中級(jí)計(jì)量濟(jì)學(xué)講

線性時(shí)間序列模型（含平穩(wěn)時(shí)間序列模型/非平穩(wěn)時(shí)間序列模型）非線性時(shí)間序列模型：ARCH類模型時(shí)間序列分析平穩(wěn)時(shí)間序列模型引言大量自然界、社會(huì)經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)都依年、季、月或日統(tǒng)計(jì)其指標(biāo)值，隨著時(shí)間的推移，形成了統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列。因此，時(shí)間序列是某一統(tǒng)計(jì)指標(biāo)長(zhǎng)期變動(dòng)的數(shù)量表現(xiàn)。時(shí)間序列分析就是估算和研究某一時(shí)間序列在長(zhǎng)期變動(dòng)過(guò)程中所存在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。定義在統(tǒng)計(jì)研究中，有大量的數(shù)據(jù)是按照時(shí)間順序排列的，使用數(shù)學(xué)方法表述即用一組隨機(jī)序列表示隨機(jī)事件的時(shí)間序列，簡(jiǎn)記為或者。居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(Consumer

Price

Index)，英文縮寫CPI，是反映與居民生活有關(guān)的產(chǎn)品及勞務(wù)價(jià)格統(tǒng)計(jì)出來(lái)的物價(jià)變動(dòng)指標(biāo)，通常作為觀察通貨膨脹水平的重要指標(biāo)。本例給出了我國(guó)1985年—2007年的CPI年度數(shù)據(jù)時(shí)間序列圖。GDP即國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值，它是對(duì)一國(guó)（地區(qū)）經(jīng)濟(jì)在核算期內(nèi)所有常住單位生產(chǎn)的最終產(chǎn)品總量的度量，常常被看成反映一個(gè)國(guó)家（地區(qū)）經(jīng)濟(jì)狀況的重要指標(biāo)。本例給出我國(guó)1978年—2007年GDP數(shù)據(jù)（單位：億元）的時(shí)間序列圖。本例給出了1992年第一季度至2008年第三季度我國(guó)GDP季度數(shù)據(jù)（單位：億元）。本例給出了1990年12月19日—2008年11月6日上證A股指數(shù)日數(shù)據(jù)（除去節(jié)假日，共4386個(gè)數(shù)據(jù)）時(shí)序圖。本例給出1980年1月—1991年10月澳大利亞紅酒的月度銷量（單位：公升）時(shí)序圖。時(shí)間序列分析依賴于不同地應(yīng)用背景，有著不同的目的分析的基本任務(wù)是揭示支配觀測(cè)到的時(shí)間序列的隨機(jī)規(guī)律，通過(guò)所了解的這個(gè)隨機(jī)規(guī)律，我們可以理解所要考慮的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，預(yù)報(bào)未來(lái)的事件，并且通過(guò)干預(yù)來(lái)控制將來(lái)事件。上述即為時(shí)間序列分析的目的。ARIMA的建模過(guò)程第一步，對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行特性分析第二步，模型的識(shí)別與建立第三步，模型的評(píng)價(jià)，并利用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)一、時(shí)間序列分析的基本概念平穩(wěn)過(guò)程的特征及檢驗(yàn)特殊數(shù)據(jù)點(diǎn)處理

平穩(wěn)性檢驗(yàn)特征統(tǒng)計(jì)量平穩(wěn)時(shí)間序列的定義平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)平穩(wěn)時(shí)間序列的意義平穩(wěn)性的檢驗(yàn)

特征統(tǒng)計(jì)量均值

方差自協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)時(shí)間序列的定義嚴(yán)平穩(wěn)嚴(yán)平穩(wěn)是一種條件比較苛刻的平穩(wěn)性定義，它認(rèn)為只有當(dāng)序列所有的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)都不會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化時(shí)，該序列才能被認(rèn)為平穩(wěn)。寬平穩(wěn)寬平穩(wěn)是使用序列的特征統(tǒng)計(jì)量來(lái)定義的一種平穩(wěn)性。它認(rèn)為序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)主要由它的低階矩決定，所以只要保證序列低階矩平穩(wěn)（二階），就能保證序列的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定。

平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)定義

滿足如下條件的序列稱為嚴(yán)平穩(wěn)序列滿足如下條件的序列稱為寬平穩(wěn)序列嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系一般關(guān)系嚴(yán)平穩(wěn)條件比寬平穩(wěn)條件苛刻，通常情況下，嚴(yán)平穩(wěn)（低階矩存在）能推出寬平穩(wěn)成立，而寬平穩(wěn)序列不能反推嚴(yán)平穩(wěn)成立特例不存在低階矩的嚴(yán)平穩(wěn)序列不滿足寬平穩(wěn)條件當(dāng)序列服從多元正態(tài)分布時(shí)，寬平穩(wěn)可以推出嚴(yán)平穩(wěn)平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

常數(shù)均值自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)只依賴于時(shí)間的平移長(zhǎng)度而與時(shí)間的起止點(diǎn)無(wú)關(guān)

延遲k自協(xié)方差函數(shù)延遲k自相關(guān)系數(shù)若{Xt}為平穩(wěn)序列，假定EXt=0，由于令s=t-k，于是我們就可以用以下記號(hào)表示平穩(wěn)序列的自協(xié)方差函數(shù)，即：相應(yīng)的，自相關(guān)函數(shù)記為：自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)規(guī)范性對(duì)稱性平穩(wěn)性的檢驗(yàn)（圖檢驗(yàn)方法）

時(shí)序圖檢驗(yàn)根據(jù)平穩(wěn)時(shí)間序列均值、方差為常數(shù)的性質(zhì)，平穩(wěn)序列的時(shí)序圖應(yīng)該顯示出該序列始終在一個(gè)常數(shù)值附近隨機(jī)波動(dòng)，而且波動(dòng)的范圍有界、無(wú)明顯趨勢(shì)及周期特征自相關(guān)圖檢驗(yàn)平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性。該性質(zhì)用自相關(guān)系數(shù)來(lái)描述就是隨著延遲期數(shù)的增加，平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)會(huì)很快地衰減向零例題例1檢驗(yàn)1964年——1999年中國(guó)紗年產(chǎn)量序列的平穩(wěn)性例2檢驗(yàn)1962年1月——1975年12月平均每頭奶牛月產(chǎn)奶量序列的平穩(wěn)性例3檢驗(yàn)1949年——1998年北京市每年最高氣溫序列的平穩(wěn)性例1時(shí)序圖例1自相關(guān)圖例2時(shí)序圖例2自相關(guān)圖例3時(shí)序圖例3自相關(guān)圖純隨機(jī)性檢驗(yàn)

純隨機(jī)序列的定義純隨機(jī)性的性質(zhì)純隨機(jī)性檢驗(yàn)純隨機(jī)序列的定義純隨機(jī)序列也稱為白噪聲序列，它滿足如下兩條性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲序列時(shí)序圖

白噪聲序列的性質(zhì)純隨機(jī)性方差齊性各序列值之間沒有任何相關(guān)關(guān)系，即為“沒有記憶”的序列

方差齊性純隨機(jī)性檢驗(yàn)檢驗(yàn)原理假設(shè)條件檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量判別原則Barlett定理如果一個(gè)時(shí)間序列是純隨機(jī)的，得到一個(gè)觀察期數(shù)為的觀察序列，那么該序列的延遲非零期的樣本自相關(guān)系數(shù)將近似服從均值為零，方差為序列觀察期數(shù)倒數(shù)的正態(tài)分布假設(shè)條件原假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于期的序列值之間相互獨(dú)立備擇假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于期的序列值之間有相關(guān)性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Q統(tǒng)計(jì)量判別原則拒絕原假設(shè)當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于分位點(diǎn)，或該統(tǒng)計(jì)量的P值小于時(shí)，則可以以的置信水平拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該序列為非白噪聲序列接受原假設(shè)當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量小于分位點(diǎn)，或該統(tǒng)計(jì)量的P值大于時(shí)，則認(rèn)為在的置信水平下無(wú)法拒絕原假設(shè)，即不能顯著拒絕序列為純隨機(jī)序列的假定例4：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲序列純隨機(jī)性檢驗(yàn)樣本自相關(guān)圖檢驗(yàn)結(jié)果延遲統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值P值延遲6期2.360.8838延遲12期5.350.9454由于P值顯著大于顯著性水平，所以該序列不能拒絕純隨機(jī)的原假設(shè)。例5對(duì)1950年——1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄所占比例序列的平穩(wěn)性與純隨機(jī)性進(jìn)行檢驗(yàn)例5自相關(guān)圖例5白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果延遲階數(shù)Q統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)Q檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值P值675.46<0.00011282.57<0.0001注：離群值、缺失值的補(bǔ)足1、seriesmean全體序列的均數(shù)，默認(rèn)值2、meanofnearbypoints相鄰若干點(diǎn)的均數(shù)3、medianofnearbypoints:相鄰若干點(diǎn)的中位數(shù)4、lineartrendatpoint.該點(diǎn)的線性趨勢(shì)，將記錄號(hào)作為自變量，序列值作為應(yīng)變量回歸，求得該點(diǎn)的估計(jì)值。二、線性平穩(wěn)時(shí)間序列分析時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)分析中，平穩(wěn)序列是一類重要的隨機(jī)序列。在這方面已經(jīng)有了比較成熟的理論知識(shí).最常用的是ARMA（AutoregressiveMovingAverage）序列。用ARMA模型去近似地描述動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)在實(shí)際應(yīng)用中有許多優(yōu)點(diǎn)，例如它是線性模型，只要給出少量參數(shù)就可完全確定模型形式；另外，便于分析數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)和內(nèi)在性質(zhì)，也便于在最小方差意義下進(jìn)行最佳預(yù)測(cè)和控制。本章將討論ARMA模型的基本性質(zhì)和特征，這是時(shí)間序列統(tǒng)計(jì)分析中的重要理論基礎(chǔ)。線性過(guò)程準(zhǔn)備工具：延遲算子和差分方程設(shè)為一步延遲算子，如果當(dāng)前序列乘以一個(gè)延遲算子，就表示把當(dāng)前序列值的時(shí)間向過(guò)去撥一個(gè)時(shí)刻，即延遲算子的性質(zhì)

差分運(yùn)算一階差分階差分步差分用延遲算子表示差分運(yùn)算

階差分步差分線性差分方程線性差分方程齊次線性差分方程齊次線性差分方程的解特征方程特征方程的根稱為特征根，記作齊次線性差分方程的通解不相等實(shí)數(shù)根場(chǎng)合有相等實(shí)根場(chǎng)合復(fù)根場(chǎng)合非齊次線性差分方程的解非齊次線性差分方程的特解使得非齊次線性差分方程成立的任意一個(gè)解非齊次線性差分方程的通解齊次線性差分方程的通解和非齊次線性差分方程的特解之和線性過(guò)程的定義線性過(guò)程的因果性和可逆性在應(yīng)用時(shí)間序列分析去解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，所使用的線性過(guò)程是因果性的，即：自回歸過(guò)程AR(p)線性過(guò)程及其逆轉(zhuǎn)形式都是無(wú)窮和的形式，用有限和去逼近時(shí)即產(chǎn)生有限參數(shù)線性模型，而且許多平穩(wěn)序列本身就是由有限參數(shù)線性模型刻畫的。有限參數(shù)線性模型是時(shí)間序列分析中理論最基礎(chǔ)、應(yīng)用最廣泛的部分。如下將討論AR、MA和ARMA三種有限參數(shù)線性模型。AR模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡(jiǎn)記為特別當(dāng)時(shí)，稱為中心化模型AR(P)序列中心化變換稱為的中心化序列，令自回歸系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，中心化模型又可以簡(jiǎn)記為自回歸系數(shù)多項(xiàng)式AR模型平穩(wěn)性判別判別原因AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的判別方法單位根判別法平穩(wěn)域判別法例1:考察如下四個(gè)模型的平穩(wěn)性例1平穩(wěn)序列時(shí)序圖例1非平穩(wěn)序列時(shí)序圖AR模型平穩(wěn)性判別方法特征根判別AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的p個(gè)特征根都在單位圓內(nèi)根據(jù)特征根和自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根成倒數(shù)的性質(zhì)，等價(jià)判別條件是該模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外平穩(wěn)域判別平穩(wěn)域AR(1)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域AR(2)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域例1平穩(wěn)性判別模型特征根判別平穩(wěn)域判別結(jié)論(1)平穩(wěn)(2)非平穩(wěn)(3)平穩(wěn)(4)非平穩(wěn)平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)均值方差協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)均值如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且為白噪聲序列，有推導(dǎo)出Green函數(shù)定義AR模型的傳遞形式其中系數(shù)稱為Green函數(shù)Green函數(shù)遞推公式原理方法待定系數(shù)法例2:求平穩(wěn)AR(1)模型的方差平穩(wěn)AR(1)模型的傳遞形式為Green函數(shù)為平穩(wěn)AR(1)模型的方差協(xié)方差函數(shù)在平穩(wěn)AR(p)模型兩邊同乘，再求期望根據(jù)得協(xié)方差函數(shù)的遞推公式例3:求平穩(wěn)AR(1)模型的協(xié)方差遞推公式平穩(wěn)AR(1)模型的方差為協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為例4:求平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差函數(shù)遞推公式為自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)的定義平穩(wěn)AR(P)模型的自相關(guān)系數(shù)遞推公式常用AR模型自相關(guān)系數(shù)遞推公式AR(1)模型AR(2)模型AR模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)拖尾性呈復(fù)指數(shù)衰減例5:考察如下AR模型的自相關(guān)圖例5—自相關(guān)系數(shù)按復(fù)指數(shù)單調(diào)收斂到零例5:—例5:—自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出“偽周期”性例5:—自相關(guān)系數(shù)不規(guī)則衰減偏自相關(guān)系數(shù)定義對(duì)于平穩(wěn)AR(p)序列，所謂滯后k階偏自相關(guān)系數(shù)就是指在給定中間k-1個(gè)隨機(jī)變量的條件下，或者說(shuō)，在剔除了中間k-1個(gè)隨機(jī)變量的干擾之后，對(duì)影響的相關(guān)度量。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述就是偏自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算滯后k階偏自相關(guān)系數(shù)實(shí)際上就等于k階自回歸模型第k個(gè)回歸系數(shù)的值。偏自相關(guān)系數(shù)的截尾性AR(p)模型偏自相關(guān)系數(shù)P階截尾例5續(xù):考察如下AR模型的偏自相關(guān)圖例5—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖例5:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖例5:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖例5:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)圖MA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡(jiǎn)記為特別當(dāng)時(shí)，稱為中心化模型移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，中心化模型又可以簡(jiǎn)記為階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式MA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)常數(shù)均值常數(shù)方差MA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)自協(xié)方差函數(shù)P階截尾自相關(guān)系數(shù)P階截尾常用MA模型的自相關(guān)系數(shù)MA(1)模型MA(2)模型MA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)偏自相關(guān)系數(shù)拖尾例6:考察如下MA模型的相關(guān)性質(zhì)MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾

MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾

MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾

MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾

MA模型的可逆性MA模型自相關(guān)系數(shù)的不唯一性例3.6中不同的MA模型具有完全相同的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可逆的定義可逆MA模型定義若一個(gè)MA模型能夠表示稱為收斂的AR模型形式，那么該MA模型稱為可逆MA模型可逆概念的重要性一個(gè)自相關(guān)系數(shù)列唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)可逆MA模型?？赡鍹A(1)模型

MA模型的可逆條件MA(q)模型的可逆條件是：MA(q)模型的特征根都在單位圓內(nèi)等價(jià)條件是移動(dòng)平滑系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外逆函數(shù)的遞推公式原理方法待定系數(shù)法遞推公式例6續(xù):考察如下MA模型的可逆性(1)—(2)

逆函數(shù)逆轉(zhuǎn)形式(3)—(4)

逆函數(shù)逆轉(zhuǎn)形式ARMA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記為特別當(dāng)時(shí)，稱為中心化模型系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，中心化模型又可以簡(jiǎn)記為階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式平穩(wěn)條件與可逆條件ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)條件P階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外即ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性完全由其自回歸部分的平穩(wěn)性決定ARMA(p,q)模型的可逆條件q階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移動(dòng)平滑部分的可逆性決定傳遞形式與逆轉(zhuǎn)形式傳遞形式逆轉(zhuǎn)形式ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)均值協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)ARMA模型的相關(guān)性自相關(guān)系數(shù)拖尾偏自相關(guān)系數(shù)拖尾例7:考察ARMA模型的相關(guān)性擬合模型ARMA(1,1):

并直觀地考察該模型自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)。自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)拖尾性樣本自相關(guān)圖樣本偏自相關(guān)圖ARMA模型相關(guān)性特征三、時(shí)間序列的模型識(shí)別前面討論了時(shí)間序列的平穩(wěn)性問(wèn)題、可逆性問(wèn)題，關(guān)于線性平穩(wěn)時(shí)間序列模型，引入了自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)，由此得到ARMA(p,q)統(tǒng)計(jì)特性。從本章開始，我們將運(yùn)用數(shù)據(jù)開始進(jìn)行時(shí)間序列的建模工作，其工作流程如下：在ARMA(p,q)的建模過(guò)程中，對(duì)于階數(shù)(p,q)的確定，是建模中比較重要的步驟，也是比較困難的。需要說(shuō)明的是，模型的識(shí)別和估計(jì)過(guò)程必然會(huì)交叉，所以，我們可以先估計(jì)一個(gè)比我們希望找到的階數(shù)更高的模型，然后決定哪些方面可能被簡(jiǎn)化。在這里我們使用估計(jì)過(guò)程去完成一部分模型識(shí)別，但是這樣得到的模型識(shí)別必然是不精確的，而且在模型識(shí)別階段對(duì)于有關(guān)問(wèn)題沒有精確的公式可以利用，初步識(shí)別可以為我們提供有關(guān)模型類型的試探性的考慮。對(duì)于線性平穩(wěn)時(shí)間序列模型來(lái)說(shuō)，模型的識(shí)別問(wèn)題就是確定ARMA(p,q)過(guò)程的階數(shù)，從而判定模型的具體類別，為我們下一步進(jìn)行模型的參數(shù)估計(jì)做準(zhǔn)備。所采用的基本方法主要是依據(jù)樣本的自相關(guān)系數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)系數(shù)（PACF）初步判定其階數(shù)，如果利用這種方法無(wú)法明確判定模型的類別，就需要借助諸如AIC、BIC等信息準(zhǔn)則。我們分別給出幾種定階方法，它們分別是（1）利用時(shí)間序列的相關(guān)特性，這是識(shí)別模型的基本理論依據(jù)。如果樣本的自相關(guān)系數(shù)（ACF）在滯后q+1

階時(shí)突然截?cái)啵丛趒處截尾，那么可以判定該序列為MA(q)序列。同樣的道理，如果樣本的偏自相關(guān)系數(shù)（PACF）在p處截尾，那么我們可以判定該序列為AR(p)序列。如果ACF和PACF都不截尾，只是按指數(shù)衰減為零，則應(yīng)判定該序列為ARMA(p,q)序列，此時(shí)階次尚需作進(jìn)一步的判斷；（2）利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)高階模型新增加的參數(shù)是否近似為零，根據(jù)模型參數(shù)的置信區(qū)間是否含零來(lái)確定模型階次，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜌埐畹南嚓P(guān)特性等；（3）利用信息準(zhǔn)則，確定一個(gè)與模型階數(shù)有關(guān)的準(zhǔn)則函數(shù)，既考慮模型對(duì)原始觀測(cè)值的接近程度，又考慮模型中所含待定參數(shù)的個(gè)數(shù)，最終選取使該函數(shù)達(dá)到最小值的階數(shù)，常用的該類準(zhǔn)則有AIC、BIC等。實(shí)際應(yīng)用中，往往是幾種方法交叉使用，然后選擇最為合適的階數(shù)(p,q)作為待建模型的階數(shù)。131自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)法在平穩(wěn)時(shí)間序列分析中，最關(guān)鍵的過(guò)程就是利用數(shù)據(jù)去識(shí)別和建模，根據(jù)第三章討論的內(nèi)容，一個(gè)比較直觀的方法，就是通過(guò)觀察自相關(guān)系數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)系數(shù)（PACF）可以對(duì)擬合模型有一個(gè)初步的識(shí)別，這是因?yàn)閺睦碚撋险f(shuō)，平穩(wěn)AR、MA和ARMA模型的ACF和PACF有如下特性：選擇模型拖尾P階截尾AR(P)q階截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)因?yàn)橛捎跇颖镜碾S機(jī)性，樣本的相關(guān)系數(shù)不會(huì)呈現(xiàn)出理論截尾的完美情況，本應(yīng)截尾的或仍會(huì)呈現(xiàn)出小值振蕩的情況。由于平穩(wěn)時(shí)間序列通常都具有短期相關(guān)性，隨著延遲階數(shù)，與都會(huì)衰減至零值附近作小值波動(dòng).當(dāng)或在延遲若干階之后衰減為小值波動(dòng)時(shí)，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)截尾，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)在延遲若干階之后正常衰減到零值附近作拖尾波動(dòng)呢？134135136近似分布BarlettQuenouille138139140141142143144145146147148149150151AR(p)模型定階的F準(zhǔn)則

1967年，瑞典控制論專家K.J.Astr?m教授將F檢驗(yàn)準(zhǔn)則用于對(duì)時(shí)間序列模型的定階。設(shè)(1≤t≤N)是零均值平穩(wěn)序列的一段樣本。并用模型AR(p)

進(jìn)行擬合。根據(jù)模型階數(shù)節(jié)省原則(parsimonyprinciple)，采取由低階逐步升高的“過(guò)擬合”辦法。先對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)擬合模型AR(p)(p=1，2，…)，用遞推最小二乘估計(jì)其參數(shù)并分別計(jì)算對(duì)應(yīng)模型的殘差平方和。根據(jù)適用的模型應(yīng)具有較小的殘差平方和的特點(diǎn)，用F準(zhǔn)則判定模型的階數(shù)改變后相應(yīng)的殘差平方和變化是否顯著。153154155156157158的值隨K而增長(zhǎng)。159160161四、時(shí)間序列模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷

ARMA(p,q)模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)

ARMA(p,q)模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)

考慮以下時(shí)序模型：若et=at，即et為白噪聲，此時(shí)模型為AR(P)模型，則前述四個(gè)假設(shè)都能滿足。因此，對(duì)于AR(P)模型，用普通最小二乘法(OLS)估計(jì)的參數(shù)是無(wú)偏、一致估計(jì)。若，此時(shí)模型為ARMA(p,q)模型或MA(q)(p=0時(shí))模型，此時(shí)et

不滿足第3,4個(gè)條件，因此，對(duì)于ARMA模型和MA模型，普通最小二乘估計(jì)不是一致的估計(jì)。ARMA(p,q)模型的診斷檢驗(yàn)ARMA(p,q)模型的診斷檢驗(yàn)ARMA(p,q)模型的診斷檢驗(yàn)ARMA(p,q)模型的診斷檢驗(yàn)ARMA(p,q)模型的診斷檢驗(yàn)ARMA(p,q)模型的診斷檢驗(yàn)ARMA(p,q)模型的診斷檢驗(yàn)ARMA(p,q)模型的優(yōu)化五、平穩(wěn)時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)設(shè)平穩(wěn)時(shí)間序列是一個(gè)ARMA(p,q)過(guò)程，即本章將討論其預(yù)測(cè)問(wèn)題，設(shè)當(dāng)前時(shí)刻為t，已知時(shí)刻t和以前時(shí)刻的觀察值我們將用已知的觀察值對(duì)時(shí)刻t后的觀察值

進(jìn)行預(yù)測(cè)，記為，稱為時(shí)間序列的第步預(yù)測(cè)值。最小均方誤差預(yù)測(cè)考慮預(yù)測(cè)問(wèn)題首先要確定衡量預(yù)測(cè)效果的標(biāo)準(zhǔn)，一個(gè)很自然的思想就是預(yù)測(cè)值與真值的均方誤差達(dá)到最小，即設(shè)預(yù)測(cè)值與真值的均方誤差

我們的工作就是尋找，使上式達(dá)到最小。條件無(wú)偏均方誤差最小預(yù)測(cè)設(shè)隨機(jī)序列，滿足，則如果隨機(jī)變量使得

達(dá)到最小值，則如果隨機(jī)變量使得

達(dá)到最小值，則根據(jù)上述結(jié)論，我們得到，當(dāng)時(shí)，使得

達(dá)到最小。對(duì)于ARMA模型，下列等式成立：ARMA模型的預(yù)測(cè)方差和預(yù)測(cè)區(qū)間

如果ARMA模型滿足因果性，則有所以，預(yù)測(cè)誤差為

由此，我們可以看到在預(yù)測(cè)方差最小的原則下，是當(dāng)前樣本和歷史樣本已知條件下得到的條件最小方差預(yù)測(cè)值。其預(yù)測(cè)方差只與預(yù)測(cè)步長(zhǎng)有關(guān)，而與預(yù)測(cè)起始點(diǎn)t無(wú)關(guān)。當(dāng)預(yù)測(cè)步長(zhǎng)的值越大時(shí)，預(yù)測(cè)值的方差也越大，因此為了預(yù)測(cè)精度，ARMA模型的預(yù)測(cè)步長(zhǎng)不宜過(guò)大，也就是說(shuō)使用ARMA模型進(jìn)行時(shí)間序列分析只適合做短期預(yù)測(cè)。進(jìn)一步地，在正態(tài)分布假定下，有

由此可以得到

預(yù)測(cè)值的95%的置信區(qū)間為

或者

AR模型的預(yù)測(cè)首先考慮AR(1)模型

當(dāng)

時(shí)，即當(dāng)前時(shí)刻為t的一步預(yù)測(cè)為

當(dāng)

，當(dāng)前時(shí)刻為t的

步預(yù)測(cè)

對(duì)于AR(p)模型

當(dāng)

時(shí)，當(dāng)前時(shí)刻為t的一步預(yù)測(cè)為

當(dāng)

，當(dāng)前時(shí)刻為t的步預(yù)測(cè)

例1

設(shè)平穩(wěn)時(shí)間序列

來(lái)自AR(2)模型

已知

，求

和

以及95%的置信區(qū)間。解：根據(jù)第三章，可以計(jì)算模型的格林函數(shù)為所以的95%的置信區(qū)間為（－1.076，3.236）

的95%的置信區(qū)間為（－2.296，3.952）例2

已知某商場(chǎng)月銷售額來(lái)自AR(2)模型(單位：萬(wàn)元/月)

2006年第一季度該商場(chǎng)月銷售額分別為：101萬(wàn)元，96萬(wàn)元，97.2萬(wàn)元。求該商場(chǎng)2006年第二季度的月銷售額的95%的置信區(qū)間。

第二季度的4月、5月、6月的預(yù)測(cè)值分別為

計(jì)算模型的格林函數(shù)為4月、5月、6月的月銷售額的95%的置信