浙教版初中數(shù)學(xué)教案八年級(jí)下第一章 二次根式

1.1二次根式

【教學(xué)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷二次根式的性質(zhì)=<3(a>o),4a'=a

=o(tz>0)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，體驗(yàn)歸納，猜想的思想方法

<

-a{aY0)

2.了解二次根式的上述兩個(gè)性質(zhì).

3.會(huì)運(yùn)用上述兩個(gè)性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算.

【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

A重點(diǎn)：本節(jié)的重點(diǎn)是二次根式性質(zhì)：Q/￡)2=〃(aN0),

=

[-Y0)

a|=13。)

a難點(diǎn)：-

-a(aY0)

【教學(xué)過(guò)程】

一、引入新課

2的平方根是什么？什么數(shù)的平方是2?(+A/2)

1)提問(wèn):

得至U：（V2）2=2（-V2）2=2

2)提問(wèn)：(V7y=?

選三個(gè)中下游的學(xué)生回答，教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)言。

新課講授

1、由上面的提問(wèn)得到什么樣的結(jié)論？(JZJ=。

2、那么對(duì)于上面的性質(zhì)，a能小于0嗎？(不能，a必須大于等于0)

3、提問(wèn)：VF=?|2|=?J（-5y=?卜5|=?

V07=?|0|=?

請(qǐng)幾個(gè)中游的學(xué)生回答。（2,2；5,5；0,0）

4、議一議：而與有什么關(guān)系？當(dāng)a>0時(shí)，而=?當(dāng)a<0時(shí),

A/^=?

經(jīng)學(xué)生討論后，指定一名學(xué)生（程度中下）回答，再指定一名學(xué)生（程度較好）點(diǎn)評(píng)。

a（a

教師總結(jié)：4a"=\d\=\^-°）

[-Q（"0）

5、提問(wèn)：J（—7）2=？匚?=?J（萬(wàn)一3）2=?

三、講解例題

例1、計(jì)算

⑴7（-10）2-（715）2

（2）[72-7（-2）2]?72+272

按教師提問(wèn)，學(xué)生回答，教師板書(shū)解題過(guò)程交替進(jìn)行的方式教學(xué)，問(wèn)題設(shè)計(jì)：

1）應(yīng)用哪一個(gè)性質(zhì)？具體怎么算？

2）計(jì)算順序應(yīng)該怎樣？

第一題選擇中下游學(xué)生回答，第二題選擇中上游學(xué)生回答。

教師總結(jié)：計(jì)算時(shí)應(yīng)看清符合哪一個(gè)性質(zhì)？a是大于0還是小于0?

練習(xí)：1）（-

2）（26）。_7（2^7+'（&_1）2

例2計(jì)算_2

對(duì)于此題，學(xué)生可能會(huì)先算括號(hào)里的，講解時(shí)可以把兩種方法作比較，以體現(xiàn)二次根式的性

質(zhì)。；（3_2了=_3+2的優(yōu)點(diǎn)。在這里應(yīng)強(qiáng)調(diào)判斷中a的符號(hào)。

由學(xué)生獨(dú)立完成解題過(guò)程，指定一名中等水平的學(xué)生板演。老師點(diǎn)評(píng)板演結(jié)果。

完成課本裸內(nèi)練習(xí)”

四、小結(jié)

師生共同完成：通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲或困惑？

五、布置作業(yè)

課本作業(yè)本

1.2二次根式的性質(zhì)

【教學(xué)目標(biāo)】

i.探索二次根式的性質(zhì)的由來(lái)，體驗(yàn)歸納、類推的思想方法.

2.會(huì)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和化簡(jiǎn).

【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

A重點(diǎn)：二次根式的積和商的性質(zhì).

A難點(diǎn)：例3中（4）及探究活動(dòng)涉及的較復(fù)雜的化簡(jiǎn)過(guò)程與技巧.

【教學(xué)過(guò)程】

一、引入新課

動(dòng)手做一做：填空（可用計(jì)算器計(jì)算）：

（1）血又?=_；

(2)___________44x5=__,V?x>/5=

9

(3)

16一一‘屈一

(4)

2萬(wàn)一

比較每一組左右兩邊的等式，結(jié)果相等嗎？多試幾組類似的計(jì)算，想一想能否推廣

到一般形式？如果能，請(qǐng)用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

二、新課講解

1、一般地，二次根式的積與商的性質(zhì)：

積的性質(zhì)：4ab=4a-y/b(a>0,b>0);

[a_4a

商的性質(zhì):(a>0,b>0)

2、性質(zhì)深化：

練習(xí)：判斷下列等式是否成立？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由并改正:

(1)J(~"4)x(19)-4xA/-9；

（2）、色=4=2（a為任意實(shí)數(shù)）

Va

解：（1）不成立。因?yàn)楸婚_(kāi)方數(shù)不能為負(fù)，口、"無(wú)意義。

改正：^（^）x（-9）=736=6.

（2）不成立。因?yàn)閍作為分母不能為零，所以a不能為任意實(shí)數(shù)，即a的取

值范圍是不等于零的任何實(shí)數(shù)。

3、講解例題:

5

例3化簡(jiǎn)：(1)7121x225；(2)"x7；(3)

解：(1)7121x225=7121x7225=11x15=165；

(2)x7=x幣=4yjl；

\9=>=T

注：①一般地，二次根式化簡(jiǎn)的結(jié)果中分母中不含根號(hào)，而且根號(hào)內(nèi)的數(shù)就是一

個(gè)自然數(shù)，且自然數(shù)的因數(shù)中，不含有除1以外的自然數(shù)的平方數(shù)。

②被開(kāi)方數(shù)為帶分?jǐn)?shù)時(shí)，還要先化為假分?jǐn)?shù)再利用性質(zhì)化簡(jiǎn)

練習(xí)：

1>化簡(jiǎn)：6025x4；(2)70.01x0.49；⑶律1

例4先化簡(jiǎn)，再求出下面算式的近似值(精確到0.01)

(1),(-18)x(—24)；(2)(3)70.001x0.5

解：(1)J(—18)x(—24)=72x9x3x8=<展x乎=亞x療=12退=20.78；

(3)

=71O-3xlO-1x5=710^x5='(10-2)2X75=10-2X6=0.01有?

0.02

總結(jié)：

化簡(jiǎn)的結(jié)果要求：①根號(hào)內(nèi)不再含有可以開(kāi)方的因式；②根號(hào)內(nèi)不再含有分母

練習(xí)：先化簡(jiǎn)，再求出下面算式的近似值:

|（結(jié)果保留4個(gè)有效數(shù)字）;

(1)5

31

⑵----(精確到0.01).

53

三、探究活動(dòng)：

化簡(jiǎn)下列兩組式子:

你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并與同伴交流。

請(qǐng)?jiān)偃我庀葞讉€(gè)數(shù)驗(yàn)正你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

四、小結(jié)：

師生共同完成：通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你有那些收獲或困惑？

五、布置作業(yè)

見(jiàn)作業(yè)本

1.3二次根式的運(yùn)算（1）

【教學(xué)目標(biāo)】

i.了解二次根式的運(yùn)算法則是由二次根式的性質(zhì)得到的.

2.會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的乘除運(yùn)算.

【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

A重點(diǎn)：本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是二次根式的運(yùn)算法則.

A難點(diǎn)：例1第（3）題和例2的計(jì)算過(guò)程中涉及多種運(yùn)算和運(yùn)算法則,

是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)。

【教學(xué)過(guò)程】

設(shè)計(jì)學(xué)生

教師活動(dòng)教學(xué)內(nèi)容

意圖活動(dòng)

［、二(八)=〃，(<7>0)進(jìn)一自由

次根步梳口答

Va2二|a|

式有理和默寫(xiě)

哪些4ab=4a-4b,(a>0,Z?>0)鞏固

性4a-4b=4ab^(tz>0,/?>0)已生

質(zhì)。成的

知

識(shí)。

2、怎化簡(jiǎn)下列二次根式：體驗(yàn)自愿

樣化性質(zhì)上來(lái)

瓦，3A，，V48

簡(jiǎn)二與公板演，

次根式的其他

回

式。準(zhǔn)確自己

顧

運(yùn)做。

用。

3、怎體驗(yàn)自愿

Va9xVio,

樣計(jì)分別上來(lái)

算？化簡(jiǎn)

Taos板演

是否的復(fù)其他

F

有簡(jiǎn)雜。自己

便方觀察做

法？是否

有簡(jiǎn)

便方

法。

教師書(shū)寫(xiě)二次根式的運(yùn)算1（乘除運(yùn)算）

課題

設(shè)計(jì)學(xué)生

教師活動(dòng)教學(xué)內(nèi)容

意圖活動(dòng)

4、引

導(dǎo)、

啟發(fā)

把二

次根

式的體驗(yàn)

Jax4b=4ab(a>Q.b>0);

乘除二次

性質(zhì)根式

公式的乘

觀察

左右除運(yùn)

與思

交換VO9xV10=V0.9xl0=3算法

考

則的

下。W3發(fā)現(xiàn)

7厚=W.oi=o.i

概括過(guò)

新V31

二次程。

課

根式

講

的乘

解

除運(yùn)

算法

則。

例1計(jì)算

⑴0X后⑵舄⑶/產(chǎn)廠

(1),(2)

V3V10V1.3xl09

規(guī)范題兩

5、出

(2)中被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)要先化成假分，運(yùn)算結(jié)果書(shū)寫(xiě)位學(xué)

示例

3后不能寫(xiě)成后或1.5"知道生板

1

22運(yùn)算演。領(lǐng)

解：(3)程序悟與

練習(xí)

原式=J5.2xlQ7_pT_2_1

1.3xl09-VW7-10-5

會(huì)正學(xué)生

6、學(xué)

遷先做，

課生完

移，后挑

堂成解

課本12頁(yè)課內(nèi)練習(xí)第1、2題領(lǐng)悟選部

練題后

方法分屏

習(xí)出示

與步幕展

答案

驟示

對(duì)具

7、乘體的自由

除運(yùn)計(jì)算回答

(1)運(yùn)用法則，化歸為根號(hào)內(nèi)的實(shí)數(shù)運(yùn)算；

算的題會(huì)問(wèn)題，

(2)完成根號(hào)內(nèi)相乘、相除(約分)等運(yùn)算；

一般先設(shè)觀察

(3)化簡(jiǎn)二次根式

步計(jì)計(jì)與總

驟。算程結(jié)

序

8、屏(1)作則

幕顯BD=CD=-BC=-x272=72

示例22

計(jì)算

2,幫(2)由勾股定理算出AD

正三

助學(xué)討論，

ADAC2-CD2=7(2A/2)2-(V2)2=J8—2=后角形

生審自由

的面

題?；卮?/p>

積得

(3)路標(biāo)的面積問(wèn)題。

先算

S=-XBCXA￡>=-X2V2XV6=712=2A/3(平方單位)高。

22

說(shuō)明計(jì)算結(jié)果能化簡(jiǎn)的，則應(yīng)化簡(jiǎn)。沒(méi)有精確度要求，結(jié)果用

化簡(jiǎn)的二次根式表示。

課9、學(xué)課本12頁(yè)，課內(nèi)練習(xí)3o形成自由

內(nèi)生完整體至U黑

練成解題板上

習(xí)后，思解題。

出示路。其他

答案自己

做。

課10、①二次根式的乘除運(yùn)算法則。幫助自由

堂問(wèn)：4ax4b=4ab{a>0,b>0);學(xué)生回答。

小這一梳理

魯佛…b>0)

結(jié)節(jié)課知識(shí)

學(xué)習(xí)理解

了什②被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)要先化成假分。數(shù)學(xué)

么③規(guī)范書(shū)寫(xiě)。如3板不能寫(xiě)成1工友或1.5匹的應(yīng)

22用價(jià)

④二次根式的簡(jiǎn)單應(yīng)用——三角形面積算法。值

布置作業(yè)完成課本作業(yè)第13頁(yè)(做在A本上)和作業(yè)本(1)

1.3二次根式的運(yùn)算（2）

【教學(xué)目標(biāo)】

i.會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的四則混合運(yùn)算.

2.通過(guò)整式運(yùn)算的某些法則在二次根式四則運(yùn)算中的應(yīng)用，體驗(yàn)遷移、化歸等數(shù)學(xué)思想.

【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

A重點(diǎn)：本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是二次根式的四則混合運(yùn)算.

A難點(diǎn)：例3的計(jì)算思路的形成比較困難是本節(jié)的難點(diǎn).

【教學(xué)過(guò)程】

一、課題引入

19

計(jì)算2a-----a------a

33

并回答問(wèn)題：

1.你是應(yīng)用什么知識(shí)解決上面的計(jì)算？（學(xué)生回答后，教師板書(shū)解題過(guò)程

c12小12、

2a—〃—u—（2---------—d

3333

2V2--V2--V2=（2----）V2=V2

2.上題中的a若用12替代，即：3333你

認(rèn)為運(yùn)算是否正確？（答案是肯定的）

K教師歸納》我們發(fā)現(xiàn)整式中的合并同類項(xiàng)法則在二次根式的運(yùn)算中也適用.

猜想：那么整式中的其它運(yùn)算法則或運(yùn)算律或運(yùn)算次序是否也適用于二次根式的運(yùn)算呢？

（教師作肯定回答后）導(dǎo)出課題：二次根式的四則運(yùn)算.

二、進(jìn)行新課

1.復(fù)習(xí)回憶：整式中的有關(guān)法則、運(yùn)算律、運(yùn)算次序.（通過(guò)復(fù)習(xí)對(duì)例3的計(jì)算思路的

形成有所幫助，一定程度上降低了例3的教學(xué)難度）

2.舉例分析：

例1.先化簡(jiǎn)，再求出近似值（精確到0.01）

啟發(fā)提問(wèn)：⑴這是一題二次根式的什么運(yùn)算？能否適用合并同類項(xiàng)的方法進(jìn)行合

并？（學(xué)生會(huì)做出否定回答）

⑵上面的二次根式是否還可以化簡(jiǎn)？請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈幌?然后再回答提問(wèn)

（1）（最后教師板書(shū)解題過(guò)程）

歸納：⑴二次根式加減之前,應(yīng)先化簡(jiǎn)二次根式;再把所含二次根式完全相同的

合并成一項(xiàng).

⑵在二次根式加減（或其它運(yùn)算）時(shí)，把根號(hào)前的乘數(shù)看作它的系數(shù).

如中2新的2就看作、同的系數(shù)

牛刀小試：先化簡(jiǎn)，再求出近似值（精確到0.01）

_，^^一'|厄).

例2.計(jì)算：

(1)727-376x272

(J3V§)?V6

⑵V8

(3)(V48-V27)-V3

啟發(fā)提問(wèn)：⑴第⑴題有哪些運(yùn)算?次序怎樣?系數(shù)-3和2如何處理?(可以仿照整式中的單

項(xiàng)式相乘法則，處理系數(shù))

⑵第⑵、⑶題可否用運(yùn)算律？

⑶第⑴、⑵題能否先做括號(hào)內(nèi)的？(教師板書(shū)解題過(guò)程)

學(xué)以致用：計(jì)算：

-724-273x72

(1)2.

V3(1--J15)—3J—

⑵V5.

例3.計(jì)算：

(1)(2V2-3V3)(3V3+2V2).

(2)(2-72)(3+272).

提問(wèn)：⑴這兩題的計(jì)算與整式中的什么運(yùn)算相近？

⑵第⑴題又有什么特征？(教師板書(shū)解題過(guò)程)

鞏固練習(xí)：計(jì)算：

⑴(l+V2)(2-72)_

⑵(3舁5回2.

三、課堂小結(jié)

1.整式中的各運(yùn)算法則、運(yùn)算律各運(yùn)算次序在二次根式運(yùn)算中

也能適用.

2.二次根的加減運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先化簡(jiǎn)二次根式;然后合并二次根式完全相同的.

3.含有二次根式的代數(shù)相乘，可以把它看作多項(xiàng)式相乘，運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則和乘法

公式.

4.適當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)便計(jì)算.

四、加深印象

1.計(jì)算下列各題：

(3727-6心-(8JO.125-6拈)

⑴

⑵

⑶(V3-1)2-(2A/3)2

2.P14課內(nèi)練習(xí)第4題(選用)

五、布置作業(yè)

見(jiàn)作業(yè)本1“3?2節(jié)；回家作業(yè)課本中作業(yè)題1、2、3、6.

1.3二次根式的運(yùn)算（3）

【教學(xué)目標(biāo)】

i.會(huì)應(yīng)用二次根式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，掌握坡比的意義.

2.進(jìn)一步體驗(yàn)二次根式及其運(yùn)算的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值.

【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

A重點(diǎn)：本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是二次根式及其運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用.

A難點(diǎn)：課本上的例7涉及多方面的知識(shí)和綜合運(yùn)用，思路比較復(fù)雜,是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn).

【教學(xué)過(guò)程】

一、導(dǎo)言

二次根式的知識(shí)在實(shí)際生活中有廣泛的用途.

如圖，我們規(guī)定斜坡的鉛直高h(yuǎn)與水平長(zhǎng)度