高中必修一函數(shù)的奇偶性詳細講解及練習詳細答案

函數(shù)單調(diào)性和奇偶性例1

（1）畫出函數(shù)y＝-x2+2｜x｜+3圖像，并指出函數(shù)單調(diào)區(qū)間．解：函數(shù)圖像如下圖所示，當x≥0時，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；當x＜0時，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函數(shù)是增函數(shù)：在［-1，0］和［1，+∞）上，函數(shù)是減函數(shù)．評析

函數(shù)單調(diào)性是對某個區(qū)間而言，對于單獨一個點沒有增減改變，所以對于區(qū)間端點只要函數(shù)有意義，都可以帶上．（2）已知函數(shù)f（x）＝x2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4］上是減函數(shù)，求實數(shù)a取值范圍．分析

要充分運用函數(shù)單調(diào)性是以對稱軸為界線這一特征．解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函數(shù)對稱軸是x＝1-a．因為在區(qū)間（-∞，1-a］上f（x）是單調(diào)遞減，若使f（x）在（-∞，4］上單調(diào)遞減，對稱軸x＝1-a必需在x=4右側(cè)或及其重合，即1-a≥4，a≤-3．評析

這是涉及逆向思維問題，即已知函數(shù)單調(diào)性，求字母參數(shù)范圍，要留意利用數(shù)形結(jié)合．例2

推斷下列函數(shù)奇偶性：（1）f（x）＝-（2）f（x）＝（x-1）．解：（1）f（x）定義域為R．因為f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜

＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）．所以f（x）為奇函數(shù)．（2）f（x）定義域為｛x｜-1≤x＜1｝，不關(guān)于原點對稱．所以f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．評析

用定義推斷函數(shù)奇偶性步驟及方法如下：（1）求函數(shù)定義域，并考查定義域是否關(guān)于原點對稱．（2）計算f（-x），并及f（x）比較，推斷f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）及-f（x）關(guān)系并不明確時，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，從而推斷函數(shù)奇偶性．例3

已知函數(shù)f（x）＝．（1）推斷f（x）奇偶性．（2）確定f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)?在區(qū)間（0，+∞）上呢?證明你結(jié)論．解：因為f（x）定義域為R，又f（-x）＝＝＝f（x），所以f（x）為偶函數(shù)．（2）f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，由于f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．其證明：取x1＜x2＜0，f（x1）-f（x2）＝-＝＝．因為x1＜x2＜0，所以x2-x1＞0，x1+x2＜0，x21+1＞0，x22+1＞0，得

f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)．評析

奇函數(shù)在（a,b）上單調(diào)性及在（-b,-a）上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在（a,b）及（-b,-a）單調(diào)性相反．例4

已知y=f（x）是奇函數(shù)，它在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（x）＜0，試問F（x）＝在（-∞，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)?證明你結(jié)論．分析

依據(jù)函數(shù)增減性定義，可以任取x1＜x2＜0，進而判定F（x1）-F（x2）＝-＝正負．為此，需分別判定f（x1）、f（x2）及f（x2）正負，而這可以從已條件中推出．解：任取x1、x2∈（-∞，0）且x1＜x2，則有-x1＞-x2＞0．∵y＝f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（x）＜0，∴f（-x2）＜f（-x1）＜0．

①又∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x2）＝-f（x2），f（-x1）＝-f（x1）

②由①、②得

f（x2）＞f（x1）＞0．于是F（x1）-F（x2）＝＞0，即F（x1）＞F（x2），所以F（x）＝在（-∞，0）上是減函數(shù)．評析

本題最簡單發(fā)生錯誤，是受已知條件影響，一起先就在（0，+∞）內(nèi)任取x1＜x2，綻開證明．這樣就不能保證-x1，-x2，在（-∞，0）內(nèi)隨意性而導致錯誤．避開錯誤方法是：要明確證明目標，有針對性地綻開證明活動．例5

探討函數(shù)f（x）＝（a≠0）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)單調(diào)性．分析

依據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義求解．解：設(shè)-1＜x1＜x2＜１，則f（x1）-f（x2）＝-

＝∵x1，x2∈（-1，1），且x1＜x２，∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，（1-x21）（1-x22）＞0于是，當a＞0時，f（x1）＜f（x2）；當a＜0時，f（x1）＞f（x2）．故當a＞0時，函數(shù)在（-1，1）上是增函數(shù)；當a＜0時，函數(shù)在（-1，1）上為減函數(shù)．評析

依據(jù)定義探討（或證明）函數(shù)單調(diào)性一般步驟是：（1）設(shè)x1、x2是給定區(qū)間內(nèi)隨意兩個值，且x1＜x2；（2）作差f（x1）-f（x2），并將此差式變形；（3）推斷f（x1）-f（x2）正負，從而確定函數(shù)單調(diào)性．例6

求證：f（x）＝x+（k＞0）在區(qū)間（0，k］上單調(diào)遞減．解：設(shè)0＜x1＜x2≤k，則f（x1）-f（x2）＝x1+-x2-

＝∵0＜x1＜x2≤k，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜k2，∴f（x1）-f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）＝x+中（0，k］上是減函數(shù)．評析

函數(shù)f（x）在給定區(qū)間上單調(diào)性反映了函數(shù)f（x）在區(qū)間上函數(shù)值改變趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上整體性質(zhì)．因此，若要證明f（x）在［a,b］上是增函數(shù)（減函數(shù)），就必需證明對于區(qū)間［a,b］上隨意兩點x1，x2，當x1＜x2時，都有不等式f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2））類似可以證明：函數(shù)f（x）＝x+（k＞0）在區(qū)間［k，+∞］上是增函數(shù)．例7

推斷函數(shù)f（x）＝奇偶性．分析

確定函數(shù)定義域后可脫去肯定值符號．解：由得函數(shù)定義域為［-1，1］．這時，｜x-2｜＝2-x．∴f（x）＝，∴f（-x）＝＝＝f（x）．且留意到f（x）不恒為零，從而可知，f（x）＝是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)．評析

由于函數(shù)解析式中肯定值使得所給函數(shù)不像具有奇偶性，若不作深化思索，便會作出其非奇非偶推斷．但隱含條件（定義域）被揭示之后，函數(shù)奇偶性就特別明顯了．這樣看來，解題中先確定函數(shù)定義域不僅可以避開錯誤，而且有時還可以避開探討，簡化解題過程．函數(shù)奇偶性練習一、選擇題1．已知函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函數(shù)，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（）A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既奇又偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)2．已知函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，且其定義域為［a－1，2a］，則（）A．，b＝0B．a(chǎn)＝－1，b＝0C．a(chǎn)＝1，b＝0D．a(chǎn)＝3，b＝03．已知f（x）是定義在R上奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）＝x2－2x，則f（x）在R上表達式是（）A．y＝x（x－2）B．y＝x（｜x｜－1）C．y＝｜x｜（x－2）D．y＝x（｜x｜－2）4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（）A．－26B．－18C．－10D．105．函數(shù)是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)6．若，g（x）都是奇函數(shù)，在（0，＋∞）上有最大值5，則f（x）在（－∞，0）上有（）A．最小值－5B．最大值－5C．最小值－1D．最大值－3二、填空題7．函數(shù)奇偶性為________（填奇函數(shù)或偶函數(shù)）．8．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函數(shù)，則m＝_________．9．已知f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，若，則f（x）解析式為_______．10．已知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且其圖象及x軸有四個交點，則方程f（x）＝0全部實根之和為________．三、解答題11．設(shè)定義在［－2，2］上偶函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，2］上單調(diào)遞減，若f（1－m）＜f（m），求實數(shù)m取值范圍．12．已知函數(shù)f（x）滿意f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0，試證f（x）是偶函數(shù)．13.已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上表達式．14.f（x）是定義在（－∞，－5］［5，＋∞）上奇函數(shù)，且f（x）在［5，＋∞）上單調(diào)遞減，試推斷f（x）在（－∞，－5］上單調(diào)性，并用定義賜予證明．15.設(shè)函數(shù)y＝f（x）（xR且x≠0）對隨意非零實數(shù)x1、x2滿意f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），求證f（x）是偶函數(shù)．函數(shù)奇偶性練習參考答案1．解析：f（x）＝ax2＋bx＋c為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，∴g（x）＝ax3＋bx2＋cx＝f（x）·滿意奇函數(shù)條件．答案：A2．解析：由f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b為偶函數(shù)，得b＝0．又定義域為［a－1，2a］，∴a－1＝2a，∴．故選A．3．解析：由x≥0時，f（x）＝x2－2x，f（x）為奇函數(shù)，∴當x＜0時，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x）＝－x2－2x＝x（－x－2）．∴即f（x）＝x（|x|－2）答案：D4．解析：f（x）＋8＝x5＋ax3＋bx為奇函數(shù)，f（－2）＋8＝18，∴f（2）＋8＝－18，∴f（2）＝－26．答案：A5．解析：此題干脆證明較煩，可用等價形式f（－x）＋f（x）＝0．答案：B6．解析：、g（x）為奇函數(shù)，∴為奇函數(shù)．又f（x）在（0，＋∞）上有最大值5，∴f（x）－2有最大值3．∴f（x）－2在（－∞，0）上有最小值－3，∴f（x）在（－∞，0）上有最小值－1．答案：C7．答案：奇函數(shù)8．答案：0解析：因為函數(shù)y＝（m－1）x2＋2mx＋3為偶函數(shù)，∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）2＋2m（－x）＋3＝（m—1）x2＋2mx＋3，整理，得m＝0．9．解析：由f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，可得，聯(lián)立，∴．答案：10．答案：011．答案：12．證明：令x＝y(tǒng)＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可證f（0）＝1．令x＝0，∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）f（－y）＝f（y），故f（x）為偶函數(shù)．13．解析：本題主要是培育學生理解概念實力．f（x）＝x3＋2x2－1．因f（x）為奇函數(shù)，∴f（0）＝0．當x＜0時，－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1，∴f（x）＝x3－2x2＋1．因此，點評：本題主要考查學生對奇函數(shù)概念理解及應(yīng)用實力．14．解析：任取x1＜x2≤－5，則－x1＞－x2≥－5．因f（x）在［5，＋∞］上單調(diào)遞減，所以f（－x1）＜f（－x2）f（x1）＜－f（x2）f（x1）＞f（x2），即單調(diào)減函數(shù)．點評：此題要留意敏捷運用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，并剛