2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型總結(jié)一輪復(fù)習(xí)講義 集合

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)

第01講集合(精講)

題型目錄一覽

集合的含義及其表示

集合間的基本關(guān)系

集合的交并補(bǔ)運(yùn)算及ye研圖的應(yīng)用

集合新定義問題

、知識(shí)點(diǎn)梳理

1.集合的有關(guān)概念

1.集合元素的三個(gè)特性：確定性、無(wú)序性、互異性.

2.集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

3.元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為G;不屬于，記為

4.五個(gè)特定的集合及其關(guān)系圖：N*或N+表示正整數(shù)集，N表示非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)

集)，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集.

2.集合間的基本關(guān)系

(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A,B,如果集合A中任意一個(gè)元素，都是集合8中的元素，就稱集合A為集合8

的子集.記作AU2(或B2A).

(2)真子集：如果集合AU8,但存在元素xGB,且xeA,就稱集合A是集合8的真子集，記作AG8.

⑶相等：若AU8,且8UA,則A=8

(4)空集的性質(zhì)：0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

若全集為U,則集合

符號(hào)表示AUBAAB

A的補(bǔ)集為CuA

圖形表示二Q

AUB

集合表示{x\x^A,或正團(tuán){x\x^A,且工￡團(tuán){x\x^U,且

【常用結(jié)論】

(1)若有限集A中有〃個(gè)元素，則A的子集有2"個(gè)，真子集有2"-1個(gè)，非空子集有2"-1個(gè)，非空真子集有2"-2

個(gè).

(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合5的真子集.

(3)B==B<=>CVBcCVA.

(4)CV(AB)=(Cd)U(Ca),Q(A5)=CS).

二、題型分類精講

題型一集合的含義與表示

策略方法解決與集合中的元素有關(guān)問題的一般思路

看元素構(gòu)成IT確定集合是數(shù)集還是點(diǎn)集

區(qū)艮據(jù)限制條件確定集合中的元素或求：

明限制條件

;參數(shù)的值；

檢元素特性|一：注意集合中元素的互異性

【典例1]已知集合A={1,3,/},B=[l,a+2],A<JB=A,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.{2}B.{-1,2}C.{1,2}D.{0,2}

【分析】由題設(shè)知8勺4,討論。+2=3、a+2=〃求。值，結(jié)合集合的性質(zhì)確定。值即可.

【詳解】由AD3=A知：B^A,

當(dāng)a+2=3,即a=l,則/=1,與集合中元素互異性有矛盾，不符合;

當(dāng)a+2=儲(chǔ),即a=-1或a=2,

若a=T,則/=1,與集合中元素互異性有矛盾，不符合;

若a=2,則4={1,3,4},B=[1,4},滿足要求.

綜上，a=2.故選：A

【典例2】已知集合A={0,1,2},則集合5={（%,同次之K%￡人丁￡耳中元素的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.3C.6D.9

【分析】根據(jù)B={(x，y)|xNy,xeAyeA},采用列舉法表示集合B即可求解.

【詳解】根據(jù)題意5={（0,0）,（LO）,（U）,（2,0）,（2,1）,（2,2）},

所以集合B中共有6個(gè)元素，故選：C.

【題型訓(xùn)練】

1.（2022.全國(guó).統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集。={1,2,3,4,5},集合M滿足2M={1,3},則（）

A.2eMB.3eMC.4^MD.5wM

【答案】A

【分析】先寫出集合然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可

【詳解】由題知"={2,4,5},對(duì)比選項(xiàng)知，A正確,BCD錯(cuò)誤

故選:A

2.（2023?北京海淀?校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合M={2/-1,7〃-3},若-3eA/,則實(shí)數(shù)〃尸（）

A.0B.-1C.0或-1D.0或1

【答案】C

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論2加-1=-3和機(jī)-3=-3兩種情況，求解機(jī)并檢驗(yàn)集合的互異性，可得

到答案.

【詳解】設(shè)集合"={2帆-1,帆-3},若-

■-3eAZ,r.—1=——3=—3,

當(dāng)2〃?—1=—3時(shí)，m=-\,此時(shí)”={—3,—4}；

當(dāng)/“一3=-3時(shí)，m=0,此時(shí)M={-3,-1}；

所以根=-1或0.

故選：C

3.（2023春?河南新鄉(xiāng)?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）己知集合4={4,蒼2?,B=\-2,^,l-y\,若A=B,則實(shí)數(shù)x的取值

集合為（）

A.{-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,1,2）

【答案】B

【分析】根據(jù)集合元素的唯一性分類討論即可.

【詳解】因?yàn)锳=3,所以-2eA.

當(dāng)x=-2時(shí)，2y=l-y,得y=g；

當(dāng)2y=-2時(shí),則x=2.

故實(shí)數(shù)x的取值集合為{-2,2}.

故選：B

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知集合4={0,1,2,3,4,5},3={（x,;y）|xeA,yeAx-yeA},則集合8中所含元素個(gè)

數(shù)為（）

A.20B.21C.22D.23

【答案】B

【分析】根據(jù)x-y的值分類討論，即可求出集合B中所含元素個(gè)數(shù).

【詳解】當(dāng)x-y=。時(shí)，有(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),6個(gè)元素;

當(dāng)x-y=l時(shí)，有(1,0),(2,1),(3②,(4,3),(5,4),5個(gè)元素;

當(dāng)尤-y=2時(shí),有(2,0),(3,1),(4,2),(5,3),4個(gè)元素；

當(dāng)無(wú)一y=3時(shí)，有(3,0),(4,1),(5,2),3個(gè)元素;

當(dāng)尤7=4時(shí),有(4,0),(5,1),2個(gè)元素；

當(dāng)x-y=5時(shí),有(5,0),1個(gè)元素，

綜上，一共有21個(gè)元素.

故選：B.

5.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)集合A={(x,y)|y=x},B=((x,y)|y=x3|,則AcB的元素個(gè)數(shù)是()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【分析】聯(lián)立y=x,y=無(wú)3求出交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到答案.

y=x

【詳解】聯(lián)立7,即7,解得:”=0或±i,

即AB={(0,0),(1,1),(-1-1)},

故AcB的元素個(gè)數(shù)為3.

故選：C

6.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知集合4={0,1,2},則集合8={(x,y)|xNee&}中元素的個(gè)數(shù)是()

A.1B.3C.6D.9

【答案】C

【分析】根據(jù)2={(xM|xNy,xeA,yeA},采用列舉法表示集合B即可求解.

【詳解】根據(jù)題意8={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)},

所以集合B中共有6個(gè)元素，

故選：C.

二、填空題

7.(2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試)設(shè)集合A={1,2,3},3={4,5},M={x\x=a+b,aA,b&B},則〃中的元素個(gè)數(shù)為

【答案】4

【分析】求出所有Q+b的值，根據(jù)集合元素的互異性可判斷個(gè)數(shù).

【詳解】因?yàn)榧螹中的元素x=a+b,tzGA,beB,所以當(dāng)Z?=4時(shí)，a=l,2,3,此時(shí)x=5,6,7.當(dāng)Z?=5

時(shí),a=lf2,3,此時(shí)x=6,7,8.

根據(jù)集合元素的互異性可知，X=5,6,7,8.即河={5,6,7,8},共有4個(gè)元素.

故答案為：4.

8.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))含有3個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成k3』，，又可表示成{。2,〃+40},則4。22+,22=

【答案】1

【分析】根據(jù)集合相等，則元素完全相同，分析參數(shù)，列出等式，即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?1：={。2,。+40},

b

顯然故一二0,貝!)人=0；

a

此時(shí)兩集合分別是{。，1,0}，{“,/，可，

貝!|"=1,解得。=1或-1.

當(dāng)。=1時(shí)，不滿足互異性，故舍去；

當(dāng)。=-1時(shí)，滿足題意.

2022

所以a2022+b=(一1)2。22+o2022=1

故答案為：1.

9.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)集合A={(x,y)|x+y=3,xwN*,yeN*},則用列舉法表示集合A為.

【答案】{(1,2),(2,1)}

fx>0

【分析】根據(jù)題意可得二八，則0<x<3,對(duì)x=l,2代入檢驗(yàn)，注意集合的元素為坐標(biāo).

[y=3—芯〉。

\x>0

【詳解】<％+y=3,%cN*,y￡N*,則可得{,則0<%<3

[j；=3-x>0

又則當(dāng)％=l,y=2成立,當(dāng)％=2,y=l成立，

AA={(1,2),(2,1)}

故答案為：{(L2),(2,l)}.

10.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知集合M={(x,y)k+3)2+(y—l)2=0,xeR,yeR],N={-3,1},則McN的元

素個(gè)數(shù)是.

【答案】0

【分析】分析集合“與N中的元素，可知McN=0,進(jìn)而得解.

【詳解】因?yàn)榧?{(尤,丹k+3)2+仃-1)2=0,無(wú)€&好??1={(-3,1)}中的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)，

而N={-3,1}中的元素是實(shí)數(shù)，所以兩個(gè)集合沒有公共元素，即McN=0,

所以McN的元素個(gè)數(shù)為0.

故答案為：0

題型二集合間的基本關(guān)系

多策略方法判斷集合關(guān)系的三種方法

|觀察法|T二二可笨就豪……......：

|甯羌福瀛集石正元翥莫不莽清翼

元素特征固一：合的元素特征，再利用集合元素的特；

:征判斷集合關(guān)系：

數(shù)形結(jié)合法一楷而莪篇最Venn囪：

【典例1】已知集合4=卜卜歸1},B=[x\2x-a<6\,若則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（2,+8）B.[2,+oo）C.（-oo,2）D.（-oo,2]

【分析】先解出集合A?再根據(jù)A《5列不等式直接求解.

【詳解】集合A=卜料<1}=3一1<X<1）,B=卜卜<.

要使AgB,只需1<￡,解得：。>2.故選：A

【典例2】已知全集。=4^8=卜6叫無(wú)2-10尤￡0},Ac@3）={l,3,5,7},則集合2的真子集個(gè)數(shù)為（）

A.63個(gè)B.64個(gè)C.127個(gè)D.128個(gè)

【分析】根據(jù)補(bǔ)集關(guān)系，先得到（Ac（6B））與集合B互補(bǔ)的結(jié)論，再計(jì)算出集合B元素個(gè)數(shù)n,最后根據(jù)集合真子

集個(gè)數(shù)為2"-1個(gè)即可.

【詳解】根據(jù)U=AuB={xeN|x?-10x<0}可得U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},

U=A^B.--（An（^B））nB=0,（4仆向3）3=。，.?.旗Ac（㈤）=3

4c&B）={1,3,5,7};.3={0,2,4,6,8,9,10},故合B的真子集個(gè)數(shù)為27-1=127故選:C

【題型訓(xùn)練】

1.（2023?浙江金華?浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知集合加滿足{2,3}=M={123,4,5},那么這樣的集合M

的個(gè)數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】c

【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系一一列舉出來即可.

【詳解】因?yàn)閧2,3}屋M={1,2,3,4,5},

所以集合M可以為：{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{2,3,5},{1,2,3,5},

{1,2,3,4},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5}共8個(gè)，

故選：C.

2.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第六中學(xué)校?？家荒＃┮阎?=卜，+.2},3={1,.，若3=則實(shí)數(shù)。

的取值集合為（）

A.{-2,-1,0}B.—2<x<ij-

C.{x|-2<x<l}D.{-2,-1,0,1）

【答案】C

【分析】化簡(jiǎn)集合A,根據(jù)BgA,求實(shí)數(shù)。的可能取值，由此可得結(jié)果.

【詳解】集合4={引爐+尤<2}=3-24%W1},

又3={1,°},BcA,

所以-24a<l,故實(shí)數(shù)a的取值集合為

故選：C.

3.（2023?山東濟(jì)南?一模）已知集合,B=[^x>a],若則a的取值范圍為（）

A.a<2B.a>2C.a<0D.a>0

【答案】A

【分析】先根據(jù)定義域求出A={X|XN2},由得到a的取值范圍.

【詳解】由題意得X-220,解得x22,故4={小22},

因?yàn)锳gB,所以〃42.

故選：A

4.（2023?天津河?xùn)|?一模）已知集合4={1,3,/},B={l,a+2},AuB=A,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.{2}B.{-1,2}C.U,2}D.{0,2}

【答案】A

【分析】由題設(shè)知B=討論a+2=3、。+2="求a值，結(jié)合集合的性質(zhì)確定a值即可.

【詳解】由=A知：B^A,

當(dāng)4+2=3,即“=1,貝U/=i,與集合中元素互異性有矛盾，不符合;

當(dāng)a+2=a?,即a=—1或a=2,

若a=-l,則4=1,與集合中元素互異性有矛盾，不符合；

若。=2,則4={1,3,4},B={1,4},滿足要求.

綜上，a=2.

故選：A

5.（2023?江蘇?統(tǒng)考一模）設(shè)=|■，左cz1,A^=jx|x=A:+p^Gzj,則（）

A.MVNB.NUMC.M=ND.MCN=0

【答案】B

【分析】分別分析兩個(gè)集合中的元素所代表的意思即可判斷選項(xiàng).

【詳解】解：因?yàn)閤=%+g=g（2左+1）,因?yàn)樽骵Z,

所以集合N是由所有奇數(shù)的一半組成，

而集合”是由所有整數(shù)的一半組成，故NO，.

故選：B

6.（2023.山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合A={xeZ|-4<x<l）,B=，則的非空子集個(gè)數(shù)為（）

A.7B.8C.15D.16

【答案】A

【分析】根據(jù)交集的運(yùn)算和子集的定義求解.

【詳解】因?yàn)锳={xeZ|-4<x<l}={-3,-2,-l,0},又8=1-2,-1,0,三，

所以A8={-2,-1,0},

所以AC3的元素個(gè)數(shù)為3,其非空子集有7個(gè).

故選:A.

7.（2023?廣西桂林??？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)集合M={（x,y>V=y},N={（尤，刃僅kx},則集合McN的真子集的個(gè)數(shù)

為（）個(gè)

A.3B.4C.7D.15

【答案】A

【分析】通過解方程組，結(jié)合集合交集的定義、真子集個(gè)數(shù)公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】由,二汩;=，或［；［，所以〃N={（0,0）,（1”，

因此集合McN的真子集的個(gè)數(shù)為22-1=3,

故選：A

8.（2022秋?四川?高三四川省岳池中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)集合A={（x,y）|x+y=l},3={（x,y）|x-y=3},則滿足

Ma（AcB）的集合M的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】聯(lián)立方程組確定進(jìn)而確定其子集的個(gè)數(shù).

【詳解】由［+，=：,解得F=2即4/={（2,-1）},

共1個(gè)元素，

又M=（Ac3）,

即加為Ac5的子集，

所以M的個(gè)數(shù)為2個(gè)，

故選：C.

二、填空題

9.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知集合4={-1,1,3},3={&+2,4，B^A,則實(shí)數(shù)a的值是

【答案】1

【分析】根據(jù)B=A,列出元素之間的關(guān)系，即可求解實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】因?yàn)锳={-l,l,3},8={&+2,a},且8=A,

所以&+2eA,a&A,

因?yàn)?+222,a>Q,

所以C+2=3,解得a=l.

當(dāng)4=1時(shí)，8={1,3},滿足要求.

所以“=1.

故答案為：1.

10.（2022.上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合4=卜|尤2+彳-2=。},2={尤麻+1=0},若3勺4,則實(shí)數(shù)a的取值組成的

集合是.

【答案】t1，*}

【分析】先確定集合A中的元素，然后結(jié)合子集的概念，分3=0,5N0兩種情況討論即可得出結(jié)果.

【詳解】集合A={和2+》-2=0}={-2,1},8={無(wú)向+1=0},

當(dāng)3=0,即a=0時(shí)，顯然滿足條件3右4；

當(dāng)8/0時(shí)，即°片0,則8={—1,

因?yàn)锽=A,所以8={-2}或2={1},即一[=-2或一!=1,解得或“=—1,

aa2

綜上，實(shí)數(shù)a的取值組成的集合是卜L0,；}.

故答案為：

11.（2022秋?上海青浦?高三上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎?={-1[},2={尤卬="，若A2=2，則。

的取值集合為

【答案】{-1,0,1）

【分析】由題意可知BuA,分8=0、3/0兩種情況討論，分析出方程6=1的解的情況，綜合可求得實(shí)數(shù)。的

值.

【詳解】因?yàn)锳B=B,則B=

①若。=0,則3=0=A,符合題意；

②若。工0,貝!|B=JXX=L]=A,則，=-1或1=1,解得。=_]或1.

[a]aa

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值集合為{-1,0,1}.

故答案為：{-1,0,1}.

12.（2022秋?上海嘉定?高三?？计谥校┮阎?=卜卜=2工+1},8={x|y=ln（6-x）,尤eZ},集合C=AB,

則集合C的子集的個(gè)數(shù)為.

【答案】16

【分析】分別求出函數(shù)的值域、定義域化簡(jiǎn)集合A,B,再利用交集的定義求出集合C即可作答.

[詳解]集合A={y|y=2"+l}={y|y>"，B=^x|y=ln（6-x）,X6Z}=（x|x<6,xeZ},

則集合C=AI3={2,3,4,5},

所以集合C的子集的個(gè)數(shù)為24=16.

故答案為：16

13.（2022秋?河南安陽(yáng)?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）集合{x|-l<%,3且xeN}的所有非空真子集的個(gè)數(shù)為.

【答案】14

【分析】化簡(jiǎn)集合，然后根據(jù)子集的概念即得.

【詳解】因?yàn)閧x|T<%,3且xeN}={0,l,2,3},

所以該集合的所有非空真子集的個(gè)數(shù)為24-2=14.

故答案為：14.

題型三集合的基本運(yùn)算

畬策略方法集合運(yùn)算三步驟

悒用J滿定集一吾田而另篆友箕稿至施秦祥：如前藪

I元素|一1的定義域、值域，一元二次不等式的解集等

pEWjJ寢福元素滿定山泰祥露歷福最示奉惠，得百元豪

|集合|一[滿足的最簡(jiǎn)條件，將集合清晰地表示出來

]

怛算jj利席交集最笄集而定爻紙群,拓萋前討應(yīng)兩

|求解數(shù)軸或Venn圖來直觀解決

【典例1】已知集合4={#2-5%+6＜。},集合8=卜,=Jlog2(x-1)},則()

A.(1,3]B.(l,+oo)C.[2,+oo)D.[2,3]

【分析】先化簡(jiǎn)集合A、B,再去求AuB即可解決.

【詳解】4={天卜2一5尤+6<。}={尤[2<xW3}

3=曾y=^log2(x-l)|={x\x>2]

則AoB=1x|2<x<3}u|x|x>2j=1x|x>21故選：C

【典例2】已知集合4={*1X2-px-2=0j],B=^x\x2+qx+r=6^,且Au3={-2,1,5},AB={-2},貝i]p+q+r=

A.12B.6C.-14D.-12

【分析】首先根據(jù)集合A與集合8的交集和并集運(yùn)算結(jié)果，確定集合A與集合8中元素，再根據(jù)元素與集合的關(guān)系

求解參數(shù)即可.

【詳解】AiB={-2},.-.-2GA,得(-2)2+2p-2=0,解得。=T.

故4={*|/+尤-2=0}={-2,1}.又因?yàn)锳u3={-2,1,5},所以得3={-2,5}.

14—2q+r=0ft?——3

代入得L2n，解得：in，綜上可得：3-10=-14.故選：c.

[25+5q+r=0[r=-10

【題型訓(xùn)練】

1.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）己知集合4={-1,1,2,4},8={刈尤-1|41},則AB=（

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【分析】方法一：求出集合B后可求AcB.

【詳解】［方法一］:直接法

因?yàn)锽={x|0VxV2},故A3={1,2},故選：B.

［方法二］:【最優(yōu)解】代入排除法

產(chǎn)-1代入集合8=卜|卜-心1},可得2W1,不滿足，排除A、D；

x=4代入集合8=卜卜-10},可得341,不滿足，排除C.

故選：B.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接解不等式，利用交集運(yùn)算求出，是通性通法；

方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗(yàn)證，是該題的最優(yōu)解.

2.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合A={1,2},3={2,4,6},則Au3=（）

A.{2}B.{1,2}C.{2,4,6}D,{1,2,4,6}

【答案】D

【分析】利用并集的定義可得正確的選項(xiàng).

【詳解】AI3={1,2,4,6},

故選：D.

3.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集U={1,2,3,4,5},集合M滿足電加={1,3},則（

A.2wMB.3eMC.4^MD.5^M

【答案】A

【分析】先寫出集合然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可

【詳解】由題知"={2,4,5},對(duì)比選項(xiàng)知，A正確,BCD錯(cuò)誤

故選:A

4.（湖北省宜昌市協(xié)作體2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）已知集合

A=-^——,—1,1,3^,B=x2+x—2<oj,則AB=（）

A.{1}B.{-1,1}C.D-

【答案】C

【分析】解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合B,然后利用交集概念運(yùn)算即可.

【詳解】因?yàn)?={NX2+X-2<0}={x|—2<x<1},

又A=所以4門2=.1-11.

故選：C.

5.(西藏拉薩市2023屆高三一模數(shù)學(xué)(理)試卷)已知集合A={x|y=lnx},B={x\x>-2\,則AB=()

A.[-2,+oo)B.[—2,0)C.(-2,0]D.(0,+e)

【答案】D

【分析】先化簡(jiǎn)集合A,進(jìn)而利用交集定義求得AcB.

【詳解】由題意知人={#>0},又8={小>一2},

所以AB={x\x>()}n^x\x>-2}=(0,+oo).

故選：D.

6.(2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知集合4={1,3,5,7},B={x|-l<x<2,xeN*},則中

的元素個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】應(yīng)用并運(yùn)算求即可得元素個(gè)數(shù).

【詳解】由題設(shè)8={1},所以Au3={l,3,5,7},故其中元素共有4個(gè).

故選：B

7.(2023.北京朝陽(yáng).統(tǒng)考一模)已知集合人卜產(chǎn)到，集合8={小>0},則—()

A.(-co,-2]B.[-2,0)C.[-2,+oo)D.(0,2]

【答案】C

【分析】化簡(jiǎn)A={x|-2WxW2},再由集合并集的運(yùn)算即可得解.

【詳解】由題意4.{x|dw4}={x|-2M=M2},B={x|x>0),

所以AuB={x|—2VxW2}u{x|尤>0}={x\x>—2]=[—2,+??).

故選：C.

8.(2023春?浙江杭州?高二浙江大學(xué)附屬中學(xué)期中)已知集合4={》|1082”<0},8={川卜-1<2},則()

A.(0,1)B.(-1,1)C.(-1,3)D.(一8,3)

【答案】C

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及絕對(duì)值不等式化簡(jiǎn)集合AB,再根據(jù)集合并集的定義求解即可.

【詳解】由log2X<。解得所以A={x|。<尤<1},

由|y—1|<2可得一2<y—l<2,解得T<y<3,所以8={>I-1<y<3},

所以A8=(-1,3),

故選：C

9.(2023春?甘肅張掖?高三高臺(tái)某一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知全集。={1,2,3,4,5,6},A={x|x2-2x-8<0,xeN*),

則①A=()

A.{0,5,6}B.{-2,-1,0,5,6}C.{5,6}D.{1,5,6}

【答案】C

【分析】解不等式求出集合A,再求補(bǔ)集可得答案.

【詳解】因?yàn)锳={x|f-2x-840,xeN*}={x]-2WxV4,xeN*}={l,2,3,4},

所以^A={5,6}.

故選：C.

10.(2023春?湖南?高二瀏陽(yáng)一中校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè)集合A=,忙>4},3={小>4},則AC0RB)=().

A.(2,4]B.[0,2)C.(-8,4]D.(4,+s)

【答案】A

【分析】解不等式，求出A={x|x>2},從而得到補(bǔ)集和交集.

【詳解】?；4={尤|2，>4}={尤|尤>2},

又3={小>4},

:.々3={x|xV4},

An^B=1x|2<x<4^.

故選：A.

11.(2023春?湖南?高二臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中)己知全集U=R,集合A={xeZ|0<歸區(qū)2},3={T,0,1,2,3},

則圖中陰影部分表示的集合為()

A.{-2,0}B.{-2,3}C.{-2,0,2}D.{-2,0,3)

【答案】D

【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.

【詳解】全集為U,集合4={-2,-1,1,2},B={-1,0,1,2,3},4八3={-1』,2},4口3={-2,-1,0』,2,3},圖中陰影部分

表示是AuB去掉的部分，故表示的集合是{-2,0,3}.

故選：D.

12.（2023春?湖南?高一校聯(lián)考期中）設(shè)集合A=,能正確表示圖中陰影部分的集

合是（）

|oQl

A.{-1,0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{2}

【答案】B

【分析】先求得集合A={-2,-l,0},結(jié)合題意及集合的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由題意，集合A=[eZ-3<x<m={-2,-1,0},

根據(jù)圖中陰影部分表示集合8中元素除去集合A中的元素，即為{1,2}.

故選：B.

13.（2023?廣東?統(tǒng)考一模）已知集合”={旬x（x-2）<0},N={x|x-l<0},則下列Venn圖中陰影部分可以表示集

合{x[l<x<2}的是（）

A.B-

c.d-

RR

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)的Venn圖逐一判斷即可.

【詳解】2）<0=>0<X<2,A:—1<0=>X<1,

選項(xiàng)A中Venn圖中陰影部分表示MN=(O,l),不符合題意；

選項(xiàng)B中Venn圖中陰影部分表示孰(MN)=[l,2),符合題意；

選項(xiàng)C中Venn圖中陰影部分表示距(M")=(—,0],不符合題意；

選項(xiàng)D中Venn圖中陰影部分表示MN=(-?),2),不符合題意，

故選：B

14.(2023.貴州?校聯(lián)考二模)已知全集。=1{,集合A={Mkgx<2},5={x|l<x<5},則圖中陰影部分表示的集

A.{x|x45}B.{x[0<x41}C.{x|x<4}D.{x|l<x〈5}

【答案】B

【分析】由題知圖中陰影部分表示的集合為@8)A,A={x|0<x<4},再根據(jù)集合運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：由圖可得，圖中陰影部分表示的集合為(①可A,

因?yàn)閗>g2；/42=log24,所以4={可0<尤44},

因?yàn)?={M<x<5},所以e2=卜?<1或*25},

所以@3)CA={H0<XV1}.

故選:B.

二、填空題

15.(2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模)已知A=B={x|x>l},則AB=

【答案】傅

【分析】解不等式，再求交集.

x(x-l)<0

【詳解】等價(jià)于，解得0<xWl,即A={x[0<x41}.

xw0

則A3={1}.

故答案為：{1}

16.(2023?上海松江?統(tǒng)考二模)己知集合A={1,2,3,4},B=則AB=.

【答案】律

【分析】根據(jù)先解不等式求集合，再應(yīng)用交集的概念進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】因?yàn)锳={1,2,3,4},8={尤[0<x<2},

所以AcB={l}.

故答案為:{1}.

17.(2023?高三課時(shí)練習(xí))設(shè)集合4=卜|而！<0},則.

【答案】{一1,2}

【分析】化簡(jiǎn)集合，然后根據(jù)并集的定義運(yùn)算即得.

【詳解】由題可知4=卜|而}。}={一1},

x2-2=x

由lg(V—2)=lgx,可得3-2>0,解得x=2,

x>0

所以8={2},

所以473={-1,2}.

故答案為：{-1,2}.

18.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)已知集合4={-1,0,1,2},B={xeR||3x-2|<4},則A°B=

-2"

【答案】一32u{-l}

【分析】先求解B集合，再計(jì)算AB.

2「2一

【詳解】B={xeR||3x-2|<4)=U|--<x<2),AuB=--,2u{-l}.

19.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知集合&=卜隧2》<2},則<A=.

【答案】(f,0]U[4,y)

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得集合A,進(jìn)而可得其補(bǔ)集.

【詳解】由A={x|log2X<2},解不等式Iog2%<2=log24,且尤>0,所以0<x<4,

故A=(O,4),\A=y,0]i[4,+w),

故答案為：(f,0]U[4,").

20.(2021秋.上海金山.高三上海某中學(xué)?？计谥?已知集合A={y|y=2無(wú)},全集U=R,則常人=

【答案】（-8,0]

【分析】利用補(bǔ)集運(yùn)算即得.

【詳解】因?yàn)锳={y|y=2"}=（0,+oo）,

所以gA=(-8,0].

故答案為：（-00,。].

21.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知集合4=同行萬(wàn)<2）,8={y|y=2i+3},貝3門口回=.

【答案】口,3]

【分析】分別求出集合A,2,再根據(jù)交并補(bǔ)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】由集合A={x|W<2}解得4={沖<尤<5}=[1,5）,由集合2={"=2i+3}解得B={y|y>3}=（3,+s）,

所以45={y|yW3}=（F,3],所以Ac&3）=[l,3].

故答案為：口，引

22.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知集合4=卜€(wěn)陽(yáng)尤區(qū)2},8=卜|y=e。'」。尤eA},則A6RB=

【答案】{0,2}

【分析】由題意分別求出集合AB,然后求AcaB即可.

【詳解】由4=卜?訓(xùn)乂42}={0,1,2},

8=卜Iy=一）,%€={l,e}

故AM3={0,2},

故答案為:{0,2}.

23.（2022秋.廣東湛江?高三?？茧A段練習(xí)）如圖，已知集合4={—L0,l,2},B={xeN*|l<2"8},則圖中的陰影部

分表示的集合為.

【答案】{-1,0,3}

【分析】解指數(shù)不等式求得集合B,結(jié)合圖象即可求解.

【詳解】因?yàn)?<2*V8,即2°<2工423,解得0<x<3

所以3={1,2,3},AB={-1,0,1,2,3）,A||B={1,2}

所以圖中陰影部分表示的集合為QVB（AC8）={7,0,3}

故答案為：{7,0,3}.

24.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）建黨百年之際，影片《1921》《長(zhǎng)津湖》《革命者》都已陸續(xù)上映，截止2021年10月

底，《長(zhǎng)津湖》票房收入已超56億元，某市文化調(diào)查機(jī)構(gòu)，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨

機(jī)抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，得知其中觀看了《1921》的有51人，觀看了《長(zhǎng)津湖》的有60人，觀看了《革命者》的

有50人，數(shù)據(jù)如圖，則圖中。=；b=；c=.

【分析】根據(jù)韋恩圖，結(jié)合看每部電影的人數(shù)可構(gòu)造方程組求得結(jié)果.

28+〃+Z?+6=51a=9

【詳解】由題意得：(35+4+0+6=60,解得:

<b=8.

26+b+c+6=50c=10

故答案為：9；8；10.

25.（2022秋?陜西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，比賽項(xiàng)目包括田徑、游泳、球類，經(jīng)統(tǒng)計(jì)高一年級(jí)有

57人參加田徑比賽，有11人參加游泳比賽，有62人參加球類比賽.參加球類比賽的同學(xué)中有14人參加田徑比賽，有

4人參加游泳比賽；同時(shí)參加田徑比賽和游泳比賽的有8人；同時(shí)參加三項(xiàng)比賽的有2人.則高一年級(jí)參加比賽的同

學(xué)有.

【答案】106

【分析】設(shè)集合A、3、C分別指參加田徑、游泳、球類比賽的學(xué)生構(gòu)成的集合，作出韋恩圖，確定參加各類比賽

的學(xué)生人數(shù)，即可得解.

【詳解】設(shè)集合A、8、C分別指參加田徑、游泳、球類比賽的學(xué)生構(gòu)成的集合，

由圖可知，高一年級(jí)參加比賽的同學(xué)人數(shù)為46+37+1+12+2+6+2=106.

故答案為：106.

題型四_集合的新定義

畬策略方法解決與集合的新定義有關(guān)問題的一般思路

1.集合的新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數(shù)學(xué)知識(shí)，一般情況下，它所涉及到的知識(shí)和方法

并不難，難在轉(zhuǎn)化。

2.集合的新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計(jì)算公式，新的運(yùn)算法則，新的定理”，要

根據(jù)這些新定義去解決問題，有時(shí)為了有助于理解，還可以用類比的方法進(jìn)行理解。

【典例1】若4=卜11尤-8=卜匚12“，定義AX2={X]

xeA8且xeAIB)()

X

1、31、3

A.{x|--<x<0^1<x<—}B.{x|--<x<0^l<x<—}

C.尤v|D.{x|0<x<l}

【分析】求出AuB和AcB,根據(jù)新定義可得結(jié)論.

113

【詳解】A={x\-l<x--<l}={x\--<x<^],B={x\0<x<l]9

13]

A<JB={X\——<x<—>,AB={x|0<x^l},

22J

13

所以Ax3={x|-5<％<0或.故選：B.

【題型訓(xùn)練】

1.(2023春?四川內(nèi)江?高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)集合的全集為U,定義一種運(yùn)算

MN={H%￡Mc(dN)},若全集U=R,M={%[W<2},N={%|-3<%<1},則AfN=()

A.{%|-2<x<l}B.{x|l<x<2}

C.{x|l<x<2}D.{x|-2<x<l}

【答案】c

【分析】解不等式求得集合M,求得樂N,根據(jù)集合運(yùn)算新定義，即可求得答案.

【詳解】由題意得加={小區(qū)2}=3-24無(wú)42},4N={x|x4-3或x21},

貝1|MN={x|lWxW2},

故選：C

2.（2023春?湖南長(zhǎng)沙?高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）若一個(gè)〃位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的"次方和等于這個(gè)

數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù)，已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合A,集合3={xeZ|-3Vx<4},則真

子集個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合集合交集的定義、真子集個(gè)數(shù)公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】由題中定義可知人={1,2,3,4,5,6,7,8,9},而3={xeZ卜3Vx<4},

所以A5={1,2,3},因此AC3真子集個(gè)數(shù)為23-1=7,

故選：C

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）定義=集合A={x|無(wú)？一44。},B={x\-3<x<6\,則8—A=

（）

A.{x|2<x<6）B.{x|-3<x<-2}

C.{x|-3<x<-2^2<x<6}D.{%|-34％<-2或2Vx〈6}

【答案】D

【分析】求出集合A中元素范圍，再根據(jù)A的定義求解即可.

【詳解】A=[x\x1-4<0]={x\-2<x<2},

由已知A={xIxeeA}表示除去集合B中那些在集合A中的元素之后構(gòu)成的集合，

B-A={x|-3?%<-2或2Vxv6}.

故選：D.

4.（2023?全國(guó)?本溪高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于集合A,B,定義集合A-3={x|xeA且X任耳，已知集合

U={x|-3<x<7,xeZ},E={-1,0,2,4,6},F={0,3,4,5},則①出一/）=（）

A.{-2,0,1,3,4,5}B.{0,1,3,4,5}C.{-1,2,6}D.{-2,0,1,3,4}

【答案】A

【分析】結(jié)合新定義可知E-尸={-1,2,6},求得U,進(jìn)而根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.

【詳解】結(jié)合新定義可知E—尸={一1,2,6},又。={-2,-1,0,123,4,5,6},

所以6（￡_尸）={_2,0,1,3,4,5}.

故選：A

5.（2023?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于集合定義4-3={尤且彳住用.若A={x|尤=2k+1,左eN},

3={x|尤=34+1,左eN},將集合A—8中的元素從小到大排列得到數(shù)列{%},則%+/=（）

A.55B.76C.110D.113

【答案】C

【分析】根據(jù)集合的特征列出集合A與B的前若干項(xiàng)，找出集合A-3中元素的特征，進(jìn)而即可求解.

【詳解】因?yàn)?={1,3,5,7,9,11,.},3={1,4,7,10,13,16,19,22,25,},

所以={3,5,9,11,15,},所以%=21.A—3相當(dāng)于集合A中除去X=67L5（〃WN*）形式的數(shù)，其前45項(xiàng)包含

了15個(gè)這樣的數(shù)，所以，=89.

貝!|%+%）=110,

故選：C.

6.（2023?北京?中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知集合A