2024高中數(shù)學教學論文-平面解析幾何復習備考建議

2024高中數(shù)學教學論文-平面解析幾何復習備考建議平面解析幾何復習備考建議平面解析幾何是高考數(shù)學考查的一個重要內容，在過去四年的考題中，所占分值基本保持在22分左右，所以在備考過程中，能否把握好該部分的復習對整個高考數(shù)學的成果具有很大的影響。一、考查內容及要求高中平面解析幾何主要以直線和圓的方程、圓錐曲線方程為主，再結合平面向量和其他的平面幾何知識進行考查。（一）直線和圓的方程考試內容：直線的傾斜角和斜率。直線方程的點斜式和兩點式。直線方程的一般式。兩條直線平行與垂直的條件。兩條直線的交角。點到直線的距離。用二元一次不等式表示平面區(qū)域。簡單的線性規(guī)劃問題。曲線與方程的概念。由已知條件列出方程。圓的標準方程和一般方程、參數(shù)方程?？荚囈螅豪斫庵本€的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式。掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程。掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關系。了解二元一次不等式表示的平面區(qū)域。了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應用。了解解析幾何的基本思想，了解坐標法。掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程。（二）圓錐曲線方程考試內容：橢圓及標準方程，橢圓的簡單幾何性質，橢圓的參數(shù)方程。雙曲線及其標準方程和雙曲線的簡單幾何性質。拋物線及其標準方程，拋物線的簡單幾何性質考試要求：掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質，了解橢圓的參數(shù)方程。掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質。掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質。了解圓錐曲線的初步應用。二、考點解讀解析幾何的中心思想是坐標思想，也就是用坐標法去解決幾何問題，用代數(shù)法研究圖形的大小、形狀、位置關系；然而圖形的性質恰好說明了代數(shù)事實，從而實現(xiàn)了代數(shù)信息和圖形信息的相互轉換和有機結合。在復習時，除注重綜合能力的提高外，還要重視知識的再強化，錘煉知識素養(yǎng)，要通過多種角度、多種形式、不斷鞏固、強化基礎知識、基本技能和基本方法，當面臨具體問題時，能迅速與相關知識與原理發(fā)生聯(lián)系，促成對問題的頓悟和解決。三、全國II卷“考情”研究（一）命題點（1）直線的傾斜角和斜率（2）斜率公式、直線方程（3）平行與垂直的條件、兩條直線所成的角、點到直線的距離公式（4）對稱問題（5）直線方程的綜合問題（6）二元一次不等式表示平面區(qū)域（7）簡單的線性規(guī)劃（8）線性規(guī)劃的應用題（9）圓的方程（10）（11）圓與圓的位置關系（12）圓的參數(shù)方程及圓的綜合問題（13）圓錐曲線方程（14）圓錐曲線的幾何性質（15）直線與圓錐曲線綜合運用（16）圓錐曲線與平面向量的綜合運用（二）考查類型（1）作為基礎題，它出現(xiàn)在選擇題、填空題位置時部分屬于容易題或中等題，多以考查課本基礎知識為主，我們經(jīng)常說“高考試題落在書外，知識卻出在書中”，所以要注意對課本知識的研究與拓展。但有的是與代數(shù)、三角、平面幾何結合在一起，以把關題的形式出現(xiàn)。例如：例1、（2007年高考11）設分別是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點，使且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．考點：雙曲線的定義、勾股定理、離心率（中等題）【解析】設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點。若雙曲線上存在點A，使∠F1AF2=90o，且|AF1|=3|AF2|，設|AF2|=1，|AF1|=3，雙曲線中，，∴離心率，選B。例2、（2007年高考12）設為拋物線的焦點，為該拋物線上三點，若，則（）A．9 B．6 C．4 D．3考點：拋物線的定義、平面向量幾何運算、三角形重心坐標公式。（把關題）【解析】設F為拋物線y2=4x的焦點，A、B、C為該拋物線上三點，若=0，則F為△ABC的重心，∴A、B、C三點的橫坐標的和為F點橫坐標的3倍，即等于3，∴|FA|+|FB|+|FC|=，選B。例3、（2008年高考5）設變量滿足約束條件：則的最小值（）A． B． C． D．考點：簡單線性規(guī)劃問題。（簡單題）例4、（2008年高考15）已知是拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于兩點．設，則與的比值等于．考點：拋物線、直線。（難題）DCADCAFFDBDB解析：設由拋物線定義，在中，又。2009年的三道解析幾何小題可謂高考命題組的得意之作，計算能力要求強，結合圖形分析問題緊，解題入手易，得解難，特別是16題“坑害”了苦讀生無數(shù)。下面讓我們共同體會一下：例5、（2009年高考9）已知直線與拋物線相交于兩點，為的焦點，若，則（） A. B. C. D.考點：拋物線的定義、直線。（中等題）解：設拋物線的準線為直線恒過定點P.如圖過分別作于,于,由,則,點B為AP的中點.連結,則,點的橫坐標為,故點的坐標為,故選D例6、（2009年高考11）已知雙曲線的右焦點為,過且斜率為的直線交于兩點，若,則的離心率為（）A． B. C. D.考點：雙曲線的性質、平面向量。（難題）解：設雙曲線的右準線為,過分別作于,于,,由直線AB的斜率為,知直線AB的傾斜角為,由雙曲線的第二定義有.又故選A例7、（2009年高考16）已知為圓:的兩條相互垂直的弦，垂足為,則四邊形的面積的最大值為?？键c：三角形面積公式、垂徑定理、均值定理。（難題）yCyCBBMMxAOxAODD解：設圓心到的距離分別為,則.四邊形的面積,此題最易走彎路，耽誤考生很多時間。(圓的弦問題必須想到垂徑定理)例8、（2010年高考3）若變量滿足約束條件則的最大值為（）（A）1（B）2（C）3（D）4考點：簡單的線性規(guī)劃（簡單題）例9、（2010年高考12）已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線與相交于兩點．若，則（）（A）1（B）（C）（D）2考點：橢圓的第二定義，直線斜率的定義、同角三角函數(shù)基本關系（難題）BBFFCACA解析：由橢圓第二定義可知：。又，。例10、（2010年高考15）已知拋物線的準線為，過且斜率為的直線與相交于點，與的一個交點為．若，則．考點：拋物線的定義與性質（中等題）BBM（1,0）M（1,0）AA解析：為的中點，在中，，由拋物線定義可知：所以P=2.考題特點：題型、題量、難度、命題重點、考查的思想方法都基本穩(wěn)定；以教材為依據(jù)，但不拘泥于教材；多以圓錐曲線為載體，重點考查定義；考題多半與向量、平面幾何的一些定理或結論進行有機結合；注重對圖形的理解，要求對圖形的觀察能力強，否則將掉入繁雜的計算當中；注重技巧，計算量相對解答題較小，否則可能是沒有選到較為恰當?shù)慕忸}思路；向量在其中的應用的重點為：模（用來將線段進行等量轉化）、幾何運算（主要是加、加法法則），這點與解答題區(qū)別明顯；直線與圓部分考得較少，一些知識以“打游擊”的形式出現(xiàn)?？傊梢愿爬椋簣A錐曲線是?？?，向量把它來跟隨。直線和圓不常見，線性規(guī)劃隔年來。根據(jù)以上總結，在復習過程中還是要在圓錐曲線上下功夫，特別是定義。（2）解答題解析幾何大題以區(qū)分度好、選拔性強、對能力和思維品質考查全面而倍受命題人青睞，試題對思維的靈活性、思維能力、運算能力都有較高的要求，具體表現(xiàn)為：入手容易解答繁。例11、（2007年高考20）在直角坐標系中，以為圓心的圓與直線相切．（1）求圓的方程；（由圓與直線相切求圓方程）（2）圓與軸相交于兩點，圓內的動點使成等比數(shù)列，求的取值范圍．例12、（2008年高考21）設橢圓中心在坐標原點，是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．（由橢圓幾何性質求橢圓的標準方程）（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求四邊形面積的最大值．例13、（2009年高考21）已知橢圓的離心率為，過右焦點F的直線與相交于、兩點，當?shù)男甭蕿?時，坐標原點到的距離為w.w.w.k.（I）求，的值；（由橢圓幾何性質求橢圓的標準方程）（II）上是否存在點P，使得當繞F轉到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標與的方程；若不存在，說明理由。例14、（2010年高考21）己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點，且BD的中點為．（Ⅰ）求C的離心率；（Ⅱ）設C的右頂點為A，右焦點為F，，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切．考題特點：問題一般設兩問，第一問都比較簡單，多以求曲線方程為主，整個題目的設計思路大致為：與直線或向量結合給出幾何問題圓錐曲線或圓的方程與直線或向量結合給出幾何問題圓錐曲線或圓的方程題目相關條件題目相關條件 第2步將幾何問題轉化為代數(shù)問題代數(shù)結果說明幾何事實將幾何問題轉化為代數(shù)問題代數(shù)結果說明幾何事實說明：在第1步中，一般分為兩大類，一類是通過求軌跡方程，其本質是找到所求的動點的橫、縱坐標之間的關系。該類題目要求學生熟練掌握求軌跡方程的方法，教師要給予總結。這種類型在全國II卷中少見；另一類是由圓或圓錐曲線的幾何性質求其方程，如果是圓問題就抓“半徑和圓心”；若是圓錐曲線就抓“”。考題中基本上都涉及向量，而且主要考查向量的坐標運算；計算都比較繁瑣，即時是理解了“幾何意圖”，仍然需要學生用大量的時間才可得出代數(shù)結果，所以在復習中一方面要多做常規(guī)的計算練習，同時也要注意掌握一些典型的化簡方法，而且有時要善于使用曲線性質簡化運算?？碱}比較穩(wěn)定，多以圓錐曲線、平面向量、直線的綜合考查，有時會涉及圓的問題。依據(jù)近幾年的高考走勢，今年以雙曲線為背景的可能性較大，要注意重點復習。此類題目得分技巧：近年考題在第一問上要求很低，學生基本上都能得分。其后想要得到最終結果比較困難，那么在無法完成該題時怎樣做可以得更多的分呢？根據(jù)高考評分規(guī)則（采點給分），按以下步驟操作可得到比較理想的分數(shù)：聯(lián)立方程組設點設直線求曲線方程聯(lián)立方程組設點設直線求曲線方程二次方程一般式求出兩根積與兩根和二次方程一般式求出兩根積與兩根和四、備考建議（一）夯實基礎在復習中，首要的任務便是準確理解概念，牢記重要公式，熟練掌握基本方法，洞曉考試內容所涉及的各個知識點。高考試題年年變，但命題的依據(jù)不變，要以此為根本，弄清高考的知識點及對基礎知識、基本能力的要求，這中間實質性的工作就是精通課本。很多的客觀題直接源于課本，往往是課本的原題或變式題，主觀題也多是根植于課本。如果連最基本的都做不到，備戰(zhàn)高考無從談起。（二）正確理解解析幾何的核心問題解析幾何著重于用代數(shù)方法研究幾何問題，這樣往往造成一種錯覺，即只用代數(shù)方法研究幾何問題，而忽視幾何手段的運用，對解析幾何基本思想也片面地理解為幾何問題轉化為代數(shù)問題，其實平面解析幾何是建立在平面幾何與代數(shù)的知識體系上，解析幾何的基本思想在于代數(shù)與幾何的有機結合、代數(shù)與幾何間的相互轉化。（三）掌握必要的方法和技巧對于解析幾何，熟記各種定義、基本公式、法則固然重要，但要做到迅速、準確地解題，還必須掌握一些方法和技巧。解析幾何常用思想方法可以用順口溜“聯(lián)立方程解交點，設而不求巧判別；

韋達定理表弦長，斜率轉化過中點.

選參建模求軌跡，曲線對稱找距離；

動點相關歸定義，動中求靜助解析”來概括。下面是對解析幾何部分的思想方法總結，當然最好的方法還是典型的例題。五、我個人在復習時的做法（1）勤研究、注意高考動態(tài)；（2）狠抓三基；（3）分類推進；（4）每周一考，而且迅速批改，及時講解；（5）將知識系統(tǒng)化，便于學生掌握；（6）將課本冷、熱點知識進行分類，防止因“習慣”而漏點。平面向量復習導航“平面向量”是高中新課程新增加的內容之一，高考每年都考，考查內容以向量的概念、運算、數(shù)量積和模的運算為主．題型主要有選擇題、填空題，也可以與其他知識相結合在解答題中出現(xiàn)，試題多以中、低檔題為主．一、高考熱點透析綜觀近年來的高考試題，可知命題熱點為：1．向量的概念，幾何表示，向量的加法、減法，實數(shù)與向量的積．2．平面向量的坐標運算，平面向量的數(shù)量積及其幾何意義．3．兩非零向量平行、垂直的充要條件．4．由于向量具有“數(shù)”與“形”雙重身份，加之向量的工具性作用，向量經(jīng)常與數(shù)列、三角、解析幾何、立體幾何等知識相結合，綜合解決三角函數(shù)的化簡、求值及三角形中的有關問題，處理有關長度、夾角、垂直與平行等問題以及圓錐曲線中的典型問題等．5．利用化歸思想處理共線、平行、垂直問題向向量的坐標運算方面轉化，向量模的運算轉化為向量的運算等；利用數(shù)形結合思想將幾何問題代數(shù)化，通過代數(shù)運算解決幾何問題．二、知識例析解讀1．注意理解向量、有向線段、向量的模、共線向量（平行向量）、相等向量、零向量、單位向量等概念，考題中多在共線向量、零向量等概念上設計問題，著重考查學生對于概念的深刻理解。例1.（08高考海南寧夏理8）．平面向量a，b共線的充要條件是（）A．a(chǎn)，b方向相同B．a(chǎn)，b兩向量中至少有一個為零向量C．，D．存在不全為零的實數(shù)，，解析：本題主要考查向量共線的條件，特別注意零向量和任意向量共線，故答案選D。2．考查向量的幾何運算，掌握向量的加法、減法、實數(shù)與向量積、理解用一組基底向量表示其他向量的方法．對于幾何運算主要包括三種：①向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，另外，向量加法還可利用“三角形法則”：設，那么向量叫做與的和，即，此時，要注意向量的“首尾”相連；②向量的減法：用“三角形法則”：設，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。③數(shù)乘向量：它的長度和方向規(guī)定如下：當>0時，的方向與的方向相同，當<0時，的方向與的方向相反，當＝0時，，而不是：≠0。注意：數(shù)乘向量是一個向量，不是實數(shù)。例2.如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是（）ABCDA．eq\o(\s\up8(??),\s\do1(AB))＝eq\o(\s\up8(??),\s\do1(DC))B．eq\o(\s\up8(??),\s\do1(AD))＋eq\o(\s\up8(??),\s\do1(AB))＝eq\o(\s\up8(??),\s\do1(AC))ABCDC．eq\o(\s\up8(??),\s\do1(AB))－eq\o(\s\up8(??),\s\do1(AD))＝eq\o(\s\up8(??),\s\do1(BD))D．eq\o(\s\up8(??),\s\do1(AD))＋eq\o(\s\up8(??),\s\do1(CB))＝eq\o(\s\up7(→),\s\do1(0))解析：由向量的幾何運算易知選C．例3.（08高考全國理3）．在中，，．若點滿足，則（）A． B． C． D．解析：由，，；故答案應為A.3．考查向量的坐標表示及其坐標形式的運算，提高坐標運算的能力．主要包括向量的模、夾角、投影、平行、垂直的坐標表示方法，注意記準公式，確保運算結果正確．特別地：在上的投影為，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。例4.（06高考湖南卷）已知向量若時，∥；時，，則A．B.C.D.解析：向量若時，∥，∴；時，，，選C.例5.已知a＝(－2，1)，b＝(－2，－3)，則a在b方向上的投影是（） A．－eq\f(eq\r(13),13) B．eq\f(eq\r(13),13) C．0 D．1解析：由向量a在b方向上的投影的定義可得，故答案B．4．考查向量數(shù)量積的幾何運算的定義與坐標運算，注意學會用幾何法或坐標法轉化與模、夾角、垂直、最值等問題．向量數(shù)量積的性質：設兩個非零向量，，其夾角為，則：①；②當，同向時，＝，特別地，；當與反向時，＝－；當為銳角時，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；③非零向量，夾角的計算公式：；④。注意：數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。例6.（06高考福建卷）已知向量與的夾角為，則等于 （A）5（B）4（C）3（D）1解析：向量與的夾角為，，，∴，則=－1(舍去)或=4，選B.5．考查向量與其他知識的交匯點，掌握向量方法與向量語言在函數(shù)、數(shù)列、不等式、幾何等數(shù)學分支中的應用．例7.在△ABC中，O為中線AM上一個動點，若AM=2，則eq\o(\s\up8(??),\s\do1(OA))×(eq\o(\s\up8(??),\s\do1(OB))＋eq\o(\s\up8(??),\s\do1(OC)))的最小值是__________．解析：在△ABC中，設，則，又由向量加法的平行四邊形法則知，而與方向相反，所以，由二次函數(shù)的知識知當時取得最小值－2．點評：本題很好地將向量的幾何運算性質、數(shù)量積和函數(shù)的最值等知識結合在一起，立意新穎，考查基本。例8.直角坐標平面xOy中，若定點A(1，2)與動點P(x，y)滿足eq\o(\s\up8(??),\s\do1(OP))×eq\o(\s\up8(??),\s\do1(OA))＝4，則點P的軌跡方程是__________．解析：用坐標形式將eq\o(\s\up8(??),\s\do1(OP))×eq\o(\s\up8(??),\s\do1(OA))＝4表示即得x＋2y－4＝0．點評：本題中主要體現(xiàn)出向量的工具作用。三、易錯點警示1．零向量的方向是任意的。2．平行向量無傳遞性。3．注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。4．向量的運算律中注意：（1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結合律，即 四、向量中一些常用的結論：（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；（2），特別地，當同向或有；當反向或有；當不共線(這些和實數(shù)比較類似).（3）在中，①為的外心；②為的垂心；③向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；（4）向量中三終點共線存在實數(shù)使得且.平面向量數(shù)量積中的易錯問題平面向量是由物理學和工程技術抽象出來的知識，連同它的運算法則、性質，都來源于實踐，應用于實踐，屬于教材新增添的內容．“欲善工其事，必先利其器”，對于本章內容的學習，我們一定要抓住定義，理清概念，只有真正理解了向量中的概念，才能熟練的應用．否則在做題時就容易出錯，下面列舉幾種平面向量數(shù)量積中的易錯問題：一、夾角大小的判斷例1、在邊長都為1的△ABC中，已知，，求的值．錯解：∵△ABC是邊長為1的等邊