福建省福州市倉山區(qū)水都中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

-2024學(xué)年福建省福州市倉山區(qū)水都中學(xué)九年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題。（本題共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（4分）2020年6月23日，北斗三號(hào)最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星從西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，6月30日成功定點(diǎn)于距離地球36000公里的地球同步軌道．將36000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．0.36×105 B．3.6×105 C．3.6×104 D．36×1033．（4分）如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠54．（4分）正五邊形的外角和為（）A．180° B．360° C．540° D．720°5．（4分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣bx+c的圖象經(jīng)過A（1，n），B（3，n），則b的值為（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣46．（4分）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．沒有實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根7．（4分）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n為整數(shù)且n＜＜n+1，則n的值為（）A．43 B．44 C．45 D．468．（4分）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°（）A．30° B．40° C．50° D．60°9．（4分）如表是某超市上半年的月營業(yè)額（單位：萬元）．月營業(yè)額204010月數(shù)321下列結(jié)論不正確的是（）A．平均數(shù)是25 B．中位數(shù)20 C．眾數(shù)是40 D．方差是12510．（4分）已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，則ab可表示為（）A． B．2c2﹣1 C． D．2c2+1二、填空題。（本題共6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）分解因式：ab2﹣a＝．12．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x與雙曲線y＝交于A，B的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，則y1+y2的值為．13．（4分）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則△ABC的面積與△ABD的面積的大小關(guān)系為：S△ABCS△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）．14．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D，弧AC的中點(diǎn)，AC＝12，則MD的長是．15．（4分）如圖，將扇形AOB沿OB方向平移，使點(diǎn)O移到OB的中點(diǎn)O′處，OA＝2，則陰影部分的面積為．16．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（4a，0），a＞0，△OAB是等邊三角形．若（不含邊界），則a的取值范圍是．三、計(jì)算題。本大題共9小題，共8分。17．（8分）計(jì)算：（）﹣1++|﹣2|﹣6sin45°．18．（8分）解不等式組：19．（8分）先化簡，再求值：（1+）÷，其中a＝20．（14分）如圖，直線l是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象，直線經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣3），交y軸于點(diǎn)B（0，1）．（1）求直線l的解析式；（2）求l與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積；（3）當(dāng)x時(shí)，y≥0；（4）求原點(diǎn)到直線l的距離．21．（14分）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，EF⊥AB于F，OG∥EF．求證：四邊形OEFG是矩形．22．（8分）5月12日是全國防災(zāi)減災(zāi)日，某校舉行了安全知識(shí)競賽，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取n名學(xué)生的成績學(xué)生成績分布統(tǒng)計(jì)表分組成績（分）頻率A75.5≤x＜80.50.050B80.5≤x＜85.5aC85.5≤x＜90.50.275D90.5≤x＜95.50.375E95.5≤x＜100.50.100請(qǐng)根據(jù)以上圖表信息，解答下列問題：（1）求n與a的值，并補(bǔ)全學(xué)生成績頻數(shù)分布直方圖；（2）若E組有2名男生和2名女生，現(xiàn)隨機(jī)抽選2人作為安全知識(shí)宣傳志愿者，求抽選結(jié)果恰好是“一男一女”的概率．23．（10分）如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線．（1）求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點(diǎn)E，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點(diǎn)G，求tan∠ADB的值．24．（8分）手榴彈作為一種威力較大，體積較小，方便攜帶的武器，然而想把手榴彈扔遠(yuǎn)，并不是一件容易的事，借助小山坡的有利地勢，小剛在教官的指導(dǎo)下用模擬彈進(jìn)行一次試投：如圖所示，手榴彈飛行的最大高度為12米，此時(shí)它的水平飛行距離為6米（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）山坡上A處的水平距離OE為9米，A處有一棵樹，樹高5米；（3）求飛行的過程中手榴彈離山坡的最大高度是多少米．25．（8分）在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．（1）如圖1，若△ACE為等邊三角形，CD＝2；（2）如圖2，作EG⊥AB，求證：AD＝；（3）如圖3，作EG⊥AB，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)G重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出BF與EC之間的數(shù)量關(guān)系．2023-2024學(xué)年福建省福州市倉山區(qū)水都中學(xué)九年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題。（本題共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、既不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B、既不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，不合題意；D、既是中心對(duì)稱圖形，符合題意．故選：D．2．（4分）2020年6月23日，北斗三號(hào)最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星從西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，6月30日成功定點(diǎn)于距離地球36000公里的地球同步軌道．將36000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．0.36×105 B．3.6×105 C．3.6×104 D．36×103【解答】解：36000＝3.6×105，故選：C．3．（4分）如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5【解答】解：A．∵∠1和∠2是對(duì)頂角，∴∠7＝∠2，故A正確；B．∵∠2是△AOD的外角，∴∠8＞∠3，故B錯(cuò)誤；C．∵∠1＝∠2+∠5，故C錯(cuò)誤；D．∵∠2是△BOC的外角，∴∠2＞∠5；故D錯(cuò)誤；故選：A．4．（4分）正五邊形的外角和為（）A．180° B．360° C．540° D．720°【解答】解：任意多邊形的外角和都是360°，故正五邊形的外角和的度數(shù)為360°．故選：B．5．（4分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣bx+c的圖象經(jīng)過A（1，n），B（3，n），則b的值為（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【解答】解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，n）和點(diǎn)B（3，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝＝5，即﹣＝2，解得b＝2，故選：C．6．（4分）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．沒有實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【解答】解：在一元二次方程x2+x﹣1＝2中，a＝1，b＝1，∴Δ＝b8﹣4ac＝18﹣4×1×（﹣6）＝1+4＝8＞0，∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．7．（4分）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n為整數(shù)且n＜＜n+1，則n的值為（）A．43 B．44 C．45 D．46【解答】解：∵1936＜2021＜2025，∴44＜＜45，∴n＝44，故選：B．8．（4分）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°（）A．30° B．40° C．50° D．60°【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，又∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，故選：A．9．（4分）如表是某超市上半年的月營業(yè)額（單位：萬元）．月營業(yè)額204010月數(shù)321下列結(jié)論不正確的是（）A．平均數(shù)是25 B．中位數(shù)20 C．眾數(shù)是40 D．方差是125【解答】解：平均數(shù)為（20×3+40×2+10×4）÷（3+2+3）＝25（萬元），故A正確；按順序排列后第3個(gè)數(shù)是20，第4個(gè)數(shù)是20（20+20）＝20（萬元），不符合題意；出現(xiàn)最多的是20，所以眾數(shù)是20萬元，符合題意；方差是[3×（20﹣25）7+2×（40﹣25）2+（10﹣25）5]×＝125（萬元4）．故D正確；故選：C．10．（4分）已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，則ab可表示為（）A． B．2c2﹣1 C． D．2c2+1【解答】解：∵a+b+c＝0，∴﹣c＝a+b，兩邊同時(shí)平方得：c2＝a4+b2+2ab，移項(xiàng)得：8ab＝c2﹣（a2+b5），又∵a2+b2+c5＝1，∴a2+b4＝1﹣c2，∴8ab＝2c2﹣4，∴，故選：A．二、填空題。（本題共6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）分解因式：ab2﹣a＝a（b+1）（b﹣1）．【解答】解：原式＝a（b2﹣1）＝a（b+8）（b﹣1），故答案為：a（b+1）（b﹣4）12．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x與雙曲線y＝交于A，B的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，則y1+y2的值為0．【解答】解：方法一、∵直線y＝x與雙曲線y＝，B兩點(diǎn)，∴聯(lián)立方程組得：，解得：，，∴y1+y4＝0，方法二、∵直線y＝x與雙曲線y＝，B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴y1+y6＝0，故答案為：0．13．（4分）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則△ABC的面積與△ABD的面積的大小關(guān)系為：S△ABC＝S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）．【解答】解：∵S△ABC＝×3×4＝4，S△ABD＝8×5﹣×5×1﹣×2×2＝5，∴S△ABC＝S△ABD，故答案為：＝．14．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D，弧AC的中點(diǎn)，AC＝12，則MD的長是4．【解答】解：∵點(diǎn)M是弧AC的中點(diǎn)，∴OM⊥AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°，∵AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13，∴OM＝6.5，∵點(diǎn)D是弦AC的中點(diǎn)，∴OD＝BC＝2.7，∴OD⊥AC，∴O、D、M三點(diǎn)共線，∴MD＝OM﹣OD＝6.5﹣8.5＝4．故答案為：8．15．（4分）如圖，將扇形AOB沿OB方向平移，使點(diǎn)O移到OB的中點(diǎn)O′處，OA＝2，則陰影部分的面積為+．【解答】解：如圖，設(shè)O′A′交，連接OT．∵OT＝OB，OO′＝O′B，∴OT＝2OO′，∵∠OO′T＝90°，∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°，∴S陰＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′）＝﹣（﹣）＝+．故答案為：+．16．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（4a，0），a＞0，△OAB是等邊三角形．若（不含邊界），則a的取值范圍是a＞2．【解答】解：過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，如圖所示：∵A（4a，0）且a＞8，∴OA＝4a，∵△AOB是等邊三角形，∴ON＝2a，BN＝4a，∵P（a+1，a）在△OAB的內(nèi)部（不含邊界），∴a＜a+1＜a，解得a＞2，故答案為：a＞2．三、計(jì)算題。本大題共9小題，共8分。17．（8分）計(jì)算：（）﹣1++|﹣2|﹣6sin45°．【解答】解：原式＝3+3+2﹣6×＝3+6+2﹣2＝5．18．（8分）解不等式組：【解答】解：解不等式5x﹣3＞7x，得：x＞1，解不等式＜，得：x＜6，則不等式組的解集為1＜x＜2．19．（8分）先化簡，再求值：（1+）÷，其中a＝【解答】解：原式＝÷＝?＝，當(dāng)a＝+1時(shí)＝．20．（14分）如圖，直線l是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象，直線經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣3），交y軸于點(diǎn)B（0，1）．（1）求直線l的解析式；（2）求l與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積；（3）當(dāng)x≤時(shí)，y≥0；（4）求原點(diǎn)到直線l的距離．【解答】解：（1）把（3，﹣3），8）代入y＝kx+b，得，解得：，∴直線l的解析式為y＝﹣x+5；（2）在y＝﹣x+7中，則﹣，解得x＝，∴A（，0），∵B（0，7），∴OA＝，OB＝3，∴S△AOB＝＝×1＝，∴直線l與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為；（3）∵A（，0），∴當(dāng)x≤時(shí)，y≥0；故答案為：≤；（4）設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為h，∵OA＝，OB＝1，∴AB＝＝＝，∵S△AOB＝AB?h，∴＝×h，∴h＝．故原點(diǎn)到直線l的距離為．21．（14分）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，EF⊥AB于F，OG∥EF．求證：四邊形OEFG是矩形．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中點(diǎn)，∴OE是△ABD的中位線，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四邊形OEFG是平行四邊形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四邊形OEFG是矩形．22．（8分）5月12日是全國防災(zāi)減災(zāi)日，某校舉行了安全知識(shí)競賽，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取n名學(xué)生的成績學(xué)生成績分布統(tǒng)計(jì)表分組成績（分）頻率A75.5≤x＜80.50.050B80.5≤x＜85.5aC85.5≤x＜90.50.275D90.5≤x＜95.50.375E95.5≤x＜100.50.100請(qǐng)根據(jù)以上圖表信息，解答下列問題：（1）求n與a的值，并補(bǔ)全學(xué)生成績頻數(shù)分布直方圖；（2）若E組有2名男生和2名女生，現(xiàn)隨機(jī)抽選2人作為安全知識(shí)宣傳志愿者，求抽選結(jié)果恰好是“一男一女”的概率．【解答】解：（1）n＝2÷0.050＝40，a＝4﹣0.050﹣0.275﹣6.375﹣0.100＝0.200．B組的人數(shù)為3.200×40＝8（人），補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如圖所示．（2）設(shè)2名男生分別記為A，B，3名女生分別記為C，D，畫出樹狀圖如下：共有12種等可能結(jié)果，其中抽選結(jié)果恰好是“一男一女”的結(jié)果有：AC，BC，CA，DA，共8種，∴抽選結(jié)果恰好是“一男一女”的概率為＝．23．（10分）如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線．（1）求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點(diǎn)E，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點(diǎn)G，求tan∠ADB的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意作圖如下：（2）設(shè)∠ADB＝α，⊙A的半徑為r，∵BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF與⊙A相切于點(diǎn)G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四邊形AEFG是矩形，又AE＝AG＝r，∴四邊形AEFG是正方形，∴EF＝AE＝r，在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD＝90°，∴∠BAE＝∠ADB＝α，在Rt△ABE中，tan∠BAE＝，∴BE＝r?tanα，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，又∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝r?tanα，∴DE＝DF+EF＝r?tanα+r，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，即DE?tanα＝AE，∴（r?tanα+r）?tanα＝r，即tan2α+tanα﹣1＝2，∵tanα＞0，∴tanα＝，即tan∠ADB的值為．24．（8分）手榴彈作為一種威力較大，體積較小，方便攜帶的武器，然而想把手榴彈扔遠(yuǎn)，并不是一件容易的事，借助小山坡的有利地勢，小剛在教官的指導(dǎo)下用模擬彈進(jìn)行一次試投：如圖所示，手榴彈飛行的最大高度為12米，此時(shí)它的水平飛行距離為6米（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）山坡上A處的水平距離OE為9米，A處有一棵樹，樹高5米；（3）求飛行的過程中手榴彈離山坡的最大高度是多少米．【解答】解：（1）由題意得：頂點(diǎn)C（6，12），所以設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x﹣6）6+12，把（0，0）代入得：8＝a（0﹣6）8+12，解得a＝﹣，∴拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣6）7+12＝﹣x8+4x；（2）∵山坡OA的坡度為1：5，OE＝9米，∴AE＝3米，當(dāng)x＝8時(shí)，y＝﹣，∵2+5＜9，∴小剛投出的手榴彈能越過這棵樹；（3）設(shè)直線OA的關(guān)系式為y＝kx，把A（8，∴直線OA的關(guān)系式為y＝x，如圖，設(shè)M（a，﹣a2+4a），N（a，，∴MN＝（﹣a2+4a）﹣a＝﹣a2+a＝﹣）2+，當(dāng)a＝時(shí)，MN最大為，答：飛行的過程中手榴彈離山坡的最大高度是米．25．（8分）在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠C