陜西省商洛市2024屆高三下學(xué)期尖子生學(xué)情診斷考試（第三次）數(shù)學(xué)（理科）試卷（含答案）

商洛市2024屆高三尖子生學(xué)情診斷考試（第三次）數(shù)學(xué)試卷（理科）考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：高考范圍．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，則實數(shù)a的值為（）．A．1 B．3 C． D．2．設(shè)集合，，則（）．A． B．C． D．3．已知在特定的時期內(nèi)某人在一個月內(nèi)每天投入的體育鍛煉時間x（分鐘）與一個月內(nèi)減輕的體重y（斤）的一組數(shù)據(jù)如表所示：x3040506070y1.11.93.244.8一個月內(nèi)減輕的體重y與每天投入的體育鍛煉時間x之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是，據(jù)此模型估計當(dāng)此人在一個月內(nèi)每天投入的體育鍛煉時間為90分鐘時，該月內(nèi)減輕的體重約為（）．A．7.1斤 B．7.0斤 C．6.9斤 D．6.8斤4．已知，則“”是“”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．甲、乙、丙、丁、戊5名大學(xué)生實習(xí)時，有A，B，C三家企業(yè)可供選擇，若去C企業(yè)最多一人，則不同分配種數(shù)是（）．A．112 B．80 C．64 D．326．對于兩條不同的直線m，n和兩個不同的平面，，下列命題錯誤的是（）．A．若，，，則B．若，，，則或C．若，，則或D．若，，則或7．在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)任取一點，則滿足的概率為（）．A． B． C． C．8．已知是圓上任意一點，則的最大值為（）．A． B． C． D．9．為落實黨的二十大提出的“加快建設(shè)農(nóng)業(yè)強國，扎實推動鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)、人才、文化、生態(tài)、組織振興”的目標(biāo)，某銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務(wù)．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實際還款比例P關(guān)于還款人的年收入x（單位：萬元）的Logistic模型：．已知當(dāng)貸款人的年收入為9萬元時，其實際還款比例為50％，若貸款人的年收入約為5萬元，則實際還款比例約為（）．（參考數(shù)據(jù)：）A．30％ B．40％ C．60％ D．70％10．在中，，則的最小值為（）．A．4 B． C． D．1611．已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，，，，則（）．A． B． C． D．12．已知拋物線的焦點為F，過F的直線交E于A，B兩點，點P滿足，其中O為坐標(biāo)原點，直線AP交E于另一點C，直線BP交E于另一點D，記，的面積分別為，，則（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．設(shè)，向量，，若，則__________．14．已知函數(shù)，對任意的，都有，且在區(qū)間上單調(diào)，則的值為__________．15．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在C的左支上，，，延長PO交C的右支于點Q，點M為雙曲線上任意一點（異于P，Q兩點），則直線MP與MQ的斜率之積__________．16．已知圓錐的體積為，若球O在圓錐內(nèi)部，則球O體積的最大值為__________，此時圓錐的底面圓的半徑為__________．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（本小題滿分12分）在數(shù)列中，，，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．18．（本小題滿分12分）我國一科技公司生產(chǎn)的手機前幾年的零部件嚴(yán)重依賴進口，2019年某大國對其實施限制性策略，該公司啟動零部件國產(chǎn)替代計劃，與國內(nèi)產(chǎn)業(yè)鏈上下游企業(yè)開展深度合作，共同推動產(chǎn)業(yè)發(fā)展．2023年9月該公司最新發(fā)布的智能手機零部件本土制造比例達到了90％，該公司與一零部件制造公司合作生產(chǎn)某手機零部件，為提高零部件質(zhì)量，該公司通過資金扶持與技術(shù)扶持，幫助制造公司提高產(chǎn)品質(zhì)量和競爭力，同時派本公司技術(shù)人員進廠指導(dǎo)，并每天隨機從生產(chǎn)線上抽取一批零件進行質(zhì)量檢測．下面是某天從生產(chǎn)線上抽取的10個零部件的質(zhì)量分?jǐn)?shù)（總分1000分，分?jǐn)?shù)越高質(zhì)量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假設(shè)該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零部件的質(zhì)量分?jǐn)?shù)X近似服從正態(tài)分布，并把這10個樣本質(zhì)量分?jǐn)?shù)的平均數(shù)作為的值．參考數(shù)據(jù)：若，則．（1）求的值；（2）估計該生產(chǎn)線上生產(chǎn)的1000個零部件中，有多少個零部件的質(zhì)量分?jǐn)?shù)低于940？（3）若從該生產(chǎn)線上隨機抽取n個零件中恰有個零部件的質(zhì)量分?jǐn)?shù)在內(nèi)，則n為何值時，的值最大？19．（本小題滿分12分）如圖，在幾何體ABCDE中，，平面ABC，，．（1）求證：平面平面ABE；（2）若，，，在棱AC上是否存在一點F，使得EF與平面ACD所成角的正弦值為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．20．（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓的左頂點為，離心率為，M，N是直線上直線AM與E交于另外一點B，直線AN與E交于另外一點C．（1）記直線AM，AN的斜率分別為、，求的值；（2）求點O到直線BC的距離的最大值．21．（本小題滿分12分）已知，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對任意的，，．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線過點且傾斜角為，曲線的方程為，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．（1）求直線的參數(shù)方程及曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，交于P，Q兩點，求的最小值．23．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知m，n，t均為正數(shù)，函數(shù)的最小值為3．（1）求的最小值；（2）求證：．商洛市2024屆高三尖子生學(xué)情診斷考試（第三次）·數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案、提示及評分細(xì)則1．A，的實部與虛部相等，則，所以．故選A．2．D因為，，所以，，，．故選D．3．D由表格的數(shù)據(jù)可得，，，因為線性回歸直線方程是，所以，所以，當(dāng)時，．故選D．4．A若，則，所以，充分性成立；若，則，但不一定成立，不滿足必要性，所以“”是“”的充分不必要條件．故選A．5．A分兩類情況，第一類情況，去C企業(yè)僅有一人，有種情況；第二類情況，沒有一個去C企業(yè)，有種情況，所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有種．故選A．6．B對于A，令，分別為直線m，n的方向向量，因為，，又，所以，即，故A正確；對于B，如圖所示，在正方體中，令平面ABCD為平面，平面為平面，直線為m，直線為n，滿足，，，但m與n既不平行也不垂直，故B錯誤；對于C，若，過m作平面分別與平面和平面相交，且交線分別為a，b，則，，所以，所以；若，符合題意，故C正確；對于D，若，符合題意；若，過直線n作一平面與平面相交，設(shè)交線為b，因為，，所以，又，且n，b在同一平面內(nèi)，若n，b不平行，則，又，則與矛盾，所以，所以，故D正確．故選B．7．C如圖，不等式組，表示的平面區(qū)域為及其內(nèi)部，其中，，，所以，設(shè)直線與直線，分別交于點，，所以滿足的平面區(qū)域為四邊形OCDB及其內(nèi)部，，所以滿足的概率為．故選C．8．D設(shè)，變形可得，則的幾何意義為直線的斜率，是圓上任意一點，則，解得，即的最大為．故選D．9．B由題意得當(dāng)時，％，則％，得，所以，得，所以．當(dāng)時，％．故選B．10．C因為，設(shè)，則，顯然，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為．故選C．11．B令，則，所以時，，單調(diào)遞增，又，，，所以．再令，則，所以在R上是增函數(shù)，時，，即時，，故，，即，所以．故選B．12．C由題意知，又，所以．顯然直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為，，，由得，所以．顯然直線BD的斜率不為0，設(shè)，直線BD的方程為，由得，所以，又，所以，設(shè)，同理可得，．故選C．13．由題意得，解得．14．或因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，，解得，，∵，∴，，因為在區(qū)間上單調(diào)，所以，解得．經(jīng)檢驗，當(dāng)時，，當(dāng)時，均滿足題意．15．2依題意，設(shè)雙曲線C的半焦距為c，則，，因為O是的中點，所以，故由得，因為，，所以．在中，，在中，，所以，則，，所以．16．（3分） （2分）設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，當(dāng)球O與圓錐相切時體積最大，設(shè)此時球O的半徑為R，如圖，作出圓錐的軸截面，內(nèi)切圓圓心為O，AB中點為H，則，高，設(shè)，則，其中，所以，，所以，，所以，所以圓錐的體積，所以，令，，所以，所以，，所以，，令，，則，，所以當(dāng)時，；時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以球O體積的最大值為，此時，，，所以，所以，，所以圓錐的底面圓的半徑為．17．解：（1）因為，且，所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，（1分）所以．（2分）所以．（3分）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，得，即，因為，所以，解得（舍去）．（4分）因為，所以數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列．所以．（6分）（2）因為．（8分）所以．（12分）18．解：（1），（2分）所以．（3分）（2）由（1）知，，．該生產(chǎn)線上生產(chǎn)的1000個零部件中，質(zhì)量分?jǐn)?shù)低于940的個數(shù)約為．（6分）（3）每個零部件的質(zhì)量分?jǐn)?shù)在內(nèi)的概率為，由題意可知，則，（8分）設(shè)，則，（9分）令，得，所以當(dāng)時，，（10分）令，得，所以當(dāng)時，，（11分）所以時，最大，故使最大的n的值為14．（12分）19．（1）證明：因為平面ABC，AB，平面ABC，所以，，（1分）因為，所以，，又AB，平面ABC，，所以平面ABC．（2分）取AB的中點O，連接CO，則平面ABC，所以，又，所以，（3分）取AE的中點M，連接OM，DM，則，且，又，，所以，且，所以四邊形OCDM為平行四邊形，所以，（4分）所以，，又AB，平面ABE，，所以平面ABE，因為平面ADE，所以平面平面ABE．（6分）（2）解：由（1）知OC，OB，OM兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB，OC，OM所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．（7分）設(shè)平面ACD的一個法向量，則，即，令，解得，，所以．（9分）設(shè)，所以，（10分）記EF與平面ACD所成的角為，所以，（11分）解得，故F為AC的中點，即．所以在棱AC上存在點F，使得EF與平面ACD所成角的正弦值為，且．（12分）20．解：（1）設(shè)，，所以，，又，所以，（2分）又，，所以．（4分）（2）由題意知，解得，，，所以E的方程為．（5分）當(dāng)直線BC的斜率存在時，設(shè)直線BC的方程為，，，由得，所以，，．（7分）由（1）知，所以，整理得，所以，整理得，即，所以，或．（9分）當(dāng)時，直線BC的方程為，過定點，不符合題意，舍去；當(dāng)時，直線BC的方程為，過定點．（10分）當(dāng)直線BC的斜率不存在時，易得，，，所以直線AM的方程是，由得，解得或，所以，同理得，此時直線BC的方程是，過定點．綜上，直線BC過定點．（11分）又，所以點O到直線BC的距離的最大值為．（12分）21．（1）解：的定義域為，，（1分）若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增．（2分）若，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（4分）（2）證明：當(dāng)時，．所以，．（5分）要證，即證，即證．（6分）由，得，即，，故只需證．（8分）下面給出證明：設(shè)，則，當(dāng)時，恒成立，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，所以；當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，，所以．所以