2023-2024學(xué)年山東省棗莊市滕州市鮑溝中學(xué)八年級(jí)（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省棗莊市滕州市鮑溝中學(xué)八年級(jí)（上）開學(xué)

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.V-9B.C.y/~5D.y/~T2

2.下列各數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.1、2、y/~5B.2、3、4C.3、4,5D.4、5、6

3.在宗3.1415、遮、0.121221222...、眄0.2、一,、遮、，■方中，無理數(shù)的

個(gè)數(shù)是（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

4.2、5、m是某三角形三邊的長(zhǎng)，則—3|+J（加一7）2等于（）

A.2.7X1-10B.10—2mC.10D.4

5.若式子，釬f在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則》的取值范圍是（）

A.%<1B.%>1C.x<1D.%>1

6.下列計(jì)算正確的是（）

A.4V-3—3A/-3-IB.y/~2+V~~3=V-5C.J（—2）2=2D.3+2A/-2-5A/-2

7.如圖在一個(gè)高為3米，長(zhǎng)為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯至少需要（）

A.3米B.4米C.5米D.7米

8.比較下列各組數(shù)的大小，錯(cuò)誤的是（）

A.B.0.5c.>1.5D.AT50>7

9.若y-八一2022=V2022-％-2023,則（％+丁>哭?的結(jié)果是（）

A.1B.0C.-1D.2023

10.海倫一秦九韶公式古希臘幾何學(xué)家海倫和我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的

三邊求面積的公式，稱為海倫一秦九韶公式：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、氏c,記

p=a+：+c,那么三角形的面積為：5=yjp（p—a）（p—b）（p—c）＞在△ABC中，乙4,NB,Z.C

所對(duì)的邊分別是a、b、c,若a=5、b=8、c=7,則4ABC的面積5為（）

A.10OB.30C.6口D.45

11.在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，甲同學(xué)用四個(gè)相同的直角三角形（直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c）

構(gòu)成如圖所示的正方形；乙同學(xué)用邊長(zhǎng)分別為a,b的兩個(gè)正方形和長(zhǎng)為b,寬為a的兩個(gè)長(zhǎng)方

形構(gòu)成如圖所示的正方形，甲、乙兩位同學(xué)給出的構(gòu)圖方案，可以證明勾股定理的是（）

D.甲，乙都不可以

12.已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3和4,則此三角形的周長(zhǎng)為（）

A.12B.7+CC.12或7+CD.14

二、填空題（本大題共6小題，共18.（）分）

13.若％=2，？一1，則代數(shù)式產(chǎn)+2%-3的值是

14.長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm,寬為10cm,高為20sn,前B離點(diǎn)、C5cm,一只螞

蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)4爬到點(diǎn)B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短

距離是.

15.如圖，在RtAABC中，44cB=90。，將△ABC沿。E翻折，使

點(diǎn)4與點(diǎn)B重合.若BC=5,AB=13,貝IJBD的長(zhǎng)為

16.若尤=/弓+1，y=\/~5—1，則x2+2xy+y2的值為

17.對(duì)于任意正數(shù)a,b,定義運(yùn)算"/如下:

(a>b)

a*b=計(jì)算(9*8)+(16*18)結(jié)果為

-yj~a,(a<b)

18.已知如圖：小正方形邊長(zhǎng)為1,連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得△ABC,

則△ABC的周長(zhǎng)為.

三、解答題(本大題共6小題，共48.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

19.(本小題8.0分)

計(jì)算：

(1)(<5-I)2+<75+

(2)(0-<27+(1)-2+|1-<3|.

20.(本小題8.0分)

已知7a+1的立方根是：，8a+b—2的平方根是±2.

(1)求a,b的值.

(2)求-8a+3b+3的平方根.

21.(本小題8.0分)

閱讀下面計(jì)算過程：

上-=孕小二)=d

。+1(\T2+1)(XT7-1)

口+亂——YD-V乙；

]__/_r_2

7^+2~~(XT5+2)(XT5-2)-V

請(qǐng)解決下列問題：

⑴化簡(jiǎn):W——；

(2)根據(jù)上面的規(guī)律，請(qǐng)直接寫出y“+；+,n=；

(3)利用上面的解法，請(qǐng)化簡(jiǎn):1^+7^7=3+^n+-"+77525TTM

22.(本小題8.0分)

如圖，一架梯子AB長(zhǎng)10米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻6米.

（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？

（2）如果梯子的頂端下滑了2米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了多少米?

23.（本小題8.0分）

如圖，某工廠一C前面有一條筆直的公路AB,原來有兩條路4C,BC可以從工廠P到達(dá)公路，經(jīng)

測(cè)量AC=6km,BC=8km,AB=10km,現(xiàn)需要修建一條路，使工廠C到公路的路程最短.請(qǐng)

你用尺規(guī)作圖畫出最短路徑（不寫畫法，保留作圖痕跡），并求出新建路的長(zhǎng).

24.（本小題8.0分）

學(xué)過肉股定理》后，某班興趣小組來到操場(chǎng)上測(cè)量旗桿AB的高度，得到如下信息：

①測(cè)得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長(zhǎng)2米（如圖1）：

②當(dāng)將繩子拉直時(shí)，測(cè)得此時(shí)拉繩子另一端的手到地面的距離CO為2米，到旗桿的距離CE為

10米（如圖2）.

根據(jù)以上信息，求旗桿的高度.

圖I圖2

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4、＜9=3,被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意;

B、=被開方數(shù)中含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；

C、，石是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；

D、＜12=＜15^3=2＜3,被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意：

故選：C.

根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念判斷即可.

本題考查的是最簡(jiǎn)二次根式的概念，被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因

式的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.

2.【答案】C

【解析】解：4、1、2、不都是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、22+32*42,則2、3、4不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、32+42=52,則3、4、5是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；

D、42+52^62,則4、5、6不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊

的平方.

此題考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿足a?+b2=c2,

則三角形ABC是直角三角形.

3.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意可得：強(qiáng)=2,廳=4,

???無理數(shù)有:0.121221222......,V9，-n,遮、＜27.共5個(gè)，

故選：D.

先將能化簡(jiǎn)的數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)無理數(shù)的定義逐個(gè)進(jìn)行判斷即.

本題主要考查了無理數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，常見的無理數(shù)有：

開不盡方的數(shù)，含兀的數(shù)，有規(guī)律但是不循環(huán)的數(shù).

4.【答案】D

【解析】解：：亍、5、小是某三角形三邊的長(zhǎng)，

?115—2<m<5+2,

故3<m<7,

二原式=m—3+7-m

=4.

故選：D.

直接利用三角形三邊關(guān)系得出m的取值范圍，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案.

此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及二次根式的化簡(jiǎn)，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵.

5.【答案】D

【解析】解：式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，貝卜-120,

解得：x>1.

故選：D.

直接利用二次根式的有意義，被開方數(shù)不小于0,進(jìn)而得出答案.

此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵.

6【答案】C

【解析】解：A.4C-3C=C，故此選項(xiàng)不合題意；

B./N+C無法計(jì)算，故此選項(xiàng)不合題意：

C.J（-21=2,故此選項(xiàng)符合題意；

D3+2，2無法計(jì)算，故此選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

直接利用二次根式的加減運(yùn)算法則以及二次根式的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案.

此題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算以及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題

關(guān)鍵.

7.【答案】D

【解析】解：由勾股定理得：

樓梯的水平寬度=V52-32=4（米），

???地毯鋪滿樓梯的長(zhǎng)度應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，

地毯的長(zhǎng)度至少是3+4=7（米）.

故選：D.

當(dāng)?shù)靥轰仢M樓梯時(shí)的長(zhǎng)度是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據(jù)勾股定理求得水平寬度，即可

求得地毯的長(zhǎng)度.

此題考查了生活中的平移現(xiàn)象以及勾股定理，屬于基礎(chǔ)題，利用勾股定理求出水平邊的長(zhǎng)度是解

答本題的關(guān)鍵.

8.【答案】B

【解析】解：4、???(C)z=8，(<T0)2=10,

8<10,

故A不符合題意；

B.,-,4<5<9,

???2<V~~5<3，

1<AT5-1<2.

二冉>工

22

.?.^=^>0.5-

故8符合題意；

C>v4<5<9,

:.2<V_5<3，

3<V-5+1<4.

.??>z,

22

C+l、.u

故c不符合題意；

D、7(/3o)2-50.72=49,

50>49,

>/-50>7.

故。不符合題意；

故選:B.

利用平方法，以及估算無理數(shù)的大小，即可解答.

本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，估算無理數(shù)的大小，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】C

［解析】解：???y-Vx-2022=V2002-x-2023-

x—2022之0,2022—xN0,

???x=2022,

???y——2023,

(x+y)2°23=(2022-2023)2023=(-1)2?23=-1.

故選：C.

先根據(jù)二次根式有意義求出x和y的值，再計(jì)算即可.

此題考查了二次根式的有意義的條件，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

10.【答案】C

【解析】解：:p=歿上，

a+b+c5+6+7八

??.p=^-=^=9,

S=79x(9-5)X(9-6)X(9-7)=6門,

故選：C.

根據(jù)公式算出p的值，代入公式即可求出解

本題主要考查代入求值能力，考查了二次根式化簡(jiǎn)的知識(shí).

11.【答案】A

【解析】解：甲同學(xué)的的方案：

???大正方形的面積=小正方形的面積+直角三角形的面積x4,

(a+b)2=c2+|a6x4.

???a2+b2+2ab=c2+2ab,

a2+b2=c2,

因此甲同學(xué)的的方案可以證明勾股定理；

乙同學(xué)的的方案：

???大正方形的面積=矩形的面積x2+兩個(gè)小正方形的面積，

(a+b)2=a2+-2ab+b2,

得不到a2+b2=c2,

因此乙同學(xué)的的方案不可以證明勾股定理.

故選:A.

由圖形中的面積關(guān)系，應(yīng)用完全平方公式即可解決問題.

本題考查勾股定理的證明，關(guān)鍵是應(yīng)用面積法，完全平方公式.

12.【答案】C

【解析】解：設(shè)RtAABC的第三邊長(zhǎng)為X,

①當(dāng)4為直角三角形的直角邊時(shí)，x為斜邊，

由勾股定理得，x=732+42=5,此時(shí)這個(gè)三角形的周長(zhǎng)=3+4+5=12；

②當(dāng)4為直角三角形的斜邊時(shí)，x為直角邊，

由勾股定理得，x=742-32=此時(shí)這個(gè)三角形的周長(zhǎng)3+4+「=7+17,

故選：C.

先設(shè)取△ABC的第三邊長(zhǎng)為x,由于4是直角邊還是斜邊不能確定，故應(yīng)分4是斜邊或x為斜邊兩種

情況討論.

本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，解答此題時(shí)要注意分類討論，不要漏解.

13.【答案】8

【解析,】解：：x=2A/-3—1>

x+1=2A/-3，

x2+2%—3=(x+I)2—4=(2V-3)2—4=12—4=8.

故答案為：8.

先利用已知條件得x+l=2-，將所求代數(shù)式配方，然后利用整體代入的方法計(jì)算.

本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值.

14.【答案】25cm

【解析】解；把左側(cè)面展開到水平面上，連接4B,如圖1,

J(10+20)2+52=V925=5O7(cm)

把右側(cè)面展開到正面上，連接4B,如圖2,

IOC5B

AB=J202+(10+5)2=25(cm);

把向上的面展開到正面上，連接4B,如圖3,

B

I5

/20

A10

圖3

AB=J102+(20+5)2=<725=5V-29(cm).

?:V925>V725>25

所以一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)4爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離為25cm.

故答案為：25cm.

分三種情況討論：把左側(cè)面展開到水平面上，連接2B,如圖1；把右側(cè)面展開到正面上，連接4B,

如圖2；把向上的面展開到正面上，連接4B,如圖3,然后利用勾股定理分別計(jì)算各情況下的4B,

再進(jìn)行大小比較.

本題考查了平面展開-最短路徑問題：先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之

間的最短路徑.一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短.在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題.

15.【答案】粵

24

【解析】解：,??將沿DE翻折，使點(diǎn)4與點(diǎn)8重合，

AD=BD,

???乙4cB=90。，BC=5,AB=13,

???AC=VAB2-BC2=12,

：?CD=12-AD=12-BD,

VBD2=CD2+BC2,

：.BD2=(12-FD)2+52,

解得8。=琛，

24

故答案為：罷.

根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AC=BD,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

本題考查了翻折變換(折疊問題)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

16.【答案】20

【解析】解：x=+1，y=V-5—1>

■■x+y=2A/-5，

???x2+2xy+y2=(x+y)2=(ZA/-^)2=20.

故答案為20.

先計(jì)算出％+y的值，再利用完全平方公式得到/+2xy+y2=(x+y)2,然后利用整體代入的方

法計(jì)算.

本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值.二次根式運(yùn)

算的最后，注意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干

擾.注意整體代入方法的運(yùn)用.

17.【答案】-1

【解析】解：(9*8)+(16*18)

=9—8+V18-V16

=3-2/7+3/7-4

=A/-2-1.

故答案為：V^-I.

根據(jù)題目已知的定義運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可.

本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，理解題目已知的定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】

【解析】解：由勾股定理得：AB=V22+I2=5>AC=V22+I2=，石，BC=VI2+I2=

<7.

???△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=\r5+>r5+yn.=2n+

故答案為：

由勾股定理求出AB、AC以及BC的長(zhǎng)，即可解決問題.

本題考查了勾股定理以及三角形周長(zhǎng)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】解：(1)原式=5—2C+1+>/15+3

=6-27-5+V-5

=6一建;

(2)原式=2-3V~3+4+43-1

=5-2y/~3.

【解析】(1)先根據(jù)完全平方公式和二次根式的除法法則運(yùn)算，然后合并即可；

(2)先利用二次根式的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)募和絕對(duì)值的意義計(jì)算，然后合并即可.

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則、除法法則和

負(fù)整數(shù)指數(shù)累的意義是解決問題的關(guān)鍵.

20.【答案】解：(1)?.?7a+l的立方根是8a+b-2的平方根是±2.

二7a+1=《；8a+b-2=4,

o

解得：a=_g,b=7；

(2)當(dāng)a=-4，b=7時(shí)，

o

—8a+3b+3=-8x(——)+3x7+3=25.

則25的平方根是±5.

-8a+3b+3的平方根是±5.

【解析】(1)根據(jù)平方根立方根的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可.

(2)將a、b代入代數(shù)式計(jì)算數(shù)值后再求它的平方根即可.

本題考查了平方根立方根的性質(zhì)，正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù).

21.【答案】2—3Vn+1—y/~ii

【解析】解：。)露

2-7~3

-(2+x(2->T3)

2-/3

4—3

=2—V—3,

故答案為：2—

(2)由題意得：=Vn+1-V~n,

故答案為：Vn+1-V-n；

1111

1。+C0+0V2022+V2023

=「-1+門-<7+「-「+???+V2023-V2022

=V2023-1.

(1)利用分母有理化的法則進(jìn)行運(yùn)算即可；

(2)分析所給的式子的形式，從而可求解；

(3)利用(2)的規(guī)律進(jìn)行求解即可.

本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握.

22.【答案】解：(1)根據(jù)勾股定理：

所以梯子距離地面的高度為：AO=V