2024屆高考考前沖刺系列數(shù)學模擬試卷05（含答案）

屆高考考前沖刺系列數(shù)學模擬試卷05（新高考、新結(jié)構(gòu)、新情境）注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，且，則（）A. B.C.或 D.2.已知平面向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.3.1941年中國共產(chǎn)黨在嚴重的困難面前，號召根據(jù)地軍民，自力更生，艱苦奮斗，尤其是通過開展大生產(chǎn)運動，最終走出了困境．如圖就是當時纏線用的線拐子，在結(jié)構(gòu)簡圖中線段與所在直線異面垂直，分別為的中點，且，線拐子使用時將絲線從點出發(fā)，依次經(jīng)過又回到點，這樣一直循環(huán)，絲線纏好后從線拐子上脫下，稱為“束絲”．圖中，則絲線纏一圈長度為（）A. B. C. D.4.如圖，現(xiàn)有棱長為6cm的正方體玉石缺失了一個角，缺失部分為正三棱錐，且分別為棱靠近的四等分點，若將該玉石打磨成一個球形飾品，則該球形飾品的體積的最大值為（）A.B.C. D.5.2024年3月19日，新加坡共和理工學院代表團一行3位嘉賓蒞臨我校，就拓寬大學與中學間的合作、深化國際人才培養(yǎng)等議題與我校進行了深入的交流.交流時嘉賓席位共有一排8個空座供3位嘉賓就坐，若要求每位嘉賓的兩旁都有空座，且嘉賓甲必須坐在3位嘉賓中間，則不同的坐法有（）A.8種 B.12種 C.16種 D.24種6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減且其最小正周期為，則函數(shù)的一個零點為（）A. B. C. D.7.在中，角所對邊分別為，且，若，，則的值為（）A.1 B.2 C.4 D.2或48.已知函數(shù)滿足，，當時，，則函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（）A.若復數(shù)，則B.若，則C.若，則D.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，若，則點的軌跡是一個橢圓10.若，則下列說法正確的有（

）A. B.C. D.11.用平面截圓柱面，圓柱的軸與平面所成角記為，當為銳角時，圓柱面的截線是一個橢圓．著名數(shù)學家創(chuàng)立的雙球?qū)嶒炞C明了上述結(jié)論．如圖所示，將兩個大小相同的球嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別位于的上方和下方，并且與圓柱面和均相切．下列結(jié)論中正確的有（）A.橢圓的短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等B.橢圓的長軸長與嵌入圓柱的兩球的球心距相等C.所得橢圓的離心率D.其中為橢圓長軸，為球半徑，有第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知曲線在處的切線與圓相交于、兩點，則____________．13.已知數(shù)列中，，且，若存在正整數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為____________.14.數(shù)學家GeminadDandelin用一平面截圓錐后，在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐側(cè)面?截面相切，就可證明圖中平面截圓錐得到的截面是橢圓（如圖稱為丹德林雙球模型）．若圓錐的軸截面為正三角形，則用與圓錐的軸成角的平面截圓錐所得橢圓的離心率為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）在中，角的對邊分別是，且．（1）求；（2）若的角平分線交于點，且，求的周長．16．（本小題滿分15分）如圖所示，五面體中，，四邊形為平行四邊形，點在面內(nèi)的投影恰為線段的中點，．（1）求五面體體積；（2）求平面與平面夾角的余弦值．17．（本小題滿分15分）已知函數(shù).（1）求時，在處的切線方程；（2）討論在上的最值情況；（3）恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（本小題滿分17分）已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左頂點和上頂點，為左焦點，且的面積為．（1）求橢圓的標準方程：（2）設橢圓的右頂點為、是橢圓上不與頂點重合的動點．（i）若點，點在橢圓上且位于軸下方，直線交軸于點，設和的面積分別為，若，求點的坐標：（ii）若直線與直線交于點，直線交軸于點，求證：為定值，并求出此定值（其中、分別為直線和直線的斜率）．19．（本小題滿分17分）羅爾定理是高等代數(shù)中微積分的三大定理之一，它與導數(shù)和函數(shù)的零點有關，是由法國數(shù)學家米歇爾·羅爾于1691年提出的．它的表達如下：如果函數(shù)滿足在閉區(qū)間連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，且，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得．（1）運用羅爾定理證明：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，在區(qū)間上可導，則存在，使得．（2）已知函數(shù)，若對于區(qū)間內(nèi)任意兩個不相等實數(shù)，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．（3）證明：當時，有．2024屆高考考前沖刺系列數(shù)學模擬試卷05（新高考、新結(jié)構(gòu)、新情境）參考答案一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.12345678DBCBADCC二、選擇題：本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.91011ACACDABC三、填空題：本題共3小題,每小題5分,共15分.12． 13．14．## 三、解答題：本題共5小題,共77分,解答應寫出文字說明,證明過程和解題步驟.15．（本小題滿分13分）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角，得到，再利用輔助角公式，得到，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件，利用，得到，且有，聯(lián)立解出，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】在中，，由正弦定理可化簡得，又，所以，化簡得到，又在中，，所以，得到，即，所以，即，又，所以，得，即【小問2詳解】由（1）知，又的角平分線交于點，且，所以，得到整理得到①，又在中，，得到②，聯(lián)立①②解得所以的周長為.16．（本小題滿分15分）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作垂足為，即可得到為等邊三角形，過點作的平行線，過點作的平行線交于點，則為三棱柱，再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計算可得；（2）由（1）知平面，在平面內(nèi)過點作交于點，建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】因為點在面內(nèi)的投影恰為線段的中點，作垂足為，則平面，因為，所以為等邊三角形，所以，又，所以，過點作的平行線，過點作的平行線交于點，又四邊形為平行四邊形，所以為三棱柱，則，又三棱錐的體積是三棱柱的體積的，所以五面體的體積是三棱柱的體積的，所以五面體的體積.【小問2詳解】由（1）知平面，在平面內(nèi)過點作交于點，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，又，所以，所以，，又平面的法向量可以為，設平面的法向量為，則，取，設平面與平面夾角為，則.17．（本小題滿分15分）【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）由已知，求出，再求出和，再由點斜式寫出方程；（2）對求導，得到導函數(shù)等于0時的兩根，然后對函數(shù)的極值分類討論，然后討論在上的最值情況；（3）通過對函數(shù)適當放縮，討論兩個函數(shù)的大小關系，再通過函數(shù)的單調(diào)性得出，從而得到的參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因為，所以，則，，又當時，所以在處的切線方程為：.【小問2詳解】由得①當，即時，在上單調(diào)遞增，函數(shù)無最值；②當，即時，由，解得，+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由得，③當，即時，，且時，時，，此時無最值；④當，即時，，且時，時，，所以有最小值，無最大值.綜上可知，當時，有最小值，無最大值；當時，無最值.【小問3詳解】由，，，所以是在處的切線，若，則當，且時所以此時，所以存在x使得，不符合條件；當時，設現(xiàn)證明，得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當時，，當或時，，所以成立.綜上，實數(shù)的取值范圍是.（本小題滿分17分）【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析，【解析】【分析】（1）依題意可得，解得、、，即可得解；（2）（i）連接，由面積公式推導出，從而得到，即可求出的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出點坐標；（ii）設直線的斜率為，的方程為，再求出直線的方程，聯(lián)立求出、點坐標，從而求出的方程，即可求出點坐標，再由斜率公式計算可得.【小問1詳解】由題意得，又，解得，橢圓的標準方程為【小問2詳解】（i）由（1）可得，連接，因為，，所以，，，所以，所以直線的方程為，聯(lián)立，解得或（舍去），.（ii）設直線的斜率為，則直線的方程為：，又，，直線的方程為，由，解得，所以，由，得，由，則，所以，則，，依題意、不重合，所以，即，所以，直線的方程為，令即，解得，，，為定值.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.19．（本小題滿分17分）【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)結(jié)合羅爾定理推導即得.（2）求出函數(shù)導數(shù)，利用（1）的結(jié)論建立恒成立的不等式，再利用導數(shù)求出函數(shù)的值域即得.（3）構(gòu)造函數(shù)，求出導數(shù)結(jié)合（1）的結(jié)論，借助不等式性質(zhì)推理即得.【小問1詳解】令，則，令函數(shù)，則，顯然在上連續(xù)，且在上