江蘇省南京民辦求真中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期初測試數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年南京求真中學(xué)初三上期初試卷

一.選擇題（共6小題，18分）

1.一元二次方程√-3χ-1=0的根的情況是（）

A.有兩個相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根

2.下列說法：（1）長度相等的弧是等弧，（2）相等的圓心角所對的弧相等，（3）劣弧一定

比優(yōu)弧短，（4）直徑是圓中最長的弦.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.用配方法將方程2√-4x-3=0變形，結(jié)果正確的是（）

A.2（x-1）2-4=0B.（χ-1）2-S=O

2

C.2（x-1）2--∑=0D.Cx-1）2-5=0

2

4.如圖，在C）O中，若標(biāo)=2&,則A8與28的大小關(guān)系為（）

C

A.AB=2CDB.AB<2CDC.AB>2CDD.無法確定

5.如圖，。。的直徑為10,弦AB的長為8,點(diǎn)P是弦AB上的一個動點(diǎn)，使線段OP的長

度為整數(shù)的點(diǎn)P有（）

6.關(guān)于X的方程（X-I）（X+2）=p2（P為常數(shù)）根的情況下，下列結(jié)論中正確的是（）

A.兩個正根

B.一個正根，一個負(fù)根，正根的絕對值比負(fù)根的絕對值大

C.兩個負(fù)根

D.一個正根，一個負(fù)根，正根的絕對值比負(fù)根的絕對值小

二.填空題(共10小題，30分)

7.化簡：(a-b)J_?—=

8.若一個一元二次方程的兩個根分別是1、-2,請寫出一個符合題意的一元二次方

程.

9.C)O中，弦A8的長恰等于半徑，則弧源的度數(shù)是度.

10.若關(guān)于X的方程U2+2X+1=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是.

11.若關(guān)于X的方程ax2+bx+c-0的解是xι=3,X2—^5,則關(guān)于y的方程a(y+l)2+b(y+l)

+c=0的解是.

12.一個點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小距離為6c”?,最大距離為IOcw,則圓的半徑為cm.

13.己知關(guān)于X的方程/+(必-4)x+k-1=0的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則&=.

14.如圖，過A、C、O三點(diǎn)的圓的圓心為點(diǎn)E,過B、F、E三點(diǎn)的圓的圓心為。，如果/

A=66°,那么/9=________.

15.如圖，從4地到8地有兩條路可走，一條路是大半圓，另一條路是4個小半圓.有一

天，一只貓和一只老鼠同時從A地到B地.老鼠見貓沿著大半圓行走，它不敢與貓同行

(怕被貓吃掉)，就沿著4個小半圓行走.假設(shè)貓和老鼠行走的速度相同，那么

先到達(dá)B地

16.若aABC的一條邊BC的長為5,另兩邊A3、AC的長是關(guān)于X的一元二次方程？-(2A+3)

x+?2+3Z+2=0的兩個實(shí)數(shù)根，當(dāng)Ic=時，是直角三角形.

≡.解答題(共5小題，52分)

17.解方程：

(1)x(x-4)=2(4-x)

(2)/+3χ=4;

(3)3Λ2+5X+1=0;

(4)X(2x-4)=5-8x.

18.如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度48=60米，拱高PO=18米.

(1)求圓弧所在的圓的半徑r的長；

(2)當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE

=4米時，是否要采取緊急措施？

19.如圖，利用一面墻(墻長25米)，用總長度49米的柵欄(圖中實(shí)線部分)圍成一個矩

形圍欄ABCZZ且中間共留兩個1米的小門，設(shè)柵欄BC長為X米.

(OAB=米(用含X的代數(shù)式表示)；

(2)若矩形圍欄ABCQ面積為210平方米，求柵欄BC的長；

(3)矩形圍欄ABCz)面積是否有可能達(dá)到240平方米？若有可能，求出相應(yīng)X的值，若

不可能，請說明理由.

//////、//////

B

DC

1米1米

20.某景區(qū)在2021年“五一”小長假期間，接待游客達(dá)2萬人次.預(yù)計(jì)在2023年“五一”

小長假期間，接待游客2.88萬人次，該景區(qū)一家冰淇淋店希望在“五一”小長假期間獲

得較好的收益，經(jīng)測算可知，某種口味的冰淇淋成本價為每碗10元，借鑒以往經(jīng)驗(yàn).若

每碗賣15元，平均每天將銷售120碗.若價格每提高0.5元，則平均每天少銷售4碗，

每天店面所需其他各種費(fèi)用為168元.

(1)求出2021至2023年“五一”小長假期間游客人次的年平均增長率；

(2)為了更好地維護(hù)景區(qū)形象，物價局規(guī)定每碗該種口味的冰淇淋售價不得超過20元,

當(dāng)每碗售價定為多少元時.店家售賣該種口味的冰淇淋才能實(shí)現(xiàn)每天凈利潤600元？(凈

利潤=總收入-總成本-其它各種費(fèi)用)

21.在正方形ABCZ)和正方形BEFG中，點(diǎn)A、B、E在同一條直線上，連接DF,且「是

線段OP的中點(diǎn)，連接PG、PC.

(1)如圖1,PG與尸C的關(guān)系為；

(2)如圖2將條件“正方形ABCQ和正方形BEFG”改為“矩形ABa)和矩形BEFG”

其它條件不變，判斷PG、PC關(guān)系，并證明：

(3)如圖3,若將條件“正方形ABCC和正方形BEFG”改為"菱形ABCO和菱形BEFG”,

點(diǎn)A、B、E在同一條直線上，連接。F.P是線段D尸的中點(diǎn)，連接PG、PC,且NABC

=NBEF=60°.求效的值.

PC

2023-2024學(xué)年南京求真中學(xué)初三上期初試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共6小題，18分）

I.一元二次方程X2-3X-}=O的根的情況是（）

A.有兩個相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根

【解答】解：

Vjt2-3x-\=0,

；.△=（-3）2-4×l×（-1）=9+4=13>0,

該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：B.

2.下列說法：（1）長度相等的弧是等弧，（2）相等的圓心角所對的弧相等，（3）劣弧一定

比優(yōu)弧短，（4）直徑是圓中最長的弦.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：（1）長度相等的弧不一定是等弧，弧的度數(shù)必須相同，故錯誤；

（2）同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，故錯誤；

（3）同圓或等圓中劣弧一定比優(yōu)弧短，故錯誤；

（4）直徑是圓中最長的弦，正確，

正確的只有1個，

故選：A.

3.用配方法將方程2√-4χ-3=0變形，結(jié)果正確的是（）

A.2（χ-1）2-4=0B.（χ-l）2一2=0

2

C.2（χ-1）2-5=0D.（χ-l）2-5=0

2

【解答】解：?.?2√-4X-3=0,

.?.2X2-4x=3,

則X2-2x=—,

2

.?.x2-2x+l=旦+1,即（x-1）2=.∑,

22

故選:B.

4.如圖，在。。中，若標(biāo)=2&,則AB與28的大小關(guān)系為（）

A

A.AB=ICDB.AB<2CDC.AB>2CDD.無法確定

【解答】解：如圖，取標(biāo)的中點(diǎn)E,連接AE,BE,

A

在。。中，AB=2CD,

???AE=BE=CD.

...AE=BE=CD,

?"AE+BE>AB,

.".AB<2CD.

故選:B.

5.如圖，。。的直徑為10,弦A8的長為8,點(diǎn)P是弦AB上的一個動點(diǎn)，使線段OP的長

度為整數(shù)的點(diǎn)尸有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【解答】解：當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時，利用垂徑定理得到OP_LAB,此時OP最短,

?.?4B=8,.".AP=BP=4,

在直角三角形AoP中，0A=5,AP=A,

根據(jù)勾股定理得：OPrOA2.Ap2=3,即0尸的最小值為3；

當(dāng)P與4或B重合時，OP最長，此時OP=5,

Λ3≤OP≤5,

則使線段。戶的長度為整數(shù)的點(diǎn)尸有3,4,5,共5個.

故選：C.

2

6.關(guān)于X的方程(X-I)G+2)=p(P為常數(shù))根的情況下，下列結(jié)論中正確的是()

A.兩個正根

B.一個正根，一個負(fù)根，正根的絕對值比負(fù)根的絕對值大

C.兩個負(fù)根

D.一個正根，一個負(fù)根，正根的絕對值比負(fù)根的絕對值小

【解答】解：設(shè)方程兩根設(shè)為α,b,

方程整理得：x1+χ-2-p2=0,

由根與系數(shù)的關(guān)系得：a+b^-1<0,浦=-2-p2<0,

則一個正根，一個負(fù)根，正根的絕對值比負(fù)根的絕對值小.

故選：D.

二.填空題(共10小題，30分)

7.化簡：(a-b)d_1=_z_Vb_a_?

【解答】解：:'[H有意義，

Va-b

(a-b)<0,

×(-——)=-√b-a?

a-b

故答案為：-Vb-a?

8.若一個一元二次方程的兩個根分別是1、-2,請寫出一個符合題意的一元二次方程上

-X-2=0?

【解答】解：Tl+(-2)=-1,

1?(-2)=-2,

.?.以1和-2為根的一元二次方程可為X2-X-2=0.

故答案為X2-X-2=0.

9.Oo中，弦AB的長恰等于半徑，則弧源的度數(shù)是60度.

【解答】解：如圖，連接。4、OB,

'：AB=OA=OB,

???△ABC為等邊三角形，

.?.NAOB=60°,

弧窟的度數(shù)是60°.

故答案為60.

10.若關(guān)于X的方程近2+2X+1=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)我的取值范圍是?≤1.

【解答】解：???關(guān)于X的方程小+2x+l=0有實(shí)數(shù)根，

當(dāng)Zro時，?=4-4?≥0,

.?.jt≤l,

.?.jt≤l且k≠0,

當(dāng)Z=O時，

此時方程為3x+l=0,滿足題意，

故答案為：?≤1?

11.若關(guān)于X的方程ax1+bx+c=0的解是Xl=3,X2—-5,則關(guān)于y的方程α(y+l)2+fe(y+l)

+c=0的解是yι=2,y2=-6?

【解答】解：設(shè)f=y+l,

則原方程可化為at2+bt+c=0,

;關(guān)于X的方程0r2+?x+c=0的解是Xl=3,X2=-5,

.?."=3,t2=-5,

Λy+1=3或y+l=-5,

解得yi=2,y2=-6.

故答案為：yι=2,”=-6.

12.一個點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小距離為6cm,最大距離為IOa”，則圓的半徑為8或2cm.

①當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時，如圖1,

：點(diǎn)到圓上的最小距離MB=6cm,最大距離MA=IOcw,

直徑AB=6cm+?0an=z↑6cm,

半徑r=8c”?;

②當(dāng)點(diǎn)在圓外時，如圖2,

?.?點(diǎn)到圓上的最小距離MB=6cm,最大距離MA—}Ocm,

直徑AB=IOeVn-6cm=4cm,

二半徑r=2cm,

綜上所述，圓的半徑為8。"或2cm,

故答案為：8或2.

13.已知關(guān)于X的方程/+(F-4)x+A-1=0的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則k=-2.

【解答】解：設(shè)方程的兩根分別為XI,X2,

?.?7+(?2-4)x+k-1=0的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，

'.X?+X2,=-(?2-4)=0,解得九=±2,

當(dāng)￠=2,方程變?yōu)椋簒2+l=0,Δ=-4<0,方程沒有實(shí)數(shù)根，所以％=2舍去；

當(dāng)Z=-2,方程變?yōu)椋?2-3=0,A=12>0,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

：.k=-2.

故答案為-2.

14.如圖，過A、C、。三點(diǎn)的圓的圓心為點(diǎn)E,過8、F、E三點(diǎn)的圓的圓心為￡),如果N

A=66°,那么Ne=16°

C

D

：過A,C,。三點(diǎn)的圓的圓心為E,且過B,F,E三點(diǎn)的圓的圓心為D,

...AE=CE=DE=DB,

.,.NA=乙4CE,NECD=NCDE,NDEB=NDBE,

VZA=66o,

NAEC=180°-2×66°=48°,

,.?NECD=4CDE=2NDBE,

：.NAEC=NECD+NDBE=3NDBE,即3∕O8E=48°,

：.NDBE=I6°,

即N0=16°,

故答案為：16°.

15.如圖，從A地到8地有兩條路可走，一條路是大半圓，另一條路是4個小半圓.有一

天，一只貓和一只老鼠同時從4地到B地.老鼠見貓沿著大半圓行走，它不敢與貓同行

（怕被貓吃掉），就沿著4個小半圓行走.假設(shè)貓和老鼠行走的速度相同，那么

先到達(dá)B地

【解答】解：以AB為直徑的半圓的長是：LrA2；

2

設(shè)四個小半圓的直徑分別是α,b,cfd,則。+6+c+d=A8.

則老鼠行走的路徑長是：工兀4+~l?∏?+~lπc+1?πd=2?π(a+h+c+d)=-lπ?AB.

222222

故貓和老鼠行走的路徑長相同.

16.若aABC的一條邊BC的長為5,另兩邊AB,AC的長是關(guān)于X的一元二次方程x2-(2A+3)

X+F+3%+2=0的兩個實(shí)數(shù)根，當(dāng)仁2或Il時,BC是直角三角形.

【解答】解：?.?χ2-(2k+3)x+k2+3k+2=O,

.".1X-(k+l)][x-(?+2)]=0,

Λxι=?+1,X2=?+2,

BPAB.AC的長為Z+l,?+2,

2

當(dāng)(A+l)+(k+2)2=52時，AABC為直角三角形，解得用=2,?2=-5(舍去)；

當(dāng)(?+l)2+52=(%+2)2時，為直角三角形，解得％=11；

綜上所述，當(dāng)k=2或11時，AABC是直角三角形.

故答案為2或11.

17.解方程：

(1)x(x-4)=2(4-x)

(2)Λ2+3X=4;

(3)3Λ2+5X+1=0;

(4)X(2χ-4)=5-8x.

【解答】解：⑴χ(χ-4)=2(4-x)

所以Xl=4,X2—2；

(2)X2+3X=4;

所以Xl=-4,X2=1；

(3)(3)3X2+5JC+1=O;

a=3fb=5,c=l,

Δ=13>0,

2

v.--b±√b-4ac--10±2√10--5±√10

Λ'…---------------------------------1

2a2×33

所以x∣=-5~√IU,

X2=^5+√10..

33

(4))X⑵-4)=5-8x.

所以Xi-1,X2—--.

3

18.如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB=60米，拱高尸。=18米.

(1)求圓弧所在的圓的半徑r的長：

(2)當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE

=4米時，是否要采取緊急措施？

【解答】解：(1)連接04,

由題意得：ΛD=-1√4B=3O(米)，OD=(r-18)米,

2

在RtAAOO中，由勾股定理得：r2=302+(r-18)2,

解得，r=34(米)；

（2）連接。A',

;OE=OP-PE=30米，

在RtAVEO中，由勾股定理得：A'E1=A1O2-OE1,即：A,E2=342-302,

解得：A'E=I6（米）.

.?.A'B1=32（米）.

VA,B1=32>30,

.?.不需要采取緊急措施.

19.如圖，利用一面墻(墻長25米)，用總長度49米的柵欄(圖中實(shí)線部分)圍成一個矩

形圍欄A8CD,且中間共留兩個1米的小門，設(shè)柵欄BC長為X米.

(1)AB=(5?-3x)米(用含X的代數(shù)式表示)；

(2)若矩形圍欄A8CD面積為210平方米，求柵欄BC的長；

(3)矩形圍欄ABCQ面積是否有可能達(dá)到240平方米？若有可能，求出相應(yīng)X的值，若

不可能，請說明理由.

4/////、/////4

AB

【解答】解：(1)設(shè)柵欄BC長為X米，

；柵欄的全長為49米，且中間共留兩個1米的小門,

ΛAB=49+2-3x=51-3x(米)，

故答案為：(51-3.r);

(2)依題意,得：(51-3x)x=210,

整理，得：?-17x+70=0,

解得：Xl=7,X2—10.

當(dāng)x=7時，A8=51-3x=30>25,不合題意，舍去，

當(dāng)X=Io時?，AB=5?-3x=21,符合題意，

答：柵欄BC的長為10米；

(3)不可能，理由如下：

依題意，得：(51-3x)X=240,

整理得：%2-17Λ+80=0,

?：Z=(-17)2-4×l×80=-31<0,

.?.方程沒有實(shí)數(shù)根，

.?.矩形圍欄ABCO面積不可能達(dá)到240平方米.

20.某景區(qū)在2021年“五一”小長假期間，接待游客達(dá)2萬人次.預(yù)計(jì)在2023年“五一”

小長假期間，接待游客2.88萬人次，該景區(qū)一家冰淇淋店希望在“五一”小長假期間獲

得較好的收益，經(jīng)測算可知，某種口味的冰淇淋成本價為每碗10元，借鑒以往經(jīng)驗(yàn).若

每碗賣15元，平均每天將銷售120碗.若價格每提高0.5元，則平均每天少銷售4碗，

每天店面所需其他各種費(fèi)用為168元.

(1)求出2021至2023年“五一”小長假期間游客人次的年平均增長率；

(2)為了更好地維護(hù)景區(qū)形象，物價局規(guī)定每碗該種口味的冰淇淋售價不得超過20元,

當(dāng)每碗售價定為多少元時.店家售賣該種口味的冰淇淋才能實(shí)現(xiàn)每天凈利潤600元？(凈

利潤=總收入-總成本-其它各種費(fèi)用)

【解答】解：(1)可設(shè)年平均增長率為X,依題意有

2(l+x)2=2.88,

解得Xl=O.2=20%,X2=-2.2(舍去).

答：年平均增長率為20%；

(2)設(shè)每碗售價定為y元時，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤600元，依題意得：

(y-10)l∣20--?(>--15)]-168=600,

0.5

解得yι=18,”=22,

：每碗售價不得超過20元，

.?.y=18.

答：當(dāng)每碗售價定為18元時，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤600元.

21.在正方形ABCO和正方形BEFG中，點(diǎn)4、B、E在同一條直線上，連接。凡且P是

線段。F的中點(diǎn)，連接尸G、PC.

(1)如圖1,PG與PC的關(guān)系為PGLPC,PG=PC:

(2)如圖2將條件“正方形ABCD和正方形BEFG”改為“矩形ABCD和矩形BEFG”

其它條件不變，判斷PG、PC關(guān)系，并證明：

(3)如圖3,若將條件“正方形ABCD和正方形BEFG”改為“菱形ABC。和菱形BEFG”,

點(diǎn)A、B、E在同一條直線上，連