矩陣運算的基礎(chǔ)

關(guān)于矩陣運算的基礎(chǔ)MATLAB提供了一種計算機高級編程語言——M語言MATLAB提供了不同類型的數(shù)據(jù)MATLAB專門以矩陣作為基本的運算單位MATLAB提供了關(guān)于數(shù)組和矩陣不同的運算方法第2頁,共42頁，2024年2月25日，星期天一.概述在M語言中最常用的數(shù)據(jù)類型表現(xiàn)手段和形式就是變量和常量M語言的基本處理單位是數(shù)值矩陣或者數(shù)值向量回顧有關(guān)概念變量和常量數(shù)組向量矩陣第3頁,共42頁，2024年2月25日，星期天變量和常量變量：程序運行過程中需要改變數(shù)值的量每一個變量都具有一個名字變量在內(nèi)存中占據(jù)一定的空間變量必須以字母開頭，后面可以是字母、數(shù)字或者下劃線的組合MATLAB僅識別前面N個字符，在不同的操作系統(tǒng)下可以識別的字符個數(shù)不同常量：在程序運行的過程中不需要改變數(shù)值的量常量具有名字在M語言中不存在常量的定義，只在MATLAB中提供一些常用的常數(shù)作為常量第4頁,共42頁，2024年2月25日，星期天數(shù)組是有序數(shù)據(jù)的集合數(shù)組的每一個成員（元素）都屬于同一種數(shù)據(jù)類型，它們使用同一個數(shù)組名稱和不同的下標來唯一確定數(shù)組中的成員（元素）。在MATLAB中元胞數(shù)組比較特殊，數(shù)組中的元素可以是不同的數(shù)據(jù)類型。第5頁,共42頁，2024年2月25日，星期天向量從編程語言的角度上看，向量其實就是一維數(shù)組從數(shù)學(xué)的角度上看，向量就是1×N或者N×1的矩陣，即行向量或列向量

b1，1b2，1B=b3，1和B=[b1，1b1，2b1，3······b1，n]∶∶bn，1第6頁,共42頁，2024年2月25日，星期天矩陣是用一對圓括號或方括號括起來，符合一定規(guī)則的數(shù)學(xué)對象

b11b12b13B=b21b22b23b31b32b33對于編程語言，矩陣就是二維的數(shù)組第7頁,共42頁，2024年2月25日，星期天二.矩陣和向量創(chuàng)建1.向量的創(chuàng)建（1）在命令窗口逐個輸入元素

>>X=[13pi3+5i]（2）利用冒號運算符創(chuàng)建向量

X=J:INC:KJ為向量的第一個元素，K為向量的最后一個元素，INC為向量元素遞增的步長J、INC、K之間必須用“:”間隔若忽略INC，則默認的遞增步長為1INC可以為正數(shù)，也可以為負數(shù)

>>X=1:10>>X=1:0.01:1.1

第8頁,共42頁，2024年2月25日，星期天(3)定數(shù)線性采樣法：在設(shè)定的“總點數(shù)”下，均勻采樣生成向量（一維“行”數(shù)組）使用函數(shù)linspace和logspacelinspace是用來創(chuàng)建線性間隔向量的函數(shù)linspace

的基本語法

X=linespace(X1，X2，n)X1為向量的第一個元素，X2為向量的最后一個元素，n為向量具有的元素個數(shù)，函數(shù)將根據(jù)n的數(shù)值平均計算元素之間的間隔，間隔計算公式為若在表達式中忽略參數(shù)n，則系統(tǒng)默認地將向量設(shè)置為100個元素第9頁,共42頁，2024年2月25日，星期天使用linspace函數(shù)創(chuàng)建向量>>X=linspace(1，2，5)X=1.00001.25001.50001.75002.0000第10頁,共42頁，2024年2月25日，星期天logspace是用來創(chuàng)建對數(shù)空間的向量logspace

的基本語法

X=logspace(X1，X2，n)該函數(shù)創(chuàng)建的向量第一個元素值為10X1，而最后一個元素的數(shù)值為10X2，n為向量的元素個數(shù)，元素彼此之間的間隔按照對數(shù)空間的間隔設(shè)置若在表達式中忽略參數(shù)n，則系統(tǒng)默認地將向量設(shè)置為50個元素第11頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例使用logspace函數(shù)創(chuàng)建向量>>X=logspace(1，3，3)X=101001000第12頁,共42頁，2024年2月25日，星期天創(chuàng)建列向量使用分號作為元素與元素之間的間隔使用轉(zhuǎn)置運算符“'”例2-6：>>A=[1；2；3；4；5；6]或>>A=(1:6)'第13頁,共42頁，2024年2月25日，星期天2.創(chuàng)建矩陣矩陣的元素可以為任意MATLAB數(shù)據(jù)類型的數(shù)值或?qū)ο髣?chuàng)建矩陣的方法直接輸入法使用數(shù)組編輯器

第14頁,共42頁，2024年2月25日，星期天(1)直接輸入法規(guī)則：整個矩陣的元素必須用[]括住同一行的矩陣元素之間必須用逗號或空格分隔在[]內(nèi)矩陣的行與行之間必須用分號分隔，也可以在需要分行的地方用回車鍵間隔矩陣元素可以是任何MATLAB表達式，可以是實數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)用i，j輸入

例2-7：

>>A=[1，2，3；4，5，6；7，8，9]>>X=[2pi/2；sqrt(3)3+5i]

第15頁,共42頁，2024年2月25日，星期天逗號和分號的作用逗號和分號可作為指令間的分隔符，MATLAB允許多條語句在同一行出現(xiàn)。分號如果出現(xiàn)在指令后，屏幕上將不顯示結(jié)果。只要是賦過值的變量，不管是否在屏幕上顯示過，都會存儲在工作空間中，以后可隨時顯示或調(diào)用。變量名盡可能不要重復(fù)，否則會覆蓋。例2-8：

>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9],X=[2pi/2;sqrt(3)3+5i]

？

>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];X=[2pi/2;sqrt(3)3+5i]

？第16頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例：

>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9],X=[2pi/2;sqrt(3)3+5i]A=123456789X=2.00001.57081.73213.0000+5.0000i>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];X=[2pi/2;sqrt(3)3+5i]X=2.00001.57081.73213.0000+5.0000i第17頁,共42頁，2024年2月25日，星期天冒號的作用用于生成等間隔的向量，默認間隔為1。例2-9：>>y=[1:3；4:6；7:9]第18頁,共42頁，2024年2月25日，星期天矩陣的基本運算函數(shù)基本數(shù)學(xué)運算規(guī)則數(shù)組的運算運算函數(shù)運算指令三.基本運算第19頁,共42頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)說明zeros產(chǎn)生元素全為0的矩陣ones產(chǎn)生元素全為1的矩陣eye產(chǎn)生單位矩陣rand產(chǎn)生均勻分布的隨機數(shù)矩陣，數(shù)值范圍（0，1）randn產(chǎn)生均值為0，方差為1的正態(tài)分布隨機數(shù)矩陣diag獲取矩陣的對角線元素，也可生成對角矩陣tril產(chǎn)生下三角矩陣triu產(chǎn)生上三角矩陣pascal產(chǎn)生帕斯卡矩陣magic產(chǎn)生幻方陣第20頁,共42頁，2024年2月25日，星期天矩陣生成函數(shù)示例>>A=zeros(3)A=000000000>>A=ones(3)A=111111111>>A=eye(3)A=100010001>>A=rand(3)A=0.95010.48600.45650.23110.89130.01850.60680.76210.8214>>A=randn(3)A=-0.43260.28771.1892-1.6656-1.1465-0.03760.12531.19090.3273第21頁,共42頁，2024年2月25日，星期天矩陣生成函數(shù)示例>>A=magic(3)A=816357(15)492>>A=magic(4)A=162313511108(34)97612414151第22頁,共42頁，2024年2月25日，星期天

基本矩陣運算運算命令說明A’矩陣轉(zhuǎn)置A^n矩陣求冪，n可以為任意實數(shù)A*B矩陣相乘A/B矩陣右除（一般的除法，A/B=A÷B）A\B矩陣左除（一種倒置的除法，A\B=B÷A）A+B矩陣相加A-B矩陣相減inv矩陣求逆，注意不是所有的矩陣都有逆矩陣det求方陣的行列式rank求矩陣的秩eig求矩陣的特征向量和特征值svd對矩陣進行奇異值分解norm求矩陣的范數(shù)第23頁,共42頁，2024年2月25日，星期天1.矩陣加、減運算（A＋B、A－B）規(guī)則：相加、減的兩矩陣必須有相同的行和列，兩矩陣對應(yīng)元素相加減。MATLAB允許參與運算的兩矩陣之一是標量，標量與矩陣的所有元素分別進行加減操作。例：A=[123；456]B=[345；789]C=3A+B=[468；111315]A+C=[456；789]B+C=[678；101112]第24頁,共42頁，2024年2月25日，星期天2.矩陣乘運算

A*B：A矩陣的列數(shù)必須等于B矩陣的行數(shù)。

s*A或A*s：標量可與任何矩陣相乘，標量s分別與矩陣A每個元素相乘。例：>>A=[123;456;780];B=[1;2;3];>>C=A*BC=143223>>D=[-1;0;2];>>F=pi*DF=-3.141606.2832

基本矩陣運算（續(xù)）第25頁,共42頁，2024年2月25日，星期天

3.矩陣除運算及線性方程組的解在線性代數(shù)中沒有矩陣的除運算，只有矩陣逆的運算，在MATLAB中有兩種矩陣除運算。

A/B—矩陣右除，相當于A

inv(B) A\B—矩陣左除，相當于inv(A)

B

因此，x=A\B是線性方程組Ax=B的解。例：求解方程組3x1+x2-x3=3.6x1+2x2+4x3=2.1-x1+4x2+5x3=-1.4>>A=[31-1;124;-145];>>B=[3.6;2.1;-1.4];

>>x=A\Bx= 1.4818 -0.4606 0.3848基本矩陣運算（續(xù)）第26頁,共42頁，2024年2月25日，星期天4.矩陣乘方

A^n——A自乘n次冪

例>>a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];>>a^2ans=303642668196102126150

方陣>1的整數(shù)基本矩陣運算（續(xù)）第27頁,共42頁，2024年2月25日，星期天數(shù)組運算指元素對元素的算術(shù)運算，與通常意義上的由符號表示的線性代數(shù)矩陣運算不同。1. 數(shù)組加減（+，-）運算規(guī)則：相加、減的兩數(shù)組必須有相同的行和列，兩數(shù)組對應(yīng)元素相加減。MATLAB允許參與運算的兩數(shù)組之一是標量，標量與數(shù)組的所有元素分別進行加減操作

A+B A-B

基本數(shù)組（元素群）運算

與矩陣加減運算等效，數(shù)組之一也可為標量。第28頁,共42頁，2024年2月25日，星期天2.數(shù)組乘(

)

運算AB

A，B兩數(shù)組必須有相同的行和列，兩數(shù)組相應(yīng)元素相乘。

sA或As

標量與數(shù)組相乘，標量s分別與數(shù)組A每個元素相乘，與s

A或A

s相同。例16：>>A=[123;456;789];>>B=[246;135;7910];>>A.*Bans= 2818 41530 497290>>A=[123;456;789];>>B=[246;135;7910];>>A*Bans= 253746 5585109 85133172第29頁,共42頁，2024年2月25日，星期天3.數(shù)組除(/，\)運算C=A./B——數(shù)組右除

C(i,j)=A(i,j)/B(i,j)C=A.\B——數(shù)組左除

C(i,j)=B(i,j)/A(i,j)A./B=B.\AA./s=s.\A—A的元素分別被標量s除s./A=A.\s—標量s分別被A的元素除例：>>A=[123];>>B=[456];>>C1=A./BC1=0.25000.40000.5000>>C2=B.\AC2=0.25000.40000.5000>>C3=A.\BC3=4.00002.50002.0000>>A=[123];B=[456];>>A/Bans=0.4156>>A\Bans=0000001.33331.66672.0000第30頁,共42頁，2024年2月25日，星期天4.數(shù)組乘方（.^）A.^n——A的每個元素自乘n次A.^p——對A各元素分別求非整數(shù)冪p.^A——以p為底,分別以A的元素為指數(shù)求冪值C=A.^B——元素對元素的冪C(i,j)=A(i,j).^B(i,j)例：>>A=[123];B=[456];>>X=A.^2X=1.004.009.00>>Y=A.^0.5Y=1.00001.41421.7321

>>C=3.^BY=81.00243.00729.00

3^43^53^6>>Z=A.^BZ=1.0032.00729.001^42^53^6第31頁,共42頁，2024年2月25日，星期天5.數(shù)組轉(zhuǎn)置（.’）例：>>A=[135;246]A=135246>>A'ans=123456>>A.'ans=123456結(jié)論：對于實數(shù)矩陣，矩陣轉(zhuǎn)置和數(shù)組轉(zhuǎn)置的計算結(jié)果是一致的。第32頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例：>>A=A*iA=0+1.0000i0+3.0000i0+5.0000i0+2.0000i0+4.0000i0+6.0000i>>A'ans=0-1.0000i0-2.0000i0-3.0000i0-4.0000i0-5.0000i0-6.0000i>>A.'ans=0+1.0000i0+2.0000i0+3.0000i0+4.0000i0+5.0000i0+6.0000i結(jié)論：對于復(fù)數(shù)矩陣，矩陣轉(zhuǎn)置和數(shù)組轉(zhuǎn)置的計算結(jié)果不一致。矩陣轉(zhuǎn)置運算——共軛轉(zhuǎn)置數(shù)組轉(zhuǎn)置運算——非共軛轉(zhuǎn)置第33頁,共42頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)的主要類別三角函數(shù)指數(shù)運算函數(shù)復(fù)數(shù)運算函數(shù)圓整和求余函數(shù)函數(shù)在處理參數(shù)時，是按照數(shù)組運算的規(guī)則進行的

基本數(shù)學(xué)函數(shù)

第34頁,共42頁，2024年2月25日，星期天三角函數(shù)函數(shù)說明函數(shù)說明函數(shù)說明sin正弦函數(shù)tanh雙曲正切函數(shù)csch雙曲余割函數(shù)sinh雙曲正弦函數(shù)atan反正切函數(shù)acsc反余割函數(shù)asin反正弦函數(shù)atan2四象限反正切函數(shù)acsch反雙曲余割函數(shù)asinh反雙曲正弦函數(shù)atanh反雙曲正切函數(shù)cot余切函數(shù)cos余弦函數(shù)sec正割函數(shù)coth雙曲余切函數(shù)cosh雙曲余弦函數(shù)sech雙曲正割函數(shù)acot反余切函數(shù)acos反余弦函數(shù)asec反正割函數(shù)acoth反雙曲余切函數(shù)acosh反雙曲余弦函數(shù)asech雙曲反正割函數(shù)tan正切函數(shù)csc余割函數(shù)第35頁,共42頁，2024年2月25日，星期天指數(shù)運算函數(shù)函數(shù)說明函數(shù)說明exp指數(shù)函數(shù)realpow實數(shù)冪運算函數(shù)log自然對數(shù)函數(shù)reallog實數(shù)自然對數(shù)函數(shù)log10常用對數(shù)函數(shù)realsqrt實數(shù)平方根函數(shù)log2以2為底的對數(shù)函數(shù)sqrt平方根函數(shù)pow22的冪函數(shù)nex