.方差為31D.兩個班分數(shù)極差相同

11.已知/1(x)=sin(3%+樞)(3>0,0<w<今在(0,3)上單調(diào)，x=/為/(x)的零點，x=

為函數(shù)/(X)圖象的對稱軸，則3的值不可能是()

A.74B.a：C.97D.3

424

12.已知0為坐標原點，點4(1,0),點P(xi，yj,QO2,%)為單位圓上的動點，。力繞原點逆時

針旋轉(zhuǎn)。到OP,再將OP繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)9到OQ(0S。<2兀)，貝4()

A.存在3個。使得與=x2B.存在6個。使得吊-不1=1

C.存在4個。使得出一萬21=看口.存在4個。使得由一切=|

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.己知Sn是等差數(shù)列｛aj的前n項和，S5=S7,則.

5

14.已知多項式(m+x)s=劭+%》+a2/H---1-a5x(m>0),若g=2%,則m=

15.用半徑為2的鋼球切割出一個圓柱體，則圓柱體的體積的最大值為.

16.已知拋物線/=4y的焦點為F,過拋物線上點P作切線過尸作"14，交拋物線于4

B.記直線P4P8的斜率分別為的，心.則密+發(fā)的最小值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在△48C中，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且b+2a?cosB=2c.

⑴求A;

(2)若。在邊BC上，且CD=2DB=2,/-ADC=求b的值.

18.(本小題12.0分)

甲、乙兩人進行乒乓球比賽，現(xiàn)約定：誰先贏3局誰就贏得比賽，且比賽結(jié)束，若每局比賽甲

獲勝的概率為：，乙獲勝的概率為|.

(1)求甲贏得比賽的概率；

(2)記比賽結(jié)束時的總局數(shù)為X,寫出X的分布列，并求出X的期望值.

19.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=2e*—ax-1,a€R

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若x>—求證：/(x)>V4x4-1—x2

20.(本小題12.0分)

如圖，直四棱柱48co-41勺6。1，底面ABC。為等腰梯形，AB//CD,O.AD=DC=\AB=2,

AA1=4.E,尸分別為?！?gt;i，BBi的中點.

(1)求證：EF_L平面ZDDiAi：

(2)若四面體G-EFCi的體積為羨C，求AG.

21.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛an｝和｛為｝滿足的=L的i+i=即+半，瓦+；/>2+；%+…+彳%=an(nGN*).

(1)求a在與bn；

(2)設數(shù)列｛%｝的前n項和為Sn,是否存在實數(shù)九林,使得;I?，Sn，成等差數(shù)列？若存在

求出九〃的值；若不存在，請說明理由.

22.(本小題12.0分)

2

如圖，已知橢圓/+y2=小的左，右焦點分別為a,F2,拋物線y2=4mx的焦點為F2,拋物

線的弦4B和橢圓的弦CD交于點尸2，且ABIC。，E為CD的中點.

(1)求m的值；

(2)記△ABE的面積為SrAFiFFz的面積為52，求露的最小值.

02

答案和解析

I.【答案】c

【解析】解：對于集合8={6/=券+?,kez},取卜=一1,0,1,可得6=泊片，這三個角

在(0,7T)內(nèi)，

因此AC"*I片},C項符合題意.

故選：C.

根據(jù)題意，在集合B中取恰當?shù)膋值，使元素?在區(qū)間(0,砌內(nèi)，由此算出答案.

本題主要考查了集合的表示法、集合的交集運算及其性質(zhì)等知識，屬于基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：設復數(shù)z對應的點在第一象限，

可設z=a+bi,其中a>0,b>0,

zi=—b+ai,

—b<0,a>0,

復數(shù)zi對應的點(—b,a)位于第二象限.

故選:B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的幾何意義，以及復數(shù)的四則運算，即可求解.

本題已知考查復數(shù)的幾何意義，以及復數(shù)的四則運算，屬于基礎題.

3.【答案】B

(x,y)(l,2)(x,y)(3,4)

【解析】解：設/的方向向量為(%,y),則I2-I’2：2，即(x,y)(l,2)=(x,y)(3,4),

整理可得：x+2y=3x+4y,所以x=-y斜率為-1.

故選：B.

設直線，的方向向量，求出兩個向量在直線I上的投影，由題意可得x,y的故選，進而求出直線，的

斜率.

本題考查向量在直線的投影的性質(zhì)的應用，屬于基礎題.

4.【答案】A

【解析】解：已知雙曲線的兩個頂點將兩焦點間的線段三等分，

則2a=：x2c,

即二=3,

a

則該雙曲線的離心率為3.

故選：A.

由雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線離心率的求法求解即可.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點考查了雙曲線離心率的求法，屬基礎題.

5.【答案】C

【解析】解:易知要使乙4PB最大,則|PM|最小,

此時4B10M,

又。(0,0),

則E=L

所以直線AB的斜率為-1.

故選：C.

分析可知N4PB最大時，|PM|最小，AB10M,由此容易得解.

本題考查直線與圓的位置關系，考查運算求解能力，屬于基礎題.

6.【答案】B

【解析】解：；?函數(shù)y=f(2久+1)+1為奇函數(shù)，

f(—2%+1)+1=—[/(2x+1)+1],

???/(-2x+1)+1+f(2x+1)+1=0,

f(2x+1)+/(-2x+1)=-2.

故選：B.

依題意，可得/(-2x+l)+l+/(2x+l)+l=0,整理可得答案.

本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷，考查運算求解能力，屬于基礎題.

7.【答案】D

【解析】解：因為?sin(2a+g)-sin(a4-^)=—:

所以?(sE2acosg+cos2asin^)—sin(a+勺=^-sinacosa+'cos2a-\-sin(a4-^)=-p

所以V~"^cosa(2si/ia+—COSQ)—sin(a+g)=0，

所以，Zcosasin(a4-^)—sin(a+^)=0,

因為a6(0,》所以a+襄尊金，所以sin(a+卞J0,

fJi^cosa=

故選：D.

利用兩角和的正弦公式對sin(2a+今進行展開，并結(jié)合二倍角公式化簡運算，即可得解.

本題考查三角函數(shù)的化簡求值，熟練掌握兩角和的正弦公式，二倍角公式是解題的關鍵，考查邏

輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

8.【答案】力

【解析】解：入料倉高為4dm的多面體，其上下底面平行，上底面是長為6由小

寬為4dm長方形，下底面是邊長為3dm的正方形，側(cè)面均為梯形，

截圖展開如下：Ao,Bo，Co，%是4人,CCr,0久中點，P是人口。。。%中心，

^ABCD-A1B1C1D1=^P-ABCD+/-〃通也必+%-8iQBC+^P-ABA^Bx+^P-ADD^+%-￡>8必，

1

=1一6

^P-ABCD'Z^ABCD^''^P-A1BlCxD1

Bc,

%-BCBiQ=4Vp_s()CoBi=4vBLBOCOP=2^ooP^

2

^P-BCBjCi+，P-4BB1Al+%-4D01A+匕-DCQDi=3■540B0C0D0^>

U=2八(SABCD+S&B1CM1+^AaB0C0D0)=64.

故選：A.

作出截圖展開圖，&,Bo,co,Do是441，BB1，CC1，。/中點，P是4口。。。%中心，^ABCD-A^C^=

^P-ABCD+Vp-AiBiG%+^P-B1C1BC+^P-ABA^1+^P-ADDiAi+'p-DCQ%，由此能求出結(jié)果.

本題考查四棱臺的結(jié)構(gòu)特征、體積公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

9.【答案】AD

【解析】解：對于Z：/⑶=e*+妥>0恒成立，

所以/(x)在(一8,0)上單調(diào)遞增，故A正確;

對于B：由上可得/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，

X-0時，f(x)->+00；X-8時，/(X)-?0,

所以不存在%oG(-8,0),使得/(a)=0,故B錯誤；

對于C：因為((x)=e*+1>0恒成立，

所以切線的斜率均大于零，切線斜率乘積不會等于-1,故C錯誤；

對于O：由上可得/(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，

又用)<0，/⑴>0，

所以存在&e(0,1)使得fa。)=o，故。正確.

故選：AD.

對于4求導分析f(x)的單調(diào)性，即可判斷4是否正確；

對于B：由上可得/'(%)單調(diào)性，XTO時，f(x)—+8；-8時，f(x)t0,即可判斷B是否正

確；

對于C：由/'(x)=e'+或>0恒成立，得切線的斜率均大于零，切線斜率乘積不會等于-1,即可

判斷C是否正確；

對于D：由上可得/(乃在(0,1)上單調(diào)遞增，又/?)<(),/⑴>0,即可判斷。是否正確.

本題考查導數(shù)的綜合應用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于中檔題.

10.【答案】ABC

【解析】解：高三(1)班平均分為99分，優(yōu)秀率為12%,方差為11；高三(2)班平均分為90,優(yōu)秀

率為7.5%,方差為11,

x=+-JT~X=1x99+X90=55+40=95,正確；

41+/2,1+九2299

y=+-^y2=!x12%+Jx7.5%=10%,正確；

s2=|[ll+(99-95)2]+^[11+(90-95)2]=31,正確；

D選項：沒有具體數(shù)據(jù)，錯誤；

故選:ABC.

根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)和方差公式，即可求解.

本題主要考查統(tǒng)計的知識，屬于基礎題.

1I.【答案】BCD

【解析】解：由題意得［三工二匕

62a)

故0<346,(JOX+0E—+(p),

則"+卬轉(zhuǎn)，

???3V3,。不可能；

c八727r日口(2九一l);r2n

v(2n-1)--=—,即、二,

'7432a)3

所以3=久竽1,即3為弓的奇數(shù)倍，B不可能;

44

3

小

當

能

7T4可

=-=一

O)4

4?

當3=W時，<p=kn+關,C不可能.

故答案為：BCD.

由已知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間及周期性可先求出口的范圍，然后結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性及函數(shù)零

點取得的條件進行檢驗即可二

本題主要考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性及對稱性的應用，屬于中檔題.

12.【答案】ABC

【解析】解：由題意得=cos。,x2=cos28,

4選項：若%i則cos。=cos2B,即2cos2?！猚osd-1=0,解得cos。=1或cos。=—g,

因為0<0<2n,

則%=0,4=拳。3=與正確；

B選項：由題意得，|cos?！猚os20\=1=12cos2。—cosd-1|=1=>2cos20—cosd-2=0或

2COS29—cosd=0,

則COS。=17或cos。=:或cos。=。共6個解，正確；

4，

QQ

C選項：由題意得，|cos?！猚os20\=-=>12cos2。—cosd-II=-,

oo

解得cose=上手或cose=J共四個解，正確；

44

D選項：|cos。-cos20\=|=12cos2?！猚osd-1|=1=>2cos20—cosd—|=0或2cos2?！?/p>

cosd+g=0,

則cos?=上守共兩個解，錯誤.

4

故選：ABC.

由已知結(jié)合三角函數(shù)的定義及二倍角公式進行變形，檢驗各選項即可判斷.

本題主要考查了三角公式的綜合應用，屬于中檔題.

13.【答案】0

【解析】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列也"｝中，若$5=$7，

則有57-S5=a6+a7=0,

故S[2—(。1+。12)、12(a6+a7)xl2_°

故答案為：0.

根據(jù)題意，分析可得S7-S5=+。7=0,結(jié)合等差數(shù)列的前71項和公式計算可得答案.

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，屬于基礎題.

14.【答案】1

443

【解析】解：依題意，的—mCl-5m,a2--10m,

又a?=2al,

則10^3=2x5m3

解得m=1或m=0,

又7n>0,

則m=1.

故答案為：1.

由二項式定理求得a2,%,再根據(jù)a?=2%即可得解.

本題考查二項式定理的運用，考查運算求解能力，屬于基礎題.

15.【答案】“受

【解析】解：設圓柱體的底面半徑為r,高為兒

則*+（今=22,即4=「2+1，

.2?h2MM九2丁2丁2h2732xT32L

2

??-4=r+-=y+T+T>33T.y.r可得丁之丁2九,

27

當且僅當]=+,即/!=Sr時等號成立.

21.,32\/~3n

故卜=nr^h＜---?

9

故答案為：若土

由題意畫出圖形，設圓柱體的底面半徑為r,高為h,可得r與九滿足的關系式，再由基本不等式結(jié)

合圓柱的體積公式求解.

本題考查球內(nèi)接旋轉(zhuǎn)體，訓練了利用基本不等式求最值，考查運算求解能力，是中檔題.

16.【答案】＞T2-1

【解析】解：直線4P,BP斜率記為七，七?設直線。的斜率匕％的斜率為-；，

因為y'=]=4=—：，直線4B方程為y=kx+1,

聯(lián)立直線AB與拋物線方程得x2-4/cx—4=0,則當+4=4鼠xAxB=-4,

222V2

Xp_X/lXp_XR]

122

靜+必=?_■7)+?~?)2=—[2x1，+(xA+xB)-xAxB+2xP{xA+xB)]

Xp-Xp_XQ1O

當且僅當16k2=,，即=今寸取等號.

故答案為：＞/~2—

設直線，2的斜率匕直線4B方程為y=kx+L與拋物線方程聯(lián)立方程組，進而可得后+好=

2

^[2x1+(xA+xe)-xAxB+2xP(xA+xF)],進而可求最小值.

本題考查拋物線的性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關系，屬中檔題.

A

17.【答案】解：(1)A48C中，b+2acosB=2c,7\

由正弦定理得sinB=2sinC—2sinZ.BAC-cosB=2stn(B+NBAC)—/[\

2sin/-BAC-cosB,//\

所以si幾B=2sinBcos乙BAC,//

B"

所以cos/BAC=4,即乙BAC=

Zo

(2)設zTMC=a,因為=Z.ADC=*所以4。B/=a,

由正弦定理得一^^=烏，解得AC=P，

sin乙4DCsinasina

又因為焉而=黑=；￡'所以s譏a=三，

所以AC=

【解析】(1)由題意，利用正弦定理和特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的值.

(2)根據(jù)正弦定理求解即可.

本題考查了解三角形的應用問題，是基礎題.

18.【答案】解:(1)比賽采用5局3勝制，甲贏得比賽有以下3種情況：

①甲連贏3局，P1=?)3=/；

②前3局2勝1負，第4局甲贏，P2=廢(如弓雞)=另

③前4局甲2勝2負，第5局甲贏，「3=廢(如(|)2?=割

所以甲贏得比賽的概率為Pi+P2+P3=^-.

ol

(2)X可以取3,4,5：

P(X=3)=0)3+(|)3=I，

P(X=5)=或鼾?)2=掾,

由此可得X的分布列:

X345

1108

p

32727

所以E(X)=3x1+4x^+5x^=^y.

【解析】(1)根據(jù)題意，求出甲生3局，4局，5局的概率，再利用互斥事件的概率公式求解；

(2)X的可能取值為2,3,4,5,分別求出每種情況的概率，按照步驟求分布列即可.

本題主要考查離散型隨機變量分布列及數(shù)學期望，概率的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)函數(shù)/(x)=2ex-ax-l,x&R,a&R.

f'(x)=2ex—a,

當aWO時，/(x)在R上單調(diào)遞增；

當a>0時，令2e“—Q=0,解得x=ln],

，函數(shù)/㈤在(一8,嗚)單調(diào)遞減，在(嗚,+8)單調(diào)遞增.

(2)證明：?,?%2—ax+^；=(%—1)2>0，

.,?需證/(x)>V4%+1—%2——，

4

即證2靖一IN、4x+l,

法一：即證4。2%—4ex—4x>0,

令。(%)=e2x—ex—x,則g'(x)=2e2x-ex-1=(2ex+l)(ex—1),

g(x)在(-；,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增;

即g(x)25(0)=0,

1_______n2

???/(x)>V4%4-1—%2——，

法二：令。(乃=岑±1

,2-V4x+l-l

則g'(x)=J4%+1中vF=o,

V4x+lex

???x=0,%=，(舍去),

???g(%)在(一;,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減;

???g。)<g(0)=2,

:./(%)>V4%4-1--一?.

【解析】(1)函數(shù)/(久)=2ex-ax-l,xeR,aER『(x)=2ex-a,對a分類討論，即可函數(shù)/(%)

的單調(diào)性.

2_______2_______

⑵由%2一。工+?=(%一獷2o，需證/(%)>(4%+1—/一？即證2?”—1>(4%+1,

法一：即證4/#-4e"-4xN0,令g(%)=e2%—e"-%,利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可證明結(jié)論；

法二：令g(x)=4守1,利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可證明結(jié)論.

本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬

于中檔題.

20.【答案】解：(1)證明：直四棱柱4BC。一4B1GD1，底面4BC0為等腰梯形，

AB//CD,且4。=OC=g/lB=2,AAt=4.E,F分別為。仇，的中點，

取AB中點M,則DC〃MB,

DM//BC,DM=BC,???DM=AD=AM=MB,

???BDLAD,

??DDr1.1SABCD,■■BDLDD1,

BD1面AOOMi，

vBF//DE,BF=DE,???EF//BD,

???EF_L面ADZMi.

(2)以D為坐標原點，ZM所在直線為x軸，為y軸，z建立如圖直角坐標系，設4G=m,

則E(0,0,2),F(0,2C,2),4(-1,4),G(2,0,m),

EG=(2,0,m-2),=(-1,<3,2),EF=(0,2V~3,0)，

設面C]EF法向量元=(x,y,z),

則[謂C；+2z=°,Wn=(2,0,1)，

12V3y=0

,.EGn.4+m-22+m

d=E=^-=7T

???SAQEF=C^,1/=^,...1.<15.^=解得m=3,

???AG=3.

【解析】(1)取AB中點M,則DC〃MB,推導出BD1AD,BD±DDX,從而BD_L面4。。送1,推導

出EF"BD,由此能證明EF_1面4。5&.

(2)以。為坐標原點，04所在直線為x軸，。B為y軸,z建立空間直角坐標系，利用向量法能求出4G.

本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、四面體的體積公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

21.【答案】解:(1)由已知可得瓦=%=1,

]11

???瓦+5歷+§力3+…+^bn=Qn，①

；?力九+1=an+l—=2-^9

??.｛給是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，

nn1

二%=2T,bn=n-2-,

n

Aan+l—Qn=2n'

2n-1n

則an_a1=(a2-%)+(a3-a2)+?-?+(an-an_t)=2+2+■■■+2=之^=)=2-2>

n

?1?an=2-1；

(2)假設存在實數(shù)九〃，使得4即，Sn，4辦成等差數(shù)列.

由Sn=-l+2-2+3-22+4-23+...+n-2n-1,

234

2Sn=1-2+2?2+3-2+4-2+...+n-2",

兩式相減可得=1+2+22+23+...+2n-1-n-2n=-n-2n=(l-n)-2n-l,

可得又=