第九章彎曲變形和剛度計(jì)算

第九章梁的彎曲變形與剛度計(jì)算工程力學(xué)2、撓曲線的近似微分方程3、用積分法求梁的變形4、用疊加法求梁的變形

第九章梁的彎曲變形與剛度計(jì)算5、梁的剛度計(jì)算及提高梁的剛度的措施1、工程中的彎曲變形問題6、簡(jiǎn)單超靜定梁7、梁的彎曲應(yīng)變能9.1工程中的彎曲變形問題彎曲變形

彎曲構(gòu)件除了要滿足強(qiáng)度條件外,還需滿足剛度條件。如車床主軸的變形過大會(huì)引起加工零件的誤差。

車間內(nèi)的吊車梁若變形過大，將使吊車梁上的小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。4

汽車車架處的鋼板彈簧應(yīng)有較大的變形，才能更好地緩沖減振。PAB9.2撓曲線的近似微分方程一、彎曲變形的量度yx1.撓曲線：變形后梁的軸線。2.撓度ω：橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移。向上為正。x撓曲線方程：3.轉(zhuǎn)角θ：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，即y軸與撓曲線法線的夾角，或x軸與撓曲線切線的夾角。逆時(shí)針方向?yàn)檎?。小變形：撓曲線彎曲變形即:截面轉(zhuǎn)角近似等于撓曲線在該截面處的斜率。彎曲變形

橫力彎曲時(shí),如果是細(xì)長(zhǎng)梁,可略去剪力對(duì)梁的變形的影響，但M和

都是x的函數(shù)：純彎曲時(shí)曲率與彎矩的關(guān)系式為：

由幾何關(guān)系知,平面曲線w=f(x)上任意一點(diǎn)的曲率可寫作：8

由于撓曲線是一條非常平坦的曲線,ω'2遠(yuǎn)比1小,可以略去不計(jì),于是上式可寫成：稱為梁的撓曲線近似微分方程M

0yxMMM<0MM彎矩M與二階導(dǎo)數(shù)ω''的正負(fù)號(hào)始終一致EI稱為梁的彎曲剛度,EI越大彎曲后梁的變形（撓度和轉(zhuǎn)角）越小，梁抵抗彎曲變形的能力越強(qiáng)。99.3用積分法求梁的變形撓曲線近似微分方程：C、D——積分常數(shù)；由邊界條件和連續(xù)性條件確定。彎曲變形若為等截面直梁,其抗彎剛度EI為一常量,上式可改寫成：上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程：再積分一次,得撓度方程：彎曲變形

在簡(jiǎn)支梁中,左右兩鉸支座處的撓度wA和wB都應(yīng)等于零。

在懸臂梁中,固定端處的撓度wA和轉(zhuǎn)角

A都應(yīng)等于零。ABwA＝0wB＝0ABwA＝0

A

＝0邊界條件(boundarycondition)ABAB不可能不可能連續(xù)性條件(Continuitycondition)

在撓曲線的任一點(diǎn)上,有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角。如:11問題討論：xycBA分幾段？

問題的邊界條件、連續(xù)條件？邊界條件連續(xù)條件A處：wA=0B處：wB=0AB、BC兩段B處：w1=w2

q1=q2A處：wA=0，qA=0分OA一段。OqA12例：圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力F作用。試求梁的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角

max。ABlxxy解：以梁左端A為原點(diǎn),取直角坐標(biāo)系如圖，令x軸向右,y軸向上為正。(1)列彎矩方程F(2)列撓曲線近似微分方程并積分13(3)由邊界條件確定積分常數(shù)代入式(a)和(b),得：C1＝0,C2＝0ABlxxyF在x＝0處:w＝0

θ＝0

14ABlxxwF(4)建立轉(zhuǎn)角方程和撓度方程將C1和C2代入式(a)和(b),得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為：(5)求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度自由端B處的轉(zhuǎn)角和撓度絕對(duì)值最大。wmax

max

所得的撓度為負(fù)值,說明B點(diǎn)向下移動(dòng);轉(zhuǎn)角為負(fù)值,說明橫截面B沿順時(shí)針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)。15RBRAlABq例：用積分法求撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定絕對(duì)值最大的轉(zhuǎn)角和最大的撓度。設(shè)EI為常量。解：(1)求支座反力，寫彎矩方程(2)建立撓曲線近似微分方程，并積分(3)利用邊界條件確定積分常數(shù)16(5)求轉(zhuǎn)角和撓度的最大值(4)求轉(zhuǎn)角方程、撓度方程彎曲變形的對(duì)稱點(diǎn)：θ＝0。彎曲變形ABqxyqAqBwmaxl/217例：圖示一抗彎剛度為EI的簡(jiǎn)支梁,在D點(diǎn)處受一集中力F的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并求其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。解:

（1）寫出彎矩方程

以左端A為坐標(biāo)原點(diǎn)，將梁分為I和II兩段,其彎矩方程分別為:求出梁的支反力為:xlABFabFAFBDIII18梁段I(0

x

a)梁段II(

a

x

l)（2）建立撓曲線近似微分方程并積分積分一次轉(zhuǎn)角方程再積分得撓曲線方程撓曲線近似微分方程

在對(duì)梁段II進(jìn)行積分運(yùn)算時(shí),對(duì)含有(x-a)的彎矩項(xiàng)不要展開,而以(x-a)作為自變量進(jìn)行積分,這樣可使下面確定積分常數(shù)的工作得到簡(jiǎn)化。19D點(diǎn)的連續(xù)條件：在x=a處,q1＝q2,w1＝w2邊界條件:在x=0處,w1＝0在x=l處,w2＝0代入方程可解得:（3）由邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)xlABFabFAFBDIII20梁段I(0

x

a)梁段II(a

x

l)將積分常數(shù)代入得：轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程21

對(duì)于簡(jiǎn)支梁而言，最大轉(zhuǎn)角一般發(fā)生在梁的兩端截面處，將x=0和x=l分別代入轉(zhuǎn)角方程有：當(dāng)a>b時(shí),右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對(duì)值為最大:（4）確定最大轉(zhuǎn)角與最大撓度xlABFabFAFBDIII22

根據(jù)極值條件，在w'＝0即q=0處，w取得極值。研究第一段梁,令w'1＝0得：

當(dāng)a>b時(shí),x1<a,最大撓度確實(shí)發(fā)生在第一段梁中，該最大值為：xlABFabFAFBDIII23討論:上例中，梁中點(diǎn)撓度與最大撓度的關(guān)系？

則：當(dāng)F從梁中點(diǎn)位置向B支座移動(dòng)時(shí)，b值減小時(shí)，x1從0.5L向0.577L趨近（當(dāng)F接近B點(diǎn)時(shí)）；

此時(shí)最大撓度的位置離梁中點(diǎn)最遠(yuǎn)，梁中點(diǎn)撓度與最大撓度應(yīng)該差距較大。在極端情況下,當(dāng)b非常小,以致b2與l2項(xiàng)相比可以略去不計(jì)時(shí)：xlABFabFAFBDIII24梁中點(diǎn)C處的撓度為：

結(jié)論:在簡(jiǎn)支梁中,不論它受什么荷載作用,只要撓曲線上無拐點(diǎn),其最大撓度值都可用梁跨中點(diǎn)處的撓度值來代替,其精確度是能滿足工程要求的。略去b2項(xiàng),得:a例：用積分法求C截面的轉(zhuǎn)角和撓度，設(shè)EI為常量。lABPC解：(1)求支座反力，分段寫彎矩方程(2)分段建立撓曲線近似微分方程，并積分RARB(3)確定積分常數(shù)ABPC邊界條件：連續(xù)性條件：(4)C截面的撓度和轉(zhuǎn)角27條件：由于梁的變形微小,梁變形后其跨長(zhǎng)的改變可略去不計(jì),且梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作,因而梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與作用在梁上的載荷成線性關(guān)系。

在這種情況下,梁在幾項(xiàng)載荷(如集中力、集中力偶或分布力)同時(shí)作用下某一橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角,就分別等于每項(xiàng)載荷單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加，此即為疊加原理。9.4用疊加法求梁的變形28例：一抗彎剛度為EI的簡(jiǎn)支梁受荷載如圖。試按疊加原理求梁跨中點(diǎn)的撓度wC和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角

A

,

B。BAqlMeC解：將梁上荷載分解為荷載q和Me單獨(dú)作用的簡(jiǎn)支梁。表9.3第9、5欄29例：懸臂梁受力如圖所示，梁的抗彎剛度為EI。求梁自由端B的轉(zhuǎn)角θB和撓度yB

。alPBCθ

CyCyB解：查表9.3第2欄：結(jié)果第3欄30=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等價(jià)等價(jià)PL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCM例：疊加法（逐段剛化法)梁抗彎剛度為EI，求B處的撓度與轉(zhuǎn)角、C處的轉(zhuǎn)角。31w2PL1L2ABCMPL1L2ABCBCPL2w1例：等截面平面剛架求自由端A的水平位移xA和豎直位移yA。abEICEIPAB剛化ABABPC剛化BCPCABABCPa等價(jià)等價(jià)PAB解：(1)剛化AB段：(2)剛化BC段：剛化AB:剛化BC:(3)疊加：ABCPaPAB*逐段剛化法34例:試?yán)茂B加法,求圖示抗彎剛度為EI的簡(jiǎn)支梁跨中點(diǎn)的撓度wC。Bql/2ACl/2Bq/2ACBACq/2q/2解：該荷載可視為正對(duì)稱載荷與反稱對(duì)載荷兩種情況的疊加。(1)正對(duì)稱載荷作用下(2)反對(duì)稱荷載作用下，跨中撓度wC2等于零。(3)將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加（）35例：懸臂梁受力如圖所示，梁的抗彎剛度為EI。求梁自由端B的轉(zhuǎn)角θB和撓度yB

。yB解：（1）載荷分解：（2）分別計(jì)算：（a）y11（b）y2（c）y3336（3）疊加：（c）y332aABq例：用疊加法求梁中點(diǎn)C撓度和梁端截面B的轉(zhuǎn)角。CDE2l解：荷載對(duì)跨中C對(duì)稱，故C截面的轉(zhuǎn)角為0。表9.3第2欄在RB作用下：表9.3第4欄在q作用下：BEqBElqBEa9.5梁的剛度計(jì)算及提高梁的剛度的措施一、剛度條件：疊加：二、應(yīng)用三種剛度計(jì)算：2

設(shè)計(jì)截面1剛度校核3

確定許可載荷

彎曲變形例：一空心圓梁，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，梁的E=210GPa，工程規(guī)定C點(diǎn)的[w]=0.00001m,B點(diǎn)的[

]=0.001弧度,試校核此梁的剛度.=++==++圖1圖2解：

結(jié)構(gòu)變換，查表求簡(jiǎn)單荷載下的變形。

疊加求復(fù)雜載荷下的變形

校核剛度所以剛度是足夠?？招膱A梁Iz:提高彎曲剛度的措施

由表9-3可見,梁的位移(撓度和轉(zhuǎn)角)除了與梁的支承和荷載情況有關(guān)外,還取決于以下三個(gè)因素,即材料——梁的位移與材料的彈性模量E成反比；截面——梁的位移與截面的慣性矩I成反比；跨長(zhǎng)——梁的位移與跨長(zhǎng)l的n次冪成正比(在各種不同荷載形式下,n分別等于1,2,3或4)。wθ梁的彎曲剛度條件：由此可見,為了減小梁的位移,可以采取下列措施：一、選擇合理的截面，增大梁的彎曲剛度EI若IZ對(duì)于面積相等的不同形狀的截面，則ω、θ梁的抗彎剛度提高。工字形、槽形、T形截面比面積相等的矩形截面有更高的彎曲剛度。說明：各種鋼材的彈性模量E大致相同，故采用高強(qiáng)度鋼材不能提高彎曲剛度。選擇截面的原則（安全而經(jīng)濟(jì)）：IZA選擇——較大的截面44截面形狀截面面積(cm2)

截面尺寸(cm)I(cm4)圓形35.5D=6.72101.3矩形35.5B=4.21H=8.43210.56工字形35.520a2370452．調(diào)整跨長(zhǎng)和改變結(jié)構(gòu)46lABq

要求解如圖所示的超靜定梁，可以以B端的活動(dòng)鉸支座為多余約束，將其撤除后而形成的懸臂梁即為原超靜定梁的基本靜定梁。ABqFB

為使基本靜定梁的受力及變形情況與原靜不定梁完全一致，還要求基本靜定梁滿足一定的變形協(xié)調(diào)條件。9.6簡(jiǎn)單超靜定梁此即應(yīng)滿足的變形協(xié)調(diào)條件(或變形相容條件)47ABq建立補(bǔ)充方程ABFBwBFwBqABqFB

由圖可見，B端的撓度為零，可將其視為均布載荷引起的撓度wBq與未知支座反力FB引起的撓度wBF的疊加結(jié)果，即:48ABqABFBwBFwBq

由表9.3查得力與變形間的物理關(guān)系：將其代入前式得：即得補(bǔ)充方程ABqFB49由此解出多余約束反力