測試系統(tǒng)特性

關(guān)于測試系統(tǒng)特性第三章測試系統(tǒng)的特性3.1線性系統(tǒng)及其主要性質(zhì)

3.2測試系統(tǒng)的靜態(tài)特性3.3測試系統(tǒng)的動態(tài)特性3.4測試系統(tǒng)在典型輸入下的響應(yīng)

3.5實(shí)現(xiàn)不失真測試的條件第2頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

測試系統(tǒng)是執(zhí)行測試任務(wù)的傳感器、儀器和設(shè)備的總稱。簡單測試系統(tǒng)(光電池)V第3頁,共96頁，2024年2月25日，星期天復(fù)雜測試系統(tǒng)(軸承缺陷檢測)

加速度計(jì)帶通濾波器包絡(luò)檢波器第4頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.1線性系統(tǒng)及其主要性質(zhì)被測對象傳感器信號調(diào)理傳輸信號處理顯示記錄觀察者激勵(lì)裝置反饋、控制

測試系統(tǒng)的組成

測試系統(tǒng)是指由相關(guān)的器件、儀器和測試裝置有機(jī)組合而成的具有獲取某種信息之功能的整體。第5頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

一般地，把外界對系統(tǒng)的作用稱之為系統(tǒng)的輸入或激勵(lì)，而將系統(tǒng)對輸入的反應(yīng)稱為系統(tǒng)的輸出或響應(yīng)。

測試裝置

激勵(lì)與響應(yīng)把測試系統(tǒng)中能夠完成一定功能的部件稱為測試裝置。

上圖中方塊表示測試裝置某功能組件，x(t)表示輸入，y(t)表示輸出，h(t)表示由此組件的物理性能決定的數(shù)學(xué)運(yùn)算法則。整個(gè)圖表示輸入量送入此組件后，經(jīng)過規(guī)定的運(yùn)算法則h(t)轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵隽?。x(t)h(t)y(t)輸入量系統(tǒng)特性輸出

系統(tǒng)的特性是指系統(tǒng)的輸出和輸入的關(guān)系。第6頁,共96頁，2024年2月25日，星期天測試系統(tǒng)基本要求

理想的測試系統(tǒng)應(yīng)該具有單值的、確定的輸入－輸出關(guān)系。對于每一輸入量都應(yīng)該只有單一的輸出量與之對應(yīng)。知道其中一個(gè)量就可以確定另一個(gè)量。其中以輸出和輸入成線性關(guān)系最佳。

xy線性xy線性xy非線性

輸出信號的質(zhì)量必定差于輸入信號的質(zhì)量。受測試系統(tǒng)的特性影響；受信號傳輸過程中干擾的影響。第7頁,共96頁，2024年2月25日，星期天線性系統(tǒng)微分方程(時(shí)域描述)式中：t為時(shí)間自變量；x(t)---輸入量，y(t)-----輸出量，等是由此測量系統(tǒng)或功能組件的物理性質(zhì)決定的常數(shù)。系統(tǒng)輸入x(t)和輸出y(t)間的關(guān)系可以用常系數(shù)線性微分方程來描述：第8頁,共96頁，2024年2月25日，星期天線性定常系統(tǒng)(linearsystem)

若測試裝置以及被測系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如裝置的質(zhì)量、彈性剛度、阻尼系數(shù)、電感、電容、電阻、比熱、熱阻等不隨時(shí)間而變化（即是常數(shù)），稱為時(shí)不變系統(tǒng)；若輸入輸出呈線性關(guān)系，則稱為線性時(shí)不變系統(tǒng)。定常線性系統(tǒng)主要性質(zhì)

1）疊加原理

當(dāng)幾個(gè)輸入同時(shí)作用于線性系統(tǒng)時(shí)，則其響應(yīng)等于各個(gè)輸入單獨(dú)作用于該系統(tǒng)的響應(yīng)之和。即

若

則

第9頁,共96頁，2024年2月25日，星期天比例特性若則對于任意常數(shù)a有：指輸入x(t)增大a倍，那么輸出為輸入為x(t)時(shí)對應(yīng)輸出的a倍。綜合以上兩點(diǎn)，線性時(shí)不變系統(tǒng)必須符合：

微分性若則系統(tǒng)對輸入微分的響應(yīng)等于對輸入響應(yīng)的微分，只要對微分方程兩邊同時(shí)微分即可得證。

第10頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

積分性若則

如果系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，則系統(tǒng)對輸入積分的響應(yīng)等于對原輸入響應(yīng)的積分。

頻率保持性若線性系統(tǒng)的輸入為某一頻率的簡諧信號，則其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)必是同一頻率的簡諧信號。即

若x(t)=Acos(ωt+φx)

則y(t)=Bcos(ωt+φy)第11頁,共96頁，2024年2月25日，星期天2.2測試系統(tǒng)靜態(tài)響應(yīng)特性

如果測量時(shí)，測試裝置的輸入、輸出信號不隨時(shí)間而變化，則稱為靜態(tài)測量。靜態(tài)測量時(shí)，測試裝置表現(xiàn)出的響應(yīng)特性稱為靜態(tài)響應(yīng)特性。在線性系統(tǒng)的描述中，當(dāng)系統(tǒng)的輸入x(t)=c（常數(shù)），即輸入信號的幅值不隨時(shí)間變化或其隨時(shí)間變化的周期遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于測試時(shí)間時(shí),有：理想狀態(tài)：第12頁,共96頁，2024年2月25日，星期天2.2測試系統(tǒng)的靜態(tài)特性

理想線性系統(tǒng)其輸出與輸入之間是呈單調(diào)、線性比例的關(guān)系，即輸入、輸出關(guān)系是一條理想的直線，斜率S為常數(shù)。但是實(shí)際測試系統(tǒng)并非是理想定常線性系統(tǒng)，輸入、輸出曲線并不是理想的直線，上式實(shí)際上變成：實(shí)際狀態(tài):非線性關(guān)系

靜態(tài)特性曲線由廠家給定，在靜態(tài)校準(zhǔn)情況下由實(shí)測來確定輸出輸入關(guān)系，稱為靜態(tài)校準(zhǔn)到靜態(tài)校準(zhǔn)線。靜態(tài)校準(zhǔn)條件：指沒有加速度，沒有沖擊，振動，環(huán)境溫度為20±5℃，相對濕度不大于85％，大氣壓力為0.1±0.08MPa的情況。

第13頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

非線性原因：

(結(jié)構(gòu)原理性原因除外)誤差因素測試系統(tǒng)輸入x輸入y=f(x)溫度濕度壓力沖擊振動磁場電場摩擦間隙松動遲滯蠕變變形老化外界干擾對于靜態(tài)測量，系統(tǒng)的線性特性要求并非是必須的，采取曲線校正和補(bǔ)償技術(shù)來作非線性校正較為容易。第14頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

測試系統(tǒng)的靜態(tài)特性就是在靜態(tài)測量情況下描述實(shí)際測試裝置與理想定常線性系統(tǒng)的接近程度。下面用定量指標(biāo)來研究實(shí)際測試系統(tǒng)的靜態(tài)特性。靜態(tài)特性指標(biāo)

線性度

回程誤差

分辨力

重復(fù)性

靈敏度

漂移第15頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.2.1靈敏度（sensitity）靈敏度是指裝置在穩(wěn)態(tài)下輸出變化量（增量）與輸入變化量（增量）的比值，即

K=輸出變化量/輸入變化量=ΔY/ΔX

對于線性傳感器，它的靈敏度就是它的靜態(tài)特性的斜率。非線性傳感器的靈敏度不是常數(shù)而為一變量，用dY/dX表示。yx△x△y第16頁,共96頁，2024年2月25日，星期天第17頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.2.2非線性度（linearity

）ymyxAB0xm

定義：定度曲線偏離其擬合直線的程度即為非線性度，常用百分?jǐn)?shù)表示。非線性度═B/A×100%它反映了測試系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系保持常值線性比例關(guān)系的程度。B---輸出值與理想直線的最大偏差值A(chǔ)----理論滿量程輸出值第18頁,共96頁，2024年2月25日，星期天理想直線：擬合直線一般不存在或很難獲得準(zhǔn)確結(jié)果利用測量數(shù)據(jù)，通過計(jì)算獲得獲取擬合直線方法：(c)最小二乘法：計(jì)算：有n個(gè)測量數(shù)據(jù):(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，(n>2)殘差：

i=yi–(a+b

xi)殘差平方和最?。?i=min使得正負(fù)行程的非線性偏差相等且最小(a)端點(diǎn)連線法：檢測系統(tǒng)輸入輸出曲線的兩端點(diǎn)連線特點(diǎn)：xyΔ算法：簡單、方便，偏差大，與測量值有關(guān)(b)最佳直線法：精度最高，計(jì)算法（迭代、逐次逼近）算法：特點(diǎn)：算法：特點(diǎn)：精度高xyΔΔ簡單實(shí)用，三點(diǎn)作圖法（兩高一低/兩低一高）第19頁,共96頁，2024年2月25日，星期天2.2.3回程誤差

（hysteresis）

定義：在輸入量增加和減少的過程中，對于同一輸入量會得到大小不等的輸出量，在全部測量范圍內(nèi)，這個(gè)差別的最大值與標(biāo)稱輸出范圍之比稱回程誤差。

即δh＝hm/ym×100％

ymyhmxmx0

回程誤差是由運(yùn)動部件之間的摩擦、間隙、變形材料的內(nèi)摩擦及磁性材料的磁滯現(xiàn)象等引起的。hm：正反行程輸出值的最大偏差第20頁,共96頁，2024年2月25日，星期天2.2.4分辨力(resolution)

分辨力是指測試系統(tǒng)所能檢測出來的輸入量的最小變化量，通常是以最小單位輸出量所對應(yīng)的輸入量來表示。分辨力與靈敏度有密切的關(guān)系，即為靈敏度的倒數(shù)。

一個(gè)測試系統(tǒng)的分辨力越高，表示它所能檢測出的輸入量最小變化量值越小。對于數(shù)字測試系統(tǒng)，其輸出顯示系統(tǒng)的最后一位所代表的輸入量即為該系統(tǒng)的分辨力；對于模擬測試系統(tǒng)，是用其輸出指示標(biāo)尺最小分度值的一半所代表的輸入量來表示其分辨力。分辨力也稱為靈敏閾或靈敏限。這個(gè)指標(biāo)若用滿量程的百分比表示，則稱為分辨率,如：0.1%,0.02%閥值:在系統(tǒng)輸入零點(diǎn)附近的分辨力第21頁,共96頁，2024年2月25日，星期天2.2.5重復(fù)性同一條件下，對同一被測量，同一方法，多次重復(fù)測量，差異程度對同一被測量值：各次測量數(shù)值的偏差程度重復(fù)性是檢測系統(tǒng)最基本的技術(shù)指標(biāo)，是其他各項(xiàng)指標(biāo)的前提和保證測量數(shù)據(jù)的分散性重復(fù)性誤差：隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)差：大，則分散性大；反之亦然計(jì)算：貝塞爾公式y(tǒng)i---測量輸出值，i=1,2,…,n---輸出值的平均值對不同被測數(shù)值：各次測量曲線的偏差程度第22頁,共96頁，2024年2月25日，星期天測量范圍：是指測試裝置能正常測量最小輸入量和最大輸入量之間的范圍。

可靠性：是與測試裝置無故障工作時(shí)間長短有關(guān)的一種描述。

穩(wěn)定性：是指在一定工作條件下，當(dāng)輸入量不變時(shí)，輸出量隨時(shí)間變化的程度。第23頁,共96頁，2024年2月25日，星期天2.2.6漂移

漂移：是指測試系統(tǒng)在輸入不變的條件下，輸出隨時(shí)間而變化的趨勢。在規(guī)定的條件下，當(dāng)輸入不變時(shí)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)輸出的變化，稱為點(diǎn)漂。在測試系統(tǒng)測試范圍最低值處的點(diǎn)漂，稱為零點(diǎn)漂移，簡稱零漂。漂移產(chǎn)生的原因在于兩個(gè)方面：一是儀器自身結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化，另一個(gè)是周圍環(huán)境的變化（如溫度、濕度等）對輸出的影響。最常見的漂移是溫漂，即由于周圍的溫度變化而引起輸出的變化，進(jìn)一步引起測試系統(tǒng)的靈敏度和零位發(fā)生漂移，即靈敏度漂移和零點(diǎn)漂移。第24頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.3測試系統(tǒng)的動態(tài)特性

測試系統(tǒng)的動態(tài)特性是指輸入量隨時(shí)間變化時(shí)，其輸出隨輸入而變化的關(guān)系。一般地，在所考慮的測量范圍內(nèi)，測試系統(tǒng)都可以認(rèn)為是線性系統(tǒng)，因此就可以用定常線性系統(tǒng)微分方程來描述測試系統(tǒng)以及和輸入x(t)、輸出y(t)之間的關(guān)系，通過拉普拉斯變換建立其相應(yīng)的“傳遞函數(shù)”，該傳遞函數(shù)就能描述測試裝置的固有動態(tài)特性，通過傅里葉變換建立其相應(yīng)的“頻率響應(yīng)函數(shù)”，以此來描述測試系統(tǒng)的特性。第25頁,共96頁，2024年2月25日，星期天2.3.1傳遞函數(shù)(transferfunction)

定義：在初始條件為零時(shí)，也就是在測量系統(tǒng)激勵(lì)之前，所有儲能元件（如質(zhì)量件、彈性元件、電器元件等）均沒有積存能量，使系統(tǒng)完全處于零的起始狀態(tài)下工作。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(s)為輸出量和輸入量的拉普拉斯變換(Laplacetransform)之比，即

式中s是復(fù)變量，即s=a+jω。

第26頁,共96頁，2024年2月25日，星期天傳遞函數(shù)是一種對系統(tǒng)特性的解析描述。它包含了瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)時(shí)間響應(yīng)和頻率響應(yīng)的全部信息。傳遞函數(shù)有一下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）H(s)描述了系統(tǒng)本身的動態(tài)特性，而與輸入量x(t)及系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。（2）H(s)是對物理系統(tǒng)特性的一種數(shù)學(xué)描述，而與系統(tǒng)的具體物理結(jié)構(gòu)無關(guān)。H(s)是通過對實(shí)際的物理系統(tǒng)抽象成數(shù)學(xué)模型后，經(jīng)過拉普拉斯變換后所得出的，所以同一傳遞函數(shù)可以表征具有相同傳輸特性的不同物理系統(tǒng)。（3）H(s)中的分母取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，而分子則表示系統(tǒng)同外界之間的聯(lián)系，如輸入點(diǎn)的位置、輸入方式、被測量以及測點(diǎn)布置情況等。分母中s的冪次n代表系統(tǒng)微分方程的階數(shù)，如當(dāng)n=1或n=2時(shí)，分別稱為一階系統(tǒng)或二階系統(tǒng)。

一般測試系統(tǒng)都是穩(wěn)定系統(tǒng)，其分母中s的冪次總是高于分子中s的冪次（n>m

）。第27頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.3.2頻率響應(yīng)函數(shù)(frequencyresponse)

傳遞函數(shù)H(s)與頻率響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系：在測試系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H（s）已知的情況下，可令H（s）中s=jω便可求得頻率響應(yīng)函數(shù)H（jω）式中

H(jω)稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，是傳遞函數(shù)的特例，是系統(tǒng)初始條件為零時(shí)輸出傅立葉變換與輸入傅立葉變換之比。第28頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

因?yàn)镠(jω)是復(fù)數(shù)，將它的實(shí)部和虛部分開，用代數(shù)式和指數(shù)式分別表示為：

H（jω）=P（ω）+jQ（ω）

H（jω）=A（ω）ejφ(ω）式中－－幅頻特性－－－－－－相頻特性頻率響應(yīng)的圖形表示法1）幅頻特性曲線(frequencyresponsecurve)

相頻特性曲線第29頁,共96頁，2024年2月25日，星期天2）伯德圖：對自變量取對數(shù)標(biāo)尺，幅值比的坐標(biāo)取分貝（dB）數(shù)標(biāo)尺。相角取實(shí)數(shù)坐標(biāo)。即，由此所作出的曲線稱為對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線，總稱為伯德圖（Bodeplot圖）。第30頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3）實(shí)頻特性曲線虛頻特性曲線4）奈奎斯特圖（Nyquist圖）：將H（jω）的虛部和實(shí)部分別作為縱、橫坐標(biāo)畫出的圖形。它反映了頻率變化過程中系統(tǒng)過程中系統(tǒng)響應(yīng)H（jω）的變化。第31頁,共96頁，2024年2月25日，星期天傳遞函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)的區(qū)別在推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的初始條件設(shè)為零。而對于一個(gè)從t=0開始所施加的簡諧信號激勵(lì)來說，采用拉普拉斯變換解得的系統(tǒng)輸出將由兩部分組成：由激勵(lì)所引起的、反映系統(tǒng)固有特性的瞬態(tài)輸出以及該激勵(lì)所對應(yīng)的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。對頻率響應(yīng)函數(shù)H(jω)，當(dāng)輸入為簡諧信號時(shí)，在觀察的時(shí)刻，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)已趨近于零，頻率響應(yīng)函數(shù)表達(dá)的僅僅是系統(tǒng)對簡諧輸入信號的穩(wěn)態(tài)輸出。用頻率響應(yīng)函數(shù)不能反映過渡過程，必須用傳遞函數(shù)才能反映全過程。第32頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.3.3環(huán)節(jié)的串聯(lián)和并聯(lián)

串聯(lián)：如果測量系統(tǒng)由兩個(gè)串聯(lián)元件組成，它們的傳遞函數(shù)分別為，那么該測量系統(tǒng)總的傳遞函數(shù)為：對n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的系統(tǒng)有：

第33頁,共96頁，2024年2月25日，星期天而n環(huán)節(jié)串聯(lián)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為：其幅頻、相頻特性分別為：

第34頁,共96頁，2024年2月25日，星期天并聯(lián)：

若兩個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)，則因有由n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)組成的系統(tǒng)，則：

n環(huán)節(jié)并聯(lián)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為：第35頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.3.4典型測試系統(tǒng)的動態(tài)特性a)零階系統(tǒng)：微分方程：特點(diǎn)：a)屬于靜態(tài)環(huán)節(jié)：d)實(shí)際零階環(huán)節(jié)：緩慢變化，頻率較低---近似零階環(huán)節(jié)c)與時(shí)間無關(guān)，與頻率無關(guān)，無滯后，無慣性理想環(huán)節(jié)靜態(tài)靈敏度系數(shù)b)輸出輸入又稱：比例環(huán)節(jié)幅頻特性：相頻特性：實(shí)例：電位計(jì)式角位移傳感器微分方程：靜態(tài)靈敏度系數(shù)：UEU0θ第36頁,共96頁，2024年2月25日，星期天b）一階系統(tǒng)的特性

(firstordermeasurementsystem)

一階系統(tǒng)的微分方程:

也可改寫為：其中：τ－系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)(timeconstant)，

S－系統(tǒng)靈敏度。

典型的一階裝置有：RC濾波（積分）電路、零質(zhì)量的單自由度---彈簧—阻尼系統(tǒng)、及溫度傳感器包括液柱式溫度計(jì)、熱電偶、熱敏電阻等。它們分別屬于力學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)范疇的測量裝置。

第37頁,共96頁，2024年2月25日，星期天彈簧—阻尼系統(tǒng)：設(shè)C為阻尼器的阻尼系數(shù)，k為彈簧的剛度，x(t)為外力（輸入信號），y(t)為位移（輸出信號）。

外力x(t)與阻尼器產(chǎn)生的阻力（與速度成正比）、彈簧的反力相平衡。有：彈簧—阻尼系統(tǒng)（位移）y(t)

x(t)(力)

k

C令：，S=1/k,為系統(tǒng)的靈敏度。則上式改寫為：

第38頁,共96頁，2024年2月25日，星期天RC積分電路：是最簡單而又應(yīng)用最廣泛的阻容式低通濾波器(low-passfilter)。當(dāng)輸入一電壓，則在電容兩端輸出一電壓，此時(shí)流經(jīng)電阻的電流為：

RC積分電路

輸出電壓變化率為：

即令則上式：

第39頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

例：右圖示出一液柱式溫度計(jì)，則輸入與輸出間有下述關(guān)系

R－傳導(dǎo)介質(zhì)的熱阻；

C－溫度計(jì)的熱容量。 兩邊作拉普拉斯變換，并令τ＝RC（τ為溫度計(jì)時(shí)間常數(shù)），則有 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)：液柱式溫度計(jì)

第40頁,共96頁，2024年2月25日，星期天一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)令S=1，對上式進(jìn)行拉式變換

，得：

一階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)令,則其頻率響應(yīng)函數(shù)為：其幅頻、相頻特性分別為：

上述兩種測量裝置分屬于力學(xué)、電學(xué)范疇的裝置，兩個(gè)系統(tǒng)的測量對象不一樣，一個(gè)是位移，一個(gè)是電量。但描述它們動態(tài)特性的傳遞函數(shù)、微分方程、頻率響應(yīng)函數(shù)是一樣的，都?xì)w屬一階系統(tǒng)。它不表明系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，只要?jiǎng)討B(tài)特性相似，就可以有相同的傳遞函數(shù)、微分方程。

第41頁,共96頁，2024年2月25日，星期天一階系統(tǒng)特性曲線可見：①幅值比A（ω）隨ω的增大而減小。A（ω）和φ（ω）的變化表示輸出與輸入之間的差異，稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)動態(tài)誤差。②系統(tǒng)的工作頻率范圍取決于時(shí)間常數(shù)τ。在ωτ較小時(shí)，幅值和相位得失真都較小。當(dāng)ωτ一定時(shí)，τ越小，測試系統(tǒng)的工作頻率范圍越寬。因此為了減小一階測試系統(tǒng)得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)動態(tài)誤差，增大工作頻率，應(yīng)盡可能采用時(shí)間常數(shù)τ小的測試系統(tǒng)。失真<<1/時(shí)：A()=K()=0零階無滯后<<1/10時(shí)：>1/時(shí)：A()()幅值衰減相位滯后第42頁,共96頁，2024年2月25日，星期天例題3－1

設(shè)有一階環(huán)節(jié)其時(shí)間常數(shù)，輸入一簡諧信號，問：輸入信號頻率為多少時(shí)，其輸出信號的幅值誤差不大于6%？這時(shí)輸出信號的滯后角是多少？解：允許幅值誤差：

又解之，得第43頁,共96頁，2024年2月25日，星期天例題3－2

設(shè)另有一個(gè)一階環(huán)節(jié)，其時(shí)間常數(shù)。設(shè)輸入信號的頻率。問此情況下

解：

將例1和例2比較可看出，由于時(shí)間常數(shù)由0.1s加大到0.2s，幅值衰減率由6%加大到1-81%=19%。而滯后角則由，一階環(huán)節(jié)實(shí)際上是一個(gè)低通濾波器。它只允許低頻信號通過，高頻則劇烈衰減。

第44頁,共96頁，2024年2月25日，星期天例題3－3求周期信號，通過傳遞函數(shù)為的裝置后所得到的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：輸入信號為，此裝置對所給輸入信號x(t)有線性疊加性和頻率保持性。設(shè)即即測試裝置為一階系統(tǒng)，

。裝置對該兩頻率信號分量的增益（幅值比）和相移分別為：第45頁,共96頁，2024年2月25日，星期天由疊加性和頻率保持性，測試裝置對輸入x(t)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)y(t)為：第46頁,共96頁，2024年2月25日，星期天二階系統(tǒng)(secondordermeasurementsystem)

二階系統(tǒng)的微分方程為：或

其中，------系統(tǒng)的固有頻率(natuealfrequency)

--------系統(tǒng)的靜態(tài)靈敏度(Sensitivity)

-----系統(tǒng)的阻尼比

(dampingratio)典型的二階系統(tǒng)有RLC電路、彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)(Spring-Mass-Dashpotsystem)、動圈式電表等。

第47頁,共96頁，2024年2月25日，星期天RLC串聯(lián)電路

電路的電壓方程式為：

LR

x(t)i=dq/dtCy(t)

第48頁,共96頁，2024年2月25日，星期天彈簧-質(zhì)量-阻尼(Spring-Mass-Dashpot)

m

x(t)y(t)

kC當(dāng)系統(tǒng)受到外力x(t)作用時(shí)，外力與慣性力、阻尼力和彈簧反力相平衡，則系統(tǒng)的運(yùn)動方程為：k—彈簧剛度，C—阻尼器的阻尼系數(shù)，m—系統(tǒng)的質(zhì)量令

取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。將帶入上式得：

第49頁,共96頁，2024年2月25日，星期天二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)

二階系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)第50頁,共96頁，2024年2月25日，星期天幅頻特性(amplituderesponse)和相頻特性(phaseresponse)分別為：第51頁,共96頁，2024年2月25日，星期天動態(tài)特性曲線第52頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

對二階系統(tǒng)而言，主要的動態(tài)特性參數(shù)是系統(tǒng)固有頻率ωn和阻尼系數(shù)ξ。固有頻率為系統(tǒng)幅頻特性曲線峰值點(diǎn)對應(yīng)的頻率。從特性曲線可看出二階系統(tǒng)大致有如下特點(diǎn)：

①頻率響應(yīng)和阻尼率有關(guān)。從幅頻特性曲線可知：當(dāng)ξ＞0.7時(shí)，幅值比A（ω）≤1，稱為過阻尼；當(dāng)＜0.7時(shí)，在ω/ωn

＝1處產(chǎn)生諧振，稱為欠阻尼；諧振頻率ωγ：對于欠阻尼系統(tǒng)，A（ω）有峰值，峰值對應(yīng)頻率，稱為諧振頻率ωγ，低于固有頻率ωn。當(dāng)ξ

＝0時(shí)，A（ω）＝∞，出現(xiàn)共振，稱為無阻尼，此時(shí)，ωγ

＝ωn。第53頁,共96頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)時(shí)，幅頻特性曲線的平坦段最寬，且相頻特性接近于一條斜直線，所以稱為最佳阻尼。它的幅頻特性曲線是一根單調(diào)下降的曲線，因此它與的水平線相比，只有負(fù)誤差，沒有正誤差，而誤差是以絕對值形式給出的，即相對于1允許有正誤差，不利用是不合理的，所以通常說二階測量裝置的最佳阻尼比的根據(jù)就在于此。

從相頻特性曲線可知：當(dāng)時(shí)，在ω/ωn＝1處，φ（ω）從0→-180°，φ（ω）的變化情況與阻尼率有關(guān)，但在ω/ωn＝1時(shí)，對所有的來講都有φ（ω）＝-90°。第54頁,共96頁，2024年2月25日，星期天②頻率響應(yīng)與ωn有關(guān)。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)不但隨阻尼率而變，同時(shí)隨固有圓頻率而不同。固有圓頻率ωn越高，穩(wěn)態(tài)動誤差小的工作頻率范圍越寬，反之越窄。當(dāng)

當(dāng)

時(shí)，

當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)將發(fā)生共振，因此，作為實(shí)用裝置，應(yīng)該避開這種情況。

當(dāng)系統(tǒng)幅頻特性受阻尼比影響極大。相頻特性隨頻率變化而劇烈變化，且ξ越小，這種變化越劇烈。第55頁,共96頁，2024年2月25日，星期天例題3－4

設(shè)有兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的二階測量裝置，其無阻尼自振頻率相同，而阻尼比不同。一個(gè)是0.1，另一個(gè)是0.65。如果允許的幅值測量誤差是10%，問：它們的可用頻率范圍是多少？解：由

可知

1）求第56頁,共96頁，2024年2月25日，星期天解此方程，得到兩個(gè)正實(shí)數(shù)根：

2）求此方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，即的頻率響應(yīng)曲線的極大值小于1.1。3）求當(dāng)?shù)?7頁,共96頁，2024年2月25日，星期天得：4）求當(dāng)?shù)?8頁,共96頁，2024年2月25日，星期天得一正實(shí)根：5）工作頻率范圍：對對由此例可見，阻尼比顯著影響二階測量系統(tǒng)的可用頻率范圍。1.10.9第59頁,共96頁，2024年2月25日，星期天例3-5、設(shè)有一力傳感器，可視為二階系統(tǒng)來處理，已知傳感器的固有頻率為1000Hz，阻尼比為0.4，用傳感器測量頻率為500Hz的正弦外力時(shí)，會產(chǎn)生多大的振幅誤差和相位誤差？解：

則第60頁,共96頁，2024年2月25日，星期天即輸出相位將延遲28·第61頁,共96頁，2024年2月25日，星期天由上述例題可知，在進(jìn)行動態(tài)測量時(shí)，測量儀器的頻率響應(yīng)特性必須與被測信號的頻率結(jié)構(gòu)相適應(yīng)，即要求被測信號的有意義的頻率成分必須包容在測試儀器的可用頻率范圍之內(nèi)。另一個(gè)值得注意的是測量儀器的可用頻率范圍是與規(guī)定的允許的幅值誤差相聯(lián)系的。允許的幅值誤差越小，其可用頻率范圍越窄。反之，允許的幅值誤差越大，其可用頻率范圍越寬。在選擇測量裝置、組成測量系統(tǒng)時(shí)，必須注意這點(diǎn)。任何一個(gè)系統(tǒng)均可視為是由多個(gè)一階、二階系統(tǒng)的并聯(lián)。也可將其轉(zhuǎn)換為若干一階、二階系統(tǒng)的串聯(lián)。

第62頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.4測試系統(tǒng)在典型輸入下的響應(yīng)

測試裝置的動態(tài)響應(yīng)就是測試裝置對輸入的動態(tài)信號（周期信號、瞬態(tài)信號、隨機(jī)信號）所產(chǎn)生的輸出。也就是上述微分方程的解。因此測試裝置的動態(tài)響應(yīng)與輸入類型有關(guān)。實(shí)際上，輸入信號千變?nèi)f化，不可能將輸入信號一一帶入微分方程求解。解決的辦法是選定幾種最典型、最簡單的輸入函數(shù)帶入上述幾種典型的環(huán)節(jié)（一階、二階）找出動態(tài)誤差的規(guī)律，據(jù)此確定一些評定測試裝置動態(tài)性能的指標(biāo)。常用的輸入信號有：單位脈沖信號（δ函數(shù)）、階躍信號、指數(shù)函數(shù)和正弦信號等。對這些輸入信號不僅便于求解，在物理上也較容易實(shí)現(xiàn)，因此是在鑒定測試裝置時(shí)最常用的標(biāo)準(zhǔn)信號，對正弦輸入信號（周期信號）的響應(yīng)屬于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，而對階躍、脈沖、指數(shù)等非周期瞬態(tài)信號的響應(yīng)稱為瞬態(tài)響應(yīng)。最常用的輸入信號為階躍信號和正弦信號。對應(yīng)的方法為階躍響應(yīng)法和頻率響應(yīng)法。第63頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.4測試系統(tǒng)在典型輸入下的響應(yīng)3.4.1脈沖響應(yīng)函數(shù)(transientresponse)定義：若輸入為單位脈沖δ(t),其傅立葉變換Δ(jω)=1

則δ(t)的拉氏變換Δ(s)=L[δ(t)]=1

Y(s)=H(s)X(s)=H(s)Δ(s)=H(s)經(jīng)拉普拉斯反變換，有:

h(t)常稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。脈沖響應(yīng)函數(shù)可作為系統(tǒng)特性的時(shí)域描述。

第64頁,共96頁，2024年2月25日，星期天一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)

由作拉普拉斯逆變換，得

這是一條指數(shù)衰減曲線。在t=0時(shí)達(dá)到最大。時(shí)間常數(shù)越大，最大值越小。衰減的速度也越慢。第65頁,共96頁，2024年2月25日，星期天二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)一階系統(tǒng)的特性可用τ來描述，二階系統(tǒng)的特性需用來描述。隨著ξ的取值不同，二階系統(tǒng)脈沖響應(yīng)也不同。當(dāng)0<ξ<1，對二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求拉譜拉斯逆變換，得二階系統(tǒng)的脈沖輸入和響應(yīng)

第66頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.4.2系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應(yīng)(stepresponse)

單位階躍輸入的定義為：其拉氏變換為：

X(s)=1/s

故Y(s)=H(s)X(s)=H(s)1/s第67頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

一階測試裝置的階躍響應(yīng)

X(s)=1/s則對Y(s)作拉氏逆變換，得第68頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

階躍函數(shù)和單位脈沖函數(shù)間的關(guān)系是

亦即 因此系統(tǒng)在單位階躍信號激勵(lì)下的響應(yīng)便等于系統(tǒng)對單位脈沖響應(yīng)的積分。第69頁,共96頁，2024年2月25日，星期天例：一溫度測量系統(tǒng)由若干線性環(huán)節(jié)組成，總靈敏度為1。系統(tǒng)的動態(tài)特性有溫度測試裝置的一階傳遞函數(shù)所確定，測試裝置的參數(shù)為：質(zhì)量，表面積，比熱，在空氣中的導(dǎo)熱系數(shù)，在水中的導(dǎo)熱系數(shù)

。測試裝置的時(shí)間常數(shù)為：。若在t=0時(shí)刻突然將溫度測試裝置從20℃的空氣放入沸水（100℃）中，一分鐘以后又迅速從水中取出。試計(jì)算該測量系統(tǒng)在t=10,20,50,120,300秒時(shí)的測量誤差。第70頁,共96頁，2024年2月25日，星期天解：由題意，該溫度測量系統(tǒng)對階躍輸入的響應(yīng)為：其中－－躍變前的值；－－躍變后的值；--系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。當(dāng)把溫度測試裝置從空氣中放如沸水中時(shí)，輸入溫度從=20℃躍變到測試裝置在水中的時(shí)間常數(shù)系統(tǒng)測出的溫度為：

第71頁,共96頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)把溫度測試裝置從沸水中取回空氣時(shí)，輸入溫度從

=100℃躍變到＝20℃，測試裝置在水中的時(shí)間常數(shù)系統(tǒng)測得的溫度為：第72頁,共96頁，2024年2月25日，星期天于是，求得系統(tǒng)給定時(shí)刻的測量誤差ΔT為：t=10s,

t=20s,

t=50s,

t=120s,

t=300s,

℃℃℃℃℃第73頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

二、二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

按阻尼比不同，階躍響應(yīng)可分為三種情況：1）欠阻尼(underdamped)ξ〈1式中：2)過阻尼(overdamped)ξ〉1當(dāng)

<1時(shí)：產(chǎn)生衰減震蕩欠阻尼

曲線上升塊，響應(yīng)速度高當(dāng)

>1時(shí)：無過沖，無震蕩，過阻尼曲線上升慢，響應(yīng)速度低第74頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

在工程中，對系統(tǒng)的突然加載或者突然御載都視為對系統(tǒng)施加一階躍輸入。由于施加這種輸入，既簡單易行，又可以反映出系統(tǒng)的動態(tài)特性，因此，常被用于系統(tǒng)的動態(tài)標(biāo)定。階躍響應(yīng)指標(biāo)：由于測試裝置的阻尼比大多比較小，故僅討論欠阻尼二階系統(tǒng)響應(yīng)指標(biāo)。一般取：

=0.6~0.83)臨界阻尼(criticallydamped)ξ＝1第75頁,共96頁，2024年2月25日，星期天1、上升時(shí)間

(risetime)：通常是指階躍響應(yīng)曲線由穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%之間的時(shí)間。二階測試裝置系統(tǒng)中隨的增大而增大，當(dāng)2、穩(wěn)定時(shí)間（settlingtime）:或稱調(diào)整時(shí)間、建立時(shí)間。輸出值達(dá)到允許范圍

%的所需時(shí)間上升時(shí)間都是反映系統(tǒng)響應(yīng)速度快慢的參數(shù)。第76頁,共96頁，2024年2月25日，星期天峰值時(shí)間：階躍響應(yīng)曲線達(dá)到第一個(gè)峰值所需時(shí)間。超調(diào)量（過沖量）（overshoot,overswing）σ%:通常用階躍響應(yīng)曲線第一次超過穩(wěn)態(tài)值的峰高值ΔA（過沖）與穩(wěn)態(tài)值之比的百分?jǐn)?shù)表示。它與ζ有關(guān)，ζ越大，σ%越小，其關(guān)系式為：超調(diào)量能說明測試裝置的相對穩(wěn)定性。第77頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

上述這些時(shí)域響應(yīng)的主要指標(biāo)，對于一個(gè)測試裝置，并非每一個(gè)指標(biāo)均要提出，往往只要提出幾個(gè)被認(rèn)為是重要的性能指標(biāo)就可以了。通常二階測試裝置的動態(tài)參數(shù)用實(shí)驗(yàn)方法測定。即輸入階躍信號，記錄測試裝置的響應(yīng)曲線，由此測出過沖量ΔA。利用上式可算出測試裝置的阻尼比，測出衰減振蕩周期T既可由算出測試裝置的固有頻率和固有周期。其它參數(shù)指標(biāo)如上升時(shí)間、穩(wěn)定時(shí)間及峰值時(shí)間均可在響應(yīng)曲線上求得。第78頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.5實(shí)現(xiàn)不失真測試的條件

測試的目的是為了獲得被測對象的原始信息。這就要求在測試過程中采取相應(yīng)的技術(shù)手段，使測試系統(tǒng)的輸出信號能夠真實(shí)、準(zhǔn)確地反映出被測對象的信息。這種測試稱之為不失真測試。設(shè)測試系統(tǒng)的輸入為x(t)，若實(shí)現(xiàn)不失真測試，則該測試系統(tǒng)的輸出y(t)應(yīng)滿足：第79頁,共96頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)測試系統(tǒng)的輸出y(t)與輸入x(t)滿足關(guān)系

y(t)=A0x(t-t0)3.5系統(tǒng)不失真測量條件

該系統(tǒng)的輸出波形與輸入信號的波形精確地一致，只是幅值放大了A0倍，在時(shí)間上延遲了t0而已。這種情況下，認(rèn)為測試系統(tǒng)具有不失真的特性。tAx(t)y(t)=A0x(t)y(t)=A0x(t-t0)時(shí)域條件第80頁,共96頁，2024年2月25日，星期天y(t)=A0x(t-t0)

Y(ω)=A0e-jωt0X(ω)

不失真測試系統(tǒng)條件的幅頻特性和相頻特性應(yīng)分別滿足

A(ω)=A0=常數(shù)φ(ω)=--t0ω做傅立葉變換

頻域定義測試系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為:

第81頁,共96頁，2024年2月25日，星期天第82頁,共96頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)：

我們研究測試裝置測試裝置的特性是為了用好測試裝置，對于測試裝置特性的應(yīng)用主要體現(xiàn)在三方面：如果輸入、輸出是可以觀察的量（已知），那么通過輸入、輸出就可以推斷系統(tǒng)的傳輸或轉(zhuǎn)換特性，測試裝置的標(biāo)定就是利用這樣的過程。(系統(tǒng)辨識)如果系統(tǒng)特性已知，輸出可測，那么通過該特性和輸出可以推斷導(dǎo)致該輸出的相應(yīng)輸入量，信號檢測就是利用這樣的過程。如果輸入和系統(tǒng)特性已知，則可以推斷和估計(jì)系統(tǒng)的輸出，干擾的查找就是利用這樣的過程。(預(yù)測)

第83頁,共96頁，2024年2月25日，星期天3.6測試系統(tǒng)靜態(tài)特性和動態(tài)特性的測定

為了保證測試結(jié)果的精度可靠，測試系統(tǒng)在出廠前或使用前需要進(jìn)行定度或定期校準(zhǔn)。根據(jù)上述分析知，測試系統(tǒng)特性的測定應(yīng)該包括靜態(tài)特性和動態(tài)特性的測定。

3.6.1測試系統(tǒng)靜態(tài)特性的測定

測試系統(tǒng)的靜態(tài)特性測定是一種特殊的測試，它是選擇經(jīng)過校準(zhǔn)的“標(biāo)準(zhǔn)”靜態(tài)量作為測試系統(tǒng)的輸入，求出其輸入、輸出特性曲線。所采用的“標(biāo)準(zhǔn)”輸入量誤差應(yīng)當(dāng)是所要求測試結(jié)果誤差的1/3～1/5或更小。具體的標(biāo)定過程如下：第84頁,共96頁，2024年2月25日，星期天作輸入-輸出特性曲線

將“標(biāo)準(zhǔn)”輸入量在滿量程的測量范圍內(nèi)均勻地等分成n個(gè)輸入點(diǎn)，xi(i=1,2,…,n),按正反行程進(jìn)行相同的次測量（一次測量包括一個(gè)正行程和一個(gè)反行程），得到2m條輸入、輸出特性曲線。正反行程輸入-輸出曲線第85頁,共96頁，2024年2月25日，星期天求重復(fù)性誤差正行程的重復(fù)性誤差H1為：式中：H1i---輸入量xi所對應(yīng)