2023-2024學(xué)年河南省名校聯(lián)盟高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷一（含解析）

2023-2024學(xué)年河南省名校聯(lián)盟高三(上)段考數(shù)學(xué)試卷(一)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

k扁=()

1,1.11.C11.11.

Aa.--F-InB.———iC.——+1-iTDA.————ι

44444444

2.已知集合Z={x∣Q≥1},B={x∣χ2≤9},則[-3,+8)=()

A.CR(AnB)B.CRGlUB)C.AnBD.力UB

3.己知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(4,4),B(-2,4),C(4,-4),則該圓的半徑為()

A.4B.5C.8D.10

4.對(duì)于任意實(shí)數(shù)》,用枕]表示不大于X的最大整數(shù),例如：[兀]=3,[0.1]=0,[-2.1]=-3,

則“印>[y]"是''x>y''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.己知函數(shù)/^(x)=cos(3x一令，若將y=/(乃的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后所得

的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則Tn的最小值為()

A-—10B-5CJlo—D

6.位于成都市龍泉驛區(qū)的東安湖體育公園是第31屆世界大學(xué)生

夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)的核心場(chǎng)館，它包含一座綜合運(yùn)動(dòng)場(chǎng)、一座多功能體

育館、一座游泳跳水館和一座綜合小球館.現(xiàn)安排包含甲、乙在

內(nèi)的6名同學(xué)到這4個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每人去1個(gè)場(chǎng)館，每個(gè)場(chǎng)館

至少安排1個(gè)人，則甲、乙兩人安排在相同場(chǎng)館的方法種數(shù)為()

A.96B.144C.240D.360

7.把過(guò)棱錐的頂點(diǎn)且與底面垂直的直線稱為棱錐的軸，過(guò)棱錐的軸的截面稱為棱錐的軸截面

.現(xiàn)有一個(gè)正三棱錐、一個(gè)正四棱錐、一個(gè)正六棱錐，它們的高相等，軸截面面積的最大值也

相等，則此正三棱錐、正四棱錐、正六棱錐的體積之比為()

AI.?孕B.l..￡3.9ALm-D.1—

34382822

8.若α,￡為銳角，且a+)?=*,則tαnα+tan￡的最小值為()

A.2y∏.-2B.√‰1C.2<3-2D.<3-1

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.已知一組樣本數(shù)據(jù)%i，x2,X3>....XlO(XI<M<與<…<Xio)中，&與樣本平均數(shù)相

等,無(wú)6=0.則去掉以下哪個(gè)數(shù)據(jù)以后,新的樣本數(shù)據(jù)的方差一定比的來(lái)的樣本數(shù)據(jù)的方差??？

()

A.X

1B.X5C.X6D.X10

10.己知函數(shù)/(X)=鼻，則()

A.f(x)在定義域上單調(diào)遞增

B./(無(wú))沒(méi)有零點(diǎn)

C.不存在平行于X軸且與曲線y=∕(x)相切的直線

D.f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形

11.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ZBCD-力IBlGZ)I中，P是線段

ClDl上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.平面BBlP平面ABCO

B.存在點(diǎn)P,使BP=2

C.存在點(diǎn)P,使直線BlP與8%所成角的余弦值為I

D.存在點(diǎn)P,使點(diǎn)4C到平面BBlP的距離之和為3

12.已知雙曲線E：^-，=l(α>0">0)的右焦點(diǎn)為F(6,0),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，線段OF

為半徑作圓與雙曲線E在第一、二、三、四象限依次交于4B,C,。四點(diǎn)，若CoS乙40F=亨，

則()

A.?AC?=?BD?=12B.cos//IoB=-殍

C.四邊形ABCO的面積為32∕^∑D.雙曲線E的離心率為苧

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知拋物線y2=2p%(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線y=4與拋物線交于點(diǎn)M,且IMFl=4,則

P=?

14.在AABC中，^BD=^BC,E是線段4。上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)方=χg?+y而(x,y∈R),則2x+

3y=----------

15.已知數(shù)列｛αn｝滿足an+ι=3αn+2,?+α2=22,則滿足αn>160的最小正整數(shù)幾=

16.已知定義在R上的函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)滿足f'(x)>-f(x),若/(bι3)=g,則滿足

不等式門(mén)為>號(hào)的X的取值范圍是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

如圖，在平面四邊形ZBC。中，NBAD=90。，D=60o,AC=4,CD=3.

(I)求COSZ?C4D;

(∏)若AB=*，求BC.

18.(本小題12.0分)

記遞增的等差數(shù)列｛αn｝的前Ti項(xiàng)和為Sn,已知S5=85,且。6=7%.

(I)求Qn和Sn;

(∏)??π=7^-，求數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和

αnαn+l

19.(本小題12.0分)

如圖，在直三棱柱ABC中，AC=2BC=CC1=2,D,E,尸分別是棱①的，BC,AC

的中點(diǎn)，?ACB=60°.

(I)證明：平面48?！ㄆ矫鍲ECQ

(∏)求直線AC與平面ABD所成角的正弦值.

20.(本小題12.0分)

已知橢圓C：冬+\=1(01>匕>0)過(guò)點(diǎn)(2,3),且C的右焦點(diǎn)為F(2,0).

(I)求C的離心率；

(∏)過(guò)點(diǎn)尸且斜率為1的直線與C交于M,N兩點(diǎn)，P直線％=8上的動(dòng)點(diǎn)，記直線PM,PN,PF

的斜率分別為kpM，kPN,kPF,證明：kPM+kPN=2kpp.

21.(本小題12.0分)

小李參加某項(xiàng)專業(yè)資格考試，一共要考3個(gè)科目，若3個(gè)科目都合格，則考試直接過(guò)關(guān)；若都

不合格，則考試不過(guò)關(guān)；若有1個(gè)或2相科目合格，則所有不合格的科目需要進(jìn)行一次補(bǔ)考，

補(bǔ)考都合格的考試過(guò)關(guān)，否則不過(guò)關(guān).已知小李每個(gè)科目每次考試合格的概率均為P(O<p<

1),且每個(gè)科目每次考試的結(jié)果互不影響.

(I)記“小李恰有1個(gè)科目需要補(bǔ)考”的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)Po.

(11)以(1)中確定的PO作為P的值.

(i)求小李這項(xiàng)資格考試過(guò)關(guān)的概率；

(ii)若每個(gè)科目每次考試要繳納20元的費(fèi)用，將小李需要繳納的費(fèi)用記為X元，求E(X).

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=黑pm∈R且Tn≠0.

(I)若當(dāng)Xe(O,兀)時(shí)，f(x)≥1恒成立，求Tn的取值范圍;

(∏)若土1，%2C(0,兀)且Xi≠%2，使得f(%l)=求證：X-L+×2>

答案和解析

1.【答案】B

,i_i_i12-2i_2-2i_11.

【解機(jī)】4解：-(i+i)2(i+i)-~2^2i~(2+20(2-2i)~~~4~4l-

故選:B.

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)求解即可.

本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：因?yàn)?={x∣√^T≥1}={x∣x≥1},B=(x?x2≤9}={x∣—3≤%≤3},

所以AUB=[-3,+∞).

故選：D.

先求出集合4B,再利用集合的基本運(yùn)算判斷即可.

本題主要考查了集合的運(yùn)算與不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：由于圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,4),B(-2,4),C(4,-4),

^AB2+AC2=BC2,故該圓的直徑為BC,

易知NBAC=90°,所以該圓的直徑為IBCl=J(4+2)2+(—4-4)2=10，

所以半徑為5.

故選：B.

直接利用兩點(diǎn)間的距離公式整理得AB?+AC2=BC2,進(jìn)一步求出圓的半徑.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：圓的定義，兩點(diǎn)間的距離，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中

檔題.

4.【答案】A

【解析】解：若[χ]>[y],則必有IXI>y≥[y]>結(jié)合X≥區(qū)可得X>y,

所以a[χ]>[y]"是“x>y”的充分條件；

反之，若x>y,取X=I.2,y=1.1,可知肉=[y],即[x]>[y]不成立.

因此t,[x]>[yY>是“x>y”的充分不必要條件，4項(xiàng)符合題意.

故選：A.

根據(jù)取整函數(shù)的定義，對(duì)兩個(gè)條件進(jìn)行正反推理，即可得到本題的答案.

本題主要考查了取整函數(shù)的應(yīng)用、充分必要條件的定義與判斷等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：/(x)=cos(3x-6的圖象向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，

得到的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)g(γ)=COS[3(x+m)-市=cos(3x+

因?yàn)閥=g(χ)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，

所以3m-看=kτr+S(keZ),即m=竽+g(kCZ),

因?yàn)閙>0,故當(dāng)k=0時(shí)，m取得最小值

故選：B.

由三角函數(shù)圖象變換求出g(x),再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：先將6名同學(xué)分成4組：一種方式是甲、乙組成一組，再?gòu)牧硗?人任選2人組成一組，

其余的一人一組，

另一種方式是甲、乙與另外4人中的1人組成一組，其余的一人一組.再把4組人分到4個(gè)場(chǎng)館，

所以安排方法種數(shù)為(廢+At=240.

故選：C.

利用排列組合的簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)即可求解.

本題考查了排列組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：現(xiàn)有一個(gè)正三棱錐、一個(gè)正四棱鏈、一個(gè)正六棱錐，它們的高相等，軸截面面積的

最大值也相等，

設(shè)3個(gè)正棱錐的高均為九，軸截面面積的最大值均為S.

設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為α,當(dāng)軸截面與底面的一條棱垂直時(shí)，軸截面面積最大，所以s=6α∕ι,

4

可得正三棱錐的體積為匕=Isa=里空.設(shè)正四棱錐的底面對(duì)角線長(zhǎng)為2b,

i39h

當(dāng)軸截面經(jīng)過(guò)底面的一條對(duì)角線，軸截面面積最大，所以S=bh,

可得正四棱錐的體積為/=-Sb=這，

z33九

設(shè)正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為c,當(dāng)軸截面經(jīng)過(guò)底面的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)時(shí)，軸截面面積最大，所以S=ch,

可得正六棱錐的體積為匕=-×^-c2h=空

0322h

所以正三棱錐、正六棱錐的體積之比為手：t??，即1：?：S.

93228

故選：C.

設(shè)3個(gè)正棱錐的高均為八，軸截面面積的最大值均為S.設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為α,當(dāng)軸截面與底面

的一條棱垂直時(shí)，軸截面面積最大；設(shè)正四棱錐的底面對(duì)角線長(zhǎng)為2b,當(dāng)軸截面經(jīng)過(guò)底面的一條

對(duì)角線，軸截面面積最大；設(shè)正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為c,當(dāng)軸截面經(jīng)過(guò)底面的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)時(shí)，

軸截面面積最大.由此能求出正三棱錐、正六棱錐的體積之比.

本題考查簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征及相關(guān)計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

8.【答案】4

【解析】解：已知α,0為銳角，且a+/?=：,

tana+tanβ

則

tan(a+β~)=1-tanatan∕?

即1—tanatanβ=tana+tanβ,

所以(1+tana)(I+tanβy)=1+tana+tanβ+tanatanβ=1÷(1—tanatanβ)y+tanatanβ=

2,

y+tαnα1αn

又(1+tαnα)(l+tanβ)≤^÷÷f^2y

2

HiJ9(tαnα+tanp+2)

Z-4'

得(tcmα+tanβ+2)2≥8,

顯然tατια+tanβ+2>0,

所以tanα+tanβ+2≥2√-2,當(dāng)且僅當(dāng)tαnα=tanβ=√-2—1時(shí)等號(hào)成立，

所以tαnα+的最小值為2l∑-2.

故選:A.

由兩角和的正切公式，結(jié)合基本不等式求解即可.

本題考查了兩角和的正切公式，重點(diǎn)考查了基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題.

9【答案】AD

【解析】解：根據(jù)方差的意義，可知去掉最大值和最小值都可以使樣本數(shù)據(jù)的方差變小，故無(wú)1和XIo

符合條件；

去掉相，樣本平均數(shù)不變，則根據(jù)方差的計(jì)算公式可知方差變大，

故&不符合條件；去掉%6,樣本方差的變化情況無(wú)法確定，也不符合條件.

故選：AD.

利用樣本的平均數(shù)與方差直接求解.

本題考查樣本的平均數(shù)與方差等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】BCD

【解析】解:對(duì)于4f(x)的定義域?yàn)?—8,0)U(O,+8),

當(dāng)X<0時(shí)，0<e*<l,則/(x)>0,

當(dāng)X>0時(shí)，ex>1,則/(x)<0,

顯然/(x)在定義域上不是單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,令/(χ)=0,得峭=0,無(wú)解，所以/(x)沒(méi)有零點(diǎn)，故8正確；

對(duì)于C,求導(dǎo)得r(x)=ττJ,令廣(X)=0,得靖=0,無(wú)解，

所以不存在平行于X軸與曲線y=/(X)相切的直線，故C正確；

對(duì)于。，f(-x)=τ?=ΣΓT,注意到/O)+/"(-X)=-1，

ι~β^e——1

所以/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,-》中心對(duì)稱，故。正確.

故選：BCD.

討論X>0以及X<0時(shí)的函數(shù)值，判斷4令/(x)=0,方程無(wú)解，判斷B；求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得

到導(dǎo)函數(shù)不為0,判斷C;求出函數(shù)的對(duì)稱中心，判斷D.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的對(duì)稱性，是中檔題.

11.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于4因?yàn)?當(dāng)_L平面4BC0,所以平面BBlPJ_平面48。。，故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)點(diǎn)P與Cl重合時(shí)，BP取最小值2，工，故不存在點(diǎn)P，使BP=2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)點(diǎn)P與Dl重合時(shí)，直線BlP與BCl所成角等于乙BCIB1，COS乙BDB=明=字,

當(dāng)點(diǎn)P與Cl重合時(shí)，直線BIP與BDl所成角等于ZBDlA1，cos?BD1A1=?

所以直線BIP與BDI所成角的余弦值的取值范圍是[?,?],而I∈[?,?],故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)點(diǎn)P與Dl重合時(shí)，點(diǎn)A,C到平面BBIP的距離之和最大，最大值為4C=2l∑<3,故

不存在滿足條件的點(diǎn)P，故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

由線面垂直的性質(zhì)定理即可判斷4當(dāng)點(diǎn)P與Cl重合時(shí)，BP取最小值2，無(wú)，從而判斷B；分別求出

當(dāng)點(diǎn)P與Cl重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P與Dl重合時(shí)直線&P與BCl所成角，從而可判斷C；當(dāng)點(diǎn)P與。1重合時(shí)，

點(diǎn)4C到平面BBlP的距離之和最大，從而看判斷Z).

本題主要考查空間位置關(guān)系的判斷，異面直線所成角的求法，點(diǎn)到平面距離的求法，屬于中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于4由雙曲線E：卷一，=l(α>0,6>0)的右焦點(diǎn)為F(6,0),

所以圓的半徑為6,由對(duì)稱性可知AC和8。是圓。的兩條直徑，所以MCl=IBDl=12,故A正確；

對(duì)于B,若CoS乙40?=4，則可得CoS乙400=