2.3.1離散型隨機(jī)變量的均值

2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差引入要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績是否“兩極分化”則需要考察:對于離散型隨機(jī)變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率。但在實(shí)際問題中，有時我們更感興趣的是隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征。例如，要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中的總體水平，很重要的是考察：這個班的平均分；這個班數(shù)學(xué)成績的方差。2.3.1離散型隨機(jī)變量的均值先介紹兩種平均數(shù)：算術(shù)平均數(shù)如果你期中考試各門成績分別為：91，85，80，80，75，59那你的平均成績是多少？先介紹兩種平均數(shù)：加權(quán)平均數(shù)如果你期中考試數(shù)學(xué)成績?yōu)?0，平時表現(xiàn)成績?yōu)?0，學(xué)校規(guī)定：在你學(xué)分記錄表中，該學(xué)期的數(shù)學(xué)成績中考試成績占70%，平時成績占30%，你最終的數(shù)學(xué)成績?yōu)槎嗌?？加?quán)平均權(quán)數(shù)

權(quán)是秤錘，權(quán)數(shù)是起權(quán)衡輕重作用的數(shù)值.加權(quán)平均是指在計(jì)算若干個數(shù)量的平均數(shù)時，考慮到每個數(shù)量在總量中所具有的重要性不同，分別給予不同的權(quán)數(shù).問題:某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？把環(huán)數(shù)看成隨機(jī)變量X,得X的概率分布列：X1234P加權(quán)平均權(quán)數(shù)權(quán)數(shù)恰好是隨機(jī)變量X取每個值的概率.一、離散型隨機(jī)變量的均值：

X……

P……一般地,若離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望又簡稱為期望。

則稱()你能給出求隨機(jī)變量X的均值的步驟嗎？歸納求離散型隨機(jī)變量的均值(期望)的步驟：①、確定離散型隨機(jī)變量可能的取值。②、求出相應(yīng)的概率值,并寫出分布列。③、根據(jù)分布列套公式求出均值。練習(xí)1：已知某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22試根據(jù)這個分布列估計(jì)該射手射擊的平均環(huán)數(shù).

解：

由該射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列可知E(ξ)=4×0.02+5×0.04+6×0.06+7×0.09+8×0.28+9×0.29+10×0.22=8.32

所以，可以估計(jì)該射手射擊的平均環(huán)數(shù)為8.32.

練習(xí)2：隨機(jī)拋擲一個骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)X的均值.x123456P1/61/61/61/61/61/6解：思考：············設(shè)Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則（1）Y是隨機(jī)變量嗎？（2）Y的分布列是什么？（3）E(Y)=？若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：()因?yàn)镻(Y=axi+b)=P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n，所以，Y的分布列為Yax1+bax2+b…axi+b…axn+bPp1p2…pi…pnE(Y)=E(aX+b)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn=a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aE(X)+b，E(aX+b)=aE(X)+b二、均值的重要性質(zhì)：練習(xí)1、隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)則E(ξ)=.

練習(xí)2、隨機(jī)變量ξ的分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，則E(η)=.

5.8ξ47910P0.3ab0.2E(ξ)=7.5,則a=

b=

.0.40.1例1、在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是多少？解：因?yàn)镻(X=1)=0.7，P(X=0)=0.3，所以E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.7+0×0.3=0.7三、兩個特殊分布的均值1.兩點(diǎn)分布的均值三、兩個特殊分布的均值1.兩點(diǎn)分布的均值結(jié)論1：若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=p.那么Ｅ(X)=1×p+0×(1-p)=p.X01P1-pP一般地，如果隨機(jī)變量Ｘ服從兩點(diǎn)分布，即分布列為：2.二項(xiàng)分布的均值例2、在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.7，他連續(xù)罰球3次：（1）求他得到的分?jǐn)?shù)X的分布列；（2）求X的期望。解：（1）X的可能取值為：0，1，2，3X~B（3，0.7）（2）E(X)=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1E(X)=2.1=3×0.72.二項(xiàng)分布的均值結(jié)論2：若X~B(n，p)，則E(X)=np.一般地，如果隨機(jī)變量Ｘ～B(n,p)，即分布列為：

X0

1

…k

…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k

…Cnnpnq0∴E(X)=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+

…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(X=k)=Cnkpkqn-k證明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+

Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)(∵kCnk

=n

Cn-1k-1)=np(p+q)n-1=np練習(xí)：一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，從中有放回地取5次，則取到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是

.3分析：設(shè)取到紅球的次數(shù)為X，X~B（5，0.6）所以E(X)=5×0.6=3解：

設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測驗(yàn)中選擇了正確答案的選擇題個數(shù)分別是ξ和η，則ξ～B(20，0.9)，

η～B(20，0.25)，E(ξ)＝20×0.9＝18，E(η)＝20×0.25＝5．由于答對每題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測驗(yàn)中的成績分別是5ξ和5η。所以，他們在測驗(yàn)中的成績的均值分別是:E(5ξ)＝5E(ξ)＝5×18＝90，E(5η)＝5E(η)＝5×5＝25．例2.一次單元測驗(yàn)由20個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項(xiàng)，其中僅有一個選項(xiàng)正確，每題選對得5分，不選或選錯不得分，滿分100分。學(xué)生甲選對任一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測驗(yàn)中對每題都從4個選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個。求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次單元測驗(yàn)中的成績的均值。思考:

(1)學(xué)生甲在這次單元測驗(yàn)中的成績一定是90分嗎?(2)他的成績的均值為90分的含義是什么?不一定.他的成績是一個隨機(jī)變量,

可能取值為0,5,10,…95,100含義是:在多次類似的考試中,他的平均成績大約是90分.例3：根據(jù)氣象預(yù)報,某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備,遇到大洪水時損失60000元,遇到小洪水損失10000元.為保護(hù)設(shè)備,有以下3種方案:

方案1:運(yùn)走設(shè)備,搬運(yùn)費(fèi)為3800元;

方案2:建保護(hù)圍墻,建設(shè)費(fèi)為2000元,但圍墻只能防小洪水;

方案3:不采取任何措施.

試比較哪一種方案好?采用第2種方案,遇到大洪水時,損失2000+60000=62000元;

沒有大洪水時,損失2000元,即采用第3種方案,有

解:用X1,X2和X3分別表示三種方案的損失采用第1種方案,無論有無洪水,都損失3800元,

即X1=3800于是,E(X2)=62000×P(X2=62000)+2000×P(X2=2000)=62000×0.01+2000×(1-0.01)=2600E(X1)=3800,E(X3)=60000×P(X3=60000)+10000×P(X3=10000)+0×P(X3=0)=60000×0.01+10000×0.25=3100顯然,采取方案2的損失最小,所以可以選擇方案20.030.97P1000－a1000解得a≤10000故保險公司應(yīng)將最大賠償金定為10000元。練習(xí)：被保對象繳納保險費(fèi)1000元時，保險公司的賠償金為a（a＞1000）元，若被保對象出險的概率為0.03，為使保險公司收益的期望值不低于a的百分之七，則保險公司應(yīng)將最大賠償金定為多少元？1、離散型隨機(jī)變量均值的定義

X……

P……一般地,若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為

則稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望又簡稱為期望。

小結(jié)2、離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)(1)隨機(jī)變量均值的線性性質(zhì)

若ξ~B(n，p)，則E(ξ)=np(2)服從兩點(diǎn)分布的均值(3)服從二項(xiàng)分布的均值

若ξ~B(1，p)，則E(ξ)=p一.填空（1）某射手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到第一次命中為止，每次命中率為0.6，現(xiàn)共有子彈4顆，命中后尚剩余子彈數(shù)目ξ的數(shù)學(xué)期望是___________.2.376（2）有兩臺在兩地獨(dú)立工作的雷達(dá)，每臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為0.9和0.85，設(shè)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的雷達(dá)臺數(shù)為ξ，則E(ξ)=___________.1.75

補(bǔ)充練習(xí)

（3）設(shè)離散性隨機(jī)變量可能取的值為1，2，3，4，P(ξ=k)=ak+b(k=1，2，3，4)又ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=3，則a+b=_______．

（1）口袋中有5只相同的球，編號為1、2、3、4、5，從中任取3球，用ξ表示取出的球的最大號碼，則Eξ=()A.4B.4.5C.4.75D.5

（2）一個袋中裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，從中同時取出2個，則其中含紅球個數(shù)的均值是()A、0.4B、1C、1.2D、1.5√√二.選擇

1、若一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時全天停止工作。一周5個工作日里無故障可獲利10萬元，發(fā)生一次故障可獲利5萬元，發(fā)生兩次故障沒有利潤，發(fā)生三次或三次以上故障就虧損2萬元，求一周內(nèi)平均獲利多少元?(保留三位有效數(shù)字).三.解答解：設(shè)一周內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的次數(shù)為ξ，則ξ的分布列為：ξ012≥3P(ξi)0.85C510.2×0.84C520.22×0.831-0.85-C510.2×0.84-C520.22×0.83那么，隨機(jī)變量利潤η的分布列為：η1050-2P(ηi)0.327680.40960.20480.05792Eη=10×0.32768+5×0.4096+(2)×0.05792=5