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文檔簡(jiǎn)介
2023-2024學(xué)年遼寧省高一上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題
一、單選題
1.已知集合厶={-1,0,1,2},B={1,2,3},則Au8=()
A.{1,2}B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}
【正確答案】D
【分析】根據(jù)集合的并集運(yùn)算即可得出答案.
【詳解】因?yàn)锳={-1,0,1,2},B={1,2,3},
所以AuB={-l,0,l,2,3},
故選:D.
2.如圖,在等腰梯形A8C。中,AD//BC,A£>=2,AB=BC=CD=1,E為4。的中點(diǎn).則下
列式子不正確的是()
A.AB+AE=ACB.|?E|=|EC|C.AB-CD=EDD.ED+CB=0
【正確答案】C
【分析】先分析清楚圖像內(nèi)部的幾何關(guān)系,再根據(jù)向量加法規(guī)則逐項(xiàng)分析.
【詳解】由題意|AE]=|£?|=|3C|=1,A£7/8C,£Z)//3C,.”£'=£?=3C,
并且四邊形A8CE和四邊形都是平行四邊形,即8£=。£>,48=£。,
對(duì)于A,AB+AE=AC,正確;
對(duì)于B,國(guó)=|西=1,図=網(wǎng)=1,正確;
對(duì)于C,ED=AE=AB+BE^AB+CD^AB-CD,錯(cuò)誤;
對(duì)于D,ED=BC=-CB,ED+CB=0,正確;
故選:C.
o_o
3.“|%-1陣2”是“r三二的()
x+1
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【正確答案】B
【分析】化簡(jiǎn)不等式,得到兩個(gè)不等式的解,根據(jù)充分條件,必要條件的定義即可得出結(jié)論.
【詳解】解:由|x—1|<2,解得一14x43,由3解得—1VX43,
顯然-1<xK3=-l4x<3,但是一1Kx43推不出—1<x<3,
所以W2”是1”的必要不充分條件.
故選:B.
4.下列函數(shù)是增函數(shù)且在(0,5)上有零點(diǎn)的是()
A./(x)=x+4B./(力=4-兇C./(x)=lnx-3D./(x)=3v-8
【正確答案】D
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A,/(x)=x+4是增函數(shù),令/(x)=x+4=0,
貝!Jx=-4<0,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,/(力=4一國(guó)在(0,+oo)上是減函數(shù),故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C令〃x)=lnx-3=0,則x=e3>5,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,/(力=3*-8是増函數(shù),令〃x)=3,-8=0,
則x=log38e(l,2),故D正確;
故選:D.
5.已知”二腿22,人=1嘔6,c=2,則a,b,c的大小關(guān)系為()
33
A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a
【正確答案】C
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
a=log2<log=0
【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知:2P,/?=log56>log55=l,又
c=*G(0,1),所以b>c>a.
故選.C
6.如圖,這是甲、乙兩位同學(xué)在4次數(shù)學(xué)測(cè)試中得分的莖葉圖,若從甲、乙兩位同學(xué)的4
次得分中各抽選1次得分,則甲同學(xué)抽選的得分高于乙同學(xué)抽選的得分的概率為()
甲乙
98879
10908
39
A.BD.
8-焉
【正確答案】B
【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求解.
【詳解】從甲、乙兩位同學(xué)的4次得分中各抽選1次得分,
則共有16種情況,其中甲的得分高于乙的得分的情況有7種,
故所求的概率為一7.
16
故選:B.
7.下圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的我國(guó)最近10年的人口出生率(單位:%),根據(jù)下圖,則()
A.這10年的人口出生率逐年下降
B.這10年的人口出生率超過(guò)12%。的年數(shù)所占比例等于45%
C.這10年的人口出生率的80%分位數(shù)為13.57%
D.這10年的人口出生率的平均數(shù)小于12%。
【正確答案】D
【分析】由走勢(shì)圖對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.
【詳解】對(duì)于A:這10年的人口出生率有升有降,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B:這10年的人口出生率超過(guò)12%。的年數(shù)所占比例等于50%,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C:由于10x0.8=8,則這10年的人口出生率的80%分位數(shù)為從小到大第8個(gè)和第9
個(gè)數(shù)的平均數(shù)1367;3-83=]370,故c錯(cuò)誤;
對(duì)于D:這10年的人口出生率的平均數(shù)為
木(14.57+13.03+13.83+11.99+13.57+12.64+10.86+10.41+8.52+7.52)=11.694小于
12%o,故D正確;
故選:D.
8."碳達(dá)峰''是指二氧化碳的排放不再增長(zhǎng),達(dá)到峰值之后開(kāi)始下降,而"碳中和''是指企業(yè)、
團(tuán)體或個(gè)人通過(guò)植樹(shù)造林、節(jié)能減排等形式,抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量,實(shí)現(xiàn)二氧化
碳“零排放某地區(qū)二氧化碳的排放量達(dá)到峰值“(億噸)后開(kāi)始下降,其二氧化碳的排放
量S(億噸)與時(shí)間f(年)滿足函數(shù)關(guān)系式S=M',若經(jīng)過(guò)4年,該地區(qū)二氧化碳的排放
量為當(dāng)(億噸).已知該地區(qū)通過(guò)植樹(shù)造林、節(jié)能減排等形式抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放
量為三(億噸),則該地區(qū)要實(shí)現(xiàn)“碳中和”,至少需要經(jīng)過(guò)()(參考數(shù)據(jù):
lg2ao.30,lg3yo.48)
A.13年B.14年C.15年D.16年
【正確答案】D
【分析】由條件列式劭4=當(dāng)先確定參數(shù),再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算解方程.
43
【詳解】由題意,S=a/=當(dāng),即所以b邛,
44v4
令即故=;,即=
JJ丿。Vrj
141g3
可得力(Ig3-2lg2)=—Ig3,即……"16.
421g2-lg3
故選:D
二、多選題
9.已知e是直線/上的一個(gè)單位向量,a與匕都是直線/上的向量,且a=2e,b=-3e,則
()
A.人的坐標(biāo)為—3B.|ft|=3
C.2a+3〃的坐標(biāo)為5D.\2a+3b\=5
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)題意得到忖=|2e|=2,W="e|=3,a,6的夾角為180,再依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A,因?yàn)槿?-3e,所以6的坐標(biāo)為-3,故A正確;
對(duì)選項(xiàng)B,慟=卜3書(shū)3,故B正確.
對(duì)選項(xiàng)C,因?yàn)閍=2e,b=-3e?所以2〃+3b的坐標(biāo)為-5,故C錯(cuò)誤;
對(duì)選項(xiàng)D,因?yàn)椴凡窇Q=2,卜卜卜3[=3,〃力的夾角為180,
所以(2a+30=4了+9片+12a)=4x22+9x9+12x2x3x(-l)=25,
所以|2a+3bl=5,故D正確.
故選:ABD
10.為了解某班學(xué)生每周課外活動(dòng)的時(shí)間,甲同學(xué)調(diào)查了10名男生,其平均數(shù)為9,方差
為11;乙同學(xué)調(diào)查了10名女生,其平均數(shù)為7,方差為8.若將甲、乙兩名同學(xué)調(diào)查的學(xué)
生合在一起組成一個(gè)容量為20的樣本,則該樣本數(shù)據(jù)的()
A.平均數(shù)為8.5B.平均數(shù)為8C.方差為10.5D.方差為10
【正確答案】BC
【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義計(jì)算求解即可.
10x9+10x7
【詳解】由題意,該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)本=8,
方差$2=芻口1+(9-8円+第[8+(7-8円=10.5.
故選:BC
11.設(shè)函數(shù)〃x)=ln(W-a),則下列說(shuō)法正確的是()
A.“X)是偶函數(shù)
B.當(dāng)a=l時(shí),〃X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0)
C.若的定義域?yàn)镽,則〃的取值范圍為(-8,01
D.若/(x)的值域?yàn)镽,則a的取值范圍為[0,+oo)
【正確答案】AD
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,值域和定義域進(jìn)行逐項(xiàng)的判斷即可求解.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),因?yàn)楫?dāng)時(shí),函數(shù)定義域?yàn)?—,-a)(",七?),當(dāng)。=0時(shí),函數(shù)
定義域?yàn)?e,O)L(O,E);
當(dāng)。<0時(shí),函數(shù)的定義域?yàn)镽,函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且/(-x)=/(x),所以〃x)是
偶函數(shù),故A正確;
對(duì)于B選項(xiàng),當(dāng)a=l時(shí),令兇-1>0,解得x<-l或x>l,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知/(x)的
單調(diào)遞減區(qū)間為(9,-1),故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C選項(xiàng),若"X)的定義域?yàn)镽,則恒成立,故"0,則”的取值范圍為(-8,0),
故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D選項(xiàng),若〃x)的值域?yàn)镽,則-。40,故aNO,則a的取值范圍為[0,轉(zhuǎn)),故D正
確.
故選.AD
12.已知函數(shù)“X),g(x)的定義域均為R,g(x)為偶函數(shù),且〃x)+g(x+l)=l,
/(x+l)-g(x)=3,貝ij()
A.g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱B./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,2)對(duì)稱
C./(x)是以3為周期的周期函數(shù)D.g(x)是以4為周期的周期函數(shù)
【正確答案】ABD
[分析]根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性逐項(xiàng)進(jìn)行求解即可.
【詳解】由/(x)+g(x+l)=l,可得/(x+1)+g(x+2)=l,
又f(x+l)-g(x)=3,所以g(x+2)+g(x)=-2,則g(x+4)+g(x+2)=-2,
所以g(x+4)=g(x),所以g(x)周期為4,故D正確;
同理可得〃x+4)=/(x),所以f(x)周期為4,故C錯(cuò)誤;.
因?yàn)間(x)為偶函數(shù),所以g(r)=g(x)=g(x+4),
所以g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,故A正確;
因?yàn)?(x)+g(x+l)=l,可得g(x)=l—/(x—l),
又/(x+l)-g(x)=3,所以g(-x)=/(l-x)-3,
由g(T)=g(x),可得=HP/(1-X)+/(X-1)=4,
所以/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,2)對(duì)稱,故B正確;
故選:ABD.
三、填空題
13.已知。=(,",-2),6=(3,1),若a〃b,則同=.
【正確答案】2M
【分析】首先根據(jù)“〃6得到加=-6,再計(jì)算同即可.
【詳解】由a〃£>,得〃7+6=0,則機(jī)=-6,故|a|=J36+4=.
故2函
四、雙空題
14.某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生生活方面的日支出情況,抽出了一個(gè)容量為”的樣本,將數(shù)據(jù)按
120,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]分成5組,制定成如圖所示的頻率分布直方圖,
貝,要從日支出在[50,70]的樣本中用分層抽樣的方法抽取10人,則日支出在
[60,70]中被抽取的人數(shù)為.
【正確答案】0.0052
【分析】根據(jù)頻率之和為1列岀方程,求出。=0.005,得到[50,60)內(nèi)和[60,70]內(nèi)的樣本比
例,從而得到在[60,70]中被抽取的人數(shù).
【詳解】(2xa+0.02+0.025+0.045)xl0=l,解得4=0.005.
因?yàn)椋?0,60)內(nèi)和[60,70]內(nèi)的樣本個(gè)數(shù)比例為0.020:0.005=4:1,
根據(jù)分層抽樣可知,日支出在[60,70]中被抽取的人數(shù)為10x$=2.
故0.005,2
五、填空題
15.設(shè)。,feeR,若9a2+廿+3ab=6,則3〃+b的最大值為.
【正確答案】2竝
【分析】利用條件變形和問(wèn)題建立起聯(lián)系:(3a+b)2=3ab+6,再利用基本不等式求出油的
范圍即可求解.
詳解】9a2+b2+3ab=6=(3a+/>)'-3ab,
即(3a+匕)-=3ab+6,
因?yàn)?/+廿+3ab=6>2\l9a2-b2+3ab-
2
可得姉當(dāng)且僅當(dāng)3a=6時(shí),等號(hào)成立,
所以(3a+b)2=3"+648,
即34+b的最大值為2無(wú).
故答案為.2及
16.已知/1BC內(nèi)一點(diǎn)P滿足AP=/M8+,AC,若PCB的面積與:ABC的面積之比為1:3,
4
則4的值為.
【正確答案】總
【分析】過(guò)點(diǎn)P作尸“//AC,PN//AB,根據(jù)向量運(yùn)算和平面向量基本定理可得AM=/lAB,
4V=.作PG丄AC于點(diǎn)G,8H丄AC于點(diǎn)”.根據(jù)三角形面積公式結(jié)合三角形相似判
4
斷可得以.=朮厶.,SAW=;SMC,列方程求人的值.
【詳解】如圖,過(guò)點(diǎn)P作PM//AC,PN//AB,則AP=AM+AN,
y.AP=AAB+-AC,
4
由平面向量基本定理可得AM=2A5,4V=JAC.
4
作PG丄AC于點(diǎn)G,BH丄AC于點(diǎn)H.
又因?yàn)椤鱌NGs^BAH,所以空■二空二彳,
BHAB
因?yàn)镾"AC="S△ABC?同理5厶姉8二1^ABC?
因?yàn)镻CB的面積與一ABC的面積之比為1:3,
所以義+:十;=1,
43
解得2=卷.
故答案為
12
六、解答題
17.已知命題P:*eR,x2+mx+w<0>集合A是命題。為假命題時(shí)實(shí)數(shù)加的取值集合,
函數(shù)/@)=E(》+4)+71=的定義域?yàn)榧县?/p>
\la-x
(1)求集合A;
(2)已知。>0,若“xeA”是“xeB”的充分不必要條件,求”的取值范圍.
【正確答案】(1)A=[(),4]
(2)(4,田)
【分析】(1)分析可知,命題P的否定為真命題,由△?()可求得集合A;
(2)求出集合8,分析可知AB,可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式組,即可解得實(shí)數(shù)。的取值
范圍.
【詳解】(1)解:命題。的否定為祗eR,x2+mx+m>0,
命題。的否定為真命題等價(jià)于△=病-4%40,解得04機(jī)44,所以A=[(),4].
x-\-a>0/、
解得-a<x<a,則8=(—a,a),
{a-x>\)
因?yàn)椤皒eA”是“xe夕'的充分不必要條件,則AB,
f—6Z<0
所以,,,解得。>4,
[a>4
當(dāng)”=4時(shí),8=(-4,4),此時(shí)AB.
因此,實(shí)數(shù)。的取值范圍是(4,止).
18.已知幕函數(shù)〃x)=(>-3),"在(O,+a))上單調(diào)遞減.
⑴求“X)的解析式;
⑵若Vx?l,2],/(X)<^-Z£,求〃的取值范圍.
X
【正確答案】⑴/(司=/
⑵y,i]
【分析】(1)根據(jù)哥函數(shù)的定義和單調(diào)性列式求解即可;
(2)根據(jù)題意分離變量得到a<2'-丄在口.“恒成立,利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
X
加2_Q_1
【詳解】(1)因?yàn)辄\函數(shù)〃X)=(病-3)?”在(0,+8)上單調(diào)遞減,所以機(jī)<0一,
解得“=-2,所以“X)的解析式為〃x)=x-2.
(2)由/(幻4竺心,可得丄42,-a,則。42,一丄,
XXX
因?yàn)閥=2,,y=-丄在[1,2]上單調(diào)遞增,
X
所以y=2,-丄在[1,2]上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=l時(shí),取得最小值1.
X
所以a的取值范圍為(9」].
19.已知/(x)為R上的奇函數(shù),當(dāng)xNO時(shí),/(x)=logJx+4)+〃z.
⑴求機(jī)的值并求出/(同在(-^,0)上的解析式;
(2)若求。的取值范圍.
【正確答案】⑴帆=2,/(x)=-logi(-x+4)-2
2
⑵(YO,f
【分析】(1)根據(jù)函數(shù)為R上的奇函數(shù)得到/(O)=O,求出機(jī)的值,并利用函數(shù)的奇偶性
求出解析式;
(2)得到函數(shù)的單調(diào)性及〃T)=-l°gl8-2=l,從而解不等式,求出答案.
2
【詳解】(D由題可知/(o)=—2+機(jī)=0,即〃7=2,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,
令x<0,則-x>0,/(T)=bgi(-x+4)+2,
2
又f(x)為奇函數(shù),所以〃—x)=-〃x),
所以―/(x)=logi(—x+4)+2,故〃x)=-1og|(—x+4)—2,
22
故〃x)在(-8,0)上的解析式為"x)=Togi(-x+4)-2
2
(2)由函數(shù)性質(zhì)可知/(x)在[0,Ko)上單調(diào)遞減,則f(x)在R上單調(diào)遞減.
又因?yàn)椤癥b-bg邙-Zf,所以即/(a)>/(T),
2
所以當(dāng)av-4時(shí),/(?)>1,即a的取值范圍為(—,-4).
20.某電視臺(tái)舉行沖關(guān)直播活動(dòng),該活動(dòng)共有四關(guān),只有一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)兩個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng),參加活
動(dòng)的選手從第一關(guān)開(kāi)始依次通關(guān),只有通過(guò)本關(guān)才能沖下一關(guān).已知第一關(guān)的通過(guò)率為0.7,
第二關(guān)、第三關(guān)的通過(guò)率均為0.5,第四關(guān)的通過(guò)率為0.2,四關(guān)全部通過(guò)可以獲得一等獎(jiǎng)(獎(jiǎng)
金為500元),通過(guò)前三關(guān)就可以獲得二等獎(jiǎng)(獎(jiǎng)金為200元),如果獲得二等獎(jiǎng)又獲得一等
獎(jiǎng),獎(jiǎng)金可以累加.假設(shè)選手是否通過(guò)每一關(guān)相互獨(dú)立,現(xiàn)有甲、乙兩位選手參加本次活動(dòng).
(1)求甲未獲得獎(jiǎng)金的概率;
(2)求甲和乙最后所得獎(jiǎng)金之和為900元的概率.
【正確答案】(1)0.825
(2)0.0098
【分析】(1)根據(jù)概率乘法公式分別求出獲得一二等獎(jiǎng)概率,再利用對(duì)立事件即可求出甲未
獲獎(jiǎng)金的概率;
(2)根據(jù)最后獎(jiǎng)金總和分析得甲和乙中一人獲得一等獎(jiǎng),一人獲得二等獎(jiǎng),根據(jù)概率乘法
和加法公式即可求解.
【詳解】(1)獲得二等獎(jiǎng)的概率為0.7x0.5x0.5x0.8=054,
獲得一等獎(jiǎng)的概率為0.7*0.5*0.5*0.2=0.035,
所以甲未獲得獎(jiǎng)金的概率為1-0.14—0.035=0.825.
(2)由(1)可知,獲得二等獎(jiǎng)的概率為0.14,獲得一等獎(jiǎng)的概率為0.035.
甲和乙最后所得獎(jiǎng)金之和為900元,則甲和乙中一人獲得一等獎(jiǎng),一人獲得二等獎(jiǎng),
則所求的概率為0.035x0.14+0.14x0.035=0.0098.
21.已知〃?>0,〃>0,如圖,在A8C中,點(diǎn)M,N滿足AN=nAC.。是線
段BC上一點(diǎn),=點(diǎn)E為4。的中點(diǎn),且M,N,E三點(diǎn)共線.
(D若點(diǎn)。滿足2Ao=OB+OC,證明:OEHBC.
⑵求m+2〃的最小值.
【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析
【分析】(1)根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則,利用AbAC依次表示再結(jié)合
向量共線定理證明OE//CB即可;
(2)由(1)AE=^-AM+^-AN,結(jié)合結(jié)論可得J+二=1,再利用基本不等式求帆+2”的
3m67?3m6〃
最小值.
11Q1
【詳解】(1)由題可知AD=A8+8O=A8+-8C=46+-(AC—A8)=-A6+-AC,
一33、丿33
因?yàn)辄c(diǎn)E為4。的中點(diǎn),所以AE=2A8+!AC.
36
由2Ao=OB+OC,貝12Ao=OA+A8+OA+AC,即AO=;(A8+AC),
OE=AE-AO=\-AB+-AC\--(AB+AC}=—AB-—AC,
(36丿4、>1212
又CB=AB-AC
所以O(shè)E〃圓,又旦C,B三點(diǎn)不共線,
所以O(shè)E//BC.
(2)因?yàn)镸,N,E三點(diǎn)共線,
所以可設(shè)ME=2MN,5(.AM=mAB.AN=nAC,
所以AE=(1—義)AM+,A7V=(1—2)AC
11
y.AE=-AB+-AC,
36
所以(1一;l)m=g,X〃=熹,
所以J-+;=l,
3mon
bi、i。zc、,11A112H/7i2_(2n―nt4
所以機(jī)+2〃=(/%+2〃
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