拉普拉斯變換在線性動(dòng)態(tài)電路分析上的應(yīng)用

拉普拉斯變換在線性動(dòng)態(tài)電路分析上的應(yīng)用【摘要】本文主要介紹如何利用拉普拉斯變換的方法來(lái)求解線性動(dòng)態(tài)電路的響應(yīng)，首先利用拉普拉斯變換將元器件的時(shí)域模型轉(zhuǎn)化為S域模型，然后在S域中建立起聯(lián)系輸入輸出的代數(shù)方程，求解該代數(shù)方程，得到系統(tǒng)的S域解，再做拉普拉斯反變換求出系統(tǒng)的時(shí)域解。【關(guān)鍵詞】拉普拉斯變換；S域模型；動(dòng)態(tài)電路分析引言在電路分析中，對(duì)于線性動(dòng)態(tài)電路的分析，首先是電路分析的知識(shí)，建立電路的微分方程，確定其初始條件，然后根據(jù)給定的輸入信號(hào)，在時(shí)域中直接求解該微分方程的解，得到系統(tǒng)的響應(yīng)。該方法分為建立方程和求解方程兩個(gè)步驟，求解過(guò)程復(fù)雜，耗時(shí)多，學(xué)生掌握困難，本文介紹用拉普拉斯分析的方法來(lái)分析線性動(dòng)態(tài)電路，將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程來(lái)求解，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，對(duì)復(fù)雜電路顯現(xiàn)出很高的優(yōu)越性。1.拉普拉斯變換1.1拉普拉斯變換的定義設(shè)在有定義，，在閉區(qū)間可積，如果無(wú)窮含參積分收斂，則稱為拉普拉斯變換，簡(jiǎn)記為稱為原函數(shù)，稱為象函數(shù)。1.2拉普拉斯變換分析線性動(dòng)態(tài)電路的優(yōu)點(diǎn)（1）拉普拉斯變換將時(shí)域中描述動(dòng)態(tài)電路的微分方程變換為復(fù)頻域的代數(shù)方程，求解代數(shù)方程可得復(fù)頻域響應(yīng)。（2）對(duì)于系統(tǒng)中包含的初始條件，經(jīng)過(guò)拉普拉斯變換，這些初始條件自動(dòng)包含在變換式中，可以一步求得系統(tǒng)的完全解。（3）在進(jìn)行電路分析時(shí)，可以直接根據(jù)電阻、電感、電容的復(fù)頻域模型，直接畫出電路的S模型求得電路的S域方程，十分簡(jiǎn)便。因此，拉普拉斯變換是分析復(fù)雜線性動(dòng)態(tài)電路的有效工具。2.拉普拉斯變換在動(dòng)態(tài)電路中的應(yīng)用2.1S域分析模型中的電壓和電流在S域模型中，時(shí)域電源激勵(lì)函數(shù)變換為象函數(shù)，各支路電壓用象函數(shù)表示。通常時(shí)域激勵(lì)通過(guò)拉普拉斯變換可求出它的象函數(shù)。電路中的電壓和電流用它的象函數(shù)表示，如，等。2.2S域模型分析中R、L、C元件的S域模型（1）電阻元件R的S域模型電阻R的時(shí)域模型為：（2）電感元件L的S域模型電感的時(shí)域模型為：（3）電容元件C的S域模型電容的時(shí)域模型為：對(duì)該模型做拉普拉斯變換得S域的模型為：電感和電容的S域模型均采用串聯(lián)電路模型，當(dāng)S域模型對(duì)應(yīng)串聯(lián)電路時(shí)，用回路方程列出方程。2.3S域方法分析電路過(guò)程的基本步驟（1）根據(jù)改變開關(guān)前一瞬間電路的工作狀態(tài)，計(jì)算電容電壓和電感電流在該時(shí)刻的值，以便確定電路復(fù)域模型中的初始值。（2）畫出電路的復(fù)頻域模型。（3）用普通電路分析方法（網(wǎng)孔、節(jié)點(diǎn)、回路等分析法）建立電路的復(fù)頻域方程，求出待求響應(yīng)的象函數(shù)。（4）根據(jù)部分分式展開法，將已求得的象函數(shù)進(jìn)行拉普拉斯反變換，從而得到待求的時(shí)域響應(yīng)。2.4動(dòng)態(tài)電路復(fù)頻域分析法舉例解：根據(jù)圖a），當(dāng)，開關(guān)位于“1”且電路處于穩(wěn)態(tài)，則：，根據(jù)電路復(fù)頻域分析法，做出圖b），由節(jié)點(diǎn)電壓法得：將作部分分式展開并求出相應(yīng)系數(shù)得：進(jìn)行拉普拉斯反變換得出：3.結(jié)束語(yǔ)常見的動(dòng)態(tài)電路分析方法有時(shí)域分析、頻域分析、復(fù)頻域分析這三種。時(shí)域分析：在時(shí)域范圍內(nèi)用經(jīng)典方法來(lái)分析電路，先列出電路的微分方程，再解微分方程可得系統(tǒng)的全響應(yīng)。頻域分析：頻域分析法只能求到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，不能求到系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，因此不能得到完全解。復(fù)頻域分析：拉普拉斯變換法既能求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，又能求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，也可以一步求到全響應(yīng)，方法靈活，計(jì)算簡(jiǎn)單。頻域分析法和復(fù)頻域分析法都是變換域分析法，它們是系統(tǒng)分析中非常重要的方法，如能靈活運(yùn)用這些方法去求解線性系統(tǒng)，對(duì)于系統(tǒng)分析具有非常重要的意義。參考文獻(xiàn)[1]瑞坤生.信號(hào)分析與處理[M].北京：高等教育出版社，1993.[2]曾禹村.信號(hào)與系統(tǒng)（第3版）[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2010.[3]李瀚蓀.簡(jiǎn)明電路分析基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2002.[4]陳洪