湖南省長沙市湖南師大附中梅溪湖中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

2023-2024師大附中梅溪湖中學(xué)八上第一次作業(yè)調(diào)研數(shù)學(xué)卷

（總分：120分時量：120分鐘）

一.選擇題（共10小題）

1.下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）

A*禽建

2.如圖，在aABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點。、E,連接AE,若A￡=4,EC=2,則BC

的長是（）

C.4D.2

3.如圖，點B在點A的北偏西50°方向，點C在點8的正東方向，且點C到點B與點A到點B的距離相等,

則點A相對于點C的位置是（）

題3

A.北偏東25°B.北偏東20°C.南偏西25°D.南偏西20°

4.若〃?>〃，下列不等式不一定成立的是（）

mn77

A.m+3>n+3B.-3m<-3nC.—>—D.m>n

33

5.已知點A（m,2021）與點3（2022,〃）關(guān)于y軸對稱，則加+〃的值為（）

A.-1B.1C.4043D.-2022

6.等腰三角形--腰上的高與另一腰的夾角為60°,則等腰三角形的底角度數(shù)為（）

A.15°B.30°C.15°或75°D.30°或150°

7.在平面直角坐標系中，若點P（加+3,-2m）到兩坐標軸的距離相等，則根的值為（）

A.-1B.3C.一1或3D.-1或5

8.某地興建的幸福小區(qū)的三個出口A、3、C的位置如圖所示，物業(yè)公司計劃在不妨礙小區(qū)規(guī)劃的建設(shè)下，想

在小區(qū)內(nèi)修建一個電動車充電樁，以方便業(yè)主，要求到三個出口的距離都相等，則充電樁應(yīng)該在△A8C（）

A.三條高線的交點處B.三條中線的交點處

C.三個角的平分線的交點處D.三條邊的垂直平分線的交點處

9.如圖，已知A8=QC,下列條件中，不能使△48C也△DCB的是（）

題9

A.AC-DBB.ZA=NO=90°

C.ZABC=NDCBD.ZACB^ZDBC

10.如圖，小敏做了一個角平分儀ABC。，其中=BC=DC,將儀器上的點4與NPRQ的頂點R

重合，調(diào)整A8和AO,使它們分別落在角的兩邊上，過點A、C畫一條射線AE,AE就是/PRQ的平分線.此

角平分儀的畫圖原理是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

—.填空題（共6小題）

11.如圖△A8C中，/。=90。，4加平分/847,CM=4cm,AB=7cm,則的面積是cm2.

M

A

題11

12.已知三角形的三邊長分別是8、10、x,則x的取值范圍是.

13.如果一個多邊形的內(nèi)角和等于它外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是.

14.如圖，B尸是△ABC中/ABC的平分線，CP是△ABC的外角NACM的平分線，如果NA3P=15°,

NACP=50°,則NP=

16.等腰三角形一腰上的中線把三角形的周長分為12和18兩部分，則腰長為

三.解答題（共8小題）

17.計算：（1）計算：—324-|—9|—（―4）2xf——.

\2）

（2）解方程：y-三空=1一^^.

26

18.已知2。+3的平方根是±3,3b-2c的立方根是2,c是卡的整數(shù)部分.

（1）求。、b、c的值；

（2）求一C的算術(shù)平方根.

19.如圖，已知△ABC,

(i)作出△4BC關(guān)于)，軸對稱的圖形△44G；

(2)求△ABC的面積；

(3)已知AB=5,求△ABC中，A8邊上的高.

20.如圖，D,E分別是A8,4c中點，CD1AB,垂足為O,BE±AC,垂足為E,CD與BE交于點F.

(1)求證：AC=AB；

(2)猜想與力/的數(shù)量關(guān)系，并證明.

21.在△ABC中，8。和C。分別平分NABC和/ACB,過點。作￡F〃BC,分別交A8,AC于點E,F.

(1)若45=AC,請判斷△AEF是否是等腰三角形，并說明理由；

(2)若△ABC的周長為18,BC=6,求△AEF的周長.

22.某商家銷售4,B兩種果苗，進貨單價分別為70元，50元，下表是近兩天的銷售情況.

銷售量/棵

銷售收入/元

A果苗8果苗

第一天43625

第二天55875

（1）求A,8兩種果苗的銷售單價；

（2）若該商家購進這兩種果苗總計50棵，購進費用不超過2900元，則最多購進A種果苗多少棵？

（3）某天商家銷售4,B兩種果苗（每種棵數(shù)均大于零），要使獲得的總利潤是900元，求這一天共有幾種銷

售方案.

23.如圖，△A8C為等邊三角形，AE=CD,交BE于點P,8Q_LAO于。.

（1）求證：AD=BE；

（2）設(shè)N8PQ=a,那么a的大小是否隨。、E的位置變化而變化？請說明理由;

(3)若PQ=3,PE=1,求A。的長.

24.規(guī)定：若P（x,y）是以x,y為未知數(shù)的二元一次方程依+力=。的非負整數(shù)解，則稱此時點尸為二元一

次方程ac+b），=c的“師梅點''.請回答以下關(guān)于x,y的二元一次方程的相關(guān)問題.

（1）方程x+2y=5的“師梅點”尸的坐標為.

⑵己知m〃為非負整數(shù)，且一＞/^+2何=1,若P（而，同）是方程2x+y=13的“師梅點”，求加一3〃的

平方根；

⑶“師梅點”P（x,y）滿足關(guān)系式：yjx-2y+iwc+\+Jx+2y-3=43-x-2y,其中m為整數(shù)，求“師

梅點”尸的坐標.

25.如圖1,點A、O在y軸正半軸上，點B、C分別在x軸上,8平分/4CB與y軸交于。點，NBDO=2ZACD.

圖1圖2圖3

（1）求證：AC=BC；

（2）在（1）中點C的坐標為（3,0）,點E為AC上一點，且N0E4=NDBO,如圖2,求8C+EC的長；

（3）在（1）中，過。作ObLAC于產(chǎn)點，點，為FC上一動點，點G為0C上一動點，（如圖3）,當(dāng)點”

在FC上移動、點G在0C上移動時，始終滿足NFDO=2NHDG,試判斷?從GH、0G這三者之間的數(shù)

量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并加以證明.

八上第一次調(diào)研數(shù)學(xué)卷答案

選擇題(共10小題)

1.D

【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條

直線叫做對稱軸進行分析即可.

【解答】解：選項A、B、C均能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重

合，所以是軸對稱圖形，

選項D不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱

圖形，

故選：D.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

2.B

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到3石=A￡=4,結(jié)合圖形計算即可.

【解答】解：是AB的垂直平分線，

BE-AE—4，

：.BC=BE+EC=4+2=6,

故選：B.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等

是解題的關(guān)鍵.

3.D

【分析】根據(jù)題意求出NB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出N84C,進而求出NE4C,得到答案.

【解答】解：；點8在點4的北偏西50°方向，

ZBAE=5O°,

?.?點C在點8的正東方向，

BC//AD,

：.NB=90°-NB4E=40°,

???BA=BC,

：.ABAC=ZC=1x(180°-40°)=70°,

Z./￡4。=70。-50。=20。，

/.點A相對于點C的位置是南偏西20°,

故選：D.

【點評】本題考查的是方向角、等腰三角形的性質(zhì)，正確標注方向角是解題的關(guān)鍵.

4.D

5.A

【分析】根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)”解答.

【解答】解：,點A（見2021）與點8（2022,〃）關(guān)于y軸對稱,

m——2022,n—2021,

.,./?!+〃=—2022+2021--1.

故選：A.

【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關(guān)于

x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù).

6.C

【分析】在等腰△ABC中，AB^AC,8。為腰AC上的高，ZABD=4O°,討論：當(dāng)BD在△ABC內(nèi)部時，

如圖1,先計算出NH4￡>=30°,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計算出/ACB；當(dāng)8。在aABC

外部時，如圖2,先計算出N3AD=30°,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計算出/AC8.

【解答】解：在等腰△ABC中，AB^AC,BO為腰AC上的高，ZABD40°,

當(dāng)80在△A8C內(nèi)部時，如圖1,

,：BD為高,

：.ZADB=90°,

：.NBAD=90°-46°=30°,

???AB^AC,

：.ZABC=ZACB=1(180°-30°)=75°；

當(dāng)8。在△ABC外部時，如圖2,

?.?8。為高，

ZADB=90。,

：.^&4￡>=90°-60°=30。，

?e?AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

而NB4￡)=NABC+NACB,

ZACB=-ZBAD=15°,

2

綜上所述，這個等腰三角形底角的度數(shù)為75°或15°?

故選：C.

圖1圖2

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個底角相等；等腰三角形的

頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.

7.C

8.D

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：電動車充電樁到三個出口的距離都相等，

充電樁應(yīng)該在aABC三條邊的垂直平分線的交點處，

故選：D.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距

離相等是解題的關(guān)鍵.

9.D

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可.

【解答】解:A.=3c=CB,AC=D5,符合全等三角形的判定定理SSS,能推出△ABC也△OCB,

故本選項不符合題意；

B.NA=NO=90°,=BC=C8,符合兩直角三角形全等的判定定理”3能推出△ABC四△OCB,

故本選項不符合題意；

C.AB=DC,ZABC=ZDCB,8C=CB,符合全等三角形的判定定理SAS,能推出△ABC四△OCB,

故本選不項符合題意；

D.AB=DC,BC=CB,ZACB=NDBC,不符合全等三角形的判定定理，不能推出AABCmADCB,

故本選項符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角

形的判定定理有&45,ASA,AAS,SSS,兩直角三角形全等還有”L.

10.A

【分析】由“SSS”可證可得N」BAC=NZMC,可證AE就是NPR。的平分線，即可求

解.

【解答】解：在aABC和△4DC中，

AB=AD

<BC=CD,

AC=AC

：.AABC也△ADC(SSS),

ABAC=ADAC,

，AE就是NPRQ的平分線，

故選：A.

【點評】本題考查了全等三角形判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

二.填空題(共6小題)

11.14

【分析】過點M作MD_LA8于￡>,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得MC=M￡>,再利用三角

形的面積公式列式計算即可得解.

【解答】解：如圖，過點M作于。，

VZC=90°,AM平分NBAC,

MD=MC=4cm,

11,

.,.△ABM的面積=—=—x7x4=14cnr.

22

【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)并作出輔助線是解

題的關(guān)鍵.

12.2cx<18

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得答案.

【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：10-8<%<10+8,

即2<x<18,

故答案為：2<x<18.

【點評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊

的和.

13.8

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式及外角的特征計算.

【解答】解：多邊形的外角和是360°,根據(jù)題意得：

180°-(n-2)=3x360°

解得“=8.

故答案為：8.

【點評】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和公式及外角的特征.求多邊形的邊數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為方程的問題來解決.

14.35

【分析】根據(jù)角平分線的定義以及一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，可求出NP的度數(shù).

【解答】解：尸是△ABC中NABC的平分線，CP是/ACB的外角的平分線，

，ZABP=ZCBP=15°,NACP=ZMCP=50°,

NPCM是△8CP的外角，

ZP=ZPCM-ZCBP=50°-15°=35°,

故答案為：35.

【點評】本題考查了三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義，解題時注意：一個三角形的外角等于與它不相鄰的

兩個內(nèi)角的和.

7

15.—3<m<--

3

【分析】表示出不等式組的解集，由不等式組只有3個整數(shù)解，確定出〃?的范圍即可.

x<2

【解答】解：不等式組整理得：3加+5，

\x>-----

[2

3m+5

解得:<x<2,

2

?.?不等式組只有3個整數(shù)解，即—1,0,1,

c3m+5

-2<-----<-1

2

7

解得：—3</〃W—.

3

7

故答案為：-3</九4—.

3

【點評】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握一元一次不等式的解法是解本題的關(guān)鍵.

16.8或12

【分析】設(shè)腰長為x,分①12是腰長與腰長的一半的和，②18是腰長與腰長的一半的和求解，再求出底邊長,

然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判定是否能組成三角形.

【解答】解：設(shè)腰長為X,

①若12是腰長與腰長的一半的和，則無+,x=12,

2

解得x=8,

此時，底邊=18-4x=14,

2

8、8、14能組成三角形；

②若18是腰長與腰長的一半的和，則x+'x=18,

2

解得x=12,

此時，底邊=12-12+2=6,

12、12、6能組成三角形，

綜上所述，該等腰三角形的腰長是8或12.

故答案為：8或12.

【點評】本題考查了等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)，難點在于要分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系判定是否能

組成三角形.

三.解答題（共8小題）

17.【分析】（1）根據(jù)絕對值，乘方的定義計算即可.

（2）去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1即可求解

【解答】解：（1）原式=—9+9—16x（—1）

=—9+9+2

=2.

（2）去分母得:6y-3（3-2?。?6-（y+2）,

去括號得：6y-9+6y=6-y-2,

移項得：13y=9+6-2,

合并得：13y=13,

系數(shù)化為1得：y=l.

【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算和解二元一次方程，解題關(guān)鍵是熟知有理數(shù)混合運算法則以及解方程的基

本步驟.

18?【分析】（I）根據(jù)平方根的定義、立方根的定義，無理數(shù)的估算，分別求得a,b,C的值；

（2）代入4、仄C的值，根據(jù)求一個數(shù)的算術(shù)平方根進行計算即可求解.

【解答】解：（1）???2。+3的平方根是±3,

/.2。+3=32.

.??a=3?

???c是"的整數(shù)部分，且2<C<3.

c=2.

???3b-2c的立方根是2,

3Z?-4=23.

：.b=4.

(2)ci+6b—c=25.

：.a+6b-c的算術(shù)平方根是5.

【點評】本題考查了平方根、算術(shù)平方根的定義，立方根的定義，無理數(shù)的估算，熟練掌握算術(shù)平方根的定義,

立方根的定義，無理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵.

（2）—S四-SfDB~^BEC~

4x31x22x4

=4x4-

222

=16—6—1—4=5

（3）設(shè)高為兒

Sh

T

.,./?=2

邊上的高為2

【點評】本題考查了軸對稱變換的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.【分析】（1）連接8c.利用線段從垂直平分線的性質(zhì)即可證明.

（2）想辦法證明叱=2。w，3尸=6尸即可解決問題.

【解答】（1）證明：連接BC

:點。是AB中點且CD_LAB于點。，

???CQ是線段AB的垂直平分線，

/.CA=CB,

同理BA—BC,

AC-AB.

（2）猜想：CF=2DF.

證明：由（1）得AC=AB=8C,

...△ABC是等邊三角形，

ZA=60°

在中，ZABE=90°-ZA=30°,

在RtZ\8尸。中，BF=2DF,

?.?在RtZ\AQC中，ZACD=90°-ZA=30°,

又???ZABC=Z4CB=60°,

/FBC=/FCB,

：.CF=BF,

...CF=2DF.

【點評】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型

21?【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）尸是等腰三角形，

理由：；AB=AC,

ZABC=ZACB,

???EF//BC,

：.ZAEF=ZABC,ZAFE=ZACB,

：.ZAEF^ZAFE,

.?.△AE/是等腰三角形：

（2）;△ABC的周長為18,BC=6,

AB+AC=18—6=12,

平分NA8C,

ZABD=/CBD,

EF//BC,

/EDB=NDBC,

：.ZABD=NEDB,

BE-ED＜

同理DF=CF,

.?.△AEF的周長為：AE+EF+AF^AE+ED+FD+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=n.

【點評】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注意證得△BDE與△CCF是等腰三角形是解

此題的關(guān)鍵.

22.【分析】（1）設(shè)A種果苗的銷售單價為x元，8種果苗的銷售單價為y元，再根據(jù)銷售單價x銷售量=銷售

收入，列出方程組求解即可；

（2）設(shè)購進A種果苗a棵，則購進B種果苗（50-。）棵，根據(jù)購進費用不超過2900元，列出不等式求解即

可；

（3）設(shè)這一天售出A種果苗加棵，售出B種果苗〃棵，根據(jù)（A銷售單價/進貨單價）XA銷售數(shù)量+（B

銷售單價一8進貨單價）XB銷售數(shù)量=總利潤的關(guān)系式，列出方程，并求出方程的正整數(shù)解即可.

【解答】解：（1）設(shè)A種果苗的銷售單價為x元，B種果苗的銷售單價為y元，

4x+3y=625

由題意可得＜

5x+5y=875

x=100

解得＜

y=75

故4種果苗的銷售單價為100元，B種果苗的銷售單價為75元.

（2）設(shè)購進A種果苗a棵，則購進8種果苗（50-。）棵,

由題意可得70a+50（50-a）W2900,解得a＜20,

故最多購進A種果苗20棵.

（3）設(shè)這一天售出A種果苗m棵（加＞0,meZ）,售出B種果苗"棵（〃＞0,neZ）,

由題意可得(100-70)m+(75-50)〃=900,即30m+25〃=900,整理得加=30-,

6

且。且〃￡Z,

m=25m—20m=15=10fm=5

**?解得＜

n=6n=127i=18〃=24=30

，這一天共有五種銷售方案.

【點評】本題考查的是二元一次方程及方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，確定相等關(guān)系與不等關(guān)系建立

方程(組)或不等式是解題的關(guān)鍵.

23【解答】(1)證明：:△ABC為等邊三角形，

AAC=AB,ZC=ZBAC=^)°

在△AC。和△BAE1中，

'AC=AB

<ZC=NBAE,

CD=AE

：.^ACD^^BAE,

AD=BE.

(2)解：不變.由(1)可知：△AC。也△BAE,

ZCAD^ZABE,

a=ZABE+/BAP=ZCAD+ZBAP=6()。，

(3)解：在△尸8。中，ZPBQ=90°-ZPBQ=30°,

BP=2PQ=6,

A