浙教版初中數(shù)學(xué)教案八年級下第一章 二次根式

1.1二次根式

【教學(xué)目標】

1.經(jīng)歷二次根式的性質(zhì)=<3(a>o),4a'=a

=o(tz>0)的發(fā)現(xiàn)過程，體驗歸納，猜想的思想方法

<

-a{aY0)

2.了解二次根式的上述兩個性質(zhì).

3.會運用上述兩個性質(zhì)進行有關(guān)的計算.

【教學(xué)重點、難點】

A重點：本節(jié)的重點是二次根式性質(zhì)：Q/￡)2=〃(aN0),

=

[-Y0)

a|=13。)

a難點：-

-a(aY0)

【教學(xué)過程】

一、引入新課

2的平方根是什么？什么數(shù)的平方是2?(+A/2)

1)提問:

得至U：（V2）2=2（-V2）2=2

2)提問：(V7y=?

選三個中下游的學(xué)生回答，教師鼓勵學(xué)生大膽發(fā)言。

新課講授

1、由上面的提問得到什么樣的結(jié)論？(JZJ=。

2、那么對于上面的性質(zhì)，a能小于0嗎？(不能，a必須大于等于0)

3、提問：VF=?|2|=?J（-5y=?卜5|=?

V07=?|0|=?

請幾個中游的學(xué)生回答。（2,2；5,5；0,0）

4、議一議：而與有什么關(guān)系？當a>0時，而=?當a<0時,

A/^=?

經(jīng)學(xué)生討論后，指定一名學(xué)生（程度中下）回答，再指定一名學(xué)生（程度較好）點評。

a（a

教師總結(jié)：4a"=\d\=\^-°）

[-Q（"0）

5、提問：J（—7）2=？匚?=?J（萬一3）2=?

三、講解例題

例1、計算

⑴7（-10）2-（715）2

（2）[72-7（-2）2]?72+272

按教師提問，學(xué)生回答，教師板書解題過程交替進行的方式教學(xué)，問題設(shè)計：

1）應(yīng)用哪一個性質(zhì)？具體怎么算？

2）計算順序應(yīng)該怎樣？

第一題選擇中下游學(xué)生回答，第二題選擇中上游學(xué)生回答。

教師總結(jié)：計算時應(yīng)看清符合哪一個性質(zhì)？a是大于0還是小于0?

練習(xí)：1）（-

2）（26）。_7（2^7+'（&_1）2

例2計算_2

對于此題，學(xué)生可能會先算括號里的，講解時可以把兩種方法作比較，以體現(xiàn)二次根式的性

質(zhì)。；（3_2了=_3+2的優(yōu)點。在這里應(yīng)強調(diào)判斷中a的符號。

由學(xué)生獨立完成解題過程，指定一名中等水平的學(xué)生板演。老師點評板演結(jié)果。

完成課本裸內(nèi)練習(xí)”

四、小結(jié)

師生共同完成：通過今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲或困惑？

五、布置作業(yè)

課本作業(yè)本

1.2二次根式的性質(zhì)

【教學(xué)目標】

i.探索二次根式的性質(zhì)的由來，體驗歸納、類推的思想方法.

2.會用二次根式的性質(zhì)進行簡單的計算和化簡.

【教學(xué)重點、難點】

A重點：二次根式的積和商的性質(zhì).

A難點：例3中（4）及探究活動涉及的較復(fù)雜的化簡過程與技巧.

【教學(xué)過程】

一、引入新課

動手做一做：填空（可用計算器計算）：

（1）血又?=_；

(2)___________44x5=__,V?x>/5=

9

(3)

16一一‘屈一

(4)

2萬一

比較每一組左右兩邊的等式，結(jié)果相等嗎？多試幾組類似的計算，想一想能否推廣

到一般形式？如果能，請用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

二、新課講解

1、一般地，二次根式的積與商的性質(zhì)：

積的性質(zhì)：4ab=4a-y/b(a>0,b>0);

[a_4a

商的性質(zhì):(a>0,b>0)

2、性質(zhì)深化：

練習(xí)：判斷下列等式是否成立？若不成立，請說明理由并改正:

(1)J(~"4)x(19)-4xA/-9；

（2）、色=4=2（a為任意實數(shù)）

Va

解：（1）不成立。因為被開方數(shù)不能為負，口、"無意義。

改正：^（^）x（-9）=736=6.

（2）不成立。因為a作為分母不能為零，所以a不能為任意實數(shù)，即a的取

值范圍是不等于零的任何實數(shù)。

3、講解例題:

5

例3化簡：(1)7121x225；(2)"x7；(3)

解：(1)7121x225=7121x7225=11x15=165；

(2)x7=x幣=4yjl；

\9=>=T

注：①一般地，二次根式化簡的結(jié)果中分母中不含根號，而且根號內(nèi)的數(shù)就是一

個自然數(shù)，且自然數(shù)的因數(shù)中，不含有除1以外的自然數(shù)的平方數(shù)。

②被開方數(shù)為帶分數(shù)時，還要先化為假分數(shù)再利用性質(zhì)化簡

練習(xí)：

1>化簡：6025x4；(2)70.01x0.49；⑶律1

例4先化簡，再求出下面算式的近似值(精確到0.01)

(1),(-18)x(—24)；(2)(3)70.001x0.5

解：(1)J(—18)x(—24)=72x9x3x8=<展x乎=亞x療=12退=20.78；

(3)

=71O-3xlO-1x5=710^x5='(10-2)2X75=10-2X6=0.01有?

0.02

總結(jié)：

化簡的結(jié)果要求：①根號內(nèi)不再含有可以開方的因式；②根號內(nèi)不再含有分母

練習(xí)：先化簡，再求出下面算式的近似值:

|（結(jié)果保留4個有效數(shù)字）;

(1)5

31

⑵----(精確到0.01).

53

三、探究活動：

化簡下列兩組式子:

你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并與同伴交流。

請再任意先幾個數(shù)驗正你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

四、小結(jié)：

師生共同完成：通過今天的學(xué)習(xí)，你有那些收獲或困惑？

五、布置作業(yè)

見作業(yè)本

1.3二次根式的運算（1）

【教學(xué)目標】

i.了解二次根式的運算法則是由二次根式的性質(zhì)得到的.

2.會進行簡單的二次根式的乘除運算.

【教學(xué)重點、難點】

A重點：本節(jié)教學(xué)的重點是二次根式的運算法則.

A難點：例1第（3）題和例2的計算過程中涉及多種運算和運算法則,

是本節(jié)教學(xué)的難點。

【教學(xué)過程】

設(shè)計學(xué)生

教師活動教學(xué)內(nèi)容

意圖活動

［、二(八)=〃，(<7>0)進一自由

次根步梳口答

Va2二|a|

式有理和默寫

哪些4ab=4a-4b,(a>0,Z?>0)鞏固

性4a-4b=4ab^(tz>0,/?>0)已生

質(zhì)。成的

知

識。

2、怎化簡下列二次根式：體驗自愿

樣化性質(zhì)上來

瓦，3A，，V48

簡二與公板演，

次根式的其他

回

式。準確自己

顧

運做。

用。

3、怎體驗自愿

Va9xVio,

樣計分別上來

算？化簡

Taos板演

是否的復(fù)其他

F

有簡雜。自己

便方觀察做

法？是否

有簡

便方

法。

教師書寫二次根式的運算1（乘除運算）

課題

設(shè)計學(xué)生

教師活動教學(xué)內(nèi)容

意圖活動

4、引

導(dǎo)、

啟發(fā)

把二

次根

式的體驗

Jax4b=4ab(a>Q.b>0);

乘除二次

性質(zhì)根式

公式的乘

觀察

左右除運

與思

交換VO9xV10=V0.9xl0=3算法

考

則的

下。W3發(fā)現(xiàn)

7厚=W.oi=o.i

概括過

新V31

二次程。

課

根式

講

的乘

解

除運

算法

則。

例1計算

⑴0X后⑵舄⑶/產(chǎn)廠

(1),(2)

V3V10V1.3xl09

規(guī)范題兩

5、出

(2)中被開方數(shù)是帶分數(shù)要先化成假分，運算結(jié)果書寫位學(xué)

示例

3后不能寫成后或1.5"知道生板

1

22運算演。領(lǐng)

解：(3)程序悟與

練習(xí)

原式=J5.2xlQ7_pT_2_1

1.3xl09-VW7-10-5

會正學(xué)生

6、學(xué)

遷先做，

課生完

移，后挑

堂成解

課本12頁課內(nèi)練習(xí)第1、2題領(lǐng)悟選部

練題后

方法分屏

習(xí)出示

與步幕展

答案

驟示

對具

7、乘體的自由

除運計算回答

(1)運用法則，化歸為根號內(nèi)的實數(shù)運算；

算的題會問題，

(2)完成根號內(nèi)相乘、相除(約分)等運算；

一般先設(shè)觀察

(3)化簡二次根式

步計計與總

驟。算程結(jié)

序

8、屏(1)作則

幕顯BD=CD=-BC=-x272=72

示例22

計算

2,幫(2)由勾股定理算出AD

正三

助學(xué)討論，

ADAC2-CD2=7(2A/2)2-(V2)2=J8—2=后角形

生審自由

的面

題?；卮?/p>

積得

(3)路標的面積問題。

先算

S=-XBCXA￡>=-X2V2XV6=712=2A/3(平方單位)高。

22

說明計算結(jié)果能化簡的，則應(yīng)化簡。沒有精確度要求，結(jié)果用

化簡的二次根式表示。

課9、學(xué)課本12頁，課內(nèi)練習(xí)3o形成自由

內(nèi)生完整體至U黑

練成解題板上

習(xí)后，思解題。

出示路。其他

答案自己

做。

課10、①二次根式的乘除運算法則。幫助自由

堂問：4ax4b=4ab{a>0,b>0);學(xué)生回答。

小這一梳理

魯佛…b>0)

結(jié)節(jié)課知識

學(xué)習(xí)理解

了什②被開方數(shù)是帶分數(shù)要先化成假分。數(shù)學(xué)

么③規(guī)范書寫。如3板不能寫成1工友或1.5匹的應(yīng)

22用價

④二次根式的簡單應(yīng)用——三角形面積算法。值

布置作業(yè)完成課本作業(yè)第13頁(做在A本上)和作業(yè)本(1)

1.3二次根式的運算（2）

【教學(xué)目標】

i.會進行簡單的二次根式的四則混合運算.

2.通過整式運算的某些法則在二次根式四則運算中的應(yīng)用，體驗遷移、化歸等數(shù)學(xué)思想.

【教學(xué)重點、難點】

A重點：本節(jié)教學(xué)的重點是二次根式的四則混合運算.

A難點：例3的計算思路的形成比較困難是本節(jié)的難點.

【教學(xué)過程】

一、課題引入

19

計算2a-----a------a

33

并回答問題：

1.你是應(yīng)用什么知識解決上面的計算？（學(xué)生回答后，教師板書解題過程

c12小12、

2a—〃—u—（2---------—d

3333

2V2--V2--V2=（2----）V2=V2

2.上題中的a若用12替代，即：3333你

認為運算是否正確？（答案是肯定的）

K教師歸納》我們發(fā)現(xiàn)整式中的合并同類項法則在二次根式的運算中也適用.

猜想：那么整式中的其它運算法則或運算律或運算次序是否也適用于二次根式的運算呢？

（教師作肯定回答后）導(dǎo)出課題：二次根式的四則運算.

二、進行新課

1.復(fù)習(xí)回憶：整式中的有關(guān)法則、運算律、運算次序.（通過復(fù)習(xí)對例3的計算思路的

形成有所幫助，一定程度上降低了例3的教學(xué)難度）

2.舉例分析：

例1.先化簡，再求出近似值（精確到0.01）

啟發(fā)提問：⑴這是一題二次根式的什么運算？能否適用合并同類項的方法進行合

并？（學(xué)生會做出否定回答）

⑵上面的二次根式是否還可以化簡？請同學(xué)們試一下.然后再回答提問

（1）（最后教師板書解題過程）

歸納：⑴二次根式加減之前,應(yīng)先化簡二次根式;再把所含二次根式完全相同的

合并成一項.

⑵在二次根式加減（或其它運算）時，把根號前的乘數(shù)看作它的系數(shù).

如中2新的2就看作、同的系數(shù)

牛刀小試：先化簡，再求出近似值（精確到0.01）

_，^^一'|厄).

例2.計算：

(1)727-376x272

(J3V§)?V6

⑵V8

(3)(V48-V27)-V3

啟發(fā)提問：⑴第⑴題有哪些運算?次序怎樣?系數(shù)-3和2如何處理?(可以仿照整式中的單

項式相乘法則，處理系數(shù))

⑵第⑵、⑶題可否用運算律？

⑶第⑴、⑵題能否先做括號內(nèi)的？(教師板書解題過程)

學(xué)以致用：計算：

-724-273x72

(1)2.

V3(1--J15)—3J—

⑵V5.

例3.計算：

(1)(2V2-3V3)(3V3+2V2).

(2)(2-72)(3+272).

提問：⑴這兩題的計算與整式中的什么運算相近？

⑵第⑴題又有什么特征？(教師板書解題過程)

鞏固練習(xí)：計算：

⑴(l+V2)(2-72)_

⑵(3舁5回2.

三、課堂小結(jié)

1.整式中的各運算法則、運算律各運算次序在二次根式運算中

也能適用.

2.二次根的加減運算時，應(yīng)先化簡二次根式;然后合并二次根式完全相同的.

3.含有二次根式的代數(shù)相乘，可以把它看作多項式相乘，運用多項式乘法法則和乘法

公式.

4.適當運用運算律簡便計算.

四、加深印象

1.計算下列各題：

(3727-6心-(8JO.125-6拈)

⑴

⑵

⑶(V3-1)2-(2A/3)2

2.P14課內(nèi)練習(xí)第4題(選用)

五、布置作業(yè)

見作業(yè)本1“3?2節(jié)；回家作業(yè)課本中作業(yè)題1、2、3、6.

1.3二次根式的運算（3）

【教學(xué)目標】

i.會應(yīng)用二次根式解決簡單的實際問題，掌握坡比的意義.

2.進一步體驗二次根式及其運算的實際意義和應(yīng)用價值.

【教學(xué)重點、難點】

A重點：本節(jié)教學(xué)的重點是二次根式及其運算的實際應(yīng)用.

A難點：課本上的例7涉及多方面的知識和綜合運用，思路比較復(fù)雜,是本節(jié)教學(xué)的難點.

【教學(xué)過程】

一、導(dǎo)言

二次根式的知識在實際生活中有廣泛的用途.

如圖，我們規(guī)定斜坡的鉛直高h與水平長度