高考二輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)課件高考增分大題五增分2圓錐曲線中的定點(diǎn)定值證明問題

高考增分大題五圓錐曲線的綜合問題增分2

圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、證明問題

考點(diǎn)一圓錐曲線中的證明問題(1)求橢圓C的方程和離心率;(2)設(shè)P,Q為橢圓C上不同的兩個(gè)點(diǎn),直線AP與y軸交于點(diǎn)E,直線AQ與y軸交于點(diǎn)F,若點(diǎn)M(1,0)滿足MF⊥ME,求證:P,O,Q三點(diǎn)共線.當(dāng)n=2k時(shí),直線PQ的方程y=k(x+2),不符合題意.當(dāng)n=0時(shí),P,O,Q三點(diǎn)共線.綜上,P,O,Q三點(diǎn)共線.即點(diǎn)(-x0,-y0)在直線AF上,因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0)在橢圓上,由橢圓的對(duì)稱性知點(diǎn)(-x0,-y0)也在橢圓上,即點(diǎn)(-x0,-y0)是直線AF與橢圓的交點(diǎn)Q,所以P,O,Q三點(diǎn)共線.(方法三)由題意得A(-2,0),不妨令點(diǎn)E在x軸上方.因?yàn)镸F⊥ME,所以△EMF為直角三角形,所以|OE|·|OF|=|OM|2=1.規(guī)律方法常見解析幾何證明問題轉(zhuǎn)化策略

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2023新高考Ⅰ,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)(0,)的距離,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.(1)求W的方程;(2)已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上,證明:矩形ABCD的周長(zhǎng)大于

.(2)(方法一)設(shè)矩形ABCD的頂點(diǎn)A(x1,y1)(x1≥0),B(x2,y2)(x2>0),D(x3,y3)在W上,如圖所示,設(shè)直線AB的斜率為k(k>0).不妨將A,B固定在y軸及y軸右側(cè).A,B坐標(biāo)滿足y2-y1=k(x2-x1),A,D坐標(biāo)滿足∵k>0,∴k3≥1.∴k≥1.即(b-a)(c-b)+(b2-a2)(c2-b2)=0.顯然(b-a)(c-b)≠0,于是1+(b+a)(c+b)=0.此時(shí),|b+a|·|c+b|=1.于是min{|b+a|,|c+b|}≤1.考點(diǎn)二與圓錐曲線有關(guān)的定點(diǎn)問題為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.(1)求E的方程;(2)證明:直線CD過定點(diǎn).(2)證明

(方法一)如圖所示,由(1)知A(-3,0),B(3,0),設(shè)P(6,m).直線PA的方程為規(guī)律方法1.圓錐曲線中定點(diǎn)問題的常見解法(1)要證明直線或曲線過定點(diǎn),可以根據(jù)已知條件直接求直線或曲線的方程,方程一旦求出,即能找到直線或曲線過的定點(diǎn),也就證明了過定點(diǎn);(2)對(duì)于直線或曲線是否過定點(diǎn)問題,一般先假定過定點(diǎn),并假設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)題意選擇參數(shù),建立一個(gè)直線系或曲線系方程,而該方程與參數(shù)無關(guān),故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組,以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn);(3)從特殊位置入手,找出定點(diǎn),再證明該點(diǎn)符合題意.C上.(1)求C的方程;(2)過點(diǎn)(-2,3)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M,N,證明:線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).∵直線AP,AQ分別與y軸交于M,N兩點(diǎn),且過A(-2,0),∴設(shè)直線AP的方程為y-0=k1(x+2),即y=k1x+2k1,設(shè)直線AQ的方程為y-0=k2(x+2),即y=k2x+2k2,∴M(0,2k1),N(0,2k2),T(0,k1+k2).又y1=k(x1+2)+3,y2=k(x2+2)+3,y1=k1x1+2k1,y2=k2x2+2k2,=2k+(-2k+3)=3,∴T(0,3).綜上,線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)(0,3).考點(diǎn)三與圓錐曲線有關(guān)的定值問題例3在平面直角坐標(biāo)系中,A1,A2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0),直線A1M,A2M相交于點(diǎn)M且它們的斜率之積是,記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)過點(diǎn)F(1,0)作直線l交曲線E于P,Q兩點(diǎn),且點(diǎn)P位于x軸上方,記直線A1Q,A2P的斜率分別為k1,k2,證明:為定值.若直線l斜率存在,設(shè)直線l為y=k(x-1)=kx-k(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2)(y1>0,y2<0),解題技巧1.求或證明某個(gè)量為定值的常見方法(1)從特殊入手,先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān);(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過程中消去變量,從而得到定值.以F2為圓心,2為半徑的圓相交,且交點(diǎn)在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)過橢圓C的右焦點(diǎn)F2的直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,且k1k2=-2,直線l1交橢圓C于M,N兩點(diǎn),直線l2交橢圓C于G,H兩點(diǎn),線段MN,GH的中點(diǎn)分別為R,S,直線RS與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),A,B是橢圓C的左、右頂點(diǎn),記△PQA與△PQB的面積分別為S1,S2,證明:為定值.解

(1)因?yàn)閮蓤A的交點(diǎn)在橢圓上,所以6+2=2a,則a=4.考點(diǎn)四圓錐曲線中定點(diǎn)、定值的探究問題例4(12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,S(t,4)為C上一點(diǎn),直線l交C于M,N兩點(diǎn)(與點(diǎn)S不重合).(1)若l過點(diǎn)F且傾斜角為60°,|FM|=4(M在第一象限),求C的方程.(2)若p=2,直線SM,SN分別與y軸交于A,B兩點(diǎn),且

=8,判斷直線l是否恒過定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn);若否,請(qǐng)說明理由.【教師講評(píng)—觸類旁通】分析1:在(1)中,聯(lián)立直線與拋物線的方程后得出方程兩個(gè)根,由M在第一象限得出M的橫坐標(biāo),再根據(jù)條件|FM|=4求出p的值,從而得出拋物線C的方程.分析2:在(2)中,采取設(shè)而不求的方法,設(shè)出直線方程并聯(lián)立直線與拋物線方程得出兩交點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo)與直線系數(shù)的關(guān)系式(*),再用M,N的