專題2-2 平移齊次化解決圓錐曲線中斜率和積問題與定點(diǎn)問題（解析版）

專題2-2圓錐曲線中斜率和積為定值問題與定點(diǎn)問題（平移齊次化）【例題】已知橢圓，設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于，兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點(diǎn)． 【平移+齊次化處理】Step1：平移點(diǎn)P到原點(diǎn)，寫出平移后的橢圓方程，設(shè)出直線方程，并齊次化處理將橢圓向下平移一個(gè)單位，（為了將平移到原點(diǎn)）橢圓方程化為，（左加右減，上減下加為曲線平移）設(shè)直線對應(yīng)的直線為，橢圓方程化簡為，把一次項(xiàng)化成二次結(jié)構(gòu)，將2y乘上即可此時(shí)橢圓方程變成：Step2：根據(jù)斜率之積或斜率之和與韋達(dá)定理的關(guān)系得到等式，求得m，n之間的關(guān)系由于平移不會(huì)改變直線傾斜角，即斜率和仍然為－1，而P2點(diǎn)此時(shí)為原點(diǎn)，設(shè)平移后的，即,將橢圓方程兩邊同除以，令，得，結(jié)合兩直線斜率之和為，即，得，，Step3：得出定點(diǎn)，此時(shí)別忘了，還要平移回去!直線恒過點(diǎn)，向上平移一個(gè)單位進(jìn)行還原在原坐標(biāo)系中，直線過點(diǎn)．【手電筒模型·1定+2動(dòng)】直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，為橢圓上異于AB的任意一點(diǎn)，若定值或定值(不為0)，則直線AB會(huì)過定點(diǎn)．(因?yàn)槿龡l直線形似手電筒，固名曰手電筒模型)． 補(bǔ)充：若過定點(diǎn)，則定值，定值.【坐標(biāo)平移+齊次化處理】（左加右減，上減下加為曲線平移）Step1：平移點(diǎn)P到原點(diǎn)，寫出平移后的橢圓方程，設(shè)出直線方程，并齊次化處理Step2：根據(jù)斜率之積或斜率之和與韋達(dá)定理的關(guān)系得到等式，求得m，n之間的關(guān)系，Step3：得出定點(diǎn)，此時(shí)別忘了，還要平移回去!【補(bǔ)充】橢圓是橢圓上一點(diǎn)，A，B為隨圓E上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與PB的斜率分別為k1，k2.(1)，證明AB斜率為定值≠0)；(2)，證明AB過定點(diǎn)：；(3)，證明AB的斜率為定值；(4)，證明AB過定點(diǎn)：.以上稱為手電筒模型，注意點(diǎn)P不在橢圓上時(shí)，上式并不適用，常數(shù)也需要齊次化乘“12”2020·新高考1卷·22已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．【詳解】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)［方法一］：通性通法設(shè)點(diǎn)，若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因?yàn)?，所以，即，根?jù),代入整理可得：，

所以，整理化簡得，因?yàn)椴辉谥本€上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時(shí)直線過點(diǎn).令為的中點(diǎn)，即，［方法二］【最優(yōu)解】：平移坐標(biāo)系將原坐標(biāo)系平移，原來的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡得，即．設(shè)，因?yàn)閯t，即．代入直線方程中得．則在新坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)，則在原坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．［方法三］：建立曲線系A(chǔ)點(diǎn)處的切線方程為，即．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．則過A，M，N三點(diǎn)的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數(shù)）．用直線及點(diǎn)A處的切線可表示為（其中為系數(shù)）．即．對比項(xiàng)、x項(xiàng)及y項(xiàng)系數(shù)得將①代入②③，消去并化簡得，即．故直線的方程為，直線過定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．［方法四］：設(shè)．若直線的斜率不存在，則．因?yàn)?，則，即．由，解得或（舍）．所以直線的方程為．若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則．令，則．又，令，則．因?yàn)?，所以，即或．?dāng)時(shí)，直線的方程為．所以直線恒過，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，所以直線恒過．綜上，直線恒過，所以．又因?yàn)?，即，所以點(diǎn)D在以線段為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．取線段的中點(diǎn)為，則．所以存在定點(diǎn)Q，使得為定值．【整體點(diǎn)評】（2）方法一：設(shè)出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，通過題目條件可知直線過定點(diǎn)，再根據(jù)平面幾何知識(shí)可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)，該法也是本題的通性通法；方法二：通過坐標(biāo)系平移，將原來的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，設(shè)直線的方程為，再通過與橢圓方程聯(lián)立，構(gòu)建齊次式，由韋達(dá)定理求出的關(guān)系，從而可知直線過定點(diǎn)，從而可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)，該法是本題的最優(yōu)解；方法三：設(shè)直線，再利用過點(diǎn)的曲線系，根據(jù)比較對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)可求出的關(guān)系，從而求出直線過定點(diǎn)，故可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)；方法四：同方法一，只不過中間運(yùn)算時(shí)采用了一元二次方程的零點(diǎn)式賦值，簡化了求解以及的計(jì)算．重點(diǎn)題型·歸類精講重點(diǎn)題型·歸類精講題型一已知定點(diǎn)求定值已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：．【解析】直線由，得則由，得：，整理得：，即：．所以，則，即：如圖，橢圓，經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)，證明:直線AP與AQ的斜率之和為2．【解析】設(shè)直線則．由，得：．則，故．所以.即.已知點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，E，F(xiàn)是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足直線AE與直線AF關(guān)于直線x＝1對稱．證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值； 【答案】(提示：答案：)如圖，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與橢圓相交于?兩點(diǎn)(在的上方)，設(shè)點(diǎn)?是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，試問直線的斜率是否為定值，請說明理由.解法1常規(guī)解法依題意知直線的斜率存在，設(shè)方程：，代入橢圓方程得：(*)，由得，整理得：或當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)，不合題意，，直線的斜率是定值解法2齊次化：設(shè)直線的方程為橢圓的方程即：即：聯(lián)立得：即由得即：直線的斜率為，是定值.橢圓，，經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ斜率之和為2．解法1常規(guī)解法：證明：由題意設(shè)直線PQ的方程為，代入橢圓方程，可得，由已知得在橢圓外，設(shè)，，，則，，且，解得或．則有直線AP，AQ的斜率之和為．即有直線AP與AQ斜率之和2．解法2齊次化：上移一個(gè)單位，橢圓和直線，過點(diǎn)，，，，，，，∵，同除，得，．已知橢圓：，過作斜率為的動(dòng)直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，若為橢圓的左頂點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，求證：為定值，并求出定值.將橢圓沿著方向平移，平移后的橢圓方程為設(shè)直線方程為，代入橢圓方程得，兩側(cè)同時(shí)除以得，，因?yàn)檫^定點(diǎn)，所以題型二已知定值求定點(diǎn)（2017·全國卷理）已知橢圓，設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率的和為-1，證明：l過定點(diǎn)．（1）根據(jù)橢圓的對稱性，，兩點(diǎn)必在橢圓C上，又的橫坐標(biāo)為1，∴橢圓必不過，∴，，三點(diǎn)在橢圓C上，把，代入橢圓C，得：，解得，，∴橢圓C的方程為．（2）：解法1常規(guī)解法:①當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)，，，∵直線與直線的斜率的和為-1，∴，解得，此時(shí)l過橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足．②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，，，，聯(lián)立，整理，得，，，則，又，∴，此時(shí)，存在k，使得成立，∴直線l的方程為，當(dāng)時(shí)，，∴過定點(diǎn)．解法2齊次化：下移1個(gè)單位得，設(shè)平移后的直線：，齊次化：，，∵同除以，，，，，，∴過，上移1個(gè)單位．已知橢圓，設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于A，B兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率的和為，證明：直線過定點(diǎn)．不平移齊次化【解析】設(shè)直線．．．．．．（1）由，得即：．．．．．．（2）由（1）（2）得：整理得：則，則，代入直線，得：顯然，直線過定點(diǎn)．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)P（1，y0）（y0＞0）到其焦點(diǎn)的距離為2．（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)及拋物線C的方程；（2）若點(diǎn)M、N在拋物線C上，且kPM?kPN＝，證明：直線MN過定點(diǎn). 答案：（2）（9，﹣2）已知橢圓，，若直線l交橢圓C于A，B（A，B異于點(diǎn)P）兩點(diǎn)，且直線PA與PB的斜率之積為，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值．解法1齊次化：公共點(diǎn)，左移1個(gè)單位，下移個(gè)單位，，，，，等式兩邊同時(shí)除以，，，，，過，右移1個(gè)單位，上移個(gè)單位，過，∴P到直線l的距離的最大值為的值為，由于，∴點(diǎn)P到直線l距離的最大值已知橢圓：的離心率為，橢圓的短軸長等于4．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，過且斜率為的動(dòng)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線，分別交：于異于點(diǎn)的點(diǎn)，，設(shè)直線的斜率為，直線，的斜率分別為．①求證：為定值；②求證：直線過定點(diǎn). 答案：（2）-2；（3）【小問1詳解】由題意解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】①設(shè)MN的方程為，與聯(lián)立得：，設(shè)，，則，【法二】平移