2023-2024學(xué)年河北省邯鄲市雞澤縣高一年級下冊第一次月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年河北省邯鄲市雞澤縣高一下冊第一次月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.給出下列物理量：①密度：②溫度；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.正確的是（）

A.①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量B.②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量

C.①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量D.①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量

【正確答案】D

【分析】根據(jù)向量的定義即可判斷.

【詳解】密度、溫度、質(zhì)量、功只有大小，沒有方向，是數(shù)量；

速度、位移既有大小又有方向，是向量.

故選：D.

【正確答案】D

根據(jù)棱臺定義，上下底面平行且相似，側(cè)棱延長交一點(diǎn)，逐項判斷，即可得出結(jié)論.

【詳解】4,C都不是由棱錐截成的不符合棱臺的定義故選項A,C不滿足題意；

8中的截面不平行于底面，不符合棱臺的定義，故選項B不滿足題意；

。符合棱臺的定義.

故選:O.

本題考查棱臺的判斷，注意棱臺與棱錐的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

3.下列命題中正確的是（）

A.若；；、了都是單位向量，則a=b

B.若AB=DC，則A、B、C、。四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形

c.若力0且浮。町〃最

D.AB與朋是兩平行向量

【正確答案】D

【分析】按照向量的概念及共線向量依次判斷四個選項即可.

【詳解】選項A中單位向量方向可以不同，故“=6不一定成立；選項B中A、B、C、￡）四

點(diǎn)可能共線，不能組成四邊形；

選項C中當(dāng)人=0時，：、:為任意向量；選項D正確，相反向量是一對平行向量.

故選：D.

4.等腰直角三角形的直角邊長為1,現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何

體的表面積為（）

A.y/2nB.血?；颍?+>/5）兀

C.2及兀D.2〃?；颍?+近）兀

【正確答案】B

【分析】分2種情況，一種是繞直角邊，一種是繞斜邊，分別求形成幾何體的表面積.

【詳解】如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，形成圓錐，圓錐底面半徑為r=l,高為〃=1,

母線就是直角三角形的斜邊/=戶彳=正，

故所形成的幾何體的表面積S="/+"2=7rxlxa+7txl2=（1+0）兀；

如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)，形成的是上下兩個圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高R=變，

2

兩個圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，即母線長是乙=1,

故所形成的幾何體的表面積S=2nRL=2TTX—xl=07t,

2

綜上所述，所形成幾何體的表面積是&?；颍?+a）兀.

故選：B.

5.在平行四邊形488中，E為BC的中點(diǎn)，記AE=n，DE=b，AC=（）

【正確答案】c

【分析】以AB、AO為基底表示AE、￡>E，從而解出A8、AD，即可求得AC.

【詳解】AE^AB+BE^AB+-AD=a,DE=DC+CEAH--AD=b,

22

兩式聯(lián)立得，AD=a-b，AB=*,

2

1O1

所以AC=AO+A8=a-6+—（<7+b）=」a——b.

2、122

故選：C.

6.一平面四邊形048c的直觀圖040C如圖所示，其中OC_L乂軸，AB_L犬軸，B'C'//y'

軸，則四邊形0A8C的面積為（）

A.辿B.3應(yīng)C.3D.-

22

【正確答案】B

【分析】結(jié)合圖形可得A'?=2,則可得四邊形A'QC'O'面積，后可得四邊形04BC的面積.

【詳解】設(shè)丫,軸與AF交點(diǎn)為。，因洋CJLV軸,ASLf軸，則0V〃AB',又洋C〃y'

軸，則四邊形OZ>*C'為平行四邊形，故￡>夕=OC=l.XZxW=45°,結(jié)合48UV

軸，則D4'=CM'=1,故45=2.

13

則四邊形A'ffC'ty面積為］X（l+2）xl=2,因四邊形A'B'C'C/面積是四邊形OABC的面積的

@倍，則四邊形0A8C的面積為3&.

7.平面向量0與b相互垂直，已知a=(6,-8),忖=5,且b與向量(1,0)的夾角是鈍角，則

h=()

A.(-3T)B.(4,3)C.(-4,3)D.?—3)

【正確答案】D

【分析】先設(shè)出向量6的坐標(biāo)，利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示及模的運(yùn)算，向量夾角的定義

求解即可.

【詳解】設(shè)6=*,y)

a±a"/?=0,6x-8y=0,①，

W=Jw+y：=5,②，

。與向量(1，0)夾角為鈍角，.1xcO，③，

fx=~4

由①②?解得「..-./?=(-4,-3),

[)，=-3

故選：D.

8.在中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且nsinA-csinC=(b-Gc)sinB.若

。是BC邊的中點(diǎn)，且4)=4,則/RC面積的最大值為()

A.16B.32-16后

C.64百D.32+166

【正確答案】B

【分析】首先根據(jù)題意利用余弦定理得到A=F，根據(jù)。是邊BC的中點(diǎn)得到

O

AD=\AB+\AC,從而得到16=匕2+1從+且機(jī).，再利用基本不等式求解即可.

22444

【詳解】因?yàn)閍sinA-csinC=（Z?-百c）sin3,由正弦定理得/-c?=/一6人。，

所以力2+/_。2=有be,cosA="———=—,

2bc2

TT

因?yàn)?cA<兀，所以4=工.

6

112l21.1.2

因?yàn)?。是?C的中點(diǎn)，所以AO=-43+-AC,AD=-AB+-ABAC+-AC.

22424

因?yàn)锳￡）=4,ZA=2,所以16=』/+1/+—bc>—bc+—bc=^+^'be,

6444244

所以機(jī)W64（2-G）,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，等號成立.

所以$A48c=（歷sinA416x（2—G）=32-16月，即面積最大為32-16石?

故選：B

二、多選題

9.如圖，在菱形ABC。中，ZBAD=l20°,則以下說法正確的是（）

A.與AB相等的向量（不含AB）只有一個

B.與AB的模相等的向量（不含AB）有9個

C.8。的模是。A的模的石倍

D.CB與D4不共線

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)向量及相等向量的概念，以及向量模的概念，逐項判定，即可求解.

【詳解】因?yàn)锳B=DC，所以與AB相等的向量只有OC，所以A正確；

與向量AB的模相等的向量有：DA,DC,AC,CB,AD.CD,CA,BC,BA,所以B正確;

在直角△AOD中，因?yàn)镹AOP=30,所以|OO卜乎阿，所以向卜網(wǎng)網(wǎng)，

所以C正確；

因?yàn)镃8=D4，所以CB與￡）4是共線向量，所以D不正確.

故選：ABC.

10.（多選）下面關(guān)于空間幾何體的敘述正確的是（）

A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐

B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形

C.長方體是直平行六面體

D.存在每個面都是直角三角形的四面體

【正確答案】CD

【分析】通過對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析可以判斷ACD選項，對軸截面理解判斷B選項.

【詳解】對于A:底面是正多邊形，當(dāng)頂點(diǎn)在底面的投影是正多邊形的中心才是正棱錐，其他

情況不是正棱錐，A錯誤；

對于B:當(dāng)平面與圓柱的母線平行或者垂直時，截得的截面才是矩形或圓，否則為橢圓或橢

圓的一部分，B錯誤；

對于C:長方體的側(cè)棱垂直于底面，各個側(cè)面都是平行四邊形，所以長方體是直平行六面體,

C正確；

對于D:正方體48CO-A4Gp中的三棱錐G-ABC,四個面都是直角三角形,D正確.

故選：CD.

11.已知平面向量。=（-2,1）,人=（4,2）,c=（2,r）,則下列說法正確的是（）

A.若3//Z,則f=-lB.若/?_Lc,則/=~4

C.若r=l,則向量a在c上的投影向量為|cD.若則向量b與c的夾角為銳角

【正確答案】AB

【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算即數(shù)量積公式可得AB正確；根據(jù)投影向量定義可得向量a在c上

3

的投影向量為-gc,即C錯誤；由可得dc>0,但此時向量〃與c的夾角可以為零角

并非銳角，可得D錯誤.

【詳解】若“/無，根據(jù)平面向量共線性質(zhì)可得一=±，即r=-l,所以A正確；

1t

若6_Lc,可得6"c=0,即4x2+2,=0,解得f=—4,所以B正確；

ci?c—44-13

若f=l,c=（2,l）,由投影向量定義可知向量〃在c上的投影向量為『。二球彳。：-]。，

即C錯誤；

若則b.c=4x2+2/>0,所以8s8Q=箭

但當(dāng)r=l時，cos9，c）=l，9，c）=0,即此時向量8與0的夾角為零角，所以D錯誤.

故選：AB

12.在工45c中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,J.tanA+tanB,則下

acosB

列結(jié)論正確的是（）

A.A=-

6

B.若。=2,則該三角形周長的最大值為6

C.若,ABC的面積為2,a",c邊上的高分別為",4,％,且九質(zhì)為斗，則產(chǎn)的最大值為24G

D.設(shè)=且4）=1,貝l]b+2c?的最小值為電

2b+c7

【正確答案】BCD

【分析】A選項，利用正弦定理和三角恒等變換得到,訪0=13即0,從而得到

cosAcosBsinAcosB

tanA=6,求出A=1,A正確；B選項，由余弦定理結(jié)合基本不等式求出周長的最值；C

選項，利用三角形面積公式，得到兒=巡，4"4=里=迪，利用余弦定理及基本不

3-abca

等式求出/士疲，從而求出r=萼4246，C正確；D選項，7T變形為

AD=^-AB+-^—AC,兩邊平方后得到。+2=77,再利用基本不等式“1”的妙用求出

最值.

【詳解】A選項，tanA+tanB=衛(wèi)二，由正弦定理可得：也&+包g=百必￡,

4cos3cosAcosBsinAcosB

__sinAsinBsinAcosB+cosAsinBsin(A+8)sinC

ifn?===

cosAcos3cosAcosBcosAcosBcosAcosB

故sinC_73sinC

cosAcosBsinAcosB

因?yàn)?<C<兀且cos5位于分母位置，故sinC工。,cos3w。，

所以tanA=6,

又0vAv兀,

所以A=?故A錯誤；

B選項，由A選項知：A=W，由余弦定理得:

b+c

a2=4=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc>(b+c)2-3

所以（匕+。）2416,Z?+c<4,當(dāng)且僅當(dāng)〃二c時等號成立,

此時a+Z?+c46,所以周長的最大值為6,故B正確；

C選項，結(jié)合三角形面積公式得;她=2,；力〃2=2,；d%=2,

44464

則4=一,"=7，4,

a~bc~abc

又因?yàn)镾△郁c=^bcsinA=^bc--==2,所以Z?c=^^,

結(jié)合余弦定理得/=/+/一歷22機(jī)■-秘=當(dāng)叵，當(dāng)且僅當(dāng)6=c時等號成立,

3

所以/?也為=9='8,所以產(chǎn)=粵424公，

~abcaci

所以『的最大值為246，故C正確;

對于D選項，因?yàn)?。=—^BC,gpAD-AB=—^(AC-AB

2b+c2Z?+c'

2bc

AD=——AB+—^—AC,

c+2bc+2b

4/721.2M/72A/)2J1

兩邊平方并化簡得IA。|2=1=2+2+2X

(C+2〃)2(c+2勿2(c+2322

即(c+2Z?)2=7/?-2,c+2Z?=\[lbcy7+—=5/7,

bc

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號，所以h+2c的最小值為蛀，故D正確.

7

故選：BCD.

方法點(diǎn)睛：解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有

關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，

常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；

②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，

或其他的限制，通常采用這種方法；

③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值

三、填空題

13.已知△ABC的平面直觀圖是邊長為。的正三角形，那么原AA8C的面積為

［正確答案］亞/##遜

22

【分析】根據(jù)原圖和直觀圖的關(guān)系求得原圖的面積.

【詳解】直觀圖如下圖所示，A'UC是邊長為。的正三角形，0'是8c的中點(diǎn),

A'O'1B'C',過A'作A'D〃8'C',交。軸于W,

由于Nx'O'y'=45。，所以△?DO是等腰直角三角形，

所以O(shè)'C=-,O'A'=A'D'=—a,O'D'=—a.

原圖如下圖所示，則三角形ABC的高等于0。=2O'D'=瓜a,

所以三角形A8C的面積為=邁片

22

故等

14.己知向量”，b滿足卜|=血，忖=3,且“，8的夾角為45。，貝!jRa-4=

【正確答案】不

【分析】=，結(jié)合數(shù)量積的公式代入數(shù)據(jù)計算即可.

【詳解】因?yàn)橄蛄俊埃?。滿足卜卜血,什=3,且。,匕的夾角為45。,

所以12a-W=J（2a-b）=^48-4x0x3x等+9=忖

a-4。為+/7

故非

15.在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E滿足OE=—2無，且。是邊AB中點(diǎn)，若AE交。。于點(diǎn)

M.S.AM=AAB+juAD,貝必+〃=

【正確答案】|

uuiruuinuuimuuu/inmuuir、uum7llLUH4"3uun7uun

【分析】由已知可得AW=AD+OM=4O+OE+EM=A￡）+-￡>C+—E4=-AO+-AB

\f3777

可得答案.

【詳解】在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E滿足。七=_2及，且。邊A8中點(diǎn),

DEEM4uuir4ULr

所以E是邊OC離近C的三等分點(diǎn)，可得會=蕓=?,EM』A,

AOMA37

liuirUllBlLlllLIlUllD/UUIUUUIT\

所以AM=AQ+DW=AO+（DE+EM）

uu?7uuur4uir

=AD+-DC+-EA

37

uum7Ulffl4uunuuw7ULB4/UUUI皿叫

=AO+—A3——AE=AD+-AB——AD+DE

3737V/

3uun2uun

——A。+—A3又4M=2.AB+juAD,

所以

故答案為q

O

AB

M

16.已知圓錐的頂點(diǎn)為A,過母線AB,AC的截面面積是2石.若AB,AC的夾角是60,且

AC與圓錐底面所成的角是30,則該圓錐的表面積為.

【正確答案】(6+4石卜

【分析】畫出圓錐幾何體，數(shù)形結(jié)合可知二ABC是等邊三角形，求出AC,再由直角AOC求

出圓錐底面半徑，最后用圓錐的表面積公式即可解得結(jié)果.

【詳解】如圖所示，A8,AC的夾角是60,AB=AC,:.ABC是等邊三角形，

:.-XAC2=2-J3,解得AC=2夜.

4

AC與圓錐底面所成的角是30°,

.二圓錐底面半徑r=OC=ACeos30=2\[2x^-=瓜.

2

則該圓錐的表面積=^x(#)2+Lx2〃xnx2&=(6+4G);r.

2

故答案為.(6+46卜

四、解答題

17.在底面半徑為2母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為百的圓柱，求圓柱的表面積.

【正確答案】（2+2⑹兀

【分析】由已知中底面半徑為2,母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為6的圓柱，可計算出

圓柱的底面半徑，代入圓柱表面積公式，即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為R,圓柱的底面半徑為，表面積為S,

底面半徑為2母線長為4的圓錐的高為=26，

則圓柱的上底面為中截面，可得廠=1,

25底=2兀，S側(cè)=2y/in,

.?.5=（2+26）兀.

本題考查的知識點(diǎn)是圓柱的表面積，其中根據(jù)已知條件，求出圓柱的底面半徑，是解答本題

的關(guān)鍵.

18.（1）已知G，e?是兩個不共線的向量，向量a=q+2e2，b=3e「5e],求4“-3A（用

e2表示）.

（2）設(shè)a,b是不共線的兩個非零向量.若8a+筋與+2b共線，求實(shí)數(shù)&的值.

【正確答案】（1）一5q+23e2；（2）*=±4.

【分析】（1）由平面向量的線性運(yùn)算求解即可；

（2）由平面向量的共線定理求解即可

【詳解】（1）Va=e,+2e2,1=3g-5（，

4a—3b=4（e1+2e,）—3（3q—5e,）=—5q+23e,；

（2）由“，人不共線可知h,+2）為非零向量，而8a+妨與版+2。共線，

所以存在唯一實(shí)數(shù)4,使得8a+妨=2（垢+25）=癡+2肪，

因?yàn)椤?，人不共線,

8=成

所以

k=22’

解得k=+4

19.如圖所示，底面半徑為1,高為1的圓柱。?中有一內(nèi)接長方體ABGA-ABCO,設(shè)

矩形ABCD的面積為S,長方體A8CQ-4BC。的體積為匕AB=x,

（I）將S表示為x的函數(shù);

（2）求V的最大值.

【正確答案】（l）S=xH而（0<x<2）；

(2)2.

【分析】（1）連接AC,求出BC=F巨，即得解；

（2）求出丫的解析式，再利用二次函數(shù)圖象性質(zhì)求解.

【詳解】（1）連接AC,因?yàn)榫匦蜛BCO內(nèi)接于。0,

所以AC為。。的直徑.

因?yàn)锳C=2,AB=x,

所以3C=j4-x2,

所以S=AABC=X，4-X2（0<：X<2），

(2)因?yàn)殚L方體的高AA=1,

所以V—S-A4,=x14_x2=yjx"(4_=J_(*2_2)+4,

因?yàn)?<x<2,所以0<d<4,

故當(dāng)丁=2即》=拒時，丫取得最大值，此時k=2.

20.已知向量a=(-1,3),6=(1,2).

⑴求￡力；

(2)求囚-耳及“在6上的投影向量的坐標(biāo)；

⑶(。-mb)_L。，求機(jī)的值.

【正確答案】(1)5

⑵12a叫=5,0在/，上的投影向量的坐標(biāo)為(1,2)

(3)機(jī)=2

【分析】(1)根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可；

(2)根據(jù)向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求解2a-6的坐標(biāo)，即可得囚一耳；按照投影向量的定義列式

求解即可；

(3)由向量垂直得數(shù)量積為零，進(jìn)行計算即可得〃?的值.

【詳解】(1)已知向量〃=(一1,3),〃=(1,2),所以a.6=-lxl+3x2=5;

(2)\2a-b\=|2(-1,3)-(1,2)|=|(-3<4)|=7(-3/+42=5,

又血上的投影向量的坐標(biāo)為同cos?,%=蘆力=/。,2)=(1,2)

(3)因?yàn)?a-〃?b)_La,所以(”一，油)=4。奴=+3?-5m=0,解得加=2.

21.NBC中